Возможно вы удивитесь, но если перечитаете, то работал я с полными дифференциалами и их проекциями, причем как минимум в виде комплексных чисел. В общем случае с Клиффордовыми элементами. Действительно надо будет переписать добавив пояснений.
За счет чего проекция импульса на площадь, то есть поток, оказался новой величиной? На самом деле сама суть ни как не помянялась, просто новый взгляд из конструкции алгебр Клиффорда на общеизвестное, буковки это не вещественные скаляры
Поразмыслив еще, понял, что пойманная мысль гораздо глубже, чем просто схожесть с разными областями физики, а написанное тут можно назвать наивным подходом. Напишу отдельную статью, краткой сутью которой будет следующее: Операция умножения какой то векторной величины на любой вектор пространства (в общем случае в виде векторов Паули) дает отображение в пространство проекций, где скалярная часть это проекция на направление вектора пространства, а векторная часть (мнимая в случае комплексных чисел) проекция на ортогональное направление вектора пространства. Причем пространству проекций безразлично как были направлены перемножаемые величины. Если из векторов пространства составить замкнутый контур, и взять интегралл по этому контуру, нормировав на длину контура, то в скалярной части получим среднюю величину циркуляцию по контуру, а в векторной части получим среднюю величину притока/оттока контура. Из этой конструкции похоже много чего полезного можно получить
Про некорректность осреднения скорости согласен, но частично. С одной стороны да, так как, даже на масштабе бесконечно малых, скорость может множество раз поменять направление с + на -. С другой стороны нет, так как если говорить о применении к гидродинамике, то, вообще говоря, минимальный масштаб такой модели это две молекулы с номерами 1 и 2, летящие в разных направлениях, и тогда в принципе все это нужно записывать в конечных разностях. Но пока думаю как это формализовать, так как тогда нужно переписать то самое правило Лейбница через аппроксимацию, а поведение таких молекул надо понимать через некое средее статистическое относительно всех других пар вокруг
Этот вывод тем и красив, если в него подставить для векторов и скоростей комплексные числа, он будет работать. Подставляем векторы Паули в матричном виде, вывод будет работать. Подставьте произвольные Клиффордовы элементы, если у вас хватит воображения это интерпретировать, в выводе ничего не изменится, он будет работать
Как человек из бизнеса с вами полностью согласен. Но в защиту данной статьи скажу, что не так много людей могут посоветовать правильный способ математического мышления, в задачах связанных с математикой. А про казуистику в сказанных словах и про политически правильные формулировки оставим же упражнения нашим юристам, пусть математики топят за безупречность в своем реально не легком деле
Не разбирались с этим, так как все еще достаточно с чем поработать в комплексных 2х2. Например на плоскости xz, формально можно определить параллелограмм через матрицу Грамма и определитель, а в 3D пока чего то аналогичного вменяемого получить не удается https://habr.com/ru/articles/949114/
В наших статях с @master_program исследованы комплексные матрицы 2х2 из 8 компонент. А коллега @IgorSL говорит про 16 компонент которые появляются в алгебре Клиффорда следующего ранга, на базе произвольных вещественных матриц 4х4 (которые строятся из произвольных блоков вещественных матриц 2х2). Несовпадений нет, просто алгебра Клиффорда формально может быть любой размерности 2^n. Говорят, что это в конечном итоге приводит к записи преобразования Фурье в алгебре Клиффорда. Но похоже, что на такую глубину мало кто копнуть может, так как там выражения в индексной записи, и они жутковато выглядят, для не профессионального математика. Так же там используется полностью абстрактное математическое пространство, по крайней мере пока что.
Тут история про геометрический смысл, думаю следующим шагом поискать смысл физический. Когда он найдется для всего этого многообразия, тогда и обсудим. Пока что рановато делать какие то выводы
Да, и ряд в итоге сведется к этому, функция от любой комплексной матрицы 2х2 выглядит как сумма четной части ФКП умноженной на единичный скаляр и ее нечетной части умноженной на единичную векторную часть https://habr.com/ru/articles/874600/
Посмотрите мои последние две статьи, восьмимерность чисто математическая. Для плоскости, совсем не сложно, четыре математических измерения сводятся к двум физическим. Для 3D задачка интерпретации посерьезнее, но уже понятно, что со временем удастся перейти от предположений к конкретике, либо я, либо Игорь, либо кто то еще эту задачу расколет.
Тогда другие вектора - тоже зеркала или всё же отражаемые объекты?
Лично я тоже не люблю абстрактные двойные смыслы, поэтому пользуюсь неким соглашением, что в произведении ab, справа это оператор, слева объект, тогда скаляр это проекция на направление параллельное "a", бивектор - проекция на направление перпендикулярное "a". Но это вопрос предпочтений, а не смысла.
Для более сложных объектов, представленных матрицами, оператор считается сопряженным и транспонированным (эрмитово-сопряженным), чтобы произведение объекта на себя давало в точности матрицу Грамма.
Возможно вы удивитесь, но если перечитаете, то работал я с полными дифференциалами и их проекциями, причем как минимум в виде комплексных чисел. В общем случае с Клиффордовыми элементами. Действительно надо будет переписать добавив пояснений.
