Может ли распределение Пуассона описать статистику футбольных матчей / Habr

Здесь рассматривается статья M. J. MAHER'a «Modelling association football scores».

Данная статья имеет небольшое прикладное значение, но она является фундаментальной и на неё ссылаются многие современные авторы. Основной идеей является применение двумерной пуассоновской модели, которая учитывает корреляцию предикторов. Поскольку сами по себе коэффициенты ставок букмекеров, являются отражением вероятностей спортивных событий и соответственно хорошими фичами, важно уметь раскладывать их на составляющие статистики.

Абстракт

Некоторые публикации отвергают модель Пуассона для оценки результатов футбольных матчей в пользу отрицательного бинома.

**Отрицательное биномиальное распределение.**

Однако в данной статье модель Пуассона исследуется более подробно. Включены параметры, отражающие присущие командам сильные стороны в атаке и обороне, и из иерархии моделей выбрана наиболее подходящая модель. Сравниваются наблюдаемые и ожидаемые частоты забитых мячей, и тесты на соответствие показателям показывают, что, несмотря на небольшие систематические различия, независимая пуассоновская модель дает достаточно точное описание футбольных результатов. Улучшения могут быть достигнуты за счет использования двумерной пуассоновской модели с корреляцией между оценками, равной 0,2.

1. Введение

MORONEY, M. продемонстрировал, что количество голов, забитых командой в футбольном матче, не очень хорошо согласуется с распределением Пуассона, но если использовать «модифицированный Пуассон» (отрицательный биномиал), то соответствие будет намного лучше.

REEP, POLLARD и BENJAM подтвердили это, используя данные Первого дивизиона английской футбольной лиги за четыре сезона, а затем применили отрицательное биномиальное распределение к другим играм с мячом. Следствием этого результата является то, что одно и то же отрицательное биномиальное распределение применяется к количеству голов, забитых командой, независимо от силы этой команды или соперника. На самом деле в более ранней работе REEP и BENJAM отмечали, что «случайность действительно доминирует в игре». Но позже HILL в своей работе показал, что футбольные эксперты были способны еще до начала сезона с некоторым успехом предсказывать итоговые позиции в турнирной таблице. Таким образом, на протяжении всего сезона в игре доминирует мастерство, а не случайность. С этим, вероятно, согласилось бы большинство людей, которые смотрят футбольные матчи; в то время как в одном матче удача играет значительную роль (упущенные голевые моменты, сомнительные решения из‑за офсайда и удары в перекладину, очевидно, могут кардинально повлиять на результат), в других матчах удача играет гораздо меньшую роль. Команды не одинаковы; у каждой из них есть свои присущие ей качества, и, конечно же, мы должны ожидать, что когда хорошая команда играет со слабой командой, у хорошей команды будет высокая вероятность победы и высокая результативность. Используя данные за весь сезон или только за его часть, эти неотъемлемые качества команд лиги можно определить, например, с помощью оценки максимального правдоподобия или с помощью линейной модели.

2. Модель

Есть веские основания полагать, что количество голов, забитых командой в матче, скорее всего, является переменной Пуассона: владение мячом — важный аспект футбола, и каждый раз, когда команда завладевает мячом, у нее появляется возможность атаковать и забить. Вероятность того, что атака приведет к голу, конечно, невелика, но количество раз, когда команда владеет мячом во время матча, очень велико. Если p равно константе, а атаки независимы, количество голов будет биномиальным, и в этих обстоятельствах очень хорошо подойдет приближение Пуассона. Среднее значение этого Пуассона будет варьироваться в зависимости от качества команды, и поэтому, если рассмотреть распределение голов, набранных всеми командами, то получится распределение Пуассона с переменным средним значением и, следовательно, что‑то вроде отрицательного бинома. Поэтому в этой статье, по крайней мере на данный момент, будет принята независимая пуассоновская модель для оценки результатов. В частности, если команда играет дома против команды и наблюдаемый результат равен $(x_{ij}, y_{ij})$ , мы будем предполагать, что $X_{ij}$ , является распределением Пуассона со средним значением $\alpha_i\beta_j$ , что $Y_{ij}$ , также является распределением Пуассона со средним значением $\gamma_i\delta_j$ , и что $X_{ij} \ и \ Y_{ij}$ независимы. Тогда мы можем представить себе, что отражает силу атаки команды при игре дома, a $\beta_j$ слабость защиты команды при игре на выезде, $\gamma_i$ — слабость защиты команды i дома и $\delta_j$ — силу атаки команды j на выезде. В лиге, состоящей из 22 команд, таких параметров 88 (и 924 наблюдения за результатами).; однако, если $\alpha$ умножить на коэффициент , а все $\beta$ разделить на , все произведения $\alpha_i\beta_j$ останутся неизменными, и, следовательно, для получения уникального набора параметров может быть наложено ограничение:

$\sum_i \alpha_i = \sum_i \beta_i$

Таким же образом может быть наложено другое ограничение:

$\sum_i \gamma_i= \sum_i \delta_i$

поэтому необходимо указать только 86 независимых параметров.

