Прошу вас, поясните смысл и природу уравнения балансировки чисел. Что оно позволяет узнать о числах x и y, кроме того, что они пропорциональны с коэффициентом Ф?
Треугольник, тетраэдр, пятиячейник и так далее -- это симплексы, простейшие выпуклые оболочки для минимальных множеств афинно независимых точек в афинном пространстве.
Логика тут такая. Точку можно сдвинуть вдоль вектора и получить отрезок. Любую точку отрезка можно вывести из полученного подпространства, "подняв" в каком-либо ином направлении. Далее любую точку треугольника можно вытащить в новое "измерение", получив пирамиду.
Процесс, описанный вами порождает иную последовательность фигур: точка -> отрезок -> параллелограмм -> косой параллелепипед (призма) -> 4-мерный гиперкуб т. д. Это тоже полезные политопы, но они не являются минимальными (симплектическими).
Меня смущает ещё то, что производные вычисляются разтностными методами (судя по документации ScyPy). Для порядка выше пяти они уже сильно неустойчивы и начинают заметно врать.
К тому же они требуют вычисления функции в куче точек. Так что в задачах аппроксимации или интегрирования мы, вместо вычисления функции в куче точек из интересующей нас области, будем вычислять функцию в куче точек, но сгрудившихся вблизи центра. Не могу придумать ни одной задачи, в которой это дало бы какой-то выигрыш перед аппроксимацией полиномами Чебышёва или гауссовыми квадратурами.
Ряды хороши, когда это единственный способ получить ответ (спецфункции, гипергеометрические функции и т. п.) Но тогда они вычисляются не через производную конечной формы, а через те или иные рекуррентные соотношения или уравнения.
возвращает минимальный аргумент? Я пока могу только набрать несколько универсальных свойств этой функции (как отношения, или бинарной операции) без привязки к отношению порядка: симметричность, транзитивность, поглощающий и нейтральный элементы, рефлексивность. Но будет ли это минимум в каком-либо смысле? И как его отличить от максимума, только нейтральному и поглощающему элементам?
Можно определить какой-то предпорядок на C, но пока приходит в голову только тривиальный вариант.
Практические применения разные бывают. Я бы не стал мыслить векторами, работая с аналитическим продолжением функций, с рядами Лорана, теоремой Коши или римановыми поверхностями. Даже дуализм между тригонометрическими и гиперболическими функциями, как-не совсем векторно выглядит. Но это дело привычки, наверное.
Я столько лет над этим не размышлял, так что вряд ли вас чем-смогу удивить :) На множестве С отношение порядка, которое согласовалось бы с арифметикой, как мне помнится, не определено.
В этой точной науке огромное количество терминологических несоответствий, вызванных исключительно историческими причинами или мотивами тридиций :) Команда Бурбаки старалась навести порядок, но вышло так сложно и занудно, что это скорее отпугивает, чем привлекает. Вон, например, словом "модуль" называют абсолютное значение числа, порядок модулярной арифметики и линейное пространство над кольцами.
В плане обозначений, соглашусь, это неоднозначно. Но в математике обратные по сложению числа принято обозначать именно так. Даже в модулярных арифметиках можно написать -1 и иметь в виду совершенно разные "реальные" значения. Например -1 = 4 в поэтому всё честно, . Даже во множестве цифр есть корень из , поскольку .
В рациональных и действительных -- его не существует. В поле вычетов по модулю пять (это простая аглебра на остатках от деления чисел на 5) он равен 2, в поле 5-адических чисел -- .
У меня встречный вопрос, а чему равен корень из 2? В поле рациональных чисел этого значения не существует, и в поле комплексных рациональных его нет. Зато его можно вычислить в поле вычетов по модулю 7 и в 7-адических числах. Ну, и в вещественных, конечно, тоже.
Не все поля одинаково "мощны" в смысле возможности решить любое алгебраическое уравнение. с коэффициентами из этого поля. Самое мощное в этом смысле -- поле комплексных чисел, все остальные в чём-то ущербнее.
Вектор нельзя назвать "числом". Вернее можно, но от этого числом он не станет.
