Зато, если напечатать крючок максимально "плохим" образом, можно посмотреть на размер ошибки. Это же интереснее, чем если бы мы его сломали поперек слоя и получили близкий к расчетному результат?
То, о чем вы говорите, серьезная проблема - по сути мы можем предсказывать верхнюю грань прочности (при идеальной спекаемости и изотропности материала) и нижнюю грань (при различных допущениях). Но у нас нет общей исчерпывающей математической модели процесса 3D-печати, необходимой для физического моделирования. Всё же мы думаем в будущем внедрить частные модели для некоторых ситуаций - в конце концов, количество параметров 3D-печати, могущих создать отклонение от идеальной модели, конечно, и каждый из них в отдельности поддается расчету.
Мы тоже задумались об этом (о том, что вам не удалось найти место в интерфейсе). На самом деле, благодаря вашему комментарию мы продумали фичу (интерфейсный инструмент), который будет явным образом это показывать. Спасибо за предложение!
А в том, что мы считали для поста мы просто нагружали по полкилограмма, перерасчитывая модель, пока минимум по одному из четырех safety factors не стал равен 1.
Вы всё усложняете. Вот представьте - вы подсолнух. У вас есть эволюционная задача вырастить много семок, которые будут клевать птицы; идея в том, что часть семок в птичьих желудках не переварится и вместе с пометом упадет куда-нибудь в почву, где взойдет новый подсолнух. А до того, как попасть в птичий желудок, семка должна быть сформирована из опыленного цветка; опылять его будут летающие насекомые. В растительном мире есть полно самых разных способов решения этой задачи, но вы, как растение, пришли в результате эволюционного отбора к такому варианту:
Вы выращиваете один-единственный цветок гигантских размеров. Вы делаете его высоким, сколь это возможно для многолетней травы, ярко-желтым и вкусно пахнущим для приманивания пчел. Он возвышается над полем как рекламный баннер над дорогой и все пчелы в округе прилетают к вам. Пчела, в общем-то, видит вас как большое желтое пятно, видимое в траве с расстояния в сотни метров.
Теперь эволюционный отбор фиксирует для вас оптимальный размер семечки. Если она будет очень маленькой, птица переварит её целиком, а если очень большой - или птица не сможет заглотнуть семечку, и будет пытаться расколоть её, к тому же у вас так получится меньше семян из того же объема биомассы. И ещё - семечка должна быть круглой, а биомеханический способ, которым вы проращиваете зародыши цветков в соцветии, подразумевает, что вы формируете их по одному по спирали из центра к краю. Всё вышесказанное - вводные данные; а теперь главный вопрос - как вам правильно запрограммировать процесс развития побега, что бы у вас всё получилось?
Вам повезло - раз уж вы подсолнечник, всё придумано до вас. Растения изобрели золотое сечение ещё до того, как изобрели цветы, а в вашем роду Астровых этим знанием пользуются все ваши родственники, как ближние, так и дальние. Фактически вам нужно всего лишь установить на физический максимум параметр размера, подобрать состав олеиновой и линолевой кислоты в семках под воробьиные вкусы, а эфирных масел - под пчелиные, да покрасить листья в желтый поярче. Поднастройка параметров размера и химического состава - самая простая операция эволюционного процесса. Но есть один параметр, который вы не трогаете - это настройка угла поворота в центрах концентрации гормона клеточного деления в меристеме в 135.5 градусов. Малейшая, в десятую долю градуса, мутация в этом месте - и ваше единственное драгоценное соцветие получатся не плоским, перекошенным, с неровно разбросанными семенами, половина из которых не разовьется вообще - это если цветок-мутант вообще сможет раскрыться.
Позже на ваше поле приходит местный суперхищник Хомо, большой любитель ярких цветов и подсолнечного масла, который встраивает вас в свою экосистему, делая ваш цветок ещё больше, а ваши семечки - ещё жирнее, насколько это вообще возможно. Но это уже совсем другая история.