Поскольку предполагается, что $X \ и \ Y$ независимы друг от друга (представляя разные «игры» в истории), оценка $\alpha \ и \ \beta$ значений будет производиться исключительно по x, а оценка $\gamma \ и \ \delta$ только по y. Таким образом, для результатов хозяев поля функция логарифмического правдоподобия равна:

$\log L(a, \beta)= \sum_i \sum_{j \ne i} ( -\alpha_i, \beta_j + x_{ij} \log (\alpha_i, \beta_j) - \log(x_{xj}!) )$

Следовательно,

$\frac{\delta \log L} {\delta \alpha_i} = \sum_{j \ne i} ( -\beta_j + \frac{x_{ij}} {\alpha_i} )$

и таким образом, оценки максимального правдоподобия $\underline{\hat{\alpha}}, \underline{\hat{\beta}}$ удовлетворяют:

$\hat{\alpha_i} = \frac{\sum_{j \ne i} x_{ij}}{\sum_{j \ne i} \hat{\beta_j}} \text{ and }\hat{\beta_j} = \frac{\sum_{i \ne j} x_{ij}}{\sum_{i \ne j} \hat{\alpha_i}}$

Одна из более простых схем, которая хорошо работает, заключается в том, чтобы использовать $\hat{\alpha}$ для оценки $\hat{\beta}$ , а затем использовать $\hat{\beta}$ для оценки $\hat{\alpha}$ и так далее поочередно. Хорошие первоначальные оценки можно получить, рассматривая знаменатели в приведенных выше выражениях как суммирование по всем командам, то есть,

$\hat{\alpha_i} = \frac{ \sum_{j \ne i} x_{ij} }{ \sqrt{S_X} } \ and \ \hat{\beta_j} = \frac{ \sum_{i \ne j} x_{ij} }{ \sqrt{S_X} } \ , \ where \ S_X = \sum_i \sum_{j \ne i} x_{ij}$

Похожим образом находим $\underline{\hat{\gamma}} \ и \ \underline{\hat{\delta}} \text{ для } y_{ij}$ .

3. Результаты

Данные были получены в удобной матричной форме из футбольного ежегодника Ротманса (1973, 1974, 1975) (the Rothmans Football Yearbook). Для анализа были выбр��ны 12 отдельных лиг (четыре дивизиона английской футбольной лиги для каждого из трех сезонов). Оценка максимального правдоподобия для четырех типов параметров $\underline{\alpha}, \underline{\beta}, \underline{\gamma} \ и \ \underline{\delta}$ только для одного набора данных: дивизион 1 в сезоне 1971–1972 годов.

Таблица 1. Оценка максимального правдоподобия для команд Премьер лиги за 1971-72 г. — **Таблица 1**. Оценка максимального правдоподобия для команд Премьер лиги за 1971-72 г.

Возникает вопрос о том, необходимы ли все эти параметры для адекватного описания результатов. Интуитивно кажется, что между командами должны быть реальные различия, но являются ли эти различия более очевидными в атаках или обороне, и действительно ли необходимо иметь отдельные параметры для качества атаки команды дома и на выезде? Рассмотрение таких вопросов приводит к возможной иерархии моделей, которые можно было бы протестировать. Внизу приведена модель 0, в которой $\alpha_i = \alpha$ , $\beta_i = \beta$ , $\gamma_i = \gamma$ ,
$\delta_i = \delta \ \ \forall i$ ; то есть все команды идентичны во всех отношениях. В верхней части находится модель 4, описанная ранее, в которой всем четырем типам параметров разрешено принимать разные значения для разных команд. Иерархия показана в таблице 2. В данном случае обозначение предназначено для того, чтобы показать, может ли набор параметров (например, $\underline{\beta}$ ) принимать разные значения для разных команд ( $\beta_i$ ) или одно и то же значение применимо ко всем командам ( $\underline{\beta}$ ).