Переходя на язык типов, можно сказать, что полноценные числа должны реализовывать методы для интерфейса (или класса типов) Поле, причём, не просто реализовывать, а выполнять очень чётко определённые контракты. А именно: для операции сложения должна быть реализация интерфейса АбелеваГруппа (со своими контрактами -- замкнутость, ассоциативность, коммутативность, наличие нейтрального и обратного элементов), для умножения -- интерфейса Группа (с контрактами замкнутость, ассоциативность, наличие нейтрального и обратного элементов). Кроме этого, сам интерфейс Поле налагает дополнительные законы (дистрибутивность умножения, поглощающие свойства нуля, отсутствие делителей нуля). Для типа Real × Real, то есть, двумерного вещественнозначного вектора можно определить все эти интерфейсы и контракты единственным способом -- получается тип КомплексноеЧисло. И для четырехмерных можно, получатся Кватернион. Можно и для бесконечномерных -- это полиморфные типы Полином<F> и ФормальныйСтепеннойРяд<F>, где F -- тип, реализующий интерфейс Поле. Существуют и другие полезные параметризованные типы высшего порядка, например Раcширение<F>. Они тоже строятся по принципам линейных пространств, но при этом на элементы расширений накладываются свои контракты.
Но в общем случае, для векторов (элементов произвольных линейных пространств) сразу все контракты всех интерфейсов выполнить не получится. У них всё хорошо по части АбелеваГруппа по сложению, но увы, они не образуют Группу по умножению. Можно определить несколько видов умножений (скалярное, векторное, смешанное, тройное), но ни одно из них не даёт корректного обратного элемента и не согласуется с абелевой группой по сложению (хотя бы, так: , где 2 -- это не скаляр, а тоже вектор). Так что нет, тип Вектор можно назвать числом только в особых случаях.
Действительно, комплексные числа образуют линейное (векторное) пространство над полем вещественных чисел. Но так как это пространство само образует поле (с известной операцией умножения), с ним можно работать точно так же, как с числами (конфликта типов тут нет, класс реализует оба интерфейса). Таким же образом можно расширить поле рациональных чисел каким-нибудь иррациональным корнем (скажем, ) и построить двумерное линейное пространство чисел . Вы, думаю, точно согласитесь, что это числа. Хотя в исходном поле рациональных чисел нет корня из 2, то есть нет решения уравнения . Так можно расширять любые поля, корнями уравнений, не решаемых в исходном поле, получая новые числовые системы, имеющие вид линейных пространств. Поле комплексных чисел точно также дополняет поле решением уравнения , так что это полноценная числовая система с числами, которые можно использовать в качестве скаляров в конечномерных линейных пространствах, строимых на их основе. Но эти пространства уже не будут образовывать полей (бесконечномерные -- могут, например, поле многочленов ).
Это меня кстати заинтриговало в своё время. В пространстве с нечетной размерностью у любого ортогонального преобразования обязательно есть одно вещественное собственное значение (характеристический полином имеет как минимум один вещественный корень), а значит, всегда есть возможность рассуждать о некоторой "оси вращения", вернее, о направлении вдоль собственного вектора. Тогда как в четномерных пространствах возможно вращение и без оси. Представить это я так и не смог, но зауважал четномерные пространства :)
Ещё одну добавить не выйдет, нарушатся законы числового поля. А если добавить к вещественным числам три новых элемента, то можно построить хорлшо изученное поле кватернионов (там правда, уже нарушается коммутативность умножения). Дальше опять ничего интересного до тех пор пока мы не добавим семь дополнительных элементов и не получим октонионы (это уже не поле, в них умножение уже неассоциативно). Наконец с пятнадцатью новыми единицами алгебру построить можно, но в ней появляются делители нуля и значит, нельзя сокращать уравнения. Так что комплексные числа -- самые классные!
Комплексные числа было бы разумно назвать "полными числами" или "замкнутыми", а мниную единицу -- "пополнением", "замыканием" или чем-то в этом духе. Это бы избавило от нас от ощущения их мнимости нереальности и прочих лишних сбивающих с толку эпитетов. Система комплексных чисел это минимальное алгебраически замкнутое поле с топологией, соответствующей нашей интуиции, способностям нашего пространственного воображения и рабочим моделям физического мира. Работая в полной и алгебраически замкнутой числовой системе, можно рассуждать обо всех операциях и функциях, сводимых к рядам, алгебраическим корням, применять все элементы мат. анализа и функционального анализа, дифференциальной и аналитической геометрии. В таком поле можно строить поля полиномов и линейные пространства, так, чтобы они образовывали полноценные алгебры с развитой спектральной теорией. Поэтому линейная алгебра начинает полноценно работать над полем С, а не над его урезанными подполями и подкольцами. Ии именно по этим причинам практически все фундаментальные уравнения и законы формулируются в C (даже те, где это не вырвжено явно, типа уравнений механики).
