Предисловие

В качестве дополнения к моей недавней статье хотелось бы также поговорить о теме MU (Multi User) MIMO. Есть у мною уже упомянутого профессора Хаардта одна очень известная статья, где он вместе со своими коллегами предлагает алгоритм разделения пользователей по нисходящему каналу (Down Link) на основе линейных методов, а именно блоковой диагонализации (Block Diagonalization) канала. Статья имеет внушающее количество цитирований, а также является краеугольной публикацией для одного из заданий экзамена. Поэтому почему бы и не разобрать основы предлагаемого алгоритма?

Постановка задачи

Во-первых, давайте определимся в какой области в тематике MIMO мы будем сейчас работать.
Условно, все методы передачи в рамках MIMO технологии можно разделить на две основные группы:

Пространственное разнесение (spatial diversity).

Основной целью является увеличение помехоустойчивости передачи. Пространственные каналы, если упрощенно, дублируют друг друга, за счет чего мы получаем лучшее качество передачи.

Примеры:
— Блочные коды (например, схема Аламути);
— Коды, основанные на алгоритме Витерби.

Пространственное мультиплексирование (spatial multiplexing).

Основной целью является увеличение скорости передачи. Мы уже обсуждали в предыдущей статье, что при определенных условиях канал MIMO можно рассматривать как ряд параллельных каналов SISO. Собственно говоря, это и есть центральная идея пространственного мультиплексирования: добиться максимального количества независимых информационных потоков. Главная проблема в данном случае — это подавление межканальной интерференции (inter-channel interference), для чего существуют несколько классов решений:

— горизонтальное разделение каналов;
— вертикальное (например, алгоритм V-BLAST);
— диагональное (например, алгоритм D-BLAST).

Но и это, конечно, не всё.

Идею пространственного мультиплексирования можно расширить: разделять не только каналы, но и пользователей (SDMA — Space Division Multiple Access).

(ссылка на источник иллюстрации)

Следовательно, и бороться в этом случае уже нужно с интерференцией межпользовательской (inter-user interference). Именно для этого и был предложен алгоритм под названием Block diagonalization Zero-Forcing, который мы сегодня и рассматриваем.

Математическое описание

Начнем, как и прежде, с модели принятого сигнала (received signal). А точнее, покажем на схеме что куда и из чего происходит:

Канальная матрица в этом случае имеет вид:

$\underset{M_R\times M_T} {\mathbf{H}} = \begin{bmatrix} \underset{M_{R1}\times M_T} {\mathbf{H}_1} \\ \underset{M_{R2}\times M_T} {\mathbf{H}_2} \\ . \\ . \\ . \\ \underset{M_{RK}\times M_T} {\mathbf{H}_K} \end{bmatrix} \qquad (1)$

при общем числе передающих антенн M_T , и общем числе приёмных антенн $M_R = \sum_{k=1}^K M_{Rk}$ .

Важно:
Данный алгоритм может быть применён только при условии того, что количество передающих антенн больше или равно общему количеству приёмных антенн:

$M_R \leq M_T$

Это условие напрямую влияет на свойства диагонализации.

Итак, модель принятых символов (сигналов) можно записать в векторном виде как:

$\mathbf{r} = \mathbf{D} \left( \mathbf{H} \mathbf{F} \mathbf{s} + \mathbf{n}\right) \qquad(2)$

Однако, интереснее посмотреть на формулу для конкретного пользователя:

$r_k = \mathbf{D}_k\left(\mathbf{H}_k \mathbf{F}_k s_k + \mathbf{H}_k \sum_{i=1, i\neq k}^K \mathbf{F}_i s_i + n_k \right) \qquad (3)$

Собственно говоря:

$\mathbf{H}_k \mathbf{F}_k s_k$ — это полезный сигнал для k-ого пользователя,
$\mathbf{H}_k \sum_{i=1, i\neq k}^K \mathbf{F}_i s_i$ — это интерференция от других пользователей,

— аддитивный шум.

Вот мы и подошли к формулировке главной задачи:

Можно ведь найти такие матрицы $\mathbf{F}$ , чтобы интерференционная часть обращалась в ноль!

Этим мы и займемся.

Описание алгоритма

Описание проведем на примере, а в качестве иллюстрации я буду приводить скриншоты из первых рук, немного их комментируя.

Рассмотрим первого пользователя:

Проговорим основные шаги:

Составляем некоторую матрицу $\mathbf{\hat{H}_1}$ из канальных матриц всех остальных пользователей.

Раскладываем её методом SVD.
В матрице $\mathbf{\hat{V}_1}$ находим шумовое подпространство (null-subspace) — матрицу $\mathbf{\hat{V}_1^{(0)}$ (т.е. всё что выходит за ранг матрицы $\mathbf{\hat{H}_1}$ — обозначим его ).
Составляем из этой шумовой матрицы и её эрмитового сопряжения некоторую матрицу проекции $\mathbf{P_1}$ .

Идём дальше:

Теперь уже оригинальную часть канальной матрицы $\mathbf{H}_1$ перемножаем с полученной матрицей проекции $\mathbf{P}_1$ .
Раскладываем результат через SVD.
В матрице $\mathbf{V_1}^H$ выбираем строк, где — ранг $\mathbf{H}_1\mathbf{P}_1$ .
Транспонируем их и получаем матрицу $\mathbf{F}_1$ (или $\mathbf{M}_1$ — где как обозначают).