Фактически, у Лефевра показано на примере нескольких психологических экспериментов, что люди имеют склонность при любой категоризации каких-то сущностей на "хорошее" и "плохое", разделять их так, что доля "хорошего" оказывается приблизительно в (Ф-1) = 0.62 от целого, а доля плохого - в (2-Ф) = 0.38 , а эти два числа в отношении между собой образуют золотое сечение.
Проблема этого рассуждения, как мне показалась, в том, что психологические эксперименты очень неточны и с тем же успехом это может быть разделение на 2/3 и 1/3, например. Попытка же как-то математически обосновать феномен кажется мне, как не-психологу, сомнительной.
Замечательность приведенного в статье примера в том, что именно там золотое сечение гарантированно есть, и легко обосновывается биологической целесообразностью.
Сюжет 3Blue1Brown не относится к теме напрямую, но пересекается по части вопроса связи распределения частиц в спирали с рациональным приближением числа. Главное отличие - у них используются Архимедовы спирали с постоянным шагом, а для виртуального подсолнуха использовалась спираль Ферма
Помимо приведенного "The unified rule of phyllotaxis explaining both spiral and non-spiral arrangements", рекомендую "Анализ модели филлотаксиса" Б. Розина. http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/2101-rzn.pdf , в которой дается более строгая математизация феномена. Я счел математику в обеих этих статьях слишком тяжелой для популярной лекции и не стал включать её в текст.
А ещё авторы исследования прямо в анонсе сообщают, что связь между солью и здоровьем работает только если участник ест в пищу мало фруктов и сырых овощей. То есть, грубо говоря, выборка "ест соль и мало живет" в исследовании близка с выборкой "жрет что попало и не заботится о диете и здоровом разнообразии".
Для записи чисел до триллиона использовался битовый массив размером 116 Гигабайт.
Насколько я понял по ссылке, вы предлагаете заполнить элемент массива таким образом: A[p] = 1 если p простое число и 0 если составное. Размер массива это приблизительно подтверждает: 10^12 бит = 125 Гб.
Почему не произвели очевидную оптимизацию по записи в массив только чисел, не делящихся на 2 3 5? Тогда надо будет учесть только числа, имеющие один из 8 остатков от деления на 30 : 1 7 11 13 17 19 23 29 . В этом случае каждый байт будет кодировать простоту 30 последовательных чисел и в итоге для триллиона будет нужно примерно 10^12/30 = 33 Гб. Очевидно, что 33 Гб гораздо лучше, чем 116.
Дальше. Так как простые числа распределены примерно как Pr(n) = n/ln(n) где Pr(n) - число простых меньше n, очевидно, что промежутки между ними будут (в среднем) расти, а значит и размер вашей аддитивной композиции будет расти вплоть до бесконечности. Насколько быстро расти? Предлагаю оценку:
Обозначим за сP(n) = |P(n)|. Дадим оценку: cP(n) = сP(ln(n)) + 1 . Обозначим за Pc(n) степенную башню экспонент: e^e^e^...^e n раз. Pc(cP(n)) = Pc(сP(ln(n)) + 1) = e^Pc(сP(ln(n))) . Поскольку n = e^ln(n), выходит, что cP - функция, обратная Pc , своеобразный степенно-башенный логарифм. То есть, что бы оценить зону, где большинство чисел будут иметь композицию длиной 4, Учитывая, что Pc(n) растет невообразимо быстро, можно утверждать, что где-то далеко-далеко в числовом ряду есть места, где большинство чисел раскладываются на композиции длиной 4, 5 или даже 139, но, правда, эти места уж очень далеко от нас (хотя и ближе, чем число Грэма). Разумеется, отдельные примеры длинных цепочек встретятся куда раньше.