Таблица 2. Иерархия моделей с изменениями значений, в два раза увеличивает максимальное логарифмическое правдоподобие, показанное для команд Премьер лиги за 1971-72 г. — **Таблица 2**. Иерархия моделей с изменениями значений, в два раза увеличивает максимальное логарифмическое правдоподобие, показанное для команд Премьер лиги за 1971-72 г.

В модели 0 есть четыре параметра, но для того, чтобы получить уникальный набор оценок, накладываются ограничения $\alpha=\beta \ и \ \gamma=\delta$ (или, что эквивалентно, $\alpha=\beta, \gamma=k\beta \ и \ \delta=k\alpha$ ), дающие только два независимых параметра. Ниже приведены подробные сведения об ограничениях, налагаемых в других моделях:

Model 1A: $\delta_i=\beta_i, \beta_i=\beta, \gamma_i=\gamma \ \forall i; \sum \alpha_i = \sum \beta_i$ , Таким образом, существует n + 1 независимый параметр (где n — количество команд в лиге).

Model 1B: $\gamma_i=\alpha_i, \alpha_i=\alpha, \beta_i=\beta \ \forall i; \sum \alpha_i = \sum \beta_i$ , Таким образом, существует n + 1 независимый параметр (где n — количество команд в лиге).

Model 2: $\delta_i=k\alpha_i, \gamma_i=k\beta_i \text{ } \forall i; \sum \alpha_i = \sum \beta_i$ , 2n независимых параметров (где n — количество команд в лиге).

Model 3С: $\delta_i=\alpha_i \text{ } \forall i; \sum \alpha_i = \sum \beta_i$ 3n — 1 независимых параметров (где n — количество команд в лиге).

Model 3D: $\gamma_i=\beta_i \text{ } \forall i; \sum \alpha_i = \sum \beta_i$ , 3n — 1 независимых параметров (где n — количество команд в лиге).

Model 4: $\sum \alpha_i = \sum \beta_i \text{ и } \sum \gamma_i = \sum \delta_i$ , 4n — 2 независимых параметров (где n — количество команд в лиге).

Таким образом, можно видеть, что продвижение на один уровень вверх в иерархии моделей приводит к введению (n — 1) дополнительных параметров. При нулевой гипотезе о том, что эти дополнительные параметры не нужны, $2log_e\lambda$ будет асимптотическим распределением $X_{n-1}^2$ с оценкой с помощью обычного теста отношения правдоподобия, где $log_e\lambda$ нф — это увеличение логарифмической вероятности при переходе от одной модели к другой.

Для Премьер лиги в сезоне 1971–1972 изменения значения максимального логарифмического правдоподобия при переходе от одной модели к другой показаны в таблице 2 ( $n=2; X_{95}^2(21)=32.7 \text{ и } X_{99}^2(21)=38.9$ ).

Эта таблица показывает, что когда вариативность $\alpha_i$ допустима (при переходе от модели 0 к модели 1A или от модели 1B к модели 2) достигается весьма значительное увеличение логарифмической вероятности. Аналогично, когда допустима вариативность значений $\beta_i$ (модель от 0 до 1B или от 1A до 2), логарифмическая вероятность снова очень значительно возрастает. Когда значения $\delta_i$ перестают быть пропорциональными значению $\alpha_i$ (в моделях от 2 до 3D или от 3C до 4), получается незначительное увеличение логарифмической вероятности. Однако, когда значения $\gamma_i$ освобождаются от их привязки к $\beta_i$ , никакого существенного увеличения не происходит. Следует отметить, что порядок, в котором происходило освобождение этих параметров, практически не влиял на увеличение логарифмической вероятности для каждого из них; это было верно для всех двенадцати наборов данных. Следовательно, можно связать увеличение логарифмической вероятности с каждым из четырех типов параметров, и, параллельно с идеями линейных моделей, в которых факторы вводятся в модель по одному за раз, «включение $\gamma$ », например, означает освобождение $\gamma_i$ от их связи с $\beta_i$ . В таблице 3 показано увеличение логарифмической вероятности из-за включения каждого из четырех типов параметров для каждого из двенадцати наборов данных.

Таблица 3. Увеличение логарифмической вероятности за счет включения в модель каждого из четырех типов параметров. — **Таблица 3**. Увеличение логарифмической вероятности за счет включения в модель каждого из четырех типов параметров.

