Shortcomings and suggestions for improving the Analytic hierarchy process

Морозов В.И., Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна, Morozov V.I., Saint Petersburg State University of Industrial Technologies and Design

Картинка-заставка на тему компьютерного моделирования выполнена программой графического искусственного интеллекта Leonardo.AI.

В данной статье выполнен обзор метода анализа иерархий (МАИ) Т.Саати в части формирования экспертами матриц парных сравнений, выявлены недостатки и разработаны рекомендации по совершенствованию МАИ.

Метод анализа иерархий (МАИ), разработанный Т.Саати, стал широко известным в России в 90-х годах прошлого века. Мною он также был применён при решении второстепенной частной задачи в Военно-морской академии в 1993-1994 годах. Тогда же мне стали очевидны основные недостатки МАИ.

Один из недостатков МАИ - возможное существенное отклонение элементов матрицы парных сравнений, установленных экспертами, от своих рангов. Для его устранения рекомендую проверить на согласованность элементы матрицы в порядке возрастания или убывания методом сортировки и ранжирования. Не выполнение этой процедуры в знаменитом труде Т. Саати [1] привело к ошибке в демонстрационном примере выбора варианта покупки дома, которую он исправил в 2015 году в работе [2]. В таблицах 1 и 3 приведены эти критерии (факторы) в наименовании работы [2].

Выполним построчно сортировку критериев в порядке возрастания для таблицы. Знак равно перед или после номера критерия означает, что значения критериев в таблице 1 одинаковы: например: в строке 1 пятого и шестого элементов.

Как мы видим по результатам сортировки критериев в таблице 2 элемент a₃₇таблицы 1 и обратный ему элемент a₇₃установлены некорректно и требуют дополнительного уточнения экспертом. В работе [2] Т. Саати внёс исправления, откорректированные значения приведены в таблице 3.

Поэтому при формировании матриц критериев и альтернатив в качестве обязательного этапа процедуры для недопущения выше приведённых ошибок рекомендуется обязательно осуществлять сортировку полученных значений критериев и альтернатив выбора в порядке возрастания или убывания и их ранжирование. При этом по матрице парных сравнений (МПС) в целом возможны различные варианты.

МПС могут составлять разные эксперты и их мнения могут не совпадать или, как в данном примере, сортировка и ранжирование не выполнялись, и эксперт не увидел различия или по-разному оценил вес элементов в разных строках матрицы. Если сравнивать разные строки матрицы в таблице 4, то часть соседних элементов меняются местами, а в строке 7 значения трёх элементов равны и это нормально. Требует уточнения ситуация с корректурой МПС, когда не соседние элементы парных сравнений, прошедшие сортировку и ранжирование, слишком далеко отклонились от своего ранга.

В работе [1] элементы матриц критериев и альтернатив представлены в виде соответствующих парных сравнений элементов [1]:

где w_i- вес произвольного i -го элемента, элемент матрицы a_ij критериев или альтернатив равен w_i/w_j(a_ij=w_i/w_j), то есть a_ij - относительный вес i-го элемента матрицы к j- му элементу.

В соответствии с МАИ экспертами заполняются предпочтения (приоритеты) выше диагонали таблицы. Диагональные элементы, как следует из выше сказанного: w_i/w_i = 1. Кроме этого, значения элементов МПС обратно симметричны: a_ji=w_j/w_i= 1/(w_i/w_i)=1/a_ij и заполняются на основе значений выше диагонали.

Это и другие аспекты порождают ряд противоречий, которые можно пояснить при продолжении рассмотрения примера с выбором дома.

На самом деле для получения значений всех элементов таблицы парных сравнений достаточно значений парных сравнений одной строки данной матрицы, как показано ниже:

Тогда возникает вопрос, а зачем заполнять экспертам все, что выше диагонали? Ответ достаточно простой: суждения экспертов являются субъективными и МАИ на основе заполненных данных их усредняет и уточняет. Если заполнить одну строку, а все остальные значения получить расчётным путём, то ошибка в значениях одной строки будет растиражирована на часть элементов МПС, как в случае с элементом a₃₇, что повлекло за собой изменение элемента a₇₃. Больше из таблиц 1 и 3 ничего не видно.

Поэтому важен этап сортировки и ранжирования и его результат в виде таблиц 2 и 4, если посмотреть на строки 3 и 7 матриц в этих таблицах, то изменения в порядке ранжированных элементов в данных строках произошли кардинальные и все стало на свои места. Как результат, в работе [2] победил вариант дома В, а не А, как в работе [1].

