Информация об информации. Энтропия Шеннона, демон Максвелла и предел Ландауэра

По этому поводу возникает интересный философский вопрос. Если при уничтожении бита информации требуется затратить энергию, то нет ли обратного процесса ?

По крайней мере, насколько мне известно, в современной классической научной картине мира обратный процесс не описан, но известны начала термодинамики, которые из ныне доступных людям эмпирических наблюдений накладывают ограничения на возможность протекания подобных физических процессов.

Информация об информации. Энтропия Шеннона, демон Максвелла и предел Ландауэра

Спасибо большое! С интересом прочёл публикацию!

~

То же самое происходит при переводе картинки из формата .bmp или .png в формат .jpg.

Хотя формат .jpg опционально поддерживает сжатие без потерь, зачастую его применяют именно для сжатия с потерями, и напротив формат .png поддерживает только сжатие без потерь. Возможно, в контексте рассказа об энтропийном сжатии более корректен буден перевод из формата .bmp в.png (либо .jpg, но в режиме без потерь).

~

Отметим ещё один важный факт: информация обладает массой.

Утверждение спорное по нескольким причинам:

• в традиционном научном понимании масса - это свойство присущее определённым физическим объектам [причём, далеко не всем, например, безмассовый фотон обладает импульсом и энергией], которое проявляется при их гравитационном и механическом взаимодействии друг с другом. Информационный носитель - физический объект, но вот сама информация - уже что-то более близкое к математическим абстракциям, поэтому, возможно, не вполне корректно приписвать информации свойства массы, хотя при записи или стирании информации её носитель как-то может изменять свою массу, в зависимости от его реализации

• согласно физической картине мира масса и энергия эквивалентны в том смысле, что масса может переходить в энергию и наоборот, однако фотон, обладая энергией, является частицей безмассовой, поэтому, насколько понимаю, гипотетически возможно построить носитель информации на основе состояний фотонов, который не будет менять свою массу при записи информации на него

Почему x^0 = 1 наглядно

Факториал это количество возможных комбинаций, отсюда и вытекает что и 0 и 1 имеют факториал 1

Возможно, более корректно утверждать, что определение функции N! для натуральных значений [с нулём включительно] соответствует числу перестановок множества из N элементов. Ведь определение функции вводим мы сами именно таким образом, чтобы оно покрывало случай с перестановками.

В современном обобщённом математическом понимании классический целочисленный факториал - лишь частный случай пи-функции или гаммы, которые определены для вещественных и даже комплексных чисел. Тут уже аналогия с перестановками не слишком интуитивна для описания того факта, что значение вещественной пи-функции в 0.0 и 1.0 равно 1.0.

Почему x^0 = 1 наглядно

Возможно, в контексте традиционного определения корректнее звучит "выбрано доопределение x^0 = 1", но к нему мы пришли немного окольным способом...

В публикации же обозначен слегка усовершенствованный метод прямого определения f(x, y) = x^y на основе естественной симметрии, возникающей относительно единицы в классическом случае [или даже другого произвольного зерна в общем], из чего уже закономерно следует, что f(x, 0) = x^0 = 1 для любого значения x, в том числе нулевого.

Почему x^0 = 1 наглядно

Мир полон столь странных явлений, загадок и тайн, что даже фантазия физиков с их 25-ю ароматными измерениями не вполне способна постичь чудес всего этого безмерного многообразия...

1000 и 1 способ инициализации типов в C# 12.0

Вроде бы, валидация предусмотрена, а для readonly-свойств в структурах (и readonly-структур) создаются immutable-поля (правда, похоже, в этом механизме пока что есть баг).

Many types require more specific validation on constructor parameters. For example, the BankAccount has specific requirements for the owner and accountID parameters: The owner must not be null or whitespace, and the accountID must be a string containing 10 digits. You can add this validation when you assign the corresponding properties:

public class BankAccount(string accountID, string owner)
{
    public string AccountID { get; } = ValidAccountNumber(accountID) 
        ? accountID 
        : throw new ArgumentException("Invalid account number", nameof(accountID));

    public string Owner { get; } = string.IsNullOrWhiteSpace(owner) 
        ? throw new ArgumentException("Owner name cannot be empty", nameof(owner)) 
        : owner;

    public override string ToString() => $"Account ID: {AccountID}, Owner: {Owner}";

    public static bool ValidAccountNumber(string accountID) => 
    accountID?.Length == 10 && accountID.All(c => char.IsDigit(c));
}

Почему x^0 = 1 наглядно

Замечательное возражение, корректного математического ответа на которое у меня сформулировать не вышло...

