Бинарная гипотеза Гольдбаха. Нижняя оценка количества пар простых чисел, дающих в сумме N, кратное 6 / Песочница / Хабр

Введение

Бинарная гипотеза Гольдбаха — предположение, что любое четное число, начиная с четырех, представимо в виде двух простых чисел. Данная гипотеза на данный момент является ни доказанной, ни опровергнутой.

В работе предложен метод для проверки гипотезы Гольдбаха. Метод позволяющий найти минимальное количество представлений четного числа в виде двух простых.

Выведена формула, которая без погрешности (для чисел, кратных шести) находит разность между представлениями числа (x) в виде суммы двух составных чисел вида 6к-1 и 6к+1 и представлениями числа в виде суммы двух простых чисел вида 6к-1 и 6к+1 (h(n)).
Найден способ оценить нижнюю границу x и, следовательно, h(n). Для этого используется формула включений-исключений с коэффициентами.
Метод позволяет проверить гипотезу без прямого перебора простых чисел, лишь зная их количество до N.
Численная проверка показывает верность гипотезы при использовании в методе 10 простых чисел, для чисел кратных 6, до 10 в 20, и метод распространяется и на большее значение с использованием новых простых.

Актуальность

На данный момент времени нет точного алгоритма, который бы смог позволить без посредственного перебора определить для конкретного четного числа выполнение гипотезы, в данной работе представлен такой метод и теоретические расчеты показывают выполнение гипотезы для численных значений, значительно превосходящих вычислительные проверки на современных компьютерах прямым перебором.

Цели, задачи, материалы и методы

Вывести алгоритм, который бы смог позволить без непосредственного перебора определить для конкретного четного числа выполнение гипотезы.

Для этого мы используем связь между представлением числа в виде суммы двух простых чисел и представлением числа в виде суммы двух составных чисел вида 6к-1 и 6к+1.

Научная новизна

Найден способ оценить нижнюю границу количества x и, следовательно, h(n). Для этого используется формула включений-выключений с коэффициентами.

Метод и теоретические расчеты позволяют проверить выполнение гипотезы для численных значений, значительно превосходящих вычислительные проверки на современных компьютерах прямым перебором.

Основная формула

Все простые числа, начиная с 5, представимы в виде 6к-1 и 6к+1.

Для любого четного числа N, кратного 6, количество пар чисел вида 6к-1 и 6к+1, дающих в сумме N, равняется 1/6*N-1, так как простые числа больше 5 и составные вида 6к-1 и 6к+1 имеют остаток от деления на 6, равный либо единице, либо минус единице (5), т. е. 2 из 6 возможных остатков, но единица также имеет остаток от деления на 6, равный 1, поэтому мы ее вычитаем.

Далее мы будем использовать обозначения:

N — четное натуральное число

x — количество уникальных пар составных чисел вида 6k ± 1, дающих в сумме N

h(N) — количество уникальных способов представить число N в виде суммы двух простых чисел вида 6k±1

π(N) — количество простых чисел до N.

Формула 1

При условии, что N-1 простое:

$\frac{N}{6} - \bigl(\pi(N) - 2\bigr) = x - h(N)$

Пример:

N = 20052024

π(N) = 1273732

x = 2175213

h(N) = 106939

20052024/6-(1273732-2) = 2175213-106939 = 2068274

Формула 2

При условии, что N-1 составное:

$\frac{N}{6} - 1 - (\pi(N) - 2) = x - h(N)$

Пример:

N = 14042028

π(N) = 912627

x = 1542135

h(N) = 114423

14042028/6-1-(912627-2) = 1542135-114423 = 1427712

Поскольку:

Формула 3

$\frac{N}{6} -1- \bigl(\pi(N) - 2\bigr) < \frac{N}{6} - \bigl(\pi(N) - 2\bigr)$

Далее мы будем использовать более сильное ограничение.

Формула 4

$\frac{N}{6} - \bigl(\pi(N) - 2\bigr) < x$

При достаточно больших N.

2. Уточнения нижней границы x

Чтобы найти нижнюю границу количества составных пар x, мы применяем принцип включения-исключений, для пар заданного вида, дающих в сумме N, найдя такие пары, в которых одно слагаемое делится на P - простое число.

Шаг 1. Пары, в которых одно слагаемое делится на 5

Формула 5

$|A_5| = \frac{N}{3\cdot 5} - 1 - \frac{\pi(N)}{5-1} - C_1$

где C₁ = 5,40 — эмпирически определенная максимальная погрешность на проверяемом интервале.

Условие для выполнения гипотезы преобразуется в:

Формула 6

$\frac{N}{6} - \bigl(\pi(N) - 2\bigr) < \frac{N}{3\cdot 5} - 1 - \frac{\pi(N)}{5-1} - 5{,}40$

при условии НОД(N, 5) = 1.

Неравенство (4) выполняется на интервале 960 ≤ N < 4404.

Пример:

N = 2028

π(N) = 307

2028/6-(307-2)<2028/3/5-1-307/4-5,40

Шаг 2. Добавление простого 7 (формула включения-исключений)

Далее мы ищем такие пары, в которых одно слагаемое делится на 5, а другое на 7. Но здесь возникает пересечение, момент, когда мы подсчитывая пары, дабы его исключить, мы вычитаем дублированные пары.

