Безразмерные величины отличаются от размерных независимостью от выбранных единиц. В чем бы вы ни измеряли длину, массу, время, жесткость и ускорение в этой задаче, значение безразмерной энергии останется, неизменным. Так безразмерный радиан не зависит от того, измеряете ли вы длину окружности и радиус в сантиметрах или дюймах. Также число Рейнольдса (отношение вязких сил к силам инерции) характеризует поток жидкости и не зависит от единиц измерения размеров трубы, вязкости и скорости жидкости.
Главное достоинство безразмерных величин состоит в том, что какие бы массы и жёсткости я бы ни выбрал, переместился бы на луну, или на Юпитер, если отношение будет равно 1, я увижу ровно такое же поведение системы: такие же области хаоса и порядка, такую же структуру орбит и такие же их свойства, как показано на рисунках с . Если же в этой реальной физической системе я как-нибудь уменьшу энергию системы вдвое (поменяю пружинку на менее жесткую, уменьшу начальную высоту, увеличу массу, или гравитацию, что заставит пружину растянуться сильнее и уменьшить скорости) то я увижу, как исчезнет хаос и колебания системы будут исключительно периодичными.
Почему же нет, есть. Просто измеряется она не в Джоулях или калориях, а в безразмерных единицах. В любом случае, удвоение начальной высоты шарика увеличит ее вдвое.
Безразмерный парамер можно интерпретировать по-разному. 1) Как отношение характерных потенциальных сил в задаче: силы упругости к силе тяжести: 2) Как отношение потенциальных энергий (при этом вылезает двойка, но еë можно спрятать в масштаб длины). 3) как отношение начальной высоты шарика к характерному масштабу длины при котором сила упругости будет компенстроваться силой тяжести .
Поскольку в дальнейшем анализе существенную роль играет энергия, как инвариант во времени, определяющий параметр многообразия на котором располагаются орбиты, и запускающий сценарий перехода к хаосу, я интерпретирую , как энергию. Вы верно заметили, что энергия шарика должна быть пропорциональна начальной высоте, вот она и пропорциональна, всë правильно. То, что при этом оказалось в знаменателе, связано с тем, что в энергию упругости расстояние входит в более высокой степени, чем в энергию гравитации.
К сожалению, если тащить в аналих задачи метры с киллограммами, до математики дело вообще не дойдёт. А работа с безразмерными уравнениями и параметрами это и есть общепринятый в физике и инженерной механике подход. Вспомните критерии подобия Рейнольдса, Кнудсена, Релея, Грасгоффа, Архимеда, Струхаля, Галлилея, Жуковского, Прандтля... Именно на этих безразмерных числах строится инженерная гидромеханика, теплофизика, аэродинамика и многие другие прикладные разделы.
Можно найти такие области. Это и будет предметом анализа этой задачи методами теории хаоса. Пока что мы просто наблюдали за системой, знакомились с ней на уровне численных решений.
Приведение к безразмерному виду это стандартный для физики инструмент, который преследует множество практически важных задач: 1) уменьшение числа параметров без потери информации о системе, (любое многообразие всех геометрически и физически подобных решений превращается в одно решение); 2) уменьшение числа симметрий засчëт исключения тривиальных симметрий подобия, а заодно и выявление этих симметрий подобия; 3) приведение всех величин к однородным числовым значениям, с которыми возможна любая арифметика; 4) независимость от каких либо систем единиц измерения; 5) выделение характерных масштабов рассматриваемых явлений,что важно для качественного анализа задачи; 6) приведение существенной части числовых величин к порядку единицы, что очень полезно для устойчисости и точности практически всех численных алгоритмов.
В конце концов, нам ведь не важен конкретный шарик с конкретной пружинкой — сам по себе расчёт движения не является целью с которой мы приступили к решению задачи. Цель: выявить нетривиальные особенности динамики и объяснить механизм их возникновения. Поэтому с помощью перехода к безразмерным единицам, мы рассмотрели все шарики и столики с пружинками разом, оставив переменной только самую существенную и, что важно, неизменную во времени величину — полную энергию системы.
По поводу ГПСЧ, то ответ @mayorovp вполне исчерпывающий. Сгущения точек, и "дырки" в получающемся множестве портят свойства распределения чисел. Несложная нейросетка без труда выявит корреляции в этих числах и даже сможет восстановить основные детали механики, что делает этот генератор криптографически слабым. Динамический хаос неюольших размерностей для этих задач не очень подходит.