Но зато на ум пришла забавная физическая аналогия: безмерному объекту в пространстве с нулём евклидовых измерений мы не можем сопоставить эталон 1 метра, но можем задать цвет! Тогда у объектов уже в евклидовых измерениях добавляется новая характеристика, например: синий и красный линейный метр, жёлтый квадратный или кубический.

Если сложим 1 синий метр с 2-мя синим, то получим 3 синих, но 1 жёлтый с 1 красным дадут, скажем, оранжевый. Степень оттенка как-то может зависеть от пространственных значений, например, 100 синих метров и 1 красный дадут почти синий, но с лёгким оттенком фиолетового. В бытовом масштабе что-то подобное и происходит 1км+1мм ~ 1км.

Но что интересно, с точки зрения физики цвет определяется длиной волны (снова приходим в евклидово пространственное измерение)! Ну, или частотой (спектральное измерение). С другой стороны, эталон метра определяется как расстояние проходимое светом за интервал времени... Но в определении не указано лучом какого цвета (какой длины волны/частоты) этот интервал проходится, то есть пологается, что у разных длин волн скорость распространения одинаковая...

Возможно, на уровне человеческих масштабов цветом луча действительно можно пренебречь, поскольку технологии и аппаратура не способны уловить столь мельчайшие различия в скорости распостранения. Но вот, скажем, явления красного смещения [доплеровское, гравитационное и космологическое] на космологических масштабах почему-то меняют цвет луча... Также и на планкоских масштабах затруднительно определить мельчайшие различия в скорости распостранения световых волн разной длины...

К чему рассказываю-то: чем дальше задумываешься об устройстве мира, тем больше вопросов и возникает!..

Почему x^0 = 1 наглядно

В контексте беседы можно ещё упомянуть преобразование

x^3 + x^2 + x^1 = x*(x^2 + x^1 + x^0) =  x*(x^2 + x^1 + 1)

которое, насколько пониманию сам, в общем каноническом случае подразумевает наличие некоего безразмерного точечного объёма V [метрики нулевого измерения]

x^3 + x^2 + x^1 + x^0 = x^3 + 1*x^2 + 1*1*x^1 + 1*1*1*x^0
                        м^3   м*м^2   м*м*м     м*м*м*?
                        м^3*V м*м^2*V м*м*м*V   м*м*м*V

Другими словами, при оперировании физическими величинами, размерность может быть вынесена за скобку, в результате чего в скобках остаётся что-то безразмерное, просто в обыденной жизни и вычислениях эта безразмерная метрика неявно подразумевается подобно опциональному знаку у положительных целых чисел 123 = +123

1м + 1м = (1 + 1) * 1м = 2м
2м + 10см = (200 + 10) * 1см = 210см

В строгом смысле, утверждение, что этой метрики нулевого измерения не сущестует, схоже с утверждением, что у положительных целых чисел нету знака!

Совершенные числа. Удивительная история поисков сверкающих звёзд в бесконечном числовом мире

...совершенное число можно представить в виде произведения множителей 2^(p−1) и 2^p−1, причём второй множитель должен быть простым числом. С этим последним условием возникло больше всего сложностей. Во многом именно из-за него история совершенных чисел не завершена до сих пор.

Простым должен быть делитель 2^p−1, а не само совершенное число (2^(p−1)) * (2^p−1).

Например,

(2^(2-1)) * (2^2 - 1) = 2^1 * (4 - 1) = 2 * 3 = 6
(2^(3-1)) * (2^3 - 1) = 2^2 * (8 - 1) = 4 * 7 = 28

Если вместо p подстваить 1, то в результате тоже получим 1

(2^(1-1)) * (2^1 - 1) = 2^0 * (2 - 1) = 1 * 1 = 1

Но, насколько сам понимаю, у 1 особый статус: обычно её не относят ни к составным, ни к простым числам, поэтому и в список совершенных не включают.

Почему x^0 = 1 наглядно

Ещё ваш пример наводит на очень интересные и интригующие размышления о физическом смысле N-мерных отрицательных объёмов. Например, (-1)-мерное пространство можно считать вариацией бесконечномерного (+...9999)-мерного [9 в периоде с сторону целой части].