Наблюдение про 7+2 так же легко объясняется по вашему же построению. Вы хотите, фактически, что бы в результате суммы четырех простых чисел у вас получилось простое число. Очевидно, что последним будет 2. Предпоследним же должно быть некое простое число p такое, что p+2 составное; при этом чем меньше число p, тем больше у него шансов попасть в разложение. p = 7 самое маленькое нечетное простое, такое, что p+2 - составное число, так что шансов у него больше всего.
Длина дуг окружности по одну и другую сторону от секущей прямой будет равна друг другу и равна π радиусов окружности
Для доказательства того, что длина окружности линейно зависит от длины её радиуса, и, таким образом, число 2π как отношение этих длин имеет какой-то смысл, используется пятый постулат. Таким образом, в теле вашего доказательства пятого постулата неявно задействовано доказываемое утверждение - дальше можно не читать.
Насчет системы охлаждения — судя по тому, что я читал, в космосе это как раз очень серьезная проблема. Из-за вакуума сбросить тепло можно только излучением, для чего приходится строить громоздкие рамочные конструкции теплоотвода. Это, в частности, одна из причин того, почему у нас до сих пор нет космических аппаратов, выхлоп двигателя которых разгонялся бы ядерным реактором.
Другой серьезной проблемой, о которой вы забыли упомянуть, является солнечный ветер и прочая космическая радиация, разрушающая микросхемы.
На самом деле, вполне очевидно, что нет смысла использовать космический дата-центр для чего-либо за исключением хранения или передачи данных (то есть его совершенно бессмысленно планировать под вычислительно сложную активность). По этой причине, все предложенные применения за исключением хранения очень важных данных с гарантированной невозможностью физического доступа к ним, и ретрансляции данных со спутников, выглядят совершенно бесперспективно.
Я бы предложил, что имеет смысл космическое хранилище "очень холодных" данных, какой-то энергонезависимой памяти, которая очень медленно записывается и читается, но обладает громадной надежностью и способностью с успехом переживать в течении столетий разные неприятности, как то: радиация, электромагнитные помехи, ядерный апокалипсис на поверхности планеты.
Мне вот помогает бороться с синдромом самозванца, сравнивая себя с другими, окружающими меня, и видеть, что они хуже, чем я (хуже в узком смысле — в способности справиться с моей работой или в плане продвинутости в тех областях программирования, которые мне кажутся моими сильными сторонами). Таким образом, я чувствую себя конкурентоспособным, по крайней мере, на фоне знакомых и коллег.
Напротив, прослушивание всяких там Барухов (прим: Барух Садогурский — известный гуру программирования) меня вводит в тоску по своей неудавшейся жизни, я начинаю корить себя за лень и беспорядочно саморазвиваться, изучая какие-то не нужные в моей работе технологии и языки программирования.
Важное уточнение: в тексте присутствует серьезная биологическая ошибка. Микобактерии, к которым действительно относится лепра а так же, например, туберкулез, не являются грибком и не имеют ничего общего с грибками, кроме способности образовывать колонии, похожие на мицелий. Исправьте, пожалуйста, а то многократно названая грибком проказа подрывает доверие к тексту.
У вас всё разъяснено гораздо лучше, чем в во всех книжка по дифференциальной геометрии и теории гомологий, которые я имел несчастье листать. Спасибо!
Вопросы.
1) Что здесь всё-таки происходит с точки зрения построения сигнатуры алгебры? Как справедливо указали выше, мы не можем считать множество всех /a и a даже кольцом с единицей, поскольку умножение оказывается неассоциативно. В целом набор операций выглядит странно, я не смог соотнести такое умножение с какой-либо изученной с первого курса алгебраической структурой (группа, кольцо, поле). К сожалению, после первого курса я пошел по специальности, далекой от алгебры, и не знаю, есть ли что-то экзотическое, качественно описывающее формальные свойства таких структур, как то, что выше. Или у внешней алгебры нет аналогов по сигнатуре?
2) В качестве упражнения я попытался узнать границу у ленты Мебиуса и получил 0. Это так и должно быть или я что-то делаю не так?