Различают хаотическую динамику и стохастическую. В последней нет внутренней структуры и она истинно случайна, например, в силу огромного количества степеней свободы или отсутствия памяти в системе (падение капель дождя на крышу, поток космических частиц или машин на шоссе и т.п.). Динамический хаос же, порождаемый простыми системами, типа отображения Маедельброта, действительно, можно анализировать и находить в нëм сложный порядок (самоподобные фрактальные структуры, симметрии и т. д. ). Однако эти структуры не мешает хаосу быть непредсказуемым на разумно больших временах.
У логистического отображения хаос, действительно, начинается из-за каскада удвоения периода, но этот каскад имеет в пределе хаотический режим, занимающий на бифуркационной диаграмме не отдельные точки, а большие области с канторовыми подмножествами упорядоченных областей. В этом примере через удвоение периода происходит переход от порядка к хаосу, сама же хаотическая динамика связана с перемешиванием одномерного фазового пространства "преобразованием пекаря", имеющим сплошной спектр, и происходящая в широком диапазоне параметра .
На этот вопрос хорошо в двух предыдущих комментариях ответил @phenik. Хаотические стстемы как исследуются с помощью ИИ, так и используются ими. Хаотизация и самоорганизующаяся критичность оказались в числе характерных свойств живых нейросетей в мозге. В последнее время эти свойства пытаются привить и искусственным нейросетям, полагая, что это увеличит их возможности.
Если вместо столкновения использовать отталкивание, например, кулоновское, а в качестве сечения — моменты минимального сближения, то картинка исказится, но останется в целом такой-же, вместо сферы будет некоторая более сложная поверхность, но характерные паттерны гамильтонового хаоса универсальны. Если же мы добавим рассеяние энергии, то полюсы (семейства эллипттческих орбит) превратятся в фокусы (семейства спиралей). При малом рассеянии спирали будут плотными и могут успеть сформировать ряд гамильтоновых структур. Но по мере развития системы сфера будет "сдуваться", а хаотические и когерентные структуры будут исчезать.
Преимущественно, теория хаоса ищет ответы на фундаментальные вопросы. Однако еë близкая родственница — теория катастроф уже помогает избегать неприятностей, типа бифуркаций Хопфа, приводящих к автоколебаниям: флаттеру крыла самолëта, раскачиванию балок или мостовых конструкций под действием ветровых нагрузок. Другие бифуркации, локальные или глобальные, помогают правильно понять динамику вулканических извержений, популяционных вспышек, и некоторых климатических явлений. На конференциях по теории хаоса я встречал доклады на темы касающиеся природы эпилепсии, фибрилляции сердечных мышц, проблем автоматизации дорожного движения, химических автокаталитических систем, спонтанной намагниченности метаматериалов и смены полюсов Земли. Первые работы по теории хаоса касались чисто практических проблем прогноза погоды и биржевых котировок. А уж модную в последние лет 20 самооорганизующуюся критичность, как источник "черных лебедей", вспоминают при любом удобном случае, где надо и где не надо, сейсмологи, социологи, эпидемиеологи и нейрофизиологи.
Мне самому доводилось принимать участие в чисто практической инженерной работе по избеганию хаотического режима в системе активного подавления колебаний подвески сиденья для водителя в карьерной технике.
Там где есть место математическому моделированию динамики нелинейных систем, надо быть готовым к тому, что модель или система может оказаться способной генерировать хаос и результаты моделирования будут лишь качественно соответствовать явлению.
В таком случае количество эти элементы будут образовывать подгруппу изоморфную и их общая сумма будет равна нулю. Об этом говорится подробнее в пункте 3) в приведённом доказательстве.
Спасибо за замечание. Тут можно свести касательную к предельному случаю прямой, включающую себя хорду, а дальше к соображениям симметрии добавить то, что через две точки можно провести единственную прямую.
Впрочем, по-настоящему, единственность касательной следует из гладкости окружности. Так, через вершину треугольника можно провести множество прямых, формально являющихся касательными, то есть, имеющих с треугольником одну общую точку и таких, что весь треугольник окажется в одной полуплоскости, на которые делит плоскость каждая из этих прямых. У гладкой кривой таких точек нет. Но в математический анализ я забираться не хотел.
Слава богу, я не стремлюсь объяснить абсолютно всë. В соображениях практичности, привычки, антропометрии, конечно же можно углядеть элементы геометрии, но можно их и не искать, либо, как вы заметили, обнаружить эти соображения в математических традициях.
Ирония состоит в том, что методы анализа дискретных систем опираются на топологию и анализ непрерывных отображений.
Причём, не какой-нибудь, а всё время один и тот же, подозрительно смахивающий на завлаба в молодости 🙂
Очень хорошо пишет Стивен Строгац. У него несколько книг на эту тему. Есть и наши книги, но они более специальные. Завтра подкину парочку.
Безразмерные величины отличаются от размерных независимостью от выбранных единиц. В чем бы вы ни измеряли длину, массу, время, жесткость и ускорение в этой задаче, значение безразмерной энергии останется, неизменным. Так безразмерный радиан не зависит от того, измеряете ли вы длину окружности и радиус в сантиметрах или дюймах. Также число Рейнольдса (отношение вязких сил к силам инерции) характеризует поток жидкости и не зависит от единиц измерения размеров трубы, вязкости и скорости жидкости.
Главное достоинство безразмерных величин состоит в том, что какие бы массы и жёсткости я бы ни выбрал, переместился бы на луну, или на Юпитер, если отношение
будет равно 1, я увижу ровно такое же поведение системы: такие же области хаоса и порядка, такую же структуру орбит и такие же их свойства, как показано на рисунках с 
. Если же в этой реальной физической системе я как-нибудь уменьшу энергию системы вдвое (поменяю пружинку на менее жесткую, уменьшу начальную высоту, увеличу массу, или гравитацию, что заставит пружину растянуться сильнее и уменьшить скорости) то я увижу, как исчезнет хаос и колебания системы будут исключительно периодичными.
Почему же нет, есть. Просто измеряется она не в Джоулях или калориях, а в безразмерных единицах. В любом случае, удвоение начальной высоты шарика увеличит ее вдвое.
Безразмерный парамер
можно интерпретировать по-разному. 1) Как отношение характерных потенциальных сил в задаче: силы упругости к силе тяжести: 
2) Как отношение потенциальных энергий 
(при этом вылезает двойка, но еë можно спрятать в масштаб длины). 3) как отношение начальной высоты шарика к характерному масштабу длины 
при котором сила упругости будет компенстроваться силой тяжести 
.
Поскольку в дальнейшем анализе существенную роль играет энергия, как инвариант во времени, определяющий параметр многообразия на котором располагаются орбиты, и запускающий сценарий перехода к хаосу, я интерпретирую
, как энергию. Вы верно заметили, что энергия шарика должна быть пропорциональна начальной высоте, вот она и пропорциональна, всë правильно. То, что 
при этом оказалось в знаменателе, связано с тем, что в энергию упругости расстояние входит в более высокой степени, чем в энергию гравитации.
К сожалению, если тащить в аналих задачи метры с киллограммами, до математики дело вообще не дойдёт. А работа с безразмерными уравнениями и параметрами это и есть общепринятый в физике и инженерной механике подход. Вспомните критерии подобия Рейнольдса, Кнудсена, Релея, Грасгоффа, Архимеда, Струхаля, Галлилея, Жуковского, Прандтля... Именно на этих безразмерных числах строится инженерная гидромеханика, теплофизика, аэродинамика и многие другие прикладные разделы.
Можно найти такие области. Это и будет предметом анализа этой задачи методами теории хаоса. Пока что мы просто наблюдали за системой, знакомились с ней на уровне численных решений.
Приведение к безразмерному виду это стандартный для физики инструмент, который преследует множество практически важных задач: 1) уменьшение числа параметров без потери информации о системе, (любое многообразие всех геометрически и физически подобных решений превращается в одно решение); 2) уменьшение числа симметрий засчëт исключения тривиальных симметрий подобия, а заодно и выявление этих симметрий подобия; 3) приведение всех величин к однородным числовым значениям, с которыми возможна любая арифметика; 4) независимость от каких либо систем единиц измерения; 5) выделение характерных масштабов рассматриваемых явлений,что важно для качественного анализа задачи; 6) приведение существенной части числовых величин к порядку единицы, что очень полезно для устойчисости и точности практически всех численных алгоритмов.
Я как-то писал подробнее об этом методе на Хабре (Безразмерный воздушный шар. Утилитарная магия анализа размерностей).
В конце концов, нам ведь не важен конкретный шарик с конкретной пружинкой — сам по себе расчёт движения не является целью с которой мы приступили к решению задачи. Цель: выявить нетривиальные особенности динамики и объяснить механизм их возникновения. Поэтому с помощью перехода к безразмерным единицам, мы рассмотрели все шарики и столики с пружинками разом, оставив переменной только самую существенную и, что важно, неизменную во времени величину — полную энергию системы.
По поводу ГПСЧ, то ответ @mayorovp вполне исчерпывающий. Сгущения точек, и "дырки" в получающемся множестве портят свойства распределения чисел. Несложная нейросетка без труда выявит корреляции в этих числах и даже сможет восстановить основные детали механики, что делает этот генератор криптографически слабым. Динамический хаос неюольших размерностей для этих задач не очень подходит.
Это верно, но увы, до сих пор мы не можем построить простую динамическую модель низкой размерности для этой последовательности.
Различают хаотическую динамику и стохастическую. В последней нет внутренней структуры и она истинно случайна, например, в силу огромного количества степеней свободы или отсутствия памяти в системе (падение капель дождя на крышу, поток космических частиц или машин на шоссе и т.п.). Динамический хаос же, порождаемый простыми системами, типа отображения Маедельброта, действительно, можно анализировать и находить в нëм сложный порядок (самоподобные фрактальные структуры, симметрии и т. д. ). Однако эти структуры не мешает хаосу быть непредсказуемым на разумно больших временах.
У логистического отображения
хаос, действительно, начинается из-за каскада удвоения периода, но этот каскад имеет в пределе хаотический режим, занимающий на бифуркационной диаграмме не отдельные точки, а большие области с канторовыми подмножествами упорядоченных областей. В этом примере через удвоение периода происходит переход от порядка к хаосу, сама же хаотическая динамика связана с перемешиванием одномерного фазового пространства "преобразованием пекаря", имеющим сплошной спектр, и происходящая в широком диапазоне параметра 
.
Ну, без них-то никак, конечно! Но сначала надо "настроить" аналитические инструменты (спектр якобиана для отображения Пуанкаре).
Упомянем обязательно, как дело дойдëт до каскада бифуркаций Хопфа.
На этот вопрос хорошо в двух предыдущих комментариях ответил @phenik. Хаотические стстемы как исследуются с помощью ИИ, так и используются ими. Хаотизация и самоорганизующаяся критичность оказались в числе характерных свойств живых нейросетей в мозге. В последнее время эти свойства пытаются привить и искусственным нейросетям, полагая, что это увеличит их возможности.
Если вместо столкновения использовать отталкивание, например, кулоновское, а в качестве сечения — моменты минимального сближения, то картинка исказится, но останется в целом такой-же, вместо сферы будет некоторая более сложная поверхность, но характерные паттерны гамильтонового хаоса универсальны. Если же мы добавим рассеяние энергии, то полюсы (семейства эллипттческих орбит) превратятся в фокусы (семейства спиралей). При малом рассеянии спирали будут плотными и могут успеть сформировать ряд гамильтоновых структур. Но по мере развития системы сфера будет "сдуваться", а хаотические и когерентные структуры будут исчезать.
Преимущественно, теория хаоса ищет ответы на фундаментальные вопросы. Однако еë близкая родственница — теория катастроф уже помогает избегать неприятностей, типа бифуркаций Хопфа, приводящих к автоколебаниям: флаттеру крыла самолëта, раскачиванию балок или мостовых конструкций под действием ветровых нагрузок. Другие бифуркации, локальные или глобальные, помогают правильно понять динамику вулканических извержений, популяционных вспышек, и некоторых климатических явлений. На конференциях по теории хаоса я встречал доклады на темы касающиеся природы эпилепсии, фибрилляции сердечных мышц, проблем автоматизации дорожного движения, химических автокаталитических систем, спонтанной намагниченности метаматериалов и смены полюсов Земли. Первые работы по теории хаоса касались чисто практических проблем прогноза погоды и биржевых котировок. А уж модную в последние лет 20 самооорганизующуюся критичность, как источник "черных лебедей", вспоминают при любом удобном случае, где надо и где не надо, сейсмологи, социологи, эпидемиеологи и нейрофизиологи.
Мне самому доводилось принимать участие в чисто практической инженерной работе по избеганию хаотического режима в системе активного подавления колебаний подвески сиденья для водителя в карьерной технике.
Там где есть место математическому моделированию динамики нелинейных систем, надо быть готовым к тому, что модель или система может оказаться способной генерировать хаос и результаты моделирования будут лишь качественно соответствовать явлению.
Сделал более явным эти варианты. Спасибо!
В таком случае количество эти элементы будут образовывать подгруппу изоморфную
и их общая сумма будет равна нулю. Об этом говорится подробнее в пункте 3) в приведённом доказательстве.
Верно! Уточню формулировку. Спасибо!
Спасибо за замечание. Тут можно свести касательную к предельному случаю прямой, включающую себя хорду, а дальше к соображениям симметрии добавить то, что через две точки можно провести единственную прямую.
Впрочем, по-настоящему, единственность касательной следует из гладкости окружности. Так, через вершину треугольника можно провести множество прямых, формально являющихся касательными, то есть, имеющих с треугольником одну общую точку и таких, что весь треугольник окажется в одной полуплоскости, на которые делит плоскость каждая из этих прямых. У гладкой кривой таких точек нет. Но в математический анализ я забираться не хотел.
Слава богу, я не стремлюсь объяснить абсолютно всë. В соображениях практичности, привычки, антропометрии, конечно же можно углядеть элементы геометрии, но можно их и не искать, либо, как вы заметили, обнаружить эти соображения в математических традициях.