Аффинная геометрия содержится в проективной геометрической алгебре (PGA) - алгебре Клиффорда с одним дополнительным вырожденным измерением, т.е. таким что . Геометрическое произведение точек в PGA - это мотор (так в PGA называют роторы), который соответствует операции параллельного переноса, который переносит первую точку во вторую (ну почти, на самом деле это его квадрат). Внешнее произведение - прямая проведенная через эти две точки.
Волновая функция электромагнитного поля - это электромагнитный векторный потенциал, который ненаблюдаем.
Взаимодействие ЭМ поля с атомами бывает разным. Если свет просто преломляется в кристалле - то для описания этого процесса достаточно рассматривать размазанный в пространстве заряд, который под действием оного света начинает двигаться, движение создаёт противодействующее поле, и так далее, никаких квантов.
А вот когда речь заходит о поглощении/излучении света атомами, начинается веселье. Потому что ненаблюдаемая до этого фаза электронов претерпевает топологическое изменение - они переходят на другую орбиталь. И, через необходимость соблюдать калибровочную симметрию, это тянет за собой и вполне определенное изменение в ЭМ потенциале, которое по сути и называется фотоном.
А теперь можно пойти чуть дальше и рассмотреть проекции этого уравнения на идеалы алгебры. Для того чтобы получить традиционно используемый в физике базис Вейля, используются проекторы
(здесь i - обычная мнимая единица, т.е. рассматривается уже не , а комплексная ).
Если уравнение
выполнятеся, то выполняется и
Или, поменяв местами с :
Как видим, "хиральный" проектор поменял знак в правой части. То есть проекции нашей частицы можно рассматривать как две взаимодействующие друг с другом частицы: "правую" и "левую" , а уравнение Дирака тогда разбивается на 2:
А масса становится коэффициентом взаимодействия между этими двумя частицами.
Здесь должно быть что-то про зигзаг-представление Пенроуза, поле Хиггса и слабое взаимодейстие, но я пока не придумал что.
и как минимум (надеюсь что я правильно проставил направление этого значка). Причем первая здесь явно подойдет, как калька с дифференциальных форм. Но в общем случае, это все не эквивалентно друг другу. И ни с одним из этих определений в общем случае не выполняется чтобы геометрическое произведение было равно сумме внутреннего и внешнего.
Интересно. Та статья Хестенеса у меня уже давно непрочитанная лежит, надо бы взяться наконец. Я правильно посчитал, что ? Как будто это стоило бы явно выписать. Про кривизну и почему она такая - хотелось бы поподробнее.
Динамическое уравнение является внутренним произведением наблы на поле
Внутреннее произведение вообще плохо определено для произвольных мультивекторов. Есть множество разных определений, и ваше мне нравится пожалуй меньше всех. Лучше уж определять через коммутатор и антикоммутатор:
Интересно, что в алгебре Клиффорда с положительным квадратом всех базовых векторов псевдоскаляр в квадрате дает минус единицу при любой размерности пространства
Ну это просто неправда. В псевдоскаляр в квадрате очевидно положительный, в тоже. Там паттерн +,+,-,- (считая от размерности 0) повторяющийся с периодом 4.
Ну, автор уже писал про алгебры Клиффорда раньше. И я тоже писал. И другие писали. На хабре даже тег есть. Было бы странно каждую статью про них начинать со введения.
Элементы алгебры - это мультивекторы: формальные суммы k-векторов для различных k. Сложение тривектора с числом - это обычное сложение в смысле сложения в линейном векторном пространстве мультивекторов.
Ну нет же. У вас представление о квантах на уровне "слышал звон". Возьмите простейшую систему в КМ: квантовый гармонический осциллятор. И пространство и волновая функция непрерывны, а энергия квантуется - как следствие этой непрерывности (а точнее, дифференцируемости оной волновой функции).
