Рассмотренные ранее типовые звенья имели передаточные функции, которые можно представить в виде:

$W(s) = \frac{k \cdot N(s)}{L(s)} \ \ \ \ или \ \ \ \ \frac{N(s)}{L(s)}$

где N(s) и L(s) - многочлены (1 или 2-го) порядка с коэффициентами равными 1 при младших членах. Пусть все коэффициенты L(s) знаменателя - обязательно положительны, т.е. $a_{j} \geq 0$ .

Рассмотрим полюса передаточных функции, значения при которых L(s) = 0 .

Поскольку мы рассматривали свойства звеньев, порядок которых не выше 2-го, то полюса W(s) лежат в левой полуплоскости полюсов, т.е. либо действительны и меньше или равны нулю, либо имеют неположительную действительную часть. (см. рисунок 3.10.1):

Действительно, при коэффициентах знаменателя, положительная действительная часть s, приведет к тому, что выражение для будет всегда больше нуля:

$L(s) = a_2\cdot s^2+a_1\cdot s+1 \ge 0$

Например, полюсы апериодических звеньев (1-го и 2-го порядка) расположены на отрицательной части оси абсцисс, у колебательного звена – комплексные полюса, причем, Re(s_i) <0 , т.е. они находятся в левой полуплоскости; полюсы интегрирующих звеньев – на оси абсцисс и т.д.

Рассмотренные типовые звенья являются устойчивыми (за исключением интегрирующих и консервативных звеньев, которые находятся на границе устойчивости) – смотри ниже раздел «Устойчивость САР»

Если хотя бы один коэффициент в многочлене L(s) звеньев 1-го и 2-го порядков станет отрицательным, один полюс (и пара комплексно-сопряженных полюсов) W(s) будет находиться в правой полуплоскости полюсов.

Например:

$W(s) = \frac{k}{T\cdot s-1} \Rightarrow S_1 = \frac{1}{T}$

$W(s) = \frac{k}{T^2\cdot s^2-2\cdot \beta \cdot T\cdot s+1} \Rightarrow S_{1,2} = \frac{\beta}{T} \pm\frac{1}{T}\sqrt{1-\beta^2}$

Рисунок 3.10.3 Пара комплексно-сопряженных полюсов

Такие звенья становятся неустойчивыми, т.е. при любом воздействии, отклонившим звено от состояния равновесия, выходное воздействие $\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)\rightarrow \pm\infty$

Принято называть типовые звенья со всеми положительными коэффициентами в минимально-фазовыми, а если хотя бы один коэффициент в отрицателен – неминимально-фазовыми.

Поясним это сравнением 2-х апериодических звеньев 1-го порядка (устойчивого и неустойчивого)

Устойчивое звено:

$W(s) = \frac{k}{T\cdot s+1}\Rightarrow S_1=-\frac{1}{T}$

$W(i\cdot\omega) = \frac{k}{1+i\cdot T\cdot\omega}=\frac{k}{1+T^2\cdot\omega^2}-i\cdot\frac{k\cdot T \cdot \omega}{1+T^2\cdot\omega^2}$

$\varphi =-arctg(T\cdot \omega)$

$h(t) = k \cdot[1-e^{-\frac{t}{T}}]$

Неустойчивое звено:

$W(s)=\frac{k}{T\cdot s-1} \Rightarrow S_1=+\frac{1}{T}$

$W(i\cdot \omega)=\frac{k}{-1+i\cdot T\cdot \omega}=\frac{k(-1-i\cdot T\cdot\omega)}{1+T^2\cdot\omega^2}=-\frac{k}{1+T^2\cdot\omega^2}-i\frac{k\cdot T\cdot \omega}{1+T^2\cdot \omega^2}$

$\varphi =-\pi+arctg(T \cdot \omega)$

$h(t) =k\cdot[e^{\frac{t}{T}}-1]$

Рисунок 3.10.4 Годограф устойчивого звена

Рисунок 3.10.5 Годограф неустойчивого звена

Рисунок 3.10.6 Сдвиг фазы устойчивого звена

Рисунок 3.10.7 Сдвиг фазы неустойчивого звена

Рисунок 3.10.8 Переходная функция устойчивого звена

Сравнение этих звеньев показывает, что сдвиг фазы устойчивого звена $(W(s)={k}/{(T\cdot s})+1)$ меньше по модулю, чем сдвиг фазы неустойчивого звена $(W(s)={k}/{(T\cdot s})-1)$ .

