Не разбирались с этим, так как все еще достаточно с чем поработать в комплексных 2х2. Например на плоскости xz, формально можно определить параллелограмм через матрицу Грамма и определитель, а в 3D пока чего то аналогичного вменяемого получить не удается https://habr.com/ru/articles/949114/
В наших статях с @master_program исследованы комплексные матрицы 2х2 из 8 компонент. А коллега @IgorSL говорит про 16 компонент которые появляются в алгебре Клиффорда следующего ранга, на базе произвольных вещественных матриц 4х4 (которые строятся из произвольных блоков вещественных матриц 2х2). Несовпадений нет, просто алгебра Клиффорда формально может быть любой размерности 2^n. Говорят, что это в конечном итоге приводит к записи преобразования Фурье в алгебре Клиффорда. Но похоже, что на такую глубину мало кто копнуть может, так как там выражения в индексной записи, и они жутковато выглядят, для не профессионального математика. Так же там используется полностью абстрактное математическое пространство, по крайней мере пока что.
Тут история про геометрический смысл, думаю следующим шагом поискать смысл физический. Когда он найдется для всего этого многообразия, тогда и обсудим. Пока что рановато делать какие то выводы
Да, и ряд в итоге сведется к этому, функция от любой комплексной матрицы 2х2 выглядит как сумма четной части ФКП умноженной на единичный скаляр и ее нечетной части умноженной на единичную векторную часть https://habr.com/ru/articles/874600/
Посмотрите мои последние две статьи, восьмимерность чисто математическая. Для плоскости, совсем не сложно, четыре математических измерения сводятся к двум физическим. Для 3D задачка интерпретации посерьезнее, но уже понятно, что со временем удастся перейти от предположений к конкретике, либо я, либо Игорь, либо кто то еще эту задачу расколет.
Тогда другие вектора - тоже зеркала или всё же отражаемые объекты?
Лично я тоже не люблю абстрактные двойные смыслы, поэтому пользуюсь неким соглашением, что в произведении ab, справа это оператор, слева объект, тогда скаляр это проекция на направление параллельное "a", бивектор - проекция на направление перпендикулярное "a". Но это вопрос предпочтений, а не смысла.
Для более сложных объектов, представленных матрицами, оператор считается сопряженным и транспонированным (эрмитово-сопряженным), чтобы произведение объекта на себя давало в точности матрицу Грамма.
Пожалуйста) Корректность текущей версии поймем по замечаниям аудитории. В данный момент та же идея, что в прошлой статье: есть вектор в той же плоскости, что и кватернион (в прошлой статье рассмотрена плоскость (x,z) и вектор в ней), скаляр со-направлен этому вектору, псевдовектор (в прошлой статье состоящий только из бивектора "xz") ортогонален вектору и скаляру. В конструкцию добавлен псевдоскаляр и вектор ортогональный плоскости (для прошлой статьи таким вектором будет направление Y).
Поэтому и писал про плоскость, то, что здесь кажется громоздким, по сравнению с формулами для объема очень даже миленько и компактно выглядит. А за напоминание про ту статью, спасибо, надо будет переосмыслить в свете истории про плоскость, на ней как то попроще все
Такое устройство головы, пока сам путь не пройду и не увижу созданные своими руками картинки, не могу хотеть)
и в этом плане особенные, но это совсем отдельная история)
Согласен про другую историю, и тут нюанс следующий - наверное для всех в высокой науке эта история очевидна, но интересный факт, что где то между моментом изучения линейной алгебры первого курса и моментом наступления в жизни этой высокой науки случился незадокументированный мост, построенный путем наставничества. По крайней мере мне не заумное объяснение в литературе, как все работает, не попадалось. Есть шанс, что кто то учебник напишет в какой то перспективе. А пока для себя начал с плоскости.
"Произвольная матрица и её числа. " Матрица размера 2х2 в алгебре Клиффорда сопоставлена 1-векторам (обычным декартовым), 2-векторам (бивекторам), кватернионам. Поищите поиском, на Хабре по тегам к статье много всего найдется. В статье рассмотрен подход для обобщения на вообще все вещественные матрицы через sxyz разложение.
Матрица Грамма также раскладывается. Не вполне понял вопрос. Вроде из следующей картинки следует ответ зачем...
Построение правого и левого пространств матриц. По другому не свяжутся единственным образом параметры abcd и то что в подкате (4).
Со сложением мы разобрались. Матриц и параллелограммов.
В общем, зная, что был за объект... История про то, что в Алгебре Клиффорда нет разделения на операторы и векторы, объекты выполняют обе функции.
В сухом остатке подумаю дорабатывать статью или нет, и если дорабатывать, то как.
Мне возможно показалось, но все ваши вопросы связаны с тем, что для много кого геометрическая Алгебра туманна...
Тут нюанс, я рассмотрел прием в применении к плоскости. А для 3D, на сколько я понимаю, ничего подобного вообще никто не создавал. В классике да, кватернионами удобно работать в смысле поворотов, двойные кватернионы по идее должны дать двойной объект с раздельными вращениями. Не изучал, не могу особо ничего сказать.