И так эта процедура будет повторяться для каждого пользователя. Не это ли магия математики: используя методы линейной алгебры, решаем вполне технические задачи!

Отметим, что на практике используются не только полученные матрицы пре-кодирования, но, и матрицы пост-обработки, и матрицы сингулярных значений (см. слайды). Последние, например, для балансировки мощности по уже знакомому нам алгоритму Water-pouring.

Моделируем алгоритм

Я думаю, не будет лишним провести небольшое моделирование, чтобы закрепить результат. Для этого будем использовать Python 3, а именно:

import numpy as np

для основных расчетов, и:

import pandas as pd

для отображения результата.

Чтобы не нагромождать, помещу исходники сюда

class ZeroForcingBD:
    def __init__(self, H, Mrs_arr):
        Mr, Mt = np.shape(H)
        self.Mr = Mr
        self.Mt = Mt
        self.H = H
        self.Mrs_arr = Mrs_arr

    def __routines(self, H, mr, shift):

        # used in self.process() - See example above for illustration 
        # inputs: 
        #       H - the whole channel matrix
        #       mr - number of receive antennas of the i-th user
        #       shift - how much receive antennas were considered before
        # outputs:
        #       Uidx, Sigmaidx, Vhidx - SVD decomposition of the H_iP_i 
        #       d - rank of the hat H_i
        #       Hidx - H_i (channel matrix for the i-th user)
        #       r - rank of the H_i

        Hidx = H[0+shift:mr+shift,:] # H_i (channel matrix for the i-th user)
        r = np.linalg.matrix_rank(Hidx) # rank of the H_i
        del_idx = [i for i in range(0+shift, mr+shift, 1)] # row indeces of H_i in H
        H_hat_idx = np.delete(H, del_idx, 0) # hat H_i
        d = np.linalg.matrix_rank(H_hat_idx) # rank of the hat H_i
        U, Sigma, Vh = np.linalg.svd(H_hat_idx) # SVD
        Vhn = Vh[d:, :] # null-subspace of V^H
        Vn = np.matrix(Vhn).H # null-subspace of V
        Pidx = np.dot(Vn, np.matrix(Vn).H) # projection matrix
        Uidx, Sigmaidx, Vhidx = np.linalg.svd(np.dot(Hidx, Pidx)) # SVD of H_iP_i 
        return Uidx, Sigmaidx, Vhidx, d, Hidx, r

    def process(self):

        # used in self.obtain_matrices()
        # outputs:
        #       F - whole filtering (pre-coding) matrix (array of arrays)
        #       D - whole demodulator (post-processing) matrix (array of arrays)
        #       H - the whole channel matrix (array of arrays)

        shift = 0
        H = self.H
        F = []
        D = []
        Hs = []
        for mr in self.Mrs_arr:
            Uidx, Sigmaidx, Vhidx, d, Hidx, r = self.__routines(H, mr, shift)
            Vhidx1 = Vhidx[:r,:] # signal subspace
            Fidx = np.matrix(Vhidx1).H
            F.append(Fidx)
            D.append(Uidx)
            Hs.append(Hidx)
            shift = shift + mr
        return F, D, Hs

    def obtain_matrices(self):

        # used to obtain pre-coding and post-processing matrices
        # outputs:
        #       FF - whole filtering (pre-coding) matrix 
        #       DD - whole demodulator (post-processing) matrix (array of arrays)

        F, D, Hs = self.process()
        FF = np.hstack(F)
        # Home Task: calculation of the demodulator matrices :)
        return FF

Пусть, у нас имеются 8 передающих антенн и 3 пользователя, у которых 3, 2 и 3 приёмных антенны соответственно:

Mrs_arr = [3,2,3] 
# 1st user have 3 receive antennas, 2nd user - 2 receive antennas, 3d user - 3 receive antennas 
Mr = sum(Mrs_arr) # total number of the receive antennas 
Mt = 8 # total number of the transmitt antennas
H = (np.random.randn(Mr,Mt) + 1j*np.random.randn(Mr, Mt))/np.sqrt(2); #Rayleigh flat faded channel matrix (MrxMt)

Инициализируем наш класс и применяем соответствующие методы:

BD = ZeroForcingBD(H, Mrs_arr)

F, D, Hs = BD.process()
FF = BD.obtain_matrices()

Приводим к читабельному виду:

df = pd.DataFrame(np.dot(H, FF))
df[abs(df).lt(1e-14)] = 0

И немного подрихтуем для наглядности (хотя можно и без этого):

print(pd.DataFrame(np.round(np.real(df),100)))

Должно получиться нечто такое:

Собственно, вот они и блоки, вот она и диагонализация. И минимизация интерференции.

Такие дела.

Литература

Spencer, Quentin H., A. Lee Swindlehurst, and Martin Haardt. "Zero-forcing methods for downlink spatial multiplexing in multiuser MIMO channels." IEEE transactions on signal processing 52.2 (2004): 461-471.
Martin Haard "Robust Transmit Processing for Multi-User MIMO Systems"

P.S.

Преподавательскому составу и студенческой братии родной специальности передаю привет!

MU-MIMO: один из алгоритмов реализации