Неа, в 5+1, 8 - это размерность спиноров Дирака (то есть размерность пространства представлений для full-spin representation группы ). А спиноры Вейля соответствуют неприводимым представлениям, т.е. в этом случае - это разбиение спиноров Дирака на четные и нечетные, и те и те размерности 4. А в 6+1 не будет спиноров Вейля вообще, только спиноры Дирака размерности 8. Потому что действие Spin-группы в нечетномерном пространстве не разбивает спиноры на четные и нечетные. Что, в свою очередь, происходит из-за нечетности проектора в минимальный идеал алгебры Клиффорда. 8-мерные спиноры Вейля появятся только в 7+1. Кстати, chatgpt на удивление справился с ответом. То есть где-то это всё же написано)
К сожалению, физикам преподают сразу готовый формализм. То есть на уровне: вот есть конкретные матрицы Паули, спиноры - это векторы, в гамильтониан засовываем так, энергию получаем вот так.
Да, и это мне очень сильно не нравится. Типа Дирак придумал свои гамма-матрицы - а ты заткнить и считай, не задавай вопросов откуда они появились. А ведь история про то как их получить для любого измерения очень красивая.
Да, есть такое. Грубо говоря, каждый левый идеал соответствует одному столбцу в матричном представлении алгебры Клиффорда по соответствующему базису, каждый правый - строке. То есть линейная оболочка "физических"
- это идеал, образованный или на ваш выбор. Ну а действующие на него матрицы - это просто мультивекторы (как правило, роторы, но есть варианты).
А вообще, физики сами нихрена не знают про спиноры. Это, наверное, не так, но мне стало интересно, вы, как физик, сходу сможете сказать какова была бы размерность спиноров Вейля в 5+1 мерном пространстве? А в 6+1? Спрашиваю потому что ни разу не видел вменяемого ответа на этот довольно простой вопрос в литературе.
По крайней мере мне не заумное объяснение в литературе, как все работает, не попадалось.
Это, кстати, действительно проблема. То как в алгебры Клиффорда заходят в литературе, зачастую вызывает недоумение. Я лишь могу порекомендовать каналы sudgy, eigenchris и bivector (все на английском), а также мою собственную статью про спиноры, которую я накатал потому что нигде больше не видел нормальных пояснений про них.
С тех пор я, кстати, узнал про спиноры еще много чего интересного, но совершенно не вижу как это оформить в нормальную статью, которая была бы интересна хоть кому-то.
Вопрос про
- а есть ли вообще какие-то экспериментальные указания на то что топологически это именно 
, а не какая-то другая группа с алгеброй Ли 
?
По-русски helicity - это спиральность.
Так а чем это лучше двух плат со шлейфом?
Аффинная геометрия содержится в проективной геометрической алгебре (PGA) - алгебре Клиффорда
с одним дополнительным вырожденным измерением, т.е. таким что 
.
Геометрическое произведение точек в PGA - это мотор (так в PGA называют роторы), который соответствует операции параллельного переноса, который переносит первую точку во вторую (ну почти, на самом деле это его квадрат).
Внешнее произведение - прямая проведенная через эти две точки.
Вы прикалываетесь?
https://github.com/topics/geometric-algebra
Либы на любой язык программирования и вкус.
Волновая функция электромагнитного поля - это электромагнитный векторный потенциал, который ненаблюдаем.
Взаимодействие ЭМ поля с атомами бывает разным. Если свет просто преломляется в кристалле - то для описания этого процесса достаточно рассматривать размазанный в пространстве заряд, который под действием оного света начинает двигаться, движение создаёт противодействующее поле, и так далее, никаких квантов.
А вот когда речь заходит о поглощении/излучении света атомами, начинается веселье. Потому что ненаблюдаемая до этого фаза электронов претерпевает топологическое изменение - они переходят на другую орбиталь. И, через необходимость соблюдать калибровочную симметрию, это тянет за собой и вполне определенное изменение в ЭМ потенциале, которое по сути и называется фотоном.
А теперь можно пойти чуть дальше и рассмотреть проекции этого уравнения на идеалы алгебры. Для того чтобы получить традиционно используемый в физике базис Вейля, используются проекторы
(здесь i - обычная мнимая единица, т.е. рассматривается уже не
, а комплексная 
).
Если уравнение
выполнятеся, то выполняется и
Или, поменяв местами с
:
Как видим, "хиральный" проектор поменял знак в правой части. То есть проекции нашей частицы
можно рассматривать как две взаимодействующие друг с другом частицы: "правую" 
и "левую" 
, а уравнение Дирака тогда разбивается на 2:
А масса становится коэффициентом взаимодействия между этими двумя частицами.