Пойдём далее, давайте проверим значения критериев, заполненных экспертом и полученных расчётным путём, например второй строки.

Как мы видим из таблицы 5 данные, начиная с 3 элемента отличаются в несколько раз, а два последних выходят далеко за границы шкалы относительной важности (ШОВ) и их значения просто обрезаются, при этом часть значений, начиная со второй строки носят расчётный характер, а часть, - экспертный, что, в совокупности с выше изложенным представляется некорректным.

Для преодоления этих недостатков предлагается дополнительно изменить процедуру МАИ. С этой целью произведём расчёт средневзвешенных значений факторов на основании данных ранжирования таблицы 4:

ξ(4)= (1х8)/8=1

ξ(5)= (2x3+ 2,5x2+3x1+3,5x1+ 4x1)/8= 43/16

ξ(6)= (2x1+2,5x2+ 3x5)/8= 22/8

ξ(2)= (2x1+3x1+ 3,5x1+4x4+ 4,5x1)/8=29/8

ξ(3)= (4,5x1+5x6+6x1)/8=81/16

ξ(1)= (5x1+6x2+6,5x2+7x3)/8=51/8

ξ(7)= (6x3+6,5x2+7x3)/8=52/8

ξ(8)= (8x8)/8=64/8,

где ξ(k) – средневзвешенное значение k-го критерия.

Тогда усреднённая последовательность критериев по возрастанию выглядит следующим образом:

Теперь по формуле 1 рассчитаем значения всех критериев относительно первой строки таблицы 3.

Эксперт в соответствии с ШОВ оценивает все критерии, в ней не предусмотрены значения больше 9 и меньше 1/9, но на практике он слабо понимает разницу между 1/7 и 1/9. Так, в матрице 3 относительный вес критерия 2 (общественный транспорт) к критерию 8 (финансы) равно 1/7, а расчётное 1/20, а все, что выше 9, это только 7 или 9, то есть значения критериев относительной важности просто обрезаются: им присваивается значение 7 или 9, или 1/7 – 1/9.

Кроме этого, если в первую строку матрицы поместить строки с критериями 4, 7 или 8, то получили бы сильно искажённую МПС. Поэтому после предварительного расчёта МПС критериев в первой строке матрицы парных сравнений критериев должен стоять критерий (фактор), занимающий положение близкое к среднему значению ξ(k) матрицы ранжирования.

В данном демонстрационном примере Т. Саати в первую строку поместил критерий 1 (ξ(1)) шестого ранга, что недалеко от середины значений таблицы ранжирования, но самые лучшие критерии 2 или 3. Поскольку они находятся в центре ранжированных значений критериев, и имея потенциальный размах от 9 до 1/9 потенциально, в ряде, случаев могут «дотянуться», не выходя за границы ШОВ до крайних значений критериев с обеих сторон.

Это улучшит результат, но в целом не решает проблему, что поясню далее на демонстрационном примере.

Распишем последовательно из таблицы 3 МПС парные отношения важности критериев в порядке возрастания. Обозначим сокращения НСО – номера сравниваемых отношений, ЗСО 1 – значения сравниваемых отношений напрямую из таблицы 3, ЗСО 2 – расчёт через промежуточные парные отношения соседних элементов таблицы 3 и внесём полученные данные в таблицу 8. Для пояснения приведём пример расчёта ЗСО 2 (4→8):

ЗСО 2 (4→8) = ЗСО 1(4→5) x ЗСО 1(5→6) x ЗСО 1(6→2) x ЗСО 1(2→3) x ЗСО 1(3→1) x ЗСО 1(1→7) x ЗСО 1(7→8) = 1/3 x ½ x 1/3 x 1/3 x 1/3 x 1/3 x ½=1/972

Из таблицы 8 следует:

1. Значения элементов ЗСО 1 и ЗСО 2 в НСО 2 отличаются около 2 раз, а начиная с НСО 3 дополнительно уходят за диапазон допустимых значений по ШОВ;

2. Сравнивая соседние элементы по возрастанию (НСО 1) эксперты различимый порог по ШОВ видят 2,3 или 1/2, 1/3. Сравнивая НСО в порядке возрастания мы видим, что элементы ЗСО 1 все больше отличаются от аналогичных элементов ЗСО 2 в одном комплексе НСО.

3. Начиная с НСО 3 какая-либо цифровая объективность значений элементов, присваиваемых экспертами по ШОВ, полностью теряется, поскольку расчётные значения выходят за диапазон допустимых значений ШОВ.

Мы уже показали, что в учебном демонстрационном примере по выбору дома в МПС критериев была допущена ошибка в значении элемента a₃₇ только потому, что не было произведено ранжирование элементов.