В (1971-1974гг) в дивизионах 1 и 2 участвуют 22 команды, а в дивизионах 3 и 4 — 24 команды. Таким образом, число степеней свободы в асимптотическом распределении для логарифма $2log_e\lambda$ составляет 21 (для 1 и 2 дивизиона) и 23 соответственно для 3 и 4.

В целом, можно видеть, что параметры $\alpha \ и \ \beta$ , безусловно, должны быть включены в модель, но параметры $\gamma \ и \ \delta$ включать не обязательно. (В этих последних случаях нулевые гипотезы не только не могут быть отвергнуты, но и кажутся полностью согласующимися с данными.) Это означает, что один параметр $\alpha_i$ может использоваться для описания качества атаки команды i, а параметр $\beta_i$ — для описания слабости защиты команды, независимо от того, играет ли команда дома или на выезде. Таким образом, хотя преимущество хозяев поля является очень важным фактором, оно в равной степени применимо ко всем командам, и присущая каждой команде способность забивать голы при игре на выезде постоянно снижается.

Таким образом, в свете приведенных выше результатов была принята модель 2 как наиболее подходящая, и был проведен дальнейший анализ ее адекватности в качестве описания механизма, лежащего в основе футбольных результатов.

4. Тесты

$\mu_{ij} \ , \ \lambda_{ij}$ и средние значения $X_{ij} \ и \ Y_{ij}$ могут быть использованы для сопоставления команд $i \ и \ j$ , используя оценки максимального правдоподобия. Поскольку $X_{ij} \ и \ Y_{ij}$ считаются пуассоновскими независимыми распределениями, можно легко рассчитать вероятности того, что $X_{ij} = x \ и \ Y_{ij}=y$ . Повторив это для всех пар $i \ и \ j$ , можно найти ожидаемое распределение очков и сравнить его с наблюдаемым. Например, для дивизиона 1 в сезоне 1971–1972 гг. эти наблюдаемые и ожидаемые частоты приведены в таблице 4.

Таблица 4. Наблюдаемая и ожидаемая частоты забитых мячей дома и на выезде в Премьер лиге за 1971-72 г. — **Таблица 4**. Наблюдаемая и ожидаемая частоты забитых мячей дома и на выезде в Премьер лиге за 1971-72 г.

Для модели 2 значения параметров являются следующими:

$\hat{\alpha_i}= \frac{ \sum_{j \ne i} ( x_{ij} + y_{ij} ) }{ (1 + \hat{k^2}) \sum_{j \ne i} \hat{\beta_j} } \ \ и \ \ \hat{\beta_j}= \frac{ \sum_{j \ne i} ( x_{ij} + y_{ij} ) }{ (1 + \hat{k^2}) \sum_{i \ne j} \hat{\alpha_i} } \ \ \forall i,j$

$\hat{k_2} = \frac{ \sum_i \sum_{j \ne i} y_{ij} }{ \sum_i \sum_{j \ne i} x_{ij} }$

Из этого следует, что

$\sum_i \sum_{j \ne i} \hat{\alpha_i}\hat{\beta_j} = \sum_i \sum_{j \ne i} x_{ij}$

$\sum_i \sum_{j \ne i} \hat{k^2} {\alpha_i} {\beta_j} = \sum_i \sum_{j \ne i} y_{ij}$

что означает, что сумма средних значений пуассоновских распределений равна наблюдаемому количеству забитых мячей. Таким образом, оценка параметров приводит к одному линейному ограничению на ожидаемые частоты в каждом из двух тестов на соответствие , приведенных в таблице 4. Итоговая статистика будет распределена приблизительно по в соответствии с гипотезой о том, что результаты команд хозяев и гостей распределены по Пуассону. Это было повторено для каждого из остальных одиннадцати наборов данных, и итоговая статистика приведена в таблице 5.

Таблица 5. Значения статистики для независимой модели Пуассона по результатам игр дома и на выезде. — **Таблица 5**. Значения статистики для независимой модели Пуассона по результатам игр дома и на выезде.

