Теория отношений в математике и в ряде предметных областей (принятие решений, базы знаний и данных, математическая лингвистика, моделирование процессов, и др.) играет весьма заметную роль, но пока далека от завершения. Как и в других отраслях математического знания ее известные результаты в большей мере относятся к вопросам и задачам существования тех или иных ее объектов, чем к задачам их перечисления. Казалось бы любой исследователь в конкретной отрасли теории должен бы интересоваться общей и полной картиной, интересующих его объектов и их зависимостей, обозревать полную панораму. Но увы, сделать это весьма проблематично, так как такую панораму (картину) никто не создал и не предлагает. Даже предложенный в работе каталог отношений проблему не закрывает.

Простой пример. Много лет назад в книге [1 стр. 207] мне встретился такой абзац.

Теория частично упорядоченных множеств содержит ещё немало нерешенных проблем. Даже на вопрос о числе таких множеств, которые могут быть построены из заданного числа n элементов, не существует еще ответа, если n≥6. Прямыми подсчетами удалось лишь установить, что если S(n) — число частично упорядоченных множеств, то S(2) = 3, S(3)= 19, S(4) = 219, S(5) = 4231, а числа Sн(n) для неизоморфных множеств найдены только для n=4 и n=5 элементов: Sн(4) = 16 и Sн(5) = 63.

Об этом пишет зав кафедры МГУ Рыбников К.А. Мне захотелось поглубже в этом разобраться и показалось, что я могу попытаться поискать решение, по крайней мере, хоть как-то расширить список, а главное — перечислить частичные порядки, увидеть их россыпь в реальности с их свойствами. Просто чтобы результаты повесить на стену. Признаюсь, усилий затрачено было много, разработать программу исследования, создать работоспособную модель частичного порядка, написать программу и отладить её, ЭВМ крутили запрограммированные алгоритмы десятками часов. В память пришло чье-то (из великих) замечание о том, что в основу математики следовало бы положить не число, а порядок, тогда якобы многие теоремы получили бы более простые и прозрачные доказательства.

Мы научились вычислять количества отношений над большими множествами-носителями и перечислять отношения, но строгих формул даже для количества S(n) получить не удалось. Я вспоминаю это время как период интенсивного творческого роста своего и сотрудников, когда почти после каждой выдачи ЭВМ результатов и их анализа возникали идеи по модификации, совершенствованию модели, алгоритмов, вносились исправления для проверки очередных гипотез, но чего-то существенного (~~возможно мозгов~~) не хватало.

То, что удалось открыть (получить) привожу ниже по тексту. Кстати, результаты других зарубежных исследователей совпадали с нашими, но они сообщали только о количестве S(n) и не упоминали о перечислении частичных порядков.

Начинали мы с малого. Полный список бинарных отношений для любого n-множества-носителя известен и легко может быть получен. Отыскивался ответ на вопросы: сколько при заданном n существует отношений с фиксированным одним свойством, с парой свойств, с тройкой и т. д. Дело в том, что располагая этими данными, можно было строить не переборные, а прямые алгоритмы перечисления таких отношений, которые, следуя правилу «бритвы Оккама», не производят лишних сущностей.

Здесь дальше пойдет речь о получении таких результатов для бинарных отношений (БО).
Итак, имеется n-множество-носитель БО и полный список всех БО, а также список свойств БО:

— рефлексивность; антирефлексивность; частичная рефлексивность;
— симметричность; антисимметричность; асимметричность; несимметричность;
— транзитивность; антитранзитивность;
— слабый порядок; строгий порядок; частичный порядок; совершенный (линейный);
— толерантность;
— эквивалентность;
— цикличность;
— полнота.

Количественные характеристики типов бинарных отношений

Отношения могут обладать не только одним конкретным свойством, но и совокупностями пар, троек и т. д. свойств. Использование таких отношений на практике обычная ситуация. Так, например, каждому отношению толерантности (безразличия) присущи два свойства: симметричность и рефлексивность. Такая совокупность свойств определяет тип отношений толерантности.

Другой тип отношений возникает из отношений толерантности, если потребовать от таких отношений выполнимость расширенного списка свойств: симметричность, рефлексивность и транзитивность. Понятно, что возможно не все отношения толерантности окажутся транзитивными, но те, которые будут обладать набором трех названных свойств, образуют новый тип отношений, называемых эквивалентностями.

