Продолжаем разбиратся теорией автоматического управления, по лекциям Олега Степановаича Козлова, "Управление в технических системах". Сейчас у нас будет критерий Найквиста. Но сначала краткое содержание предыдущих серий:

1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1 Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2 Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3 Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4 Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5 Колебательное звено. 3.6 Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7 Форсирующее звено. 3.8 Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9 Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности.
4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.
5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).
6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова.

6.5. Частотный критерий Найквиста

Для определения устойчивости САР с использованием критериев Гурвица и Михайлова необходимо иметь (знать) аналитическое выражение соответствующего характеристического полинома ( — для замкнутой САР; — для разомкнутой САР), что далеко не всегда известно.

Если, например, передаточная функция САР неизвестна, - она может быть определена экспериментально на основании измерения амплитудных фазочастотных характеристик, т.е. сначала экспериментально, например, определяются $A(\omega)$ и $\varphi(\omega)$ , а затем «подбирается» соответствующее выражение для $\Phi(s)$ (или для ), обеспечивающее точно такие же амплитудные и фазовые характеристики. В этом случае схема эксперимента представлена на рисунке 6.5.1

где: - коэффициенты полиномов и ( или - для разомкнутых систем), соответсвенно.

Вышеописанный способ нахождения выражения для (или для называется идентификацией, т. е. по каким‑то отдельным характеристикам САР (например, $A(\omega),\varphi(\omega)$ ) (определяется или подбирается) аналитическое выражение линейной передаточной функции в виде:

$\Phi(s)=\frac{K\cdot N(s)}{L(s)}$

с помощью данного выражения можно определить и другие характеристики САР — например, переходной процесс (переходную и весовую функций).

С другой стороны можно не определяя аналитического выражения $\Phi(s)$ , а используя частотные свойства разомкнутой САР $W(i\cdot \omega)$ сделать вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой САР, поскольку как было показано выше, частотные свойства замкнутой САР полностью определяются частотными свойствами разомкнутой САР, т. е. зная $W(i\cdot\omega)$ можно легко рассчитать $\Phi(i\cdot \omega)$ .

«Идеальным инструментом» для реализации вышеописанного алгоритма является частотный критерий Найквиста, который позволяет по известным частотным свойствам разомкнутой САР сделать вывод об устойчивости замкнутой САР.

Необходимо дополнить, что если аналитическое выражение известно, то критерий Найквиста применим «напрямую», т. е. без предварительного расчета на основании результатов экспериментов:

Рисунок 6.5.2. Варианты определения устойчивости.

Важной особенностью частотного критерия Найквиста является возможность определить не только состояние замкнутой САР (устойчива или неустойчива), но определить и запасы устойчивости, т.е. определить «как далеко» САР находится от границы устойчивости.

Рассмотрение критерия Найквиста выполним для различных состояний разомкнутой САР, а именно:

разомкнутая САР устойчива;
разомкнутая САР неустойчива;
разомкнутая САР находится на апериодической границе;
разомкнутая САР находится на колебательной границе;

6.5.1. Критерий Найквиста для замкнутых САР, устойчивых в разомкнутом состоянии.

Рассмотрим замкнутую САР, структурная схема которой имеет следующий вид (см. рис. 6.5.3):

Причем разомкнутая САР – устойчива, т.е. все полюса расположены в левой полуплоскости.

Требуется определить условия устойчивости замкнутой САР, используя частотные свойства $W(i\cdot\omega)$ разомкнутой САР.

Пусть $W(s)=\frac{K\cdot N(s)}{L(s)}$ , где полиномы и имеют свободные члены равные 1

Введем воспомогательную функцию

$W_1(s)=1+W(s)=1+\frac{K\cdot N(s)}{L(s)}=\frac{L(s)+K\cdot N(s)}{L(s)} =\frac{D(s)}{L(s)}\ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.5.1)}$

где: - характеристический полином замкнутой САР;

- характеристический полином разомкнутой САР.

Подставляя в место в функцию выражение $i\cdot \omega$ получаем:

$W_1(i\cdot \omega)=\frac{D(i\cdot\omega)}{L(i\cdot\omega) }=1+W(i\cdot\omega) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.5.2)}$

т.е. годограф «смещен» на комплексной плоскости относительно годографа вправо на 1.