Случаи, когда модель была бы отклонена, отмечены звездочкой. Для результатов команд-хозяев поля таких случаев два, а для результатов команд-гостей — три. В целом, модель Пуассона можно считать приемлемой, хотя и с некоторыми небольшими сомнениями. Если сравнить наблюдаемые и ожидаемые частоты для каждого из двенадцати наборов данных, можно увидеть некоторые небольшие, но систематические различия. Общие наблюдаемые и ожидаемые пропорции составляют:

забито дома
	0	1	2	3	$\geqslant$ 4
наблюдаемые	0.217	0.321	0.254	0.130	0.078
ожидаемые	0.230	0.318	0.238	0.128	0.086

забито гостями
	0	1	2	3	$\geqslant$ 4
наблюдаемые	0.388	0.371	0.177	0.051	0.014
ожидаемые	0.406	0.352	0.166	0.056	0.020

Модель недооценивает количество случаев, когда был забит один или два гола, и переоценивает количество случаев, когда было забито 0 или $\geqslant 4$ голов. Этот эффект можно увидеть в каждом из двенадцати наборов данных. Различия невелики и всего за один сезон не приводят к серьезному завышению значения , но если сложить наблюдаемые и ожидаемые частоты для всех двенадцати сезонов, то значения статистики (16,2 и 28,8 голов дома и на выезде соответственно) приведут к явному отказу от модели. Таким образом, распределение количества голов, забитых командой в матче, очень близко к распределению Пуассона, но немного «уже». Может показаться, что это противоречит выводам МОРОНИ (1951) и РИПА и БЕНДЖАМИНА (1968), которые заключались в том, что распределение, которое было шире (с точки зрения отношения дисперсии к среднему значению), чем требовалось для Пуассона; отрицательный биномиал был их подходящим распределением. Однако в обеих этих работах для результатов всех матчей было установлено единое распределение, в то время как здесь каждый матч имеет разное распределение Пуассона.

5. Модель двумерной пуассоновской регрессии

^{_{Модель двумерной пуассоновской регрессии - это статистический подход, используемый для анализа данных подсчета, который включает в себя два взаимосвязанных результата. Эта модель особенно полезна, когда результаты подсчета могут происходить одновременно и на них влияет один и тот же набор предикторов.}}

Конечно, нет недостатка в возможных объяснениях небольшого расхождения между независимой пуассоновской моделью и данными в предыдущем разделе; на самом деле, возможно, справедливее будет сказать, что удивительно, что такая простая модель так близко подходит к полному объяснению данных! Матч не состоит из двух независимых игр на противоположных концах поля; для заинтересованных команд важен результат, и поэтому, например, если команда проигрывает за десять минут до конца игры, она должна больше рисковать в обороне, чтобы попытаться забить. Таким образом, анализ распределения разницы в показателях команд, $Z_{ij}=X_{ij}-Y_{ij}$ , может оказаться показательным. В таблице 6 показаны наблюдаемые и оценочные частоты для Z в соответствии с моделью 2 для дивизиона 1 в 1971-1972 годах.

Таблица 6. Наблюдаемые и расчётные частоты для Z, для разницы забитых и пропущенных голов в одном матче, для Премьер лиги в 1971-1972 годах, для независимой модели Пуассона () и двумерной модели Пуассона с . — **Таблица 6**. Наблюдаемые и расчётные частоты для Z, для разницы забитых и пропущенных голов в одном матче, для Премьер лиги в 1971-1972 годах, для независимой модели Пуассона ( $\rho = 0$ ) и двумерной модели Пуассона с $\rho = 0.2$ .

Видно, что количество ничейных матчей (Z = 0) немного занижено. Это систематическая особенность, отмеченная во всех двенадцати наборах данных. Статистические данные о степени соответствия приведены в таблице 7;

Таблица 7. Значения статистического показателя для , для разницы забитых и пропущенных голов в одном матче, для независимой модели Пуассона () и двумерной модели Пуассона . — **Таблица 7**. Значения статистического показателя для , для разницы забитых и пропущенных голов в одном матче, для независимой модели Пуассона ( $\rho = 0$ ) и двумерной модели Пуассона $\rho = 0.2$ .

Для независимой модели, только у одного из двенадцати статистический показатель меньше ожидаемого значения 7. (Число степеней свободы уменьшено до 7 из-за линейного ограничения на ожидаемые частоты, полученные в результате оценки значений $\alpha \ и \ \beta$ ) Это позволяет предположить, что может существовать некоторая корреляция между значениями $X_{ij} \ и \ Y_{ij}$ .