Множество отношений эквивалентности оказывается вложенным в множество отношений толерантности. Для примера в каталоге эти типы отношений выделены заливкой (8 толерантностей и только 5 из них эквивалентности). Возникает вопрос о количестве БО, обладающих набором свойств или одним из них.

Рефлексивность

Отношение α = <Å, A> на множестве A = { ${а_1,а_2,...,а_n}$ } является рефлексивным (обладает свойством рефлексивности), если каждая пара ( $inline$ ) удовлетворяет данному отношению. Здесь Å — график (не граф) отношения $inline$ .

Другими словами, главная диагональ матрицы графика Å отношения заполнена единицами. На графе рефлексивного отношения все вершины имеют петли. Отношение является антирефлексивным, если ни для какого $inline$ не выполняется $inline$ . В этом случае матрица антирефлексивного отношения α на главной диагонали не имеет ни одной единицы, т.е. там размещаются нули, а соответствующий граф не имеет петель ни в одной вершине.

Наконец, отношение α является нерефлексивным, если для некоторого $inline$ выполняется, а для других не выполняется. Такие отношения будем считать частично рефлексивными. Матрица нерефлексивного отношения на главной диагонали содержит частично единицы, частично – нули. Граф такого нерефлексивного отношения имеет петли не во всех вершинах.

Классическим примером рефлексивного отношения является главная диагональ матричного представления, единичное (E = Δ) отношение, т.е. отношение равенства (в каталоге № 68). График этого отношения образован точками (парами), лежащими на главной диагонали матрицы и соответствующими парами $inline$ , никаких других точек график этого отношения не содержит.

Матричное представление этого отношения соответствует единичной матрице (E). Граф диагонального отношения образован вершинами, соответствующими элементам из множества А, которым приписаны петли. Часто диагональное отношение обозначают символом $inline$ .

В случае рефлексивного отношения, соответствующий ему граф также является рефлексивным, в случае антирефлексивного отношения его граф антирефлексивный. Если для некоторого отношения α известно, что оно рефлексивное, то дополнение ᾱ всегда антирефлексивное, и $inline$ .

Для антирефлексивного отношения β справедливо $inline$ .

Пример 1. Отношение ≤ (не больше) на множестве N является рефлексивным, а отношение < (меньше) на том же множестве — антирефлексивно.

Отношение «быть сыном» – антирефлексивно, так как никто не приходится сыном самому себе.
Для практических целей иногда необходимо подсчитывать количество рефлексивных отношений имеющихся в полном множестве отношений, заданных на множестве А с мощностью |А| = n.
Покажем, как такой подсчет может быть выполнен. Будем рассматривать на плоскости матрицу бинарного рефлексивного отношения α. Она всегда содержит все диагональные точки.

Остальные точки, соответствующие парам (i, j), количество n×n – n = n(n–1) которых, могут включаться в различном составе и числом k, k=0(1)(n×n – n) в возможные отношения, которые, разумеется, будут рефлексивными. Суммированием по k сочетаний из n(n-1) по k определяется полное число рефлексивных отношений

где К=n(n-1)/2 число дуг (ребер) в n-вершинном графе без петель.

Количество нерефлексивных отношений при этом определяется как разность полного числа отношений на А и числа рефлексивных из них.

Из этого выражения следует, что множество нерефлексивных отношений содержит в $inline$ раз больше отношений, чем имеется рефлексивных. Этот избыток отношений порождается многообразием комбинаций только диагональных точек графика, в то время как составы и количество остальных точек просто повторяются.

Количество антирефлексивных отношений из множества нерефлексивных в точности равно количеству рефлексивных, т.е. $2^{n^2-n}$ . Это следует из того, что между рефлексивными и антирефлексивными отношениями можно установить взаимно однозначное соответствие: из каждого рефлексивного отношения путем удаления всех точек диагонали может быть получено единственное антирефлексивное отношение и наоборот.

Симметричность

По свойству симметрии все множество отношений на разбивается на четыре класса: симметричные, несимметричные. Последние в свою очередь распадаются на три класса: антисимметричные, асимметричные и оставшиеся несимметричные.

Отношение α = <Å, A> на множестве A является симметричным (обладает свойством симметрии относительно прямой, совпадающей с главной диагональю графика Å), если для некоторой пары $inline$ из $inline$ следует $inline$ . Другими словами, для любой пары $inline$ выполняется либо в обе стороны, либо совсем не выполняется.