3) Я пробовал думать об элементах как о точках в обычном двух- или трех- мерном евклидовом пространстве. Тогда (ab) это, понятно дело, вектор, проведенный от a до b. Пример с квадратом это подтверждает. (ab)(ac) это (abc) — граница ореентированного треугольника. Коэлемент /a это штука, которая при воздействии на симплекс оставит в живых только противоположную её грань симплекса (bc), возможно её вывернув. Однако, что такое в этой системе (ab)(cd), как эту штуку представить? Вычисления её площади (по сравнению с площадью единичного полуквадратика Oxy) по той же методике дают площадь четырехугольника acbd (или abdc, если я ошибся с направлением). Корректно ли считать что (ab)(cd) = (acb) +(bda)?
4) Я пробовал думать о границах второго порядка как о замкнутых траекториях в фазовом пространстве некой циклической физической системы. К примеру, тепловая машина преобразует давление и объем внутри котла в энергию в различном виде (тепловом или как механическую работу). Нарисовав в фазовом пространстве PV три точки и считая, что процесс по прямой линии перетягивает машину между тремя состояниями, мы получим энергоперекачку тепловой машины как раз в размере площади означенного тела. Для фазового пространства, скажем, маятника, площадь области, очерченной фазовой траекторией так же имеет непосредственно отношение к энергии, запасенной телом. Однако для всех этих механических применений с интерированием по площади, обычно, фазовая траектория не состоит из множества прямых отрезков — разве что аппроксимируется им. Встает закономерный вопрос — можно ли расширить ли эту теорию на криволинейные структуры, и как это сделать?
5) Обобщая 3-4, хочется больше, скажем так, практических примеров применения этой теории. А то всё такое абстрактное, что голову сломать можно. Хочется простых житейских примеров, без всяких там дифференциальных форм на многообразии и когомологий.
Спасибо!
Зато, если напечатать крючок максимально "плохим" образом, можно посмотреть на размер ошибки. Это же интереснее, чем если бы мы его сломали поперек слоя и получили близкий к расчетному результат?
То, о чем вы говорите, серьезная проблема - по сути мы можем предсказывать верхнюю грань прочности (при идеальной спекаемости и изотропности материала) и нижнюю грань (при различных допущениях). Но у нас нет общей исчерпывающей математической модели процесса 3D-печати, необходимой для физического моделирования. Всё же мы думаем в будущем внедрить частные модели для некоторых ситуаций - в конце концов, количество параметров 3D-печати, могущих создать отклонение от идеальной модели, конечно, и каждый из них в отдельности поддается расчету.
Мы тоже задумались об этом (о том, что вам не удалось найти место в интерфейсе). На самом деле, благодаря вашему комментарию мы продумали фичу (интерфейсный инструмент), который будет явным образом это показывать. Спасибо за предложение!
А в том, что мы считали для поста мы просто нагружали по полкилограмма, перерасчитывая модель, пока минимум по одному из четырех safety factors не стал равен 1.
На сервере
Вы всё усложняете. Вот представьте - вы подсолнух. У вас есть эволюционная задача вырастить много семок, которые будут клевать птицы; идея в том, что часть семок в птичьих желудках не переварится и вместе с пометом упадет куда-нибудь в почву, где взойдет новый подсолнух. А до того, как попасть в птичий желудок, семка должна быть сформирована из опыленного цветка; опылять его будут летающие насекомые. В растительном мире есть полно самых разных способов решения этой задачи, но вы, как растение, пришли в результате эволюционного отбора к такому варианту:
Вы выращиваете один-единственный цветок гигантских размеров. Вы делаете его высоким, сколь это возможно для многолетней травы, ярко-желтым и вкусно пахнущим для приманивания пчел. Он возвышается над полем как рекламный баннер над дорогой и все пчелы в округе прилетают к вам. Пчела, в общем-то, видит вас как большое желтое пятно, видимое в траве с расстояния в сотни метров.