(-1) = (+...9999) в следующем смысле: если мы возьмём окружность и разделим её на 10 частей, пронумеровав разрезы от 0 до 9, то получим шкалу наподобие классических часов. Если стрелку часов установить на 9 и спросить, куда указывает стрелка, то ответ в натуральных числах будет звучать так: стрелка указывает на 9. Но если спросить, как смещена стрелка относитено нуля (добавляется направление), то корректными и эквивалентными будут уже два ответа: стрелка смещена на +9 делений либо на -1 относительно 0. Другими словами в такой системе +9 = -1.

Дальше мы можем разделить окружность на 100 частей и по аналогии получить систему, в которой +99=-1. Для 1000 частей получим +999=-1 и так далее до бесконечности. В итоге придём к тому, что +...9999=-1.

Обобщая, получим интересный взгляд на систему целых чисел:

         ...                  ...
- ...9997 = + ...0003   - [9]7 = + [0]3
- ...9998 = + ...0002   - [9]8 = + [0]2
- ...9999 = + ...0001   - [9]9 = + [0]1
+ ...0000 = - ...0000   - [0]0 = + [0]0
+ ...9999 = - ...0001   + [9]9 = - [0]1
+ ...9998 = - ...0002   + [9]8 = - [0]2
+ ...9997 = - ...0003   + [9]7 = - [0]3
         ...                  ...

Теперь вспомним, что (1 секунда)^-1 = 1 Герцу - так выглядит связь времени и частоты. Но также с точки зрения теории относительности и пространства Минковского размерность по оси времени c*t (где c - скорость света в вакууме, которая имеет размерность метр/секунда), то есть с * 1 секунда = 1 метр => 1 метр = c / 1 Герц.

Тогда евклидово пространство размерности -1 будет иметь метрику метр^-1, то есть 1 Гц / c (частота / скорость света).

Другими словами, отвязашись от привычных пространственных единиц измерения: метров линейных, квадратных и кубических, - перейдя в частотно-световой базис (Гц - скорость света), мы можем получить некий физический аналог обобщённого объёма для бесконечномерных [отрицательных размерностей] евклидовых пространств, где математическая операция возведения в степень указывает на степень пропорциональности к скорости света.

Наверно, звучит словно околонаучная фантастика, - но всё же поделюсь этим полётом мысли...

Почему x^0 = 1 наглядно

Если у нас есть N-мерные пространства, то можно ввести обобщение - N-мерный объём. Тогда 3-мерный объём - это привычный бытовой объём, 2-мерный - это площадь, 1-мерный - длина, 0-мерный - безмерный точечный объём.

Чтобы получить N+1-мерный объём, нужно N-мерный умножить на новую размерность. Тогда 0-мерный объём необходимо принять безразмерной 1, иначе мы не получим длину 1см или 1м при умножении безмерной величины точечного объёма на 1см или 1м, то есть тождеста x*1см = 1см и x*1м = 1м выполняются именно при x = 1.

Это у меня такое видение, может, оно в чём-то ошибочное или неполное, поэтому каждый волен выбрать ту точку зрения, которая ему ближе!

Почему x^0 = 1 наглядно

На самом деле, на многие математические вопросы [да и в целом жизненные] зачастую существует множество альтернативных взглядов и объяснений в разном контексте и глубине рассмотрения...

Поэтому в общем-то полезно знакомиться с разными позициями и гранями для расширения кругозора и составления более полной картины представений о Мире. И да, вокруг много учителей и общепризнанных авторитетов в тех или иных областях, на которых порой хочется опереться, но каждый может быть как в чём-то прав, так и в чём-то ошибаться или же не обладать полнотой представлений.

При всём уважении к наставникам и оппонентам во многих вопросах всё же наибоее важным авторитетом для меня остаётся внутреннее чутьё, потому что кто бы что ни говорил - каждому жить свою жизнь своим умом и опытом. И за поступки тоже отвечать нам самим.

Конечно, бывают в жизни ситуации, когда вопрос касается не тебя одного лично, и тут важно уметь слышать других, искать компромиссы, где-то уступить, где-то наоборот проявить настойчивость, но всегда важно учитывать, на ком лежит ответственность за принятые решения и возможные ошибки.

P.S. Тоже с интересом смотрю Numberphile и других авторов математической тематики! В своё время меня очень заинтриговала тема сложения бесконечных расходящихся рядов, после чего очень возрос интерес к математике!..