За счет чего проекция импульса на площадь, то есть поток, оказался новой величиной? На самом деле сама суть ни как не помянялась, просто новый взгляд из конструкции алгебр Клиффорда на общеизвестное, буковки это не вещественные скаляры
Поразмыслив еще, понял, что пойманная мысль гораздо глубже, чем просто схожесть с разными областями физики, а написанное тут можно назвать наивным подходом. Напишу отдельную статью, краткой сутью которой будет следующее: Операция умножения какой то векторной величины на любой вектор пространства (в общем случае в виде векторов Паули) дает отображение в пространство проекций, где скалярная часть это проекция на направление вектора пространства, а векторная часть (мнимая в случае комплексных чисел) проекция на ортогональное направление вектора пространства. Причем пространству проекций безразлично как были направлены перемножаемые величины. Если из векторов пространства составить замкнутый контур, и взять интегралл по этому контуру, нормировав на длину контура, то в скалярной части получим среднюю величину циркуляцию по контуру, а в векторной части получим среднюю величину притока/оттока контура. Из этой конструкции похоже много чего полезного можно получить
Про некорректность осреднения скорости согласен, но частично. С одной стороны да, так как, даже на масштабе бесконечно малых, скорость может множество раз поменять направление с + на -. С другой стороны нет, так как если говорить о применении к гидродинамике, то, вообще говоря, минимальный масштаб такой модели это две молекулы с номерами 1 и 2, летящие в разных направлениях, и тогда в принципе все это нужно записывать в конечных разностях. Но пока думаю как это формализовать, так как тогда нужно переписать то самое правило Лейбница через аппроксимацию, а поведение таких молекул надо понимать через некое средее статистическое относительно всех других пар вокруг
Большое спасибо за уточнение! Как раз очень было нужна конструктивная критика такого подхода. Думаю перепишу всю статью со временем
Этот вывод тем и красив, если в него подставить для векторов и скоростей комплексные числа, он будет работать. Подставляем векторы Паули в матричном виде, вывод будет работать. Подставьте произвольные Клиффордовы элементы, если у вас хватит воображения это интерпретировать, в выводе ничего не изменится, он будет работать
Пересечение прямой и кривой второго порядка?
Как человек из бизнеса с вами полностью согласен. Но в защиту данной статьи скажу, что не так много людей могут посоветовать правильный способ математического мышления, в задачах связанных с математикой. А про казуистику в сказанных словах и про политически правильные формулировки оставим же упражнения нашим юристам, пусть математики топят за безупречность в своем реально не легком деле
Ну с плюсом квадрат длины одной диагонали параллелограмма, с минусом второй. Параллелограмм один и тот же
🤝
К сожалению не знаю этих аббревиатур
Ну не так уж и много, всего три автора. Вы же не против?
Пришлите почту, отправлю мой исходник
Не разбирались с этим, так как все еще достаточно с чем поработать в комплексных 2х2. Например на плоскости xz, формально можно определить параллелограмм через матрицу Грамма и определитель, а в 3D пока чего то аналогичного вменяемого получить не удается https://habr.com/ru/articles/949114/
В наших статях с @master_program исследованы комплексные матрицы 2х2 из 8 компонент. А коллега @IgorSL говорит про 16 компонент которые появляются в алгебре Клиффорда следующего ранга, на базе произвольных вещественных матриц 4х4 (которые строятся из произвольных блоков вещественных матриц 2х2). Несовпадений нет, просто алгебра Клиффорда формально может быть любой размерности 2^n. Говорят, что это в конечном итоге приводит к записи преобразования Фурье в алгебре Клиффорда. Но похоже, что на такую глубину мало кто копнуть может, так как там выражения в индексной записи, и они жутковато выглядят, для не профессионального математика. Так же там используется полностью абстрактное математическое пространство, по крайней мере пока что.
Параллельная, и это хорошо, инструмент заслуживает интереса
Тут история про геометрический смысл, думаю следующим шагом поискать смысл физический. Когда он найдется для всего этого многообразия, тогда и обсудим. Пока что рановато делать какие то выводы
Мы где то около года это объяснение искали, и вот только что нашли. Сопоставить 8 математических измерений с 3-я физическими, та еще задачка оказалась
Посмотрите мои последние две статьи, восьмимерность чисто математическая. Для плоскости, совсем не сложно, четыре математических измерения сводятся к двум физическим. Для 3D задачка интерпретации посерьезнее, но уже понятно, что со временем удастся перейти от предположений к конкретике, либо я, либо Игорь, либо кто то еще эту задачу расколет.
Лично я тоже не люблю абстрактные двойные смыслы, поэтому пользуюсь неким соглашением, что в произведении ab, справа это оператор, слева объект, тогда скаляр это проекция на направление параллельное "a", бивектор - проекция на направление перпендикулярное "a". Но это вопрос предпочтений, а не смысла.
Для более сложных объектов, представленных матрицами, оператор считается сопряженным и транспонированным (эрмитово-сопряженным), чтобы произведение объекта на себя давало в точности матрицу Грамма.