Как следует из таблицы 8 эксперты не видят значения 1.25 или 1.5, также по факту не видят разницу между 5-6-7-8-9, что продемонстрировал Т.Саати своим примером по выбору дома. Также, по существу, не видят разницы между 2 и 3.

Эксперт, как и любой человек, понимает простые меры отличия при выполнении парной процедуры сравнивания: больше, меньше и равно с учётом погрешности измерений или субъективного индивидуального (коллективного) восприятия и объяснения различия. Также он может учитывать свойство транзитивности парных отношений.

На основании этого принципа выполним попарное сравнение элементов (критериев или альтернатив) и произведём ранжирование элементов.

Далее, на основании данных таблицы 6 сортировки и ранжирования

Таблица 9

элементов произведём расчёт относительной важности критериев по формуле:

и заполним таблицу 9 матрицы парных сравнений факторов. Эта матрица идеально согласована, поскольку мы имеем расчётные значения элементов МПС. Как следует из данных таблицы, они существенно чувствительнее ШОВ.

Далее подсчитаем вектор приоритетов №1 по данным из таблицы (столбец 9), а вектор приоритетов №2 заимствуем из работы [2].

Матрицу парных сравнений альтернатив заимствуем без изменений из работы [2]: они малой размерности 3х3. Рассчитаем глобальные приоритеты и занесём в таблицу 10, при этом вариант 1 - это наши расчётные данные с явным фаворитом в виде дома А. Вариант 2 взят из работы [2], данные проверены также расчётом и отклонения на уровне принятой точности расчётов.

В нашем варианте с явным преимуществом победил вариант дома А, как в работе [1] Т.Саати.

В работах [1] и [2] имеются разъяснения по каждому критерию (фактору) и альтернативным вариантам покупки дома, интерпретации результатов, поэтому не стану их повторять, иначе материал существенно увеличится в объёме.

В настоящее время МАИ широко применяется многими исследователями. Понимание недостатков МАИ и путей их преодоления является важным моментом корректного формирования моделей и решения проблем, что и явилось основанием для данной работы.

В США очень популярны метод анализа иерархий, метод аналитических сетей и различные их модификации. Это, как элемент обязательного стандарта в США. Ими пронизано все стратегическое планирование. Например, от суперсценария с тремя условными приоритетами: борьба за доминирование в мире США, экология планеты, снижение численности населения планеты. Под них выстроены сценарии, приоритеты и решения более низкого уровня и так по сетям вниз со все более подробными сценариями, приоритетами и решениями с обратными связями. Только по России это не один десяток супер подсценариев, с планами и решениями, которые постоянно обновляются и видоизменяются на основе текущей ситуации. Но в основе каждого сценария, как элементарный кирпичик, находится метод парного сравнения приоритетов (критериев) или альтернатив, а в основе метода парного сравнения находится шкала относительной важности с вышеизложенными противоречиями. То есть каждый элементарный кирпичик потенциально «завирусован» и может выдавать неверный результат и предложения по решениям. Это миллиарды долларов потраченных средств, суперкомпьютеры, тысячи специалистов, огромные Data-центры, все это и многое другое только для того, чтобы выдали информацию в достоверности которой имеются сомнения.

Данная статья в формате pdf по ссылке:http://morozovweb.beget.tech/2023/12/30/недостатки-и-предложения-по-улучшени.

Список источников информации

Т. Саати, К. Кернс. Аналитическое планирование. Организация систем. М., Радио и связь. 1991.
Т.Саати. Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений. Cloud of Science. 2015. T. 2. № 1 http://cloudofscience.ru ISSN 2409-031X
Т.Саати. Относительное измерение и его обобщение в принятии решений. Почему парные сравнения являются ключевыми в математике для измерения неосязаемых факторов. Cloud of Science. 2016. T. 3. № 2 http://cloudofscience.ru ISSN 2409-031X

List of information sources

T. Saaty, K. Kearns. Analytical Planning. The Organization of Systems Prigozhin. Pergamon Press. 1985.
T. Saaty. About measuring the intangible. An approach to relative measurements based on the principal eigenvector of a pairwise comparison matrix. Cloud of Science. 2015. T. 2. № 1 http://cloudofscience.ru ISSN 2409-031X
T. Saaty. Relative measurement and its generalization in decision making. Why pairwise comparisons are key in mathematics for measuring intangible factors. Cloud of Science. 2016. T. 3. № 2 http://cloudofscience.ru ISSN 2409-031X

Недостатки и предложения по улучшению метода анализа иерархий