Нет разделения на реальные и мнимые числа, а есть алгебраически замкнутое числовое поле (просто числа) и его в чем-то "неполноценные" подмножества: целые, рациональные, различные пополнения рациональных, вещественные, гауссовы и т. п.
Простое добавление новых пространственных размерностей в физическую картину мира приводит, как минимум, одной неприятности. Из закона Стокса следуют формы закона всемирного тяготения Ньютона и закона Кулона, а именно, то, что в n-мерном мире сила обратно пропорциональна (n-1)-й степени расстояния между объектами. Так вот, только при трех пространственных измерениях существуют устойчивые орбиты, наблюдаемые в таких потенциальных полях. Так что надо как-то очень аккуратно вкладывать наш трехмерный мир в это четырехмерное пространство, делая наш мир компактным (например, изоморфным трехмерной сфере). Но пока нет никаких наблюдаемых эффектов сферической геометрии Вселенной (если не считать тёмной энергии ;))
Оказывается, есть куча статей на эту тему, и даже подраздел в статье из англоязычной Википедии, посвященной гипотезе Коллатца. Но рефрен в выводах похож на этот: "The ergodic dynamics of the 3x + 1 map T on Z2 is quite well understood, and paradoxically, it does not provide any indication on the validity of the 3x + 1 Conjecture"
Наверное, не имеет смысла вспоминать про теорему Эмми Нёттер в этой связи... и про группы Ли. Физики-то не существует.
Прошу вас, поясните смысл и природу уравнения балансировки чисел. Что оно позволяет узнать о числах x и y, кроме того, что они пропорциональны с коэффициентом Ф?
Треугольник, тетраэдр, пятиячейник и так далее -- это симплексы, простейшие выпуклые оболочки для минимальных множеств афинно независимых точек в афинном пространстве.
Логика тут такая. Точку можно сдвинуть вдоль вектора и получить отрезок. Любую точку отрезка можно вывести из полученного подпространства, "подняв" в каком-либо ином направлении. Далее любую точку треугольника можно вытащить в новое "измерение", получив пирамиду.
Процесс, описанный вами порождает иную последовательность фигур: точка -> отрезок -> параллелограмм -> косой параллелепипед (призма) -> 4-мерный гиперкуб т. д. Это тоже полезные политопы, но они не являются минимальными (симплектическими).
Меня смущает ещё то, что производные вычисляются разтностными методами (судя по документации ScyPy). Для порядка выше пяти они уже сильно неустойчивы и начинают заметно врать.
К тому же они требуют вычисления функции в куче точек. Так что в задачах аппроксимации или интегрирования мы, вместо вычисления функции в куче точек из интересующей нас области, будем вычислять функцию в куче точек, но сгрудившихся вблизи центра. Не могу придумать ни одной задачи, в которой это дало бы какой-то выигрыш перед аппроксимацией полиномами Чебышёва или гауссовыми квадратурами.
Ряды хороши, когда это единственный способ получить ответ (спецфункции, гипергеометрические функции и т. п.) Но тогда они вычисляются не через производную конечной формы, а через те или иные рекуррентные соотношения или уравнения.
А как определить, что функция
min : C × C -> С
возвращает минимальный аргумент? Я пока могу только набрать несколько универсальных свойств этой функции (как отношения, или бинарной операции) без привязки к отношению порядка: симметричность, транзитивность, поглощающий и нейтральный элементы, рефлексивность. Но будет ли это минимум в каком-либо смысле? И как его отличить от максимума, только нейтральному и поглощающему элементам?
Можно определить какой-то предпорядок на C, но пока приходит в голову только тривиальный вариант.