На графе симметричного отношения, если пара вершин i и j связана дугой (i, j), то она обязательно связана и дугой (j, i). Граф симметричного отношения является симметричным ориентированным или просто неориентированным, обыкновенным графом.

Отношение α является антисимметричным, если из $inline$ и $inline$ следует что i=j.

Матрица антисимметричного отношения содержит не обязательно все единицы на главной диагонали и содержит единицы в одной из двух симметричных относительно главной диагонали позиций: над диагональю либо под диагональю. Граф этого отношения образован вершинами с петлями для всех или некоторых из них и, если пара вершин (i, j) в графе связана, то всегда дугой только одного направления. Заметим, что для симметричного и антисимметричного отношения некоторые диагональные точки могут либо включаться в него, либо нет.

Если антисимметричное отношение не содержит ни одной диагональной точки, то говорят, то такое отношение является асимметричным, т.е. оно всегда антирефлексивно.

Пример 2. Отношение (≤) на множестве N – является антисимметричным, а отношение (<) на том же множестве асимметричным. Действительно, в первом случае из $inline$ и $inline$ может следовать только $inline$ . Отношение равенства (=) на N является симметричным, отношение α = A×A также симметричное.

Для любого симметричного отношения α всегда справедливо $α = α^{-1}$ и $α^{-1}$ также симметрично. Для антисимметричного отношения всегда выполняется $α ∩ α^{-1}⊆∆_A$ . Отношение общего вида, график которого содержит как симметричные точки, так и несимметричные, не является симметричным. Это отношение несимметричное, но не антисимметричное, и не асимметричное.

Свойство симметричности проявляется и в n–арных отношениях. Отношение R на множестве $Х = { x_1, x_2,…,x_n}$ является симметричным n-арным отношением, если оно вместе с элементом $<x_{i1}, x_{i2}, …,x_{in}>є R$ содержит и любые последовательности $< x_{j1}, x_{j2},…, x_{jn}>$ , образованные перестановкой членов множества Х.

Заметим также, что асимметричное отношение всегда антирефлексивно; нерефлексивное и транзитивное бинарное отношение всегда асимметрично. Для практики и выполнения вычислений интерес представляет количество отношений, обладающих определенным свойством, связанным с симметрией графика. Выполним подсчет таких отношений для произвольного множества А мощностью |A| = n.

В своих рассуждениях будем опираться на свойство рефлексивности, которое, как и многие другие, изучено еще недостаточно глубоко. Даже поверхностный анализ множества всех отношений позволяет сделать вывод о том, что оно всегда может быть разделено на $inline$ классов одинакового объема, а состав отношений, образующих эти классы, подчиняется определенной закономерности.

Множества отношений во всех классах имеют одинаковое устройство, отличаются только числом и составом диагональных точек, все разнообразие которых определяется числом $inline$ . Определим состояние диагонали отношения при фиксированном n количеством и составом точек на ней и принадлежащих конкретному отношению. Ясно, что при фиксированном множество состояний заполненности ячеек диагонали определяется булеаном $inline$ , где ∆ – полное множество точек диагонали графика декартова квадрата мощностью |∆| = n.

Таким образом, в теории отношений традиционно рассматривались и изучались только два крайние состояния: либо все точки диагонали включены в отношение и оно является рефлексивным, либо отношение не содержит ни одной диагональной точки, и тогда оно антирефлексивно.

Будем называть все промежуточные состояния с одной диагональной точкой, с двумя и так далее частичной рефлексивностью k-го порядка k=0(1)n, а отношения такого вида частично рефлексивными. Так частично рефлексивное отношение порядка ноль – это антирефлексивное отношение, а частично рефлексивное отношение порядка n- это просто рефлексивное отношение.

Заметим, что все состояния могут быть упорядочены как элементы булеана множества ∆. Предлагаемый подход позволяет наметить путь анализа раз-личных свойств и подсчета числа отношений, обладающих отдельными свойствами или их совокупностями.

Пусть рассматриваются отношения рефлексивные и симметричные. Симметричность отношения определяется наличием пар точек в нем, которые расположены в матрице отношения симметрично относительной диагонали. При произвольном n таких пар существует $inline$ . Обозначим множество этих пар символом S.