Поэтому минимально-фазовыми (в общем случае) являются такие звенья, которые не имеют положительной вещественной части ни в полюсах, ни в нулях передаточной функции. Такие звенья имеют наименьшие по абсолютному значению фазовые характеристики.

Важным свойством минимально-фазовых звеньев является однозначное соответствие между и амплитудной характеристикой $A(\omega)$ и фазовой характеристикой $\varphi(\omega)$ , т.е. по заданной можно всегда рассчитать и наоборот.

Пример 1

Проверим аналитическое решение численным моделированием. На рисунке 3.10.9 представлена модель двух звеньев вида $W_1(s) = \frac{k\cdot s}{T\cdot s+1}$ и $W_2(s)=\frac{k\cdot s}{T\cdot s-1}$ в которых коэффициенты T=1, k =1

Модель для сравнения и результаты моделирования представлены на рисунке 3.10.9

Видим, что переходной процесс, в первом звене затухающий. К 7 – 8 секунде расчета выход блока 1 стабилизируется на значении 0. Для второго блока выходное значение растет по экспоненте.

Пример 2

Проверим вышесказанное утверждение на более сложной передаточной функции второго порядка.

Для этого используем блок «Передаточная функция общего вида» и задаем свойства как показано на рисунке 3.10.10. Получим две передаточные функции 3 и 4 которые отличаются только знаком при одном из коэффициентов знаменателя. У передаточного звена 3 все коэффициенты положительные. У звена 4 один из коэффициентов в знаменателе отрицательный. См. рисунок 3.10.10

Рисунок 3.10.10 Настройка передаточной функции общего вида.

Результаты расчета показывают, что звено общего вида, так же становится неустойчивым, если один из коэффициентов в знаменателе отрицательный. см. рис. 3.10.11

Рисунок 3.10.11 Сравнение переходных процессов в устойчивом и неустойчивом звене.

Для звена 3, где все значения знаменателя положительные, переходной процесс заканчивается к 3 секунде расчёта, и устанавливается новое значение выходной величины. Для звена 4 переходной процесс представляет собой колебания, у которых амплитуда растет экспоненциально. См. рис. 3.10.11

В модели на рисунке 3.10.11 добавлен блок «Построение частных характеристик» для отображения АЧХ и ФЧХ. На рисунке 3.10.12 приведены АЧХ и ФЧХ двух звеньев. Видно, что графики АЧХ практически совпадают, а вот графики ФЧХ отличаются, при чем у неустойчивого звена 4 сдвиг фазы по модулю больше, чем у устойчивого звена 3.

Рисунок 3.10.12 Сравнение частотных характеристик устойчивого и неустойчивого звена.

Проведем боле масштабное исследование. В одном блоке можно смоделировать множество разных передаточных функций с разными наборами коэффициентов числителя и знаменателя.

Создадим серию передаточных звеньев, у которых все коэффициенты, кроме одного, одинаковы, а один коэффициент меняется плавно от отрицательного до положительного в серии.

В качестве базового передаточного звена возьмем звено второго порядка, передаточная функция которого представлена на рисунке 3.10.13 Коэффициенты подобраны таким образом, чтобы изменения выходных функций при ступенчатом воздействии не вызвали чрезмерного роста масштаба графика, как на рисунке 3.10.11, где амплитуда колебаний для неустойчивого звена составляет 1е14, и весь график в начальный момент времени представляет собой прямую линию, хотя на самом деле там идут колебания с постоянно увеличивающейся амплитудой, которые не отражаются в полном объеме из-за масштаба графика.

Рисунок 3.10.13 Модель для серии передаточных функций.

Для формирования серии звеньев воспользуемся тем, что практически все звенья могут обрабатывать не только скалярные сигналы, но и векторные. Ступенчатое воздействие может быть размножено в нужном количестве и отправлено в виде вектора в звено, где будет вычислено заданное количество передаточных функций.

Для формирования вектора воспользуемся скриптом в главном окне программы. Сам скрипт представлен на рисунке 6. Для удобства мы сделаем количестве звеньев переменным и можем провести расчёты как для произвольного размера вектора. Изменяя константу Size, мы можем получить разный размер вектора.

Изменять будем второй коэффициент в знаменателе в диапазоне от -0.1 до 1, с равномерным шагом в зависимости от размер вектора.