Поскольку мы приняли, что разомкнутая система устойчива, то согласно критерия Михайлова (см. раздел 6.4.) следует , что изменение $L(i\cdot\omega)$ при изменение $\omega$ от 0 до равно $n\cdot \frac{\pi}{2}\Rightarrow$

$\Delta arg\ \ L(i\cdot\omega)=n\cdot\frac{\pi}{2}$

где - порядок полинома то есть порядок САР;

C другой стороны если замкнутая САР устойчива согласно критерию Михайлова, то изменение аргумента полинома $D(i\cdot\omega)$ при изменение $\omega$ от 0 до $\infty$ так же равно $n\cdot \frac{\pi}{2}\Rightarrow$

$\Delta arg \ \ D(i\cdot\omega) =n\cdot\frac{\pi}{2}$

Определим изменение аргумента для передаточной функции , вспомнинаем выражение для передаточной функции в (см. Частотные характеристики систем автоматического управления) $W(i\cdot\omega)=A(\omega)\cdot e^{i\cdot\varphi(\omega)}$

$W_1(i\cdot\omega)=\frac{D(i\cdot\omega)}{L(i\cdot\omega)}=\frac{A_D(\omega)\cdot e^{i\cdot\varphi_D(\omega)}}{A_L(\omega)\cdot e^{i\cdot\phi_L(\omega)}}=\frac{A_D(\omega)}{A_L(\omega)} \cdot e^{i\cdot [\varphi_D(\omega)-\varphi_L(\omega)]}$

Как видим изменение аргумента для определяется разностью изменения аргуметнов для и ри изменение $\omega$ от 0 до $\infty$ получаем $\Rightarrow$

$\Delta argW_1(i\cdot\omega) = \Delta arg D(i\cdot\omega) - \Delta argL(i\cdot\omega)=n\cdot\frac{\pi}{2}-n\cdot\frac{\pi}{2}=0 \ \ \ \ \ \mathbf{(6.5.5)}$

Выражение 6.5.5 означает, что если САР устойчива, то годограф $W_1(i\cdot\omega)$ при изменени $\omega$ от 0 до $\infty$ не охватывает начало координат.

Рисунок 6.5.4. Годограф для устойчивой САР

Учитывая, формулу 6.5.2 годограф $W_1(i\cdot\omega)$ смещен «смещен» на комплексной плоскости относительно годографа передаточной функции $W(i\cdot\omega)$ вправо, то для годогорафа точка 0 смещается влево. Следовательно, годограф $W(i\cdot\omega)$ не должен охватывать точку $(-1;0\cdot i)$ на комплексной плоскости:

Рисунок 6.5.5. Годограф для устойчивой САР — Рисунок 6.5.5. Годограф $W(i\cdot\omega)$ для устойчивой САР

Определение: Если разомкнутая САР устойчива, то для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы годограф $W(i\cdot\omega)$ АФЧХ разомкнутой САР не охватывала точку $\mathbf{(-1;0\cdot i)}$ .

Необходимо отметить, что для разомкнутой САР, имеющей $W(i\cdot\omega)$ годограф похожий на рис. 6.5.5 левый вариант, устойчивость системы (замкнутой) нарушится только с увеличением общего коэффициента усиления К. (Дейстивительно при увеличении коэффициента K увеличится длинна вектора и он может охватить точку -1).

Для САР, имеющих годограф $W(i\cdot\omega)$ похожий на рис.6.5.5 правый вариант, устойчивость САР нарушится как при увеличении К, так и при уменьшении общего коэффициента усиления К.

Пример измененных годографов неустойчивых САР на следующем рисунке:

Рисунок 6.5.6 Примеры годографов неустойчивых САР

Критерий Найквиста может быть представлен и в другом виде. А именно, с использованием логарифмических амплитудных и фазовых характеристик разомкнутой САР.

Так АФЧХ разомкнутой САРне должна охватывать точку $(-1; 0\cdot i)$ это означает означает что:

$если \ \varphi (\omega_0) =-\pi; \ \ то \ \ Lm(\omega_0)=20\cdot lg [A(\omega_0)]<0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.5.6)}$

Тогда в зависимости от вида годографа $W(i\cdot\omega)$ соответсвующие графики $Lm(\omega)$ и $\varphi(\omega)$ для устойчивой САР должны иметь вид как на рисунке 6.5.7:

В этом случае необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой САР является требование чтобы частота среза $\omega_{ср}$ (т.е. частота, при которой $A(\omega_{ср}) =1$ , а логарифм единичной амплитуды равен $Lm(\omega_{ср}) =0$ лежала левее частоты, при которой сдвиг фазы $\varphi(\omega)=-\pi$ . Если это требование не выполняется, то замкнутая САР – неустойчива.