Тогда все разнообразие симметричных и рефлексивных отношений будет определяться булеаном $inline$ . Множество таких отношений более подробно будет рассматриваться несколько позже, а здесь скажем, что оно образует пространство безразличия или толерантности. Ясно, что число отношений толерантности определяется мощностью булеана $inline$ , т.е. $2^{C_n^2}$ .

Ниже в табл. 1 приведены значения числа толерантных отношений для начальных значений n из отрезка натурального ряда чисел.

Таблица 1. Количества толерантных БО

Теперь легко подсчитать мощность множества всех симметричных отношений, так как наличие или отсутствие диагональных точек не меняет свойства симметричности. Множество симметричных отношений обозначим символом SM. Тогда мощность этого множества при фиксированном n определяется по формуле

$|SM| = 2^n·2^{C_n^2} = 2^{C_{n+1}^2},$

где n число диагональных точек отношения. В табл. 2 приводятся значения |SM| для некоторых n.

Таблица 2. Количества симметричных БО

Теперь перейдем к подсчету асимметричных отношений, множество которых будем обозначать через AS. Эти отношения характеризуются тем, что в них отсутствуют все точки диагонали и ни одна из клеток матрицы отношения, лежащих вне диагонали, не имеет симметричной. Другими словами, это множество антирефлексивных и антисимметричных отношений.

Мощность этого множества может быть определена из выражений

$|AS| = Σ_{k=0}^K C_K^k·2^k = 3^{C_n^2},$

где К = $inline$ .

Получим приведенную формулу для подсчета мощности множества AS — асимметричных отношений при заданной мощности носителя |А| = n. По определению все отношения множества AS антирефлексивны, следовательно, главная диагональ в матрицах отношений пуста, а единичные элементы могут размещаться лишь в половине оставшихся позиций матрицы, т.е. в ${C_n^2} =(n^2-n):2$ клетках.

Итак, предположим, что асимметричное отношение содержит k-элементов (точек, упорядоченных пар) 0 ≤ k ≤ ${C_n^2}$ . Количество отношений с таким числом элементов, очевидно, будет равно числу сочетаний из $inline$ по k.

При этом с каждым из k элементов свяжем пару симметричных позиций: одна над главной диагональю матрицы, другая – под диагональю.Поскольку в каждой паре элемент может быть в одной из двух позиций, то для размещения k элементов возникает булеан $inline$ возможностей.

Таким образом, $inline$ – это число выборов k пар позиций из $inline$ имеющихся пар в матричном представлении отношений, а $inline$ – количество возможностей расставить k элементов по позициям в каждой паре. Количество отношений, содержащих k элементов определяется как произведение числа выборов пар позиций на количество вариантов расстановки этих k элементов, т.е. $inline$ .

Полное же число отношений в множестве AS получается при суммировании полученных произведений по всем значениям k от нуля до максимально допустимого K = $inline$ , т.е.

$|AS| = Σ_{k=0}^K C_K^k·2^k = 3^{C_n^2},$

где К = $inline$ .

Пример 3. Пусть мощность множества носителя |А| = 5. Подсчитаем по найденной формуле число асимметричных отношений. Определим значение верхнего предела К в сумме, К = $inline$ =10. Данные подсчета слагаемых суммы приведены в табл. 3.

Таблица 3 . Характеристики БО

Существует другой способ подсчета мощности множества AS. Он основан на подсчете числа отображений множества пар симметричных позиций во множество состояний, в котором может быть каждая такая пара. В асимметричном отношении имеется $inline$ пар позиций.

Каждая позиция в паре клеток может быть занята 0 или 1, но для пары позиций имеются S = 3 состояния, которые обозначим следующим образом:

— 1, если элемент (1) помещен над диагональю;
— 2, если элемент (1) помещен под диагональю;
— 3, если обе позиции пусты (заняты нулями).

Таким образом, пара симметричных позиций (в матрице отношения) может быть в каждом
отношении в одном из трех состояний. Формула для подсчета всех возможных отображений множества пар позиций (обозначим его символом K ) в множество S состояний имеем:
$φ: K → S =>|AS| =|S|^{|K|}$

Пример 4. Для условий предыдущего примера имеет вид |A| = 5, K=|K| = $inline$ |S| = 3, тогда, $inline$ .

Результаты расчетов двумя разными способами совпадают, что лишний раз убеждает в правильности полученных формул. Таким образом, получено соотношение

$3^{C_n^2} = Σ_{k=0}^K C_K^k·2^k,$

где К = $inline$

Приведем в табл. 4 числа асимметричных отношений |AS| для небольших значений n.

Таблица 4. Количества асимметричных БО

Имея формулу для определения числа асимметричных отношений, можно получить другую – для подсчета числа антисимметричных отношений, так как наличие или отсутствие диагональных точек не меняет свойства антисимметричности отношения.

Итак, обозначим множество антисимметричных отношений символом ANS, тогда мощность этого множества определится по формуле $inline$

$|ANS| =2^n Σ_{k=0}^K C_K^k·2^k =Σ_{k=0}^K C_K^k·2^{k+n} =2^n3^{C_n^2},$

где К = $inline$

Ниже приводится табл. 5, содержащая значения (ANS) при n = 3(1)5.

Таблица 5. Количества антисимметричных БО

В дальнейшем нам потребуются понятия, которые удобно ввести здесь.

Симметричной частью бинарного отношения α называется (и обозначается $α^{(S)}$ ) отношение $α^{(S)} =α∩α^{-1}$ , а отношение $inline$α^{(а)} = α \α^{(S)}$inline$ (обозначается $α^{(а)}$ ) называется асимметричной его частью. В частном случае, когда отношение α симметрично, $α^{(S)} = α$ и $α^{(S)}$ симметрично всегда; если α – асимметрично, то $α^{(а)}= α$ и $α^{(а)}$ всегда асимметрично.

Транзитивность (лат. Transitivus – переходный, от transitus – переход)

– одно из свойств отношений. Отношение = < Å, A >, заданное на множестве А, является транзитивным, если для любых $inline$ выполняется условие: из $inline$ и $inline$ следует $inline$ .

Другими словами, для транзитивного отношения из наличия в его составе элементов ( $inline$ ) и ( $inline$ ) следует, что оно содержит, обязательно и элемент ( $inline$ ). Для графа отношения это свойство означает, что если пара вершин ( $inline$ ) связана ориентированным путем, проходящим через вершину k и образованным 2-мя последовательными дугами ( $inline$ ), ( $inline$ ), то эти же вершины непосредственно связаны и единственной дугой ( $inline$ ). Для элементов матрицы [ $а_{ij}$ ] транзитивного отношения α из $а_{ik}·а_{kj} =1$ следует $а_{ij} = 1$ .

Определение свойства транзитивности для бинарных отношений предполагает, что отношение содержит не менее трех элементов (упорядоченных пар). А как это свойство проявляется в отношениях одноэлементных, пустых или содержащих только два элемента?

Все одноэлементные и пустое отношение транзитивны. Двухэлементное отношение может быть транзитивным и нетранзитивным, если пары, входящие в него, содержат общий элемент j. Дуги графа, соответствующие упорядоченным парам направлены в одну сторону (образуют ориентированный не обеспечивающий транзитивность маршрут).

Например, пусть ( $inline$ )є α и ( $inline$ )є α. Сформулированное определение требует: чтобы отношение α было транзитивным, обязательно наличие в нем третьей пары (дуги), а именно, ( $inline$ ), но так как ее нет, то свойство транзитивности для α не выполнено.

Если, как и раньше, отношение содержит только две пары с общим элементом $inline$ , но такие, что общий элемент $inline$ находится в одинаковой позиции в обеих парах ( $inline$ ), ( $inline$ ) или ( $inline$ ),
( $inline$ ), а дуги на графе направлены в разные стороны, то такое отношение транзитивно, так как включение третьей пары в состав отношения не требуется.

Транзитивным отношение будет и в случае, когда две пары не имеют общих элементов. Примерами транзитивных отношений являются:« равенство » (=), так как из i = k, k = j вытекает i = j; « i больше j»; в геометрии – «параллельность прямых». Примеры не транзитивных отношений: «перпендикулярность прямых» в геометрии; « i не равно j».

В литературе, посвященной отношениям, можно встретить разнообразные понятия, характеризующие транзитивность: слабая транзитивность, сильная транзитивность, отрицательная транзитивность, антитранзитивность, слабая антитранзитивность, обобщенная транзитивность, транзитивное замыкание и некоторые другие. Здесь сделана попытка систематизировать многообразные оттенки проявления свойства транзитивности в отношениях.