Теперь возьмём модель двумерной пуассоновской регрессии; в ней предельные распределения по-прежнему являются пуассоновскими со средними значениями $\mu_{ij}(=\alpha_i \beta_j) \ и \ \lambda_{ij}(=k^2 \alpha_j \beta_i)$ , но между оценками существует корреляция $\rho$ . Один из способов представления такого двумерного распределения Пуассона состоит в том, что $X_{ij}=U_{ij}+W_{ij} \ и \ Y_{ij}=V_{ij}+W_{ij}, \ где \ U_{ij}, V_{ij}, W_{ij}$ являются независимыми пуассоновскими значениями со средним равным $(\mu_{ij} - \eta_{ij}), (\lambda_{ij} - \eta_{ij}) \ и \ \eta_{ij}$ соответственно, с $\eta(=\rho \sqrt{\mu_{ij}\lambda_{ij}})$ — ковариацией между $X_{ij} \ и \ Y_{ij}$ . Был опробован диапазон значений для $\rho$ , и наиболее подходящим, по-видимому, оказалось значение около 0,2. При вычислении ожидаемых частот для Z использовались значения $\hat{\alpha}, \hat{\beta} \ и \ \hat{k}$ , полученные в результате подгонки независимой модели Пуассона. Члены двумерной функции вероятности Пуассона могут быть вычислены с помощью следующего рекурсивного соотношения:

$\rho_{00} = exp(-\mu-\lambda-\eta) \\ x \rho_{xy}=(\mu-\eta)\rho_{x-1y} + \eta \rho_{x-1y-1} \\ y \rho_{xy}=(\lambda-\eta)\rho_{xy-y} + \eta \rho_{x-1y-1}$

Результаты подгонки этой двумерной пуассоновской модели приведены в таблицах 6 и 7, где видно, что введение дополнительного параметра $\rho$ привело к значительному улучшению результата. Статистики в таблице 7 не только незначительны, но и являются достаточно репрезентативными значениями, полученными из распределения $X_{6}^2$ . (Предполагалось, что установка дополнительного параметра $\rho$ будет примерно эквивалентна наложению другого линейного ограничения на ожидаемые частоты, хотя на самом деле одно и то же значение $\rho$ было применено ко всем двенадцати наборам данных). Таким образом, двумерная пуассоновская модель с корреляцией около 0,2, по-видимому, вполне адекватно отражает различия в оценках.

6. Итог

Некоторые работы по распределению очков в футбольных матчах отвергали модель Пуассона в пользу отрицательного бинома. Однако в этих работах не были учтены различия в качествах команд в лиге. Первая рассмотренная здесь модель предполагает, что результаты команд хозяев и гостей в любом матче являются независимыми пуассоновскими переменными со средними значениями $\alpha_i\beta_j \ и \ \gamma_i\delta_j, \ где \ параметры \ \underline\alpha, \underline\beta, \underline\gamma \ и \ \underline\delta$ представляют качество атак и защиты команд в домашних и выездных матчах. Оценка максимального правдоподобия этих параметров показывает, что необходимы только $\underline \alpha, \underline \beta$ , что показывает, что относительная сила атак команд одинакова независимо от того, играют ли они дома или на выезде; то же самое относится и к обороне. Когда эта модель применяется к каждому из двенадцати наборов данных и наблюдаемое и ожидаемое распределение баллов сравнивается с помощью теста , девятнадцать из двадцати четырех случаев дают незначимый результат на уровне 5%. Таким образом, в целом независимая пуассоновская модель достаточно хорошо согласуется с данными. Отклонения от этой модели невелики, но постоянны в каждом из наборов данных, при этом наблюдается несколько меньше случаев, чем ожидалось, когда не забивалось ни одного гола или забивалось большое количество голов. Однако, когда исследуются различия в оценках, несоответствие модели оказывается более серьезным и предполагает, что предположение о независимости не является полностью обоснованным. Затем для моделирования зависимости между оценками была использована двумерная пуассоновская модель, которая значительно улучшила прогнозы. Коэффициент корреляции между результатами команд хозяев поля и команд гостей оценивается примерно в 0.2 .

Референсы

MORONEY, M. (1951), Factsfrom figures, London, Pelican.

REEP, C. and B. BENJAMIN (1968), Skill and chance in association football, J. R. Statist. SOC. A, 131, pp. 581-585.

HARVILLE, D. (1977), The use of linear-model methodology to rate high school or college football teams, J. Amer. Statist. Ass. 72, No. 3S8, pp. 278-289

HILL, I.D. (1974), Association football and statistical inference, Appl. Statist. 23, No. 2, pp. 203-208

REEP, C., R. POLLARD and B. BENJAMIN (1971), Skill and chance in ball games, J. R. Statist. SOC. A,134, pp. 623-629.

THOMPSON, M. (1975), On any given Sunday: fair competitor orderings with maximum likelihood methods, J. Amer. Statist. Ass. 70, No. 351, pp. 536-541.