Если для годографа $W(i\cdot\omega)$ графики $Lm(lg(\omega))$ и $\varphi(lg(\omega))$ имеют вид типа рис.6.5.8

Рисунок 6.5.8. ЛАХ и ФЧХ Годографа усточивой САР

На графике 6.5.8 $\varphi(lg(\omega))$ имеется три пересечения с горизонталью $-\pi$ , это соотвествует трем пересечением с осью Re, годографа $W(i\cdot \omega)$ (правый график рисунка 6.5.6).

В этом случае необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой САР является требование, чтобы последний переход через линию $\varphi(\omega)=-\pi$ графика $\varphi(\omega)$ проходил правее частоты среза $\omega_{ср}$ ,а также требование, чтобы общее количество переходов через линию $-\pi$ левее частоты среза $\omega_{ср}$ , было бы ЧЕТНЫМ.

6.5.2. Критерий Найквиста для замкнутых САР, неустойчивых в разомкнутом состоянии.

Рассматривается САР, охваченная обратной связью:

Причем разомкнутая САР – неустойчивая, .те. часть полюсов W(s) лежат в правой полуплоскости:

Рисунок 6.5.10 Полюса неустойчивой системы

Хотя разомкнутая САР и неустойчива, это не означает, что замкнутая САР тоже неустойчива, поскольку замыкание цепи обратной связи может сделать замкнутую САР устойчивой.

Используем те же вспомогательную передаточную функцию (см. формулу 6.5.1)

$W_1(s)=\frac{D(s)}{L(s)} \Rightarrow W_1(i\cdot\omega)=\frac{D(i\cdot\omega)}{L(i\cdot\omega)}$

рассмотрим опять изменение аргумента при изменении $\omega$ от до $\infty \ \ \ \Rightarrow$

$\Delta argW_1(i\cdot\omega) = \Delta arg D(i\cdot \omega)- \Delta argL(i\cdot\omega) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.5.7)}$

Мы приняли что неустойчива и - полюсов расположено в правой полуплоскости (см. рис. 6.5.10), тогда приращение аргумента полинома $L(i\cdot\omega)$ не обеспечивает поворот на нужный угол, согласно критерию Михайлова:

$\Delta arg L(i\cdot\omega)=n\cdot\frac{\pi}{2}-l\cdot\pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.5.8)}$

Для замкнутой и устойчивой САР, с характеристическим полиномом $D(i\cdot \omega)$ выполняется критерий устойчивости Михайлова, а значит приращение аргумента можно записать как:

$\Delta arg D(i\cdot\omega)=n\cdot\frac{\pi}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.5.9)}$

Теперь подставляя формулы 6.5.8 и 6.5.9 в формулу 6.5.7 получаем выражение для приращения аргумента $W_1(i\cdot\omega)$ :

$\Delta argW_1(i\cdot\omega)=n\cdot\frac{\pi}{2}-n\cdot\frac{\pi}{2}+l\cdot\pi=l\cdot\pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.5.10)}$

Соотношение (6.5.10) означает, что при изменении $\omega$ от $\infty$ вектор $W_1(i\cdot\omega)$ должен повернуться против часовой стрелки на угол, равный $l\cdot\pi$ , где - количество полюсов, расположенных в правой полуплоскости. Годогроф $W_1(i\cdot\omega)$ «смещен» на комплексной плоскости относительно годографа передаточной функции $W(i\cdot\omega)$ , вправо. Соотвесвенно годогорофа передаточной функции $W(i\cdot\omega)$ должен огибать точку на комплексной плоскости, тогда критерий можно сформлировать следущим способом:

Для устойчивости замкнутой САР, неустойчивой в размокнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф системы $W(i\cdot\omega)$ охватывал точку против часовой стрелки на угол, равный $l\cdot \pi$ , где количетов полюсов в правой полуполскости для размокнутой САР.

Рисунок 6.5.11. Примеры годографы устойчивых САР

Все эти рисунки соответствуют устойчивым замкнутым САР, хотя разомкнутые САР – неустойчивы.