Для транзитивного отношения α отношение $α^{–1}$ также всегда является транзитивным. Пересечение произвольного числа транзитивных отношений является транзитивным отношением. Если рассматривать отношение ᾰ, которое является пересечением всех транзитивных отношений, содержащих отношение α, то ᾰ называется транзитивным замыканием отношения α.

Транзитивное замыкание ᾰ может быть построено для любого отношения α в соответствии с правилом из $inline$ следует:

$(∃а_{к1}, а_{к2}, …,а_{кs})( а_iα а_{к1}Λа_{к1}α а_{к2}Λ… Λ а_{кs}α а_j)$ .

Отношение ᾰ является наименьшим транзитивным отношением, содержащим α. Если α транзитивно, то оно совпадает со своим транзитивным замыканием α=ᾰ и наоборот.

При изображении транзитивного бинарного отношения ориентированным графом можно изображать не весь орграф, а лишь его транзитивный остов, т.е. не изображаются дуги, соединяющие начало и конец каждого маршрута длиной более единицы. В этом случае говорят, что для отношения α взят транзитивный остов графа. Эта операция по существу является обратной к операции транзитивного замыкания, при которой начало и конец каждой цепи соединяются дугой.

Относительно операции объединения отношений в общем случае свойство транзитивности не выполняется. Объединение двух транзитивных отношений $inline$ и $inline$ является транзитивным тогда и только тогда, когда одно из них транзитивно относительно другого. Для пары бинарных отношений $inline$ и $inline$ можно рассматривать транзитивность одного из них относительно другого.

Так $inline$ является транзитивным относительно $inline$ при выполнении условий:

1) из $inline$ следует $inline$ ;
2) из $inline$ следует $inline$ .

В случае, когда $inline$ относительная транзитивность является обычной транзитивностью.

Известно следующее утверждение относительно свойств транзитивности, симметричности и асимметричности отношения. Если бинарное отношение транзитивно, то его симметричная часть $α^{(S)}$ и $α^{(а)}$ асимметричная часть также транзитивны.

Обратное выполняется лишь в том случае, если $α^{(S)}$ , $α^{(а)}$ транзитивны и $α^{(а)}$ транзитивно относительно $α^{(S)}$ . В общем случае из транзитивности $α^{(S)}$ и $α^{(а)}$ не следует транзитивность α.

Композиция транзитивного отношения α с собой удовлетворяет соотношению α·α ⊆ α. Отношение α является отрицательно транзитивным (нетранзитивным) в том случае, если транзитивным является дополнение к нему, т.е. ᾱ. В матрице такого отношения [ $α_{ij}$ ] из $α_{ik} = 0$ и $α_{kj} = 0$ следует $α_{ij} = 0$ . Отрицательная транзитивность α не исключает того, что само α может быть также транзитивным.

В этом случае говорят, что α является сильно транзитивным отношением. Элементы матрицы [ $α_{ij}$ ] такого отношения характеризуются тем, что из $а_{ik}·а_{kj} =1$ следует $а_{ij} = 1$ , a из $а_{ik} = а_{kj} =0$ следует $а_{ij} = 0$ .

Наряду с сильно транзитивными отношениями рассматриваются слабо транзитивные (псевдотранзитивные), к которым относятся те из отношений, где выполняются условия из $а_iα^{(S)}а_К$ и $inline$ следует $inline$ . Из асимметрии и отрицательной транзитивности следует его транзитивность.

Отношение α является транзитивно полным, если для любых δ из $а_{K1}αа_{K2}, а_{K2}αа_{K3},…, а_{K(δ-1)}αа_{Kδ}$ ,
следует сравнимость $а_{K1}$ и $а_{Kδ}$ , т.е. выполняются либо $а_{K1}αа_{Kδ}$ либо $а_{Kδ}αа_{K1}$ .

Цикличность

Отношения, заданные на множестве А, могут рассматриваться с точки зрения наличия в них циклов. Удобно такое рассмотрение проводить на графах отношений. Граф циклического отношения всегда содержит, по крайней мере, один замкнутый контур (ормаршрут). При игнорировании стрелок контур превращается в цикл. Граф ациклического отношения не содержит циклов и называется ациклическим или бесконтурным.

Отношение = <Å, A > является циклическим, если из элементов множества А может быть образована хотя бы одна цепочка вида $а_iαа_{K1}, а_{K1}αа_{K2},…, а_{K(δ-1)}αа_{Kδ},а_{Kδ}αа_{Ki}$ произвольной длины δ. График Å транзитивного замыкания для циклического отношения содержит, по крайней мере, одну пару ( $inline$ ), а для ациклического отношения α не содержит ни одной такой пары.