Тот самый ролик:
Перевод
Оригинал

Почему x^0 = 1 наглядно

Верно подметили, в пубикации рассматривается вопрос, почему выбрано именно определение x^0 = 1 с точки зрения симметрий и практического удобства, а не, скажем, x^0 = 0 наподобие умножения x*0 = 0, что тоже вполне могло бы быть, но нарушало свойства степеней.

Почему x^0 = 1 наглядно

По правде говоря, с осмысления подобных выкладок и начиналась подготовка материалов этой публикации ;)

Почему x^0 = 1 наглядно

В тексте статьи подчёркивается, что x^0 = 1 принимается по определению, чтоб сохранить свойства степеней. Это можно показать аналитически, как делаете Вы, но строгим доказатестом вряд ли можно считать, потому что оно опирается на определение функции. В общем-то функцию можно определить и иначе, просто на практике ею станет менее удобно пользоваться из-за необходимости отдельного рассмотрения частных случаев.

Визуальное же представление, на мой взгляд, помогает чуть более явно и интуитивно раскрыть симметрии, лежащие в основе принятого определения...

Почему x^0 = 1 наглядно

Да-да, аналогия из мира программирования в материале присутствует

static double Pow(double x, int pow, double seed = 1d)
{
    var value = seed;
    
    if (pow < 0)
        for (var i = 0; i > pow; i--) value /= x;
    else
        for (var i = 0; i < pow; i++) value *= x;
    
    return value;
}

Почему x^0 = 1 наглядно

В целом так, в публикации схожий момент тоже обозначен:

Если хорошенько вдуматься, то строго доказать тождество X^0 = 1 невозможно, а причина в том, что мы ведь сами даём определения функциям таким образом, чтобы они обладали удобными в прикладных расчётах свойствами.
...

Почему x^0 = 1 наглядно

Как там в подобных случаях говорят: "я художник - я так вижу" (:

1/x/x/x - это деление несколько раз подряд симметричное многократному умножению 1*x*x*x, для уточнения можно, конечно, скобок добавить ((1/x)/x)/x, но в общем-то они не обязатеные.

Вы не объясняете, почему остаётся просто "1", а не "1*0". Вы просто берёте и соединяете.

Объяснение и мотивация тут есть - определяем функцию именно таким образом для симметрии и удобства. Можно, конечно, оставить 1*0, но тогда поломаются свойства степеней и нашей функцией станет весьма неудобно пользоваться на практике.

Такие варианты в рамках публикации рассматривать не стал, но читатель их может проверить самостоятено...

Почему x^0 = 1 наглядно

но если вспомнить, что у операции умножения есть обратная - деление, то напрашивается расширение и для отрицательных показателей степени

В тексте публикации обозначено, что функции умножения и деления считаются взаимно обратными, просто без уточнений, с какой точки зрения (проективной геометрии). У читателя возникло законное возражение, что с другой точки зрения взаимно обратной умножению можно назвать - извлечение корня, и в общем-то соглашусь с этим.

Но для аргументированного уточнения точки видения из контекста публикации решил привести ссылки на другие источники.

То есть имеют место быть оба альтернативных взгляда, но в контекстве публикации взаимно обратными считаются умножение и деление.

Почему x^0 = 1 наглядно

На мой взгляд попытка неудачная. В высшей алгебре (Поля, кольца, группы и др.) все базируется на модулярной арифметике. Автор это полностью игнорирует.

Ну, тут каждый сам для себя решает. Про тождество x^0 = 1 мне было известно давно, немало лет, но как-то оно всё не давало покоя, что-то внутри сопротивлялось... Не помогло изучение ни групп, ни полей, ни колец.

Но как увидел его визуальное представление, то всё, словно, стало на свои места. Вот оно! Наконец озарило! Это же так интуитивно!

Неуместны и ссылки на авторитеты создателей языков программирования, Савватеева,...

Как таковых ссылок в самой публикации нету, в комментариях же оставляю ссылки на те материалы, которые, на мой взгляд, будут кому-то интересны для изучения.

Существуют фундаментальные основы математики и только игнорирование их подвигает автора и ему подобных излагать свое "понимание" этих основ, вводя в заблуждение не подготовленную аудиторию.

Если вы видите ошибки в "понимании" и можете на них указать, то буду только рад такой критике. Моё видение не является чем-то незыблемым, поэтому не следует его считать абсолютно истинным и достоверным!