Простые числа: ключ к математическим тайнам / Comments / Habr

Приведу более подробный вывод аппроксимации функции суммы ряда простых чисел.

Итак, из теории чисел известно, что

$\pi(x) \sim { x \over \ln x }$

Обозначим через сумму простых чисел до включительно:

$S(x) = \sum_{p \leq x} p$

По интегральному методу:

$S(x) \sim \int_2^x t d\pi(t)$

Подставив приближение для $\pi(x)$ , получим:

$S(x) \sim \int_2^x { t \over \ln t } dt$

Известна аппроксимация такого интеграла:

$\int { t \over \ln t } dt \sim { t^2 \over 2 \ln t }$

Подставляя пределы интегрирования, получим, что ведущий член суммы асимптотически выражается как:

$S(x) \sim { x^2 \over 2 \ln x }$

Если подставить в это выражение $x = \sqrt n$ и так как $\ln (\sqrt n) = 1 / 2 \ln n$ , получим:

$S(\sqrt n) \sim { (\sqrt n)^2 \over 2 \ln (\sqrt n) } = { n \over \ln n } \sim \pi(n)$

Таким образом, окончательно:

$S(\sqrt n) \sim \pi(n)$

Именно эту аппроксимацию и нашёл автор статьи.

Простые числа: ключ к математическим тайнам