Отношение = < Å, A > является ациклическим, если для любого δ≥1 выполняется условие из $а_iαа_{K1}, а_{K1}αа_{K2},…, а_{K(δ-1)}αа_j$ следует $inline$ . В матрице[ $α_{ij}$ ] ациклического отношения из $а_{iK1}а_{K1K2}...а_{K(δ-1)j}=1$ следует i≠j. Ациклическое отношение всегда асимметрично, но обратное не верно. Другими словами, если некоторые вершины $inline$ и $inline$ графа α ациклического отношения соединены путем; то в графе нет дуги ( $inline$ ).

Классическими примерами графов с таким свойством являются транзитивные турниры. Вершины таких графов допускают перенумерацию, при которой для любой дуги ( $inline$ ) номер вершины j больше, чем вершины i.

Если α – антирефлексивное транзитивное бинарное отношение, то оно ациклично. Из ацикличности и транзитивной полноты отношения следует его транзитивность.

Полнота

Свойство полноты (совершенства, линейности). Все множество отношений разделяет на неполные и полные, среди которых в свою очередь выделяются сильно полные. Будем иллюстрировать свойство полноты отношений, рассматривая графы отношения.

Граф полного отношения – полный, т.е. любые две его вершины непосредственно связаны хотя бы одной дугой, т.е. являются смежными. Поскольку каждой дуге в графе соответствует точка (элемент, пара) графика отношения, то на основании изложенного можно сформулировать определение.

Отношение = <Å, A> является полным (совершенным, линейным) тогда и только тогда, когда все элементы множества А являются сравнимыми или равны между собой. Таким образом, полное отношение рефлексивно. Другими словами, для любых двух элементов $inline$ и $inline$ справедливо $inline$ .

Если в отношении α найдется хотя бы одна пара $inline$ , $inline$ несравнимых и неравных между собой элементов, то такое отношение является неполным. Для любого полного отношения α справедливо $∆UαUα^{-1}=A×A$ или из $inline$ следует $inline$ . Бинарное отношение α полно тогда и только тогда, когда $а^{(a)} =а^{(d)}$ , т.е. когда его асимметричная часть совпадает с двойственным (п.9) отношением.

Бинарное отношение α является сильно полным, когда его график совпадает с A×A. Граф такого отношения является полным графом, в котором каждая пара вершин связана ребром, а каждая вершина имеет петлю. Такой граф называют сильно полным графом. Для полного отношения α всегда выполняются соотношения $ᾱ ⊂ α^{-1}$ и $α^{-1}⊂ᾱ ∪(α∩α^{-1})$ . Отношение $α∪(ᾱ∩α^{d}) = α∪(ᾱ)^{(S)}$ всегда полно.

Если $inline$ и $inline$ полные отношения, то $inline$ полно. В матрице [ $α_{ij}$ ] полного отношения $α_{ij} = 1$ или $α_{ji} = 1$ для любых i, j, либо верны оба равенства. Отношение α является слабо полным (слабосвязным), если для любых $inline$ таких, что $inline$ , либо $inline$ , либо $inline$ .

В матрице [ $α_{ij}$ ] слабо полного отношения для любых i ≠ j, либо $α_{ij} = 1$ , либо $α_{ji} = 1$ , либо верны оба равенства. Отношение α является транзитивно полным, если для произвольного n из $а_iαа_{K1}, а_{K1}αа_{K2},…, а_{K(n-1)}αа_{in}$ следует сравнимость $а_{i1}≡ а_{in}$ т.е. $а_{i1}α а_{in}$ или $а_{in}α а_{i1}$ .

Выполним подсчет числа полных отношений. Вначале рассмотрим задачу о линиях. Линией в матрице отношения будем называть отрезок прямой перпендикулярный главной диагонали матрицы отношений, соединяющий центры симметрично расположенных относительно этой диагонали двух ячеек (клеток) матрицы.

Если на одну линию (прямую) в матрице отношения попадают две и более пар симметричных позиций, то число линий, тем не менее, остается равным числу таких пар позиций. Полное число пар позиций при произвольном n определяется как $inline$ .

