Здравствуйте! Мне кажется, что и у Вас, и у автора статьи присутствует некоторое непонимание того, что математики говорят про мощности множеств, поэтому я попытаюсь показать, как это работает и почему возникающие вопросы и парадоксы в действительности бьют мимо цели.
1) Начнём с того, что временно забудем про мощности множеств, и будем рассуждать про множества сами по себе. Оказывается, что между некоторыми парами множеств можно установить биективное соответствие - "отношение один к одному", или, формально, существует функция, которая каждому элементу первого множества сопоставляет один элемент другого множества, причём у каждого элемента второго множества есть ровно один прообраз. Поэтому, на мой взгляд, странно разделять понятия "всех точек" и "каждой точки": если у нас есть функция, то мы можем банально подставить в неё любую интересующую нас точку (или элемент множества) и проверить принадлежность получившегося второму множеству (на самом деле, если принять некоторые естественные аксиомы вроде "если существуют два множества, то существует множество, содержащее их в качестве элементов", то можно доказать, что график этой функции существует, а значит, на мой взгляд, можно говорить, что всем точкам что-то сопоставлено). Более того, свойство биективности функции можно установить даже не прибегая к вычислению всех значений функции: например, очевидно, что функция, умножающая число на 2, переводит вещественные числа в себя, причём разные числа переводит в разные. Тогда математики говорят: отлично, у нас есть такое свойство пары множеств, будем говорить, что множества равномощны (выбор слова не имеет значения, можно было бы говорить, что они биективны, изоквантны или любым удобным способом). При этом понятия мощности множества ещё не существует: его можно ввести, то есть сопоставить каждому множеству некоторое множество так, чтобы можно было сравнивать не сами множества, а сопоставленные им, это как раз и есть упомянутые выше кардинальные числа.
Короче говоря, преступные математики не пудрят мозги честным трудящимся, доказывая, что в двух отрезках одинаковое количество точек, а пользуются собственным определением равномощности множеств, которое, вообще говоря, не обязано соответствовать бытовому смыслу: никого же, кажется, не удивляет то, что квадрат можно непрерывно продеформировать в круг и, следовательно, в некотором (топологическом) смысле они одинаковы? Так же и с множествами.
Тут может возникнуть вопрос - а почему математики пользуются именно такими определениями? Ответ - потому, что они логичны с точки зрения самих математиков и позволяют доказать много красивых теорем) Тем не менее, именно эти определения и аксиомы являются основанием той математики, которую мы знаем, и которая неоднократно подтверждалась и в естественных науках, и в информатике, что, правда, не гарантирует, что мы не придём однажды к противоречию.
2) Принципы математической и трансфинитной индукции работают, и это можно доказать. Я сошлюсь на книгу Куратовского и Мостовского "Теория множеств", там же можно прочитать и про другие интересные разделы теории множеств.
3) Про парадокс Банаха-Тарского. Парадоксом он является только в том смысле, что противоречит человеческой интуиции, сам по себе же он не приводит к противоречию математическому. Опять же, если мы верим, что аксиомы ZF (пример которой я привёл выше) не приводят к противоречию, то Гёделем доказано, что и аксиома выбора, на которой основывается доказательство парадокса, не приведёт к противоречию.
На самом деле, на парадокс Банаха-Тарского можно посмотреть с другой точки зрения. Рассмотрим следующий парадокс: возьмём наибольшее натуральное число N. Но число N+1 также натуральное и больше числа N, что невозможно, так как N - наибольшее. Противоречие - арифметика не работает) На самом деле это означает, что не существует наибольшего натурального числа. Так же и парадокс Банаха-Тарского: в частности, из него следует, что в трёхмерном пространстве не каждой фигуре можно приписать объём, в отличие от плоскости.
P.S. Прошу прощения, что в ходе изложения прыгал от элементов множества к точкам из примера, корректнее было бы писать везде про элементы.