Теперь эволюционный отбор фиксирует для вас оптимальный размер семечки. Если она будет очень маленькой, птица переварит её целиком, а если очень большой - или птица не сможет заглотнуть семечку, и будет пытаться расколоть её, к тому же у вас так получится меньше семян из того же объема биомассы. И ещё - семечка должна быть круглой, а биомеханический способ, которым вы проращиваете зародыши цветков в соцветии, подразумевает, что вы формируете их по одному по спирали из центра к краю. Всё вышесказанное - вводные данные; а теперь главный вопрос - как вам правильно запрограммировать процесс развития побега, что бы у вас всё получилось?
Вам повезло - раз уж вы подсолнечник, всё придумано до вас. Растения изобрели золотое сечение ещё до того, как изобрели цветы, а в вашем роду Астровых этим знанием пользуются все ваши родственники, как ближние, так и дальние. Фактически вам нужно всего лишь установить на физический максимум параметр размера, подобрать состав олеиновой и линолевой кислоты в семках под воробьиные вкусы, а эфирных масел - под пчелиные, да покрасить листья в желтый поярче. Поднастройка параметров размера и химического состава - самая простая операция эволюционного процесса. Но есть один параметр, который вы не трогаете - это настройка угла поворота в центрах концентрации гормона клеточного деления в меристеме в 135.5 градусов. Малейшая, в десятую долю градуса, мутация в этом месте - и ваше единственное драгоценное соцветие получатся не плоским, перекошенным, с неровно разбросанными семенами, половина из которых не разовьется вообще - это если цветок-мутант вообще сможет раскрыться.
Позже на ваше поле приходит местный суперхищник Хомо, большой любитель ярких цветов и подсолнечного масла, который встраивает вас в свою экосистему, делая ваш цветок ещё больше, а ваши семечки - ещё жирнее, насколько это вообще возможно. Но это уже совсем другая история.
Спасибо, весьма интересный материал.
Фактически, у Лефевра показано на примере нескольких психологических экспериментов, что люди имеют склонность при любой категоризации каких-то сущностей на "хорошее" и "плохое", разделять их так, что доля "хорошего" оказывается приблизительно в (Ф-1) = 0.62 от целого, а доля плохого - в (2-Ф) = 0.38 , а эти два числа в отношении между собой образуют золотое сечение.
Проблема этого рассуждения, как мне показалась, в том, что психологические эксперименты очень неточны и с тем же успехом это может быть разделение на 2/3 и 1/3, например. Попытка же как-то математически обосновать феномен кажется мне, как не-психологу, сомнительной.
Замечательность приведенного в статье примера в том, что именно там золотое сечение гарантированно есть, и легко обосновывается биологической целесообразностью.
Сюжет 3Blue1Brown не относится к теме напрямую, но пересекается по части вопроса связи распределения частиц в спирали с рациональным приближением числа. Главное отличие - у них используются Архимедовы спирали с постоянным шагом, а для виртуального подсолнуха использовалась спираль Ферма
Помимо приведенного "The unified rule of phyllotaxis explaining both spiral and non-spiral arrangements", рекомендую "Анализ модели филлотаксиса" Б. Розина. http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/2101-rzn.pdf , в которой дается более строгая математизация феномена. Я счел математику в обеих этих статьях слишком тяжелой для популярной лекции и не стал включать её в текст.
А ещё авторы исследования прямо в анонсе сообщают, что связь между солью и здоровьем работает только если участник ест в пищу мало фруктов и сырых овощей. То есть, грубо говоря, выборка "ест соль и мало живет" в исследовании близка с выборкой "жрет что попало и не заботится о диете и здоровом разнообразии".
Как альтернатива Ansys Mechanical есть CAE-Fidesys.
Насколько я понял по ссылке, вы предлагаете заполнить элемент массива таким образом: A[p] = 1 если p простое число и 0 если составное. Размер массива это приблизительно подтверждает: 10^12 бит = 125 Гб.
