В этой статье мы разберём несколько важных идей, которые неоднократно применялись в задачах по алгебре на вступительных экзаменах в ШАД. Мы намеренно выбрали далеко не самые сложные задачи, ведь за гробовые задачи мало кто берётся на экзаменах в условиях ограниченного времени. Наша задача — обратить внимание на важные идеи линейной алгебры, знание которых составители нередко ожидают от поступающих. Зная эти идеи, решить задачи будет совсем легко. В противном случае придётся снова "изобретать велосипед" или искать какие-то обходные пути.
О матрицах
и
Пусть сначала и
— квадратные матрицы одного порядка над некоторым полем
(можно считать, что
или
).
Если , то не факт, что
. В частности,
. В ШАД была задача про равенство рангов
и
. Также этот вопрос можно получить на собеседовании. Простой контрпример строится с помощью матричных единиц:
.
Часто используется такой известный факт: если , то
.
Пусть
и
— квадратные матрицы одинакового размера, причем
для некоторых
. Докажите, что матрицы
и
коммутируют.
Решение.
Имеем
так как
и равенства выше можно разделить на
.
Значит, матрицыи
коммутируют, а тогда
и
тоже коммутируют, так как скалярные матрицы коммутируют со всеми.
Пусть
и
— квадратные вещественные матрицы одного и того же размера.
Докажите, что.
Это равенство получается из равенства (1) подстановкой.
Решение.
Если матрица
обратима, то
, откуда
.
Рассмотрим теперь матрицу из формальных переменных
. Она, очевидно, невырожденна, поэтому по доказанному
— равенство многочленов от
переменных
(
). Подставив элементы
матрицы
вместо
, получим требуемое.
Замечание. 1. Так же доказывается равенство (1).
Трюк с формальными переменными — довольно стандартный способ свести вырожденный случай к невырожденному, хотя увиденный впервые он часто удивляет. В анализе есть другой способ, основанный на предельном переходе, однако он работает лишь над теми полями, в которых можно говорить о сходимости. Пусть
. Если матрица
вырожденная, то рассмотрим последовательность обратимых матриц вида
, где
(такая найдётся, поскольку значений
, при которых матрица
вырожденна, конечное число, — это корни многочлена
). По доказанному
, откуда переходя к пределу при
, получаем требуемое.
Пусть теперь
и
— прямоугольные матрицы размеров
и
и пусть для определённости
. Равенство (1) допускает следующее обобщение
Это несложно свести к случаю квадратных матриц дописыванием к
справа
нулевых столбцов и к
— внизу
нулевых строк.
Гермионе задали задачу: *Пусть
и
— матрицы
и
соответственно. Найдите определитель матрицы
, если известно, что эта матрица невырождена и, кроме того,
Гермиона не смогла решить задачу и попросила помощи у Рона. Рон возвёл матрицу в квадрат после чего Гермиона быстро нашла определитель матрицы
. А вы сможете это сделать? Объясните ваш ответ.
Нам не понадобится подсказка про возведение в квадрат. Ответ сразу следует из (2) и вычислления характеристического многочлена матрицы
.
Решение.
Имеем
, поэтому
, откуда
.
Ответ.
81.
Устное вычисление одного класса определителей
В нескольких задачах ШАД требуется сосчитать определитель матрицы вида , где
— матрица ранга
. Это проще всего сделать с помощью собственных значений. Именно, определитель матрицы равен произведению её собственных значений. Далее, прибавление к данной матрице скалярной матрицы
приводит к прибавлению ко всем собственным значениям числа
. Наконец, собственные значения матрицы
ранга
порядка
равны
. Действительно, алгебраическая кратность нулевого собственного значения никак не меньше геометрической кратности, которая равна
. Последнее,
-е значение ищется через след, равный сумме всех собственных значений.
Дана матрица
размера
, где
при
и
.
Найдите определитель матрицы.
Решение.
Данная матрица имеет вид
, где
— матрица ранга
. Собственные значения матрицы
равны
, откуда собственные значения матрицы
равны
. Их произведение равно искомому определителю.
Ответ.
Пусть
— кососимметрическая матрица,
— положительное число, а
— ненулевой вектор. Найти
.
Решение.
Определитель данной матрицы равен произведению её собственных значений, которые равны
, где
— спектр матрицы
. Так как
, то
и
, где
. Так как след произведения не зависит от порядка множителей, то
Ответ.
1.
Собственные значения целочисленных матриц
Покажите, что у целочисленной матрицы не бывает рациональных нецелых
собственных чисел.Решение сразу следует из хорошо известной теоремы о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами (каковым в данном случае является характеристический многочлен нашей целочисленной матрицы).
Теорема. Если несократимая дробь
является корнем многочлена
,
, то
и
.
В~частности, привсякий рациональный корень многочлена
является целым.
Решение.
Характеристический многочлен данной целочисленной матрицы
имеет целые коэффициенты и старший коэффициент 1:
. Из теоремы о рациональных корнях следует, что любой рациональный корень этого многочлена является целым.
А вот задача, требующая более тонкого факта.
Докажите, что целочисленная матрица не может иметь собственного
значения, равного.
Задача очевидна, если знать про целые алгебраические числа.
Решение.
Характеристический многочлен
целочисленной матрицы имеет целые коэффициенты и старший коэффициент 1. Если
— его корень, то и
тоже, откуда
Из курса алгебры известно и вытекает из леммы Гаусса о примитивных многочленах (см., например, учебник Винберга), что если многочлен над
раскладывается в произведение многочленов над
, то он раскладывается в произведение пропорциональных им многочленов над
. Поэтому
Ясно, что
кратно
, значит,
в
, что, очевидно, невозможно из сравнения старших коэффициентов.
Неравенства о рангах произведения матриц
Хорошо известно, что для любых матриц
и
согласованных размеров. Кроме того, если квадратная матрица невырожденна, то умножение на неё не меняет ранг. Часто в задачах требуется оценить ранг произведения снизу. Вот два менее известных неравенства, которые, однако, очень полезны, и их лучше знать (по крайней мере, первое).
Неравенство Сильвестра. Для любых матриц и
имеем
Неравенство Фробениуса. Для любых матриц согласованных размеров имеем
Отметим, что неравенство Сильвестра — частный случай неравенства Фробениуса (получается из него при ).
Вот задача, сразу вытекающая из неравенства Сильвестра.
Пусть
— квадратная матрица
. Докажите, что
.
Решение.
Это частный случай неравенства Сильвестра. Достаточно положить
и
.
Матрицы
и
таковы, что
и матрица
обратима. Докажите, что
.
Решение.
Так как
, то
. Это вытекает либо из приведения
к диагональному виду с нулями и единицами на диагонали (
— проектор), либо из цепочки неравенств, где первое — частный случай неравенства Сильвестра, а второе — неравенство треугольника для рангов:
Отсюда
Ввиду симметрии,
. Значит,
.
Автор статьи: Андрей Канунников, к. ф.-м. н., преподаватель ШАД Хелпер.
Статья подготовлена при поддержке ШАД Хелпер.