Ну с плюсом квадрат длины одной диагонали параллелограмма, с минусом второй. Параллелограмм один и тот же
🤝
К сожалению не знаю этих аббревиатур
Ну не так уж и много, всего три автора. Вы же не против?
Пришлите почту, отправлю мой исходник
Не разбирались с этим, так как все еще достаточно с чем поработать в комплексных 2х2. Например на плоскости xz, формально можно определить параллелограмм через матрицу Грамма и определитель, а в 3D пока чего то аналогичного вменяемого получить не удается https://habr.com/ru/articles/949114/
В наших статях с @master_program исследованы комплексные матрицы 2х2 из 8 компонент. А коллега @IgorSL говорит про 16 компонент которые появляются в алгебре Клиффорда следующего ранга, на базе произвольных вещественных матриц 4х4 (которые строятся из произвольных блоков вещественных матриц 2х2). Несовпадений нет, просто алгебра Клиффорда формально может быть любой размерности 2^n. Говорят, что это в конечном итоге приводит к записи преобразования Фурье в алгебре Клиффорда. Но похоже, что на такую глубину мало кто копнуть может, так как там выражения в индексной записи, и они жутковато выглядят, для не профессионального математика. Так же там используется полностью абстрактное математическое пространство, по крайней мере пока что.
Параллельная, и это хорошо, инструмент заслуживает интереса
Тут история про геометрический смысл, думаю следующим шагом поискать смысл физический. Когда он найдется для всего этого многообразия, тогда и обсудим. Пока что рановато делать какие то выводы
Мы где то около года это объяснение искали, и вот только что нашли. Сопоставить 8 математических измерений с 3-я физическими, та еще задачка оказалась
Посмотрите мои последние две статьи, восьмимерность чисто математическая. Для плоскости, совсем не сложно, четыре математических измерения сводятся к двум физическим. Для 3D задачка интерпретации посерьезнее, но уже понятно, что со временем удастся перейти от предположений к конкретике, либо я, либо Игорь, либо кто то еще эту задачу расколет.
Лично я тоже не люблю абстрактные двойные смыслы, поэтому пользуюсь неким соглашением, что в произведении ab, справа это оператор, слева объект, тогда скаляр это проекция на направление параллельное "a", бивектор - проекция на направление перпендикулярное "a". Но это вопрос предпочтений, а не смысла.
Для более сложных объектов, представленных матрицами, оператор считается сопряженным и транспонированным (эрмитово-сопряженным), чтобы произведение объекта на себя давало в точности матрицу Грамма.
Пожалуйста) Корректность текущей версии поймем по замечаниям аудитории. В данный момент та же идея, что в прошлой статье: есть вектор в той же плоскости, что и кватернион (в прошлой статье рассмотрена плоскость (x,z) и вектор в ней), скаляр со-направлен этому вектору, псевдовектор (в прошлой статье состоящий только из бивектора "xz") ортогонален вектору и скаляру. В конструкцию добавлен псевдоскаляр и вектор ортогональный плоскости (для прошлой статьи таким вектором будет направление Y).
Да, напишите, пожалуйста, очень интересно
Но вот получилось, что кватернион это не только про "крутить"
Поэтому и писал про плоскость, то, что здесь кажется громоздким, по сравнению с формулами для объема очень даже миленько и компактно выглядит. А за напоминание про ту статью, спасибо, надо будет переосмыслить в свете истории про плоскость, на ней как то попроще все
Такое устройство головы, пока сам путь не пройду и не увижу созданные своими руками картинки, не могу хотеть)
Согласен про другую историю, и тут нюанс следующий - наверное для всех в высокой науке эта история очевидна, но интересный факт, что где то между моментом изучения линейной алгебры первого курса и моментом наступления в жизни этой высокой науки случился незадокументированный мост, построенный путем наставничества. По крайней мере мне не заумное объяснение в литературе, как все работает, не попадалось. Есть шанс, что кто то учебник напишет в какой то перспективе. А пока для себя начал с плоскости.
"Произвольная матрица и её числа. " Матрица размера 2х2 в алгебре Клиффорда сопоставлена 1-векторам (обычным декартовым), 2-векторам (бивекторам), кватернионам. Поищите поиском, на Хабре по тегам к статье много всего найдется. В статье рассмотрен подход для обобщения на вообще все вещественные матрицы через sxyz разложение.
Матрица Грамма также раскладывается. Не вполне понял вопрос. Вроде из следующей картинки следует ответ зачем...
Построение правого и левого пространств матриц. По другому не свяжутся единственным образом параметры abcd и то что в подкате (4).
Со сложением мы разобрались. Матриц и параллелограммов.
В общем, зная, что был за объект... История про то, что в Алгебре Клиффорда нет разделения на операторы и векторы, объекты выполняют обе функции.
В сухом остатке подумаю дорабатывать статью или нет, и если дорабатывать, то как.
Мне возможно показалось, но все ваши вопросы связаны с тем, что для много кого геометрическая Алгебра туманна...
Тут нюанс, я рассмотрел прием в применении к плоскости. А для 3D, на сколько я понимаю, ничего подобного вообще никто не создавал. В классике да, кватернионами удобно работать в смысле поворотов, двойные кватернионы по идее должны дать двойной объект с раздельными вращениями. Не изучал, не могу особо ничего сказать.