Формула 7

$\frac{N}{6} - (\pi(N) - 2) < \frac{N}{3 \cdot 5} - 1 - \frac{\pi(N)}{5-1} + \left(\frac{N}{3 \cdot 7} - 1 - \frac{\pi(N)}{7-1}\right) - \left(\frac{2^{2-1} \cdot N}{3 \cdot 5 \cdot 7} - \frac{\pi(N)}{(5-1)(7-1)}\right)$

при условии НОД(N, 5, 7) = 1.

Интервал применимости: 4404 ≤ N ≤ 17796

Пример:

N = 17796

π(N) = 2042

17796/6-(2042-2) < (17796/3/5-1-2042/4)+(17796/3/7-1-2042/6) - (2*(17796/3/5/7) - 2042/4/6)

Шаг 3. Добавление простого 11

Далее мы ищем такие пары, в которых одно слагаемое делится на простое, а второе слагаемое на составное (т. е. на два простых), количество пересечений возрастает, чтобы их учесть, мы вводим коэффициент, который считает все возможные способы из трех простых чисел собрать составное число без повторов.

Пример:

P1 = 5, P2 = 7, P3 = 11

5 77

7 55

11 35

Формула 8

$\frac{N}{6} - (\pi(N) - 2) < \frac{N}{3 \cdot 5} - 1 - \frac{\pi(N)}{5-1} + \left(\frac{N}{3 \cdot 7} - 1 - \frac{\pi(N)}{7-1}\right) + \left(\frac{N}{3 \cdot 11} - 1 - \frac{\pi(N)}{11-1}\right) - \left(2^{2-1} \cdot \left(\frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 11} + \frac{N}{3 \cdot 7 \cdot 11}\right) - \frac{\pi(N)}{(5-1)(7-1)} - \frac{\pi(N)}{(5-1)(11-1)} - \frac{\pi(N)}{(11-1)(7-1)}\right) + \left(2^{3-1} \cdot \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} - \frac{\pi(N)}{(5-1)(7-1)(11-1)}\right)$

при условии НОД(N, 5, 7, 11) = 1.

Интервал: 17796 ≤ N < 44004

Пример:

N = 44004

π(N) = 4579

$\frac{31002}{6} - (3340 - 2) < \frac{31002}{3 \cdot 5} - 1 - \frac{3340}{5-1} + \left(\frac{31002}{3 \cdot 7} - 1 - \frac{3340}{7-1}\right) + \left(\frac{31002}{3 \cdot 11} - 1 - \frac{3340}{11-1}\right) - \left(2^{2-1} \cdot \left(\frac{31002}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{31002}{3 \cdot 5 \cdot 11} + \frac{31002}{3 \cdot 7 \cdot 11}\right) - \frac{3340}{(5-1)(7-1)} - \frac{3340}{(5-1)(11-1)} - \frac{3340}{(11-1)(7-1)}\right) + \left(2^{3-1} \cdot \frac{31002}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} - \frac{3340}{(5-1)(7-1)(11-1)}\right)$

Шаг 4. Добавление простого 13

Формула остается такой же, но добавляются члены четвертого порядка:

Формула 9

$\frac{N}{6} - (\pi(N) - 2) < \frac{N}{3 \cdot 5} - 1 - \frac{\pi(N)}{5-1} + \left(\frac{N}{3 \cdot 7} - 1 - \frac{\pi(N)}{7-1}\right) + \left(\frac{N}{3 \cdot 11} - 1 - \frac{\pi(N)}{11-1}\right) + \left(\frac{N}{3 \cdot 13} - 1 - \frac{\pi(N)}{13-1}\right) - \left(2^{2-1} \cdot \left(\frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 11} + \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 13} + \frac{N}{3 \cdot 7 \cdot 11} + \frac{N}{3 \cdot 7 \cdot 13} + \frac{N}{3 \cdot 11 \cdot 13}\right) - \frac{\pi(N)}{(5-1)(7-1)} - \frac{\pi(N)}{(5-1)(11-1)} - \frac{\pi(N)}{(5-1)(13-1)} - \frac{\pi(N)}{(11-1)(7-1)} - \frac{\pi(N)}{(7-1)(13-1)} - \frac{\pi(N)}{(11-1)(13-1)}\right) + \left(2^{3-1} \cdot \left(\frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} + \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13} + \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13} + \frac{N}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}\right) - \frac{\pi(N)}{(5-1)(7-1)(11-1)} - \frac{\pi(N)}{(5-1)(7-1)(13-1)} - \frac{\pi(N)}{(5-1)(11-1)(13-1)} - \frac{\pi(N)}{(13-1)(7-1)(11-1)}\right) - \left(2^{4-1} \cdot \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13} - \frac{\pi(N)}{(13-1)(7-1)(11-1)(5-1)}\right)$

при условии НОД(N, 5, 7, 11, 13) = 1.

Интервал: 44004 ≤ N < 88274.

Формула 10. Для произвольного набора простых чисел.

$\boxed{\sum_{k=1}^{m} (-1)^{k-1} \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_k \le m} \left[ \frac{2^{k-1} \cdot N}{3 \cdot p_{i_1} \cdots p_{i_k}} - \delta_{k,1} - \frac{\pi}{(p_{i_1}-1)\cdots(p_{i_k}-1)} \right]}$

Где: P₁,P₂,…,P_m-нечётные простые, начиная с 5.

$\pi = \pi(N)$ $\delta_{k,1} = 1$

при к=1 и к=0

Заключение, результаты и выводы

В работе был предложен метод взвешенного включения-исключения для определения нижней границы количества составных чисел вида 6к-1 и 6к+1. Который в свою очередь позволяет определить правдивость гипотезы Гольдбаха без непосредственного перебора.