Почему не произвели очевидную оптимизацию по записи в массив только чисел, не делящихся на 2 3 5? Тогда надо будет учесть только числа, имеющие один из 8 остатков от деления на 30 : 1 7 11 13 17 19 23 29 . В этом случае каждый байт будет кодировать простоту 30 последовательных чисел и в итоге для триллиона будет нужно примерно 10^12/30 = 33 Гб. Очевидно, что 33 Гб гораздо лучше, чем 116.
Дальше. Так как простые числа распределены примерно как Pr(n) = n/ln(n) где Pr(n) - число простых меньше n, очевидно, что промежутки между ними будут (в среднем) расти, а значит и размер вашей аддитивной композиции будет расти вплоть до бесконечности. Насколько быстро расти? Предлагаю оценку:
Обозначим за сP(n) = |P(n)|. Дадим оценку: cP(n) = сP(ln(n)) + 1 . Обозначим за Pc(n) степенную башню экспонент: e^e^e^...^e n раз. Pc(cP(n)) = Pc(сP(ln(n)) + 1) = e^Pc(сP(ln(n))) . Поскольку n = e^ln(n), выходит, что cP - функция, обратная Pc , своеобразный степенно-башенный логарифм. То есть, что бы оценить зону, где большинство чисел будут иметь композицию длиной 4, Учитывая, что Pc(n) растет невообразимо быстро, можно утверждать, что где-то далеко-далеко в числовом ряду есть места, где большинство чисел раскладываются на композиции длиной 4, 5 или даже 139, но, правда, эти места уж очень далеко от нас (хотя и ближе, чем число Грэма). Разумеется, отдельные примеры длинных цепочек встретятся куда раньше.
Наблюдение про 7+2 так же легко объясняется по вашему же построению. Вы хотите, фактически, что бы в результате суммы четырех простых чисел у вас получилось простое число. Очевидно, что последним будет 2. Предпоследним же должно быть некое простое число p такое, что p+2 составное; при этом чем меньше число p, тем больше у него шансов попасть в разложение. p = 7 самое маленькое нечетное простое, такое, что p+2 - составное число, так что шансов у него больше всего.
Ваше решение, сокращенное и в одну строку. 134 символа.
Для доказательства того, что длина окружности линейно зависит от длины её радиуса, и, таким образом, число 2π как отношение этих длин имеет какой-то смысл, используется пятый постулат. Таким образом, в теле вашего доказательства пятого постулата неявно задействовано доказываемое утверждение - дальше можно не читать.
Насчет системы охлаждения — судя по тому, что я читал, в космосе это как раз очень серьезная проблема. Из-за вакуума сбросить тепло можно только излучением, для чего приходится строить громоздкие рамочные конструкции теплоотвода. Это, в частности, одна из причин того, почему у нас до сих пор нет космических аппаратов, выхлоп двигателя которых разгонялся бы ядерным реактором.
Другой серьезной проблемой, о которой вы забыли упомянуть, является солнечный ветер и прочая космическая радиация, разрушающая микросхемы.
На самом деле, вполне очевидно, что нет смысла использовать космический дата-центр для чего-либо за исключением хранения или передачи данных (то есть его совершенно бессмысленно планировать под вычислительно сложную активность). По этой причине, все предложенные применения за исключением хранения очень важных данных с гарантированной невозможностью физического доступа к ним, и ретрансляции данных со спутников, выглядят совершенно бесперспективно.
Я бы предложил, что имеет смысл космическое хранилище "очень холодных" данных, какой-то энергонезависимой памяти, которая очень медленно записывается и читается, но обладает громадной надежностью и способностью с успехом переживать в течении столетий разные неприятности, как то: радиация, электромагнитные помехи, ядерный апокалипсис на поверхности планеты.