Для САР – неустойчивых в разомкнутом состоянии и устойчивых в замкнутом состоянии критерий Найквиста может быть представлен в другом виде, а именно: с использованием логарифмических амплитудных и фазовых характеристик разомкнутой САР. Например:

Рисунок 6.5.12. ЛАХ ФЧХ для устойчивой САР

ЧПравило гласит, что разность между числом положительных и отрицательных переходов через линию $-\pi$ левее частоты среза $\omega_{ср}$ должно равнятся , причем начало характеристики $\omega(lg[\omega])$ при $\omega\rightarrow\infty$ считается за пол перехода.

Например изображенный на рисунке график не содержит переходов левее честоты среза, но при $\omega\rightarrow\infty$ считается график стремится к $-\pi$ , что приводит к количеству переходов 1/2, так как полюс в правой полуполскости один.

Рассмотрим систему AФЧХ, которой имеет вид типа привденного на рис.6.5.13

Рисунок 6.5.13 ЛАХ и ФЧХ для САР устойчивой в замкнутом состоянии

Для таких систем сущетсвует два варианта формулировки критерия Найквиста "упрощенный"и класический.

"Упрощенный вариант" для САР невысокого порядка когда степень харктеристического полинома $n\le6$ :

Если САР неустойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы последний отрицательный переход через линию $-\pi$ на графике $\varphi(\omega)$ проходил правее последней частоты среза.

Классический вариант формулировки критерия Найквиста:

Определение: Если разомкнутая САР – неустойчива, причем полюсов расположено в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы сумма положительных и отрицательных переходов через линии $-\pi,-3\cdot \pi,-5\cdot\pi$ и т.д. ( на тех участках графика $\varphi(\omega)$ где $Lm(\omega)$ положительно) равнялась причем если $\omega\rightarrow\infty, a \ \ \varphi\rightarrow0$ то такой переход считается полупереходом (1/2) .

Рассмотрим график на рисунке 6.5.13. Плюсом здесь обозначены переходы графика $\varphi(\omega)$ через линию $-\pi$ , которые соответствуют участкам где $Lm(\omega)>0$ , минусами- переходы которые не попадают под это правило, поэтому сумма положительных и отрицательных переходов вычисляется как:

$\sum=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}=\frac{l}{2}$

В формулировке критерия устойчивости на основании логарифмических частотных характеристик упоминалось и про переходы через линии $-3\pi,-5\pi$ и т.д. Это имеет место для систем более высокого порядка, например, переход через линию $-\pi$ требует, чтобы порядок системы был не ниже n = 7 и т.д.

6.5.3. Критерий устойчивости Найквиста для замкнутых САР, нейтральных в разомкнутом состоянии.

Как и ранее рассматривается САР, охваченная единичной обратной связью:

Рисунок 6.5.9 САР с обратной свзязью — Рисунок 6.5.14 САР с обратной свзязью

Причем передаточная функция может быть представлена в виде:

$W(s)=\frac{K\cdot N(s)}{L(s)}=\frac{K\cdot N(s)}{s^v\cdot L_1(s)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.5.3.1)}$

где: - количество нулевых полюсов;

- полином по степеням , где свободный члена равен 1.

Например передаточная функция:

$W(s)=\frac{1}{s^3+s^2+s}$ может быть представлена как $\frac{1}{s\cdot(s^2+s+1)}$

При этом представлении мы выносим общие множители s за скобку, или выделяем интеграторы в передаточной функции. Величина называется степенью "астатизьма", поскольку наличие интегратора в передаточной функции обеспечивает астатические совойства САР. (см. лекцию Изодромное звено).

Если , то разомкнутая САР имеет нулевых полюсов и полюсов, расположенных в левой полуплоскости. (При наличии полюсов и в правой полуплоскости устойчивость необходимо рассматривать как это делалось в п.п. 6.5.2)

Рисунок 6.5.15. Расположение полюсов функции разомкнутой САР

Редакция формулировки критерия Найквиста в этом случае совпадает с формулировкой критерия для САР. устойчивых в разомкнутом состоянии.

Для устойчивости замкнутой САР, нейтральной в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой САР $W(i\cdot \omega)$ не охватывал точку $(-1,0\cdot i)$

Графическая иллюстрация критерия в этом случае приведена на рисунке 6.5.16

Рисунок 6.5.16 Годограый усточивых и неустойчивых систем

Поснение к правому варианту годографа. Если при дополнении угла при $\omega\rightarrow\infty$ до $\varphi(\omega)=0$ , точка $(-1,0\cdot i)$ отделена от окружности бесконечного радиуса линией годографа, то годограф не охватывает указанную точку.