Практические применения разные бывают. Я бы не стал мыслить векторами, работая с аналитическим продолжением функций, с рядами Лорана, теоремой Коши или римановыми поверхностями. Даже дуализм между тригонометрическими и гиперболическими функциями, как-не совсем векторно выглядит. Но это дело привычки, наверное.
Я столько лет над этим не размышлял, так что вряд ли вас чем-смогу удивить :) На множестве С отношение порядка, которое согласовалось бы с арифметикой, как мне помнится, не определено.
Можно, но тогда это и будут комплексные числа, а не просто векторы :)
В этой точной науке огромное количество терминологических несоответствий, вызванных исключительно историческими причинами или мотивами тридиций :) Команда Бурбаки старалась навести порядок, но вышло так сложно и занудно, что это скорее отпугивает, чем привлекает. Вон, например, словом "модуль" называют абсолютное значение числа, порядок модулярной арифметики и линейное пространство над кольцами.
В плане обозначений, соглашусь, это неоднозначно. Но в математике обратные по сложению числа принято обозначать именно так. Даже в модулярных арифметиках можно написать -1 и иметь в виду совершенно разные "реальные" значения. Например -1 = 4 в
поэтому всё честно, 
. Даже во множестве цифр 
есть корень из 
, поскольку 
.
В каком поле?
В рациональных и действительных -- его не существует. В поле вычетов по модулю пять
(это простая аглебра на остатках от деления чисел на 5) он равен 2, в поле 5-адических чисел -- 
.
У меня встречный вопрос, а чему равен корень из 2? В поле рациональных чисел этого значения не существует, и в поле комплексных рациональных его нет. Зато его можно вычислить в поле вычетов по модулю 7 и в 7-адических числах. Ну, и в вещественных, конечно, тоже.
Не все поля одинаково "мощны" в смысле возможности решить любое алгебраическое уравнение. с коэффициентами из этого поля. Самое мощное в этом смысле -- поле комплексных чисел, все остальные в чём-то ущербнее.
Вектор нельзя назвать "числом". Вернее можно, но от этого числом он не станет.
Переходя на язык типов, можно сказать, что полноценные числа должны реализовывать методы для интерфейса (или класса типов) Поле, причём, не просто реализовывать, а выполнять очень чётко определённые контракты. А именно: для операции сложения должна быть реализация интерфейса АбелеваГруппа (со своими контрактами -- замкнутость, ассоциативность, коммутативность, наличие нейтрального и обратного элементов), для умножения -- интерфейса Группа (с контрактами замкнутость, ассоциативность, наличие нейтрального и обратного элементов). Кроме этого, сам интерфейс Поле налагает дополнительные законы (дистрибутивность умножения, поглощающие свойства нуля, отсутствие делителей нуля). Для типа Real × Real, то есть, двумерного вещественнозначного вектора можно определить все эти интерфейсы и контракты единственным способом -- получается тип КомплексноеЧисло. И для четырехмерных можно, получатся Кватернион. Можно и для бесконечномерных -- это полиморфные типы Полином<F> и ФормальныйСтепеннойРяд<F>, где F -- тип, реализующий интерфейс Поле. Существуют и другие полезные параметризованные типы высшего порядка, например Раcширение<F>. Они тоже строятся по принципам линейных пространств, но при этом на элементы расширений накладываются свои контракты.
Но в общем случае, для векторов (элементов произвольных линейных пространств) сразу все контракты всех интерфейсов выполнить не получится. У них всё хорошо по части АбелеваГруппа по сложению, но увы, они не образуют Группу по умножению. Можно определить несколько видов умножений (скалярное, векторное, смешанное, тройное), но ни одно из них не даёт корректного обратного элемента и не согласуется с абелевой группой по сложению (хотя бы, так:
, где 2 -- это не скаляр, а тоже вектор). Так что нет, тип Вектор можно назвать числом только в особых случаях.
Это и так и не совсем так.
