Comments 17
Несколько странно все это называть арифметикой, когда вы уже вовсю перешли к алгебрам, особенно с матричными представлениями.
Признаю условность и неточность терминологии. Алгебраическую структуру очень хочется назвать точно: полугруппа, моноид, группа, кольцо, поле, модуль... Притом, что мы тут играемся с двумерными модулями над полугруппами, кольцами или полями, которые исторически и опять же неточно, называют числами, я позволил себе объединить рассматриваемые структуры одним неформальным термином