Здесь должно быть что-то про зигзаг-представление Пенроуза, поле Хиггса и слабое взаимодейстие, но я пока не придумал что.
Причем первая здесь явно подойдет, как калька с дифференциальных форм. Но в общем случае, это все не эквивалентно друг другу.
И ни с одним из этих определений в общем случае не выполняется чтобы геометрическое произведение было равно сумме внутреннего и внешнего.
Интересно. Та статья Хестенеса у меня уже давно непрочитанная лежит, надо бы взяться наконец. Я правильно посчитал, что
? Как будто это стоило бы явно выписать.
и почему она такая - хотелось бы поподробнее.
Про кривизну
Внутреннее произведение вообще плохо определено для произвольных мультивекторов. Есть множество разных определений, и ваше мне нравится пожалуй меньше всех.
Лучше уж определять через коммутатор и антикоммутатор:
А дальше их сумма очевидно дает просто
.
Ну это просто неправда. В
псевдоскаляр в квадрате очевидно положительный, в 
тоже. Там паттерн
+,+,-,-(считая от размерности 0) повторяющийся с периодом 4.Ну, автор уже писал про алгебры Клиффорда раньше. И я тоже писал. И другие писали. На хабре даже тег есть. Было бы странно каждую статью про них начинать со введения.
Элементы алгебры - это мультивекторы: формальные суммы k-векторов для различных k. Сложение тривектора с числом - это обычное сложение в смысле сложения в линейном векторном пространстве мультивекторов.
Не ведитесь. Я недавно попробовал завезти jj в уже имеющийся гит-репозиторий, и оно мне его попортило так что аж git status стал падать с сегфолтом.
Больше я его трогать не буду, ну нахрен.
Вы бы определились что-ли.
Ну нет же. У вас представление о квантах на уровне "слышал звон".
Возьмите простейшую систему в КМ: квантовый гармонический осциллятор. И пространство и волновая функция непрерывны, а энергия квантуется - как следствие этой непрерывности (а точнее, дифференцируемости оной волновой функции).
Связь с матрицами существует намного более общая и красивая. Это буквально быстрое преобразование Фурье, или если угодно, Адамара-Уолша.
Неа, в 5+1, 8 - это размерность спиноров Дирака (то есть размерность пространства представлений для full-spin representation группы
). А спиноры Вейля соответствуют неприводимым представлениям, т.е. в этом случае - это разбиение спиноров Дирака на четные и нечетные, и те и те размерности 4.
А в 6+1 не будет спиноров Вейля вообще, только спиноры Дирака размерности 8. Потому что действие Spin-группы в нечетномерном пространстве не разбивает спиноры на четные и нечетные. Что, в свою очередь, происходит из-за нечетности проектора в минимальный идеал алгебры Клиффорда. 8-мерные спиноры Вейля появятся только в 7+1.
Кстати, chatgpt на удивление справился с ответом. То есть где-то это всё же написано)
Да, и это мне очень сильно не нравится. Типа Дирак придумал свои гамма-матрицы - а ты заткнить и считай, не задавай вопросов откуда они появились. А ведь история про то как их получить для любого измерения очень красивая.
Да, есть такое. Грубо говоря, каждый левый идеал соответствует одному столбцу в матричном представлении алгебры Клиффорда по соответствующему базису, каждый правый - строке.
То есть линейная оболочка "физических"
А вообще, физики сами нихрена не знают про спиноры.Это, наверное, не так, но мне стало интересно, вы, как физик, сходу сможете сказать какова была бы размерность спиноров Вейля в 5+1 мерном пространстве? А в 6+1?Спрашиваю потому что ни разу не видел вменяемого ответа на этот довольно простой вопрос в литературе.
Это, кстати, действительно проблема. То как в алгебры Клиффорда заходят в литературе, зачастую вызывает недоумение. Я лишь могу порекомендовать каналы sudgy, eigenchris и bivector (все на английском), а также мою собственную статью про спиноры, которую я накатал потому что нигде больше не видел нормальных пояснений про них.
С тех пор я, кстати, узнал про спиноры еще много чего интересного, но совершенно не вижу как это оформить в нормальную статью, которая была бы интересна хоть кому-то.