Итак, в матрице для произвольного отношения над множеством А имеется множество L параллельных отрезков (линий). Обозначим концевые позиции отрезков (линий) символами Л – левая и П – правая. Имеется также |L| фишек, которые можно помещать в позиции на концах линий. Задача заключается в том, чтобы определить число способов, которыми можно было бы расставить |L| фишек так, чтобы на каждой линии было не менее одной фишки.

Понятно, что задача может быть сведена к определению числа F отображений f: L → π множества L линий в множество π позиций (п = {Л, П}). Известно, что число таких отображений определяется формулой $F = |п|^{|L|}$ . Конкретное отображение (образ) может иметь вид <П, П, Л, Л, Л,…, Л, П> последовательности индексов для | L | позиций. Символу Л соответствует позиция под главной диагональю, а символу П, симметричная ей над диагональю.

Из определения полного отношения следует, что его график содержит не менее К точек, К = $inline$ , расположенных: так, что все линии оказываются занятыми, хотя бы одной фишкой. Число k точек графика, дополнительных к минимально необходимому числу, может пробегать значение k = 0(1)К = $inline$ .

При каждом фиксированном числе k точек множество выборов позиций, в которых они могут размешаться определяется значением $inline$ , где К – множество незанятых позиций. Так как k дополнительных точек заполняют полностью k линий, то для обеспечения свойства полноты отношения остается заполнить К — k позиций фишками (точками из множества минимально необходимого), и число таких заполнений равно $2^{К-k}$ .

Выборы позиций для k дополнительных точек и способы заполнения фишками К-k линий являются независимыми. Следовательно, общее число возможностей размещения К + k точек в 2∙К позициях так, чтобы все линии были заняты хотя бы одной точкой, определится выражением $C_К^k ·2^{К-k}, k = 0(1)К.$

Если просуммировать это выражение по, то получим число полных отношений, которое не зависит от ситуации с размещением диагональных точек. Другими словами, это число частично рефлексивных полных отношений, например, антирефлексивных и полных рефлексивных и полных и т.п.

Пример 5. Многообразие ситуаций размещения диагональных точек определяется числом $inline$ . Тогда П мощность множества всех полных отношений при фиксированном n определится по формуле

$П = 2^n·∑_{k=0}^КC_К^k2^{К-k} = ∑_{k=0}^КC_К^k2^{К + n - k}$ .

Для отношений с тремя обязательными свойствами

Для отношений эквивалентности с тремя обязательными свойствами. Имеется замечательный результат: каждому отношению эквивалентности над множеством из n элементов взаимно однозначно соответствует разбиение этого множества. Число таких отношений определяется формулой

$B_n = ∑_{m=0}^nS(n, m)$ , где S(n, m) — число Стирлинга 2-го рода, Bn — число
Белла или в рекуррентной форме

$B_{n+1} = ∑_{k=0}^nC_n^kB_k.$

Для упорядоченных множеств (частичных порядков) подобные формулы не открыты и их число определяется непосредственными вычислениями, т.е. моделированием. Для малых значений n данные приведены в таблице

Таблица 6. Количественные характеристики бинарных отношений

В таблице 6. показаны: n = |A| – мощность множества-носителя;
$2^{n^2}$ – количество всех бинарных отношений на множестве А;
|Ин(n) | – количество классов неизоморфных отношений;
|Г(n)| – количество отношений частичного порядка;
|Гн(n)| – количество классов неизоморфны отношений частичного по-рядка;
|Гл(n)| = n! – количество отношений линейного порядка.

Заключение

В работе выполнен детальный анализ основных свойств и устройства бинарного отношения, на основе которого удалось получить количественные характеристики для БО с одним и более свойствами. Найдены и приведены оригинальные соотношения для количества некоторых типов отношений с двумя и тремя обязательными свойствами. Эти результаты открывают возможность моделирования и изучения БО и отношений более высокой арности.

Список использованной литературы

Айгнер М. Комбинаторная теория.- М.: Мир, 1982. —
Биркгоф Г.Теория структур. — М.: ИЛ, 1952. -408 с.
Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика. — М.: Мир,1999. — 720 с.
Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. -М.: Изд. МГУ,1972. -256с.
Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т.1.- М.: Мир, 1990. — 440с.
Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т.2.- М.: Мир, 2005. — 767с.
Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. Начальные понятия.-М.: Наука, 1965. — 376с.

Количественные характеристики отношений