Формулировка критерия с использованием логарифмических амплитуд и фазовых характеристик аналогична тем, что приведены в подразделе 6.5.2:

«Последний» отрицательный переход через линию $-\pi$ на графике $\varphi(\omega)$ (для систем невысокого порядка: $n\le6$ ) должен быть расположен правее «последней» $\omega_{среза}$ на графике $Lm(\omega)$ .

6.5.4 Критерий устойчивости Найквиста для САР, имеющих 2 чисто мнимых полюса в разомкнутом состоянии.

Как и ранее рассматривается САР, охваченная единичной обратной связью:

Рисунок 6.5.14 САР с обратной свзязью — Рисунок 6.5.17 САР с обратной свзязью

Если характеристический полином знаменателя передаточной функции содержит два минимых полюса $s_{1,2}=\pm i\cdot\beta$ , то передаточная функция W(s) может быть представлена в виде:

$W(s)=\frac{K\cdot N(s)}{L(s)}=\frac{K\cdot N(s)}{(\frac{1}{\beta^2}\cdot s^2+1)\cdot L_1(s)}$

где: - многочлен по степеням «s», причем свободный член = 1;

$\beta$ - коэффициент при мнимой части чисто мнимого полюса: $s_{1,2}=\pm i\cdot\beta$ .

Формулировка критерия Найквиста в этом случае такая же, что и в подразделах 6.5.1 и 6.5.3

Для устойчивости замкнутой САР, имеющей в разомкнутом состоянии 2 чисто мнимых полюса, необходимо и достаточно, чтобы годограф $W(i\cdot\omega)$ не охватывал точку $(-1,0\cdot i)$ , т.е. между окружностью бесконечного радиуса (дополняющего разрыв на графике и точкой $(-1,0\cdot i)$ , должен «проходить» годограф (см. рис. 6.5.18).

Рисунок 6.5.18. Годограф устойчивых САР с двумя мнимыми корнями

По аналогии с предыдущими подразделами (см. 6.5.1 - 6.5.3) в этом случае возможна и другая формулировка критерия Найквиста, а именно, с использованием логарифмических амплитудных и фазовых характеристик.

Рисунок 6.5.19 АФЧХ устойчивой системы с двумя инимыми корнями.

На рисунке 6.5.19 представлена иллюстрация для примера «а)» (рис. 6.5.18), характерной особенностью годографа являются разрывы в амплитудной и фазовой характеристиках.

6.5.5 Понятие о запасах устойчивости по амплитуде и фазе.

Главной особенностью частотного критерия Найквиста является то, что с его помощью можно определить не только устойчива или нет САР, но и определить запас устойчивости (до колебательной границы), а точнее запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

Графическая иллюстрация запасов приведена на рисунке 6.5.20

Рисунок 6.5.20. Запасы устойчивости по фазе и амплитуде

$\Delta A$ - запас по амплитуде - показывает на сколько можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой САР, чтобы замкнутая САР оставалась устойчивой. Обычно запас по амплитуде выражают в децибелах

$\Delta Lm = |20\cdot lg(1-\Delta A)|=|20\cdot lg(1-\Delta A)|$

Считается нормальным, если запас по амплитуде составляет $\approx (30\div60) дВ$ .

$\Delta\varphi$ - запас по фазе - показывает, насколько можно увеличить сдвиг по фазе разомкнутой САР, чтобы замкнутая САР оставалась устойчивой.

Обычно, чем меньше , тем более колебательным является переходной процесс в замкнутой САР.

Рисунок 6.5.21 Переходные процессы устойчивых САР

Для обеспечения незначительной колебательности (или полного ее отсутствия) запас по фазе должен составлять не менее 30…45 градусов.

Небольшая демонстрация анализа устойчивости САР с помощью критерия Найквиста

Пример модели, использованный в демонстрации можно взять здесь..

Следующая лекция 6.6 Понятие об областях устойчивости.

Учебное видео по теме критерия Найквиста

Лабораторная работа МГТУ им. Н.Э. Баумана: Анализ устойчивости и коррекция САР по частотным характеристикам и по полюсам.

Другие лекции:

6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.5. Частотный критерий Найквиста