Действительно, комплексные числа образуют линейное (векторное) пространство над полем вещественных чисел. Но так как это пространство само образует поле (с известной операцией умножения), с ним можно работать точно так же, как с числами (конфликта типов тут нет, класс реализует оба интерфейса). Таким же образом можно расширить поле рациональных чисел каким-нибудь иррациональным корнем (скажем,
) и построить двумерное линейное пространство чисел 
. Вы, думаю, точно согласитесь, что это числа. Хотя в исходном поле рациональных чисел 
нет корня из 2, то есть нет решения уравнения 
. Так можно расширять любые поля, корнями уравнений, не решаемых в исходном поле, получая новые числовые системы, имеющие вид линейных пространств. Поле комплексных чисел точно также дополняет поле 
решением уравнения 
, так что это полноценная числовая система с числами, которые можно использовать в качестве скаляров в конечномерных линейных пространствах, строимых на их основе. Но эти пространства уже не будут образовывать полей (бесконечномерные -- могут, например, поле многочленов ![\mathbb{C}[x]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/91c/a7a/631/91ca7a63104db867bc19891704bb82c0.svg)
).
Это меня кстати заинтриговало в своё время. В пространстве с нечетной размерностью у любого ортогонального преобразования обязательно есть одно вещественное собственное значение (характеристический полином имеет как минимум один вещественный корень), а значит, всегда есть возможность рассуждать о некоторой "оси вращения", вернее, о направлении вдоль собственного вектора. Тогда как в четномерных пространствах возможно вращение и без оси. Представить это я так и не смог, но зауважал четномерные пространства :)
Ещё одну добавить не выйдет, нарушатся законы числового поля. А если добавить к вещественным числам три новых элемента, то можно построить хорлшо изученное поле кватернионов (там правда, уже нарушается коммутативность умножения). Дальше опять ничего интересного до тех пор пока мы не добавим семь дополнительных элементов и не получим октонионы (это уже не поле, в них умножение уже неассоциативно). Наконец с пятнадцатью новыми единицами алгебру построить можно, но в ней появляются делители нуля и значит, нельзя сокращать уравнения. Так что комплексные числа -- самые классные!
Комплексные числа было бы разумно назвать "полными числами" или "замкнутыми", а мниную единицу -- "пополнением", "замыканием" или чем-то в этом духе. Это бы избавило от нас от ощущения их мнимости нереальности и прочих лишних сбивающих с толку эпитетов. Система комплексных чисел это минимальное алгебраически замкнутое поле с топологией, соответствующей нашей интуиции, способностям нашего пространственного воображения и рабочим моделям физического мира. Работая в полной и алгебраически замкнутой числовой системе, можно рассуждать обо всех операциях и функциях, сводимых к рядам, алгебраическим корням, применять все элементы мат. анализа и функционального анализа, дифференциальной и аналитической геометрии. В таком поле можно строить поля полиномов и линейные пространства, так, чтобы они образовывали полноценные алгебры с развитой спектральной теорией. Поэтому линейная алгебра начинает полноценно работать над полем С, а не над его урезанными подполями и подкольцами. Ии именно по этим причинам практически все фундаментальные уравнения и законы формулируются в C (даже те, где это не вырвжено явно, типа уравнений механики).
Нет разделения на реальные и мнимые числа, а есть алгебраически замкнутое числовое поле (просто числа) и его в чем-то "неполноценные" подмножества: целые, рациональные, различные пополнения рациональных, вещественные, гауссовы и т. п.
Простое добавление новых пространственных размерностей в физическую картину мира приводит, как минимум, одной неприятности. Из закона Стокса следуют формы закона всемирного тяготения Ньютона и закона Кулона, а именно, то, что в n-мерном мире сила обратно пропорциональна (n-1)-й степени расстояния между объектами. Так вот, только при трех пространственных измерениях существуют устойчивые орбиты, наблюдаемые в таких потенциальных полях. Так что надо как-то очень аккуратно вкладывать наш трехмерный мир в это четырехмерное пространство, делая наш мир компактным (например, изоморфным трехмерной сфере). Но пока нет никаких наблюдаемых эффектов сферической геометрии Вселенной (если не считать тёмной энергии ;))
Оказывается, есть куча статей на эту тему, и даже подраздел в статье из англоязычной Википедии, посвященной гипотезе Коллатца. Но рефрен в выводах похож на этот: "The ergodic dynamics of the 3x + 1 map T on Z2 is quite well understood, and paradoxically, it does not provide any indication on the validity of the 3x + 1 Conjecture"
Вы имеете в виду гипотезу Коллатца? Не думал об этом, интересно..
Класс! Отличный пример практического использования расширения кольца!