Мне вот помогает бороться с синдромом самозванца, сравнивая себя с другими, окружающими меня, и видеть, что они хуже, чем я (хуже в узком смысле — в способности справиться с моей работой или в плане продвинутости в тех областях программирования, которые мне кажутся моими сильными сторонами). Таким образом, я чувствую себя конкурентоспособным, по крайней мере, на фоне знакомых и коллег.
Напротив, прослушивание всяких там Барухов (прим: Барух Садогурский — известный гуру программирования) меня вводит в тоску по своей неудавшейся жизни, я начинаю корить себя за лень и беспорядочно саморазвиваться, изучая какие-то не нужные в моей работе технологии и языки программирования.
А прикладную математику-то за что?
Важное уточнение: в тексте присутствует серьезная биологическая ошибка. Микобактерии, к которым действительно относится лепра а так же, например, туберкулез, не являются грибком и не имеют ничего общего с грибками, кроме способности образовывать колонии, похожие на мицелий. Исправьте, пожалуйста, а то многократно названая грибком проказа подрывает доверие к тексту.
Вы прочитали краткий пересказ научно-фантастического романа Чарльза Стросса "Аччелерандо", написанного в 2005 году.
У вас всё разъяснено гораздо лучше, чем в во всех книжка по дифференциальной геометрии и теории гомологий, которые я имел несчастье листать. Спасибо!
Вопросы.
1) Что здесь всё-таки происходит с точки зрения построения сигнатуры алгебры? Как справедливо указали выше, мы не можем считать множество всех /a и a даже кольцом с единицей, поскольку умножение оказывается неассоциативно. В целом набор операций выглядит странно, я не смог соотнести такое умножение с какой-либо изученной с первого курса алгебраической структурой (группа, кольцо, поле). К сожалению, после первого курса я пошел по специальности, далекой от алгебры, и не знаю, есть ли что-то экзотическое, качественно описывающее формальные свойства таких структур, как то, что выше. Или у внешней алгебры нет аналогов по сигнатуре?
2) В качестве упражнения я попытался узнать границу у ленты Мебиуса и получил 0. Это так и должно быть или я что-то делаю не так?
3) Я пробовал думать об элементах как о точках в обычном двух- или трех- мерном евклидовом пространстве. Тогда (ab) это, понятно дело, вектор, проведенный от a до b. Пример с квадратом это подтверждает. (ab)(ac) это (abc) — граница ореентированного треугольника. Коэлемент /a это штука, которая при воздействии на симплекс оставит в живых только противоположную её грань симплекса (bc), возможно её вывернув. Однако, что такое в этой системе (ab)(cd), как эту штуку представить? Вычисления её площади (по сравнению с площадью единичного полуквадратика Oxy) по той же методике дают площадь четырехугольника acbd (или abdc, если я ошибся с направлением). Корректно ли считать что (ab)(cd) = (acb) +(bda)?
4) Я пробовал думать о границах второго порядка как о замкнутых траекториях в фазовом пространстве некой циклической физической системы. К примеру, тепловая машина преобразует давление и объем внутри котла в энергию в различном виде (тепловом или как механическую работу). Нарисовав в фазовом пространстве PV три точки и считая, что процесс по прямой линии перетягивает машину между тремя состояниями, мы получим энергоперекачку тепловой машины как раз в размере площади означенного тела. Для фазового пространства, скажем, маятника, площадь области, очерченной фазовой траекторией так же имеет непосредственно отношение к энергии, запасенной телом. Однако для всех этих механических применений с интерированием по площади, обычно, фазовая траектория не состоит из множества прямых отрезков — разве что аппроксимируется им. Встает закономерный вопрос — можно ли расширить ли эту теорию на криволинейные структуры, и как это сделать?
5) Обобщая 3-4, хочется больше, скажем так, практических примеров применения этой теории. А то всё такое абстрактное, что голову сломать можно. Хочется простых житейских примеров, без всяких там дифференциальных форм на многообразии и когомологий.