Здравствуйте! Мне кажется, что и у Вас, и у автора статьи присутствует некоторое непонимание того, что математики говорят про мощности множеств, поэтому я попытаюсь показать, как это работает и почему возникающие вопросы и парадоксы в действительности бьют мимо цели.
1) Начнём с того, что временно забудем про мощности множеств, и будем рассуждать про множества сами по себе. Оказывается, что между некоторыми парами множеств можно установить биективное соответствие - "отношение один к одному", или, формально, существует функция, которая каждому элементу первого множества сопоставляет один элемент другого множества, причём у каждого элемента второго множества есть ровно один прообраз. Поэтому, на мой взгляд, странно разделять понятия "всех точек" и "каждой точки": если у нас есть функция, то мы можем банально подставить в неё любую интересующую нас точку (или элемент множества) и проверить принадлежность получившегося второму множеству (на самом деле, если принять некоторые естественные аксиомы вроде "если существуют два множества, то существует множество, содержащее их в качестве элементов", то можно доказать, что график этой функции существует, а значит, на мой взгляд, можно говорить, что всем точкам что-то сопоставлено). Более того, свойство биективности функции можно установить даже не прибегая к вычислению всех значений функции: например, очевидно, что функция, умножающая число на 2, переводит вещественные числа в себя, причём разные числа переводит в разные. Тогда математики говорят: отлично, у нас есть такое свойство пары множеств, будем говорить, что множества равномощны (выбор слова не имеет значения, можно было бы говорить, что они биективны, изоквантны или любым удобным способом). При этом понятия мощности множества ещё не существует: его можно ввести, то есть сопоставить каждому множеству некоторое множество так, чтобы можно было сравнивать не сами множества, а сопоставленные им, это как раз и есть упомянутые выше кардинальные числа.
Короче говоря, преступные математики не пудрят мозги честным трудящимся, доказывая, что в двух отрезках одинаковое количество точек, а пользуются собственным определением равномощности множеств, которое, вообще говоря, не обязано соответствовать бытовому смыслу: никого же, кажется, не удивляет то, что квадрат можно непрерывно продеформировать в круг и, следовательно, в некотором (топологическом) смысле они одинаковы? Так же и с множествами.
Тут может возникнуть вопрос - а почему математики пользуются именно такими определениями? Ответ - потому, что они логичны с точки зрения самих математиков и позволяют доказать много красивых теорем) Тем не менее, именно эти определения и аксиомы являются основанием той математики, которую мы знаем, и которая неоднократно подтверждалась и в естественных науках, и в информатике, что, правда, не гарантирует, что мы не придём однажды к противоречию.
2) Принципы математической и трансфинитной индукции работают, и это можно доказать. Я сошлюсь на книгу Куратовского и Мостовского "Теория множеств", там же можно прочитать и про другие интересные разделы теории множеств.
3) Про парадокс Банаха-Тарского. Парадоксом он является только в том смысле, что противоречит человеческой интуиции, сам по себе же он не приводит к противоречию математическому. Опять же, если мы верим, что аксиомы ZF (пример которой я привёл выше) не приводят к противоречию, то Гёделем доказано, что и аксиома выбора, на которой основывается доказательство парадокса, не приведёт к противоречию.
На самом деле, на парадокс Банаха-Тарского можно посмотреть с другой точки зрения. Рассмотрим следующий парадокс: возьмём наибольшее натуральное число N. Но число N+1 также натуральное и больше числа N, что невозможно, так как N - наибольшее. Противоречие - арифметика не работает) На самом деле это означает, что не существует наибольшего натурального числа. Так же и парадокс Банаха-Тарского: в частности, из него следует, что в трёхмерном пространстве не каждой фигуре можно приписать объём, в отличие от плоскости.
P.S. Прошу прощения, что в ходе изложения прыгал от элементов множества к точкам из примера, корректнее было бы писать везде про элементы.