Ниже приведен исходный код главного скрипта программы.

const 
Size = 50,             //размер вектора (количество звеньев)
N_v = [85 4 0.01],     //коэффициенты числителя
L_v = [2 1 0.5];       //коэффициенты знаменателя
X_0 = matrix(Size,1); //матрица - вектор начальных условий
var
N_m = matrix(Size,3),  //матрица коэффициентов числителя
L_m = matrix(Size,3);  //матрица коэффициентов знаменателя

initialization
 for (i=1,Size) begin  //в цикле присваиваем коэффициенты 
  for (j=1,3) begin    //формируется набор одинаковых коэффициентов
		N_m[i,j] = N_v[j];
		L_m[i,j] = L_v[j];
	 end;//for j
 end;//for i
 da = 1.15/Size; //Шаг изменения коэффициента знаменателя
 // в заполонённой матрице меняем второй коэффициент для знаменателя
 // в первом звене 2-й коэффициент числителя (1 - da) 
 // все последующие уменьшаются с шагом da
 for (i=1,Size) L_m[i,2]=1-i*da;
end; //initialization

Создание необходимых векторов происходит в секции инициализации, которая выполняется перед началом расчёта.

Чтобы использовать эти векторы в блоке «Передаточная функция общего вида», в свойствах в столбце «Формула» задаются имена соответствующих переменных (см. рис. 3.10.14)

Рисунок 3.10.15 Настройка свойств блока для векторной обработки 50 передаточных функций.

Создание трехмерного графика

Поскольку мы исследуем серию передаточных функций, интересно построить трехмерный график зависимости переходного процесса от изменений исследуемого коэффициента.

Для этого используем мгновенный трехмерный график, который строится по векторам X,Y и матрице результатов Z(X,Y).

В качестве параметров используем изменение коэффициента в знаменателе – ось X, и

время переходного процесса – ось У, время дискредитировано на 100 точек. Таким образом, поверхность будет представлять собой зависимость изменения переходного процесса от изменения коэффициента. Сечение поверхности в плоскости Y-Z – это график переходного процесса при коэффициенте равном значению Х в плоскости сечения.

Для формирования матрицы и векторов используем блок «Язык программирования». Скрипт блока языка представлен ниже. На вход в каждый момент времени будет поступает вектор текущих значений выхода из блока.

В секции инициализации создаются вектора значений и матрица результатов.

В основном теле программы проверяется время, и если текущее время увеличивается на шаг дискретизации, то результаты входа присваиваются строке в матрице результата. В итоге в конце расчёта вся матрица заполонена результатами. Скрипт блока приведен ниже:

input Z[Size];
output X_out[Size],Y_out[100], Z_out[Size,100];

var 
i,j,it: integer,
position: integer;

initialization 
 it = 0;
 for (i=1,Size) X_out[i] = L_m[i,2]; // вектор значений 2-го коэффициента
 for (i=1,100) Y_out[i] = i/(100/10); // вектор значений времени
end;

i = trunc(Time*(100/10)); //дискретизация значения по времени для графика
if i>it then
begin
 it = i;
 //заполнение матрицы результатов
 for (j=1,Size) begin
  if ((i>0) and (i<(100+1))) then Z_out[j,i] = Z[j]  
  end;//for 
end;//if

Результаты моделирования в виде графика переходного процесса для 50 звеньев представлены на рисунке 3.10.16. Видно, что часть графиков представляют собой затухающие колебания, а часть – незатухающие колебания.

Рисунок 3.10.17 Переходные процессы в 50 звеньях.

На трехмерном графике переход от устойчивых звенья к неустойчивым выглядит более наглядно:

Рисунок 3.10.18 Поверхность зависимости переходного процесса от коэффициента звена

Еще более заметно отличие устойчивых и неустойчивых звенев на графике частотных характеристик. При смене знака в коэффициенте знаменателя ФЧХ меняется кардинально. При этом видно, что модуль сдвига фазы неустойчивого звена больше модуля сдвига фазы устойчивого звена.

Рисунок 3.10.19 Частотные характеристика 50 звеньев.

Выводы.

Численное исследование подтверждает свойства минимально-фазных и не минимально-фазных звеньев.

Как обычно, модели, представленные в статье, для собственных экспериментов можно взять по ссылке.

Ниже – видео демонстрации модели и ее возможных изменений.

1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ.
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ.
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.
3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора.
3.4. Апериодическое звено 2-го порядка.
3.5. Колебательное звено.
3.6. Инерционно-дифференцирующее звено.
3.7. Форсирующее звено.
3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением).
3.9. Изодромное звено (изодром).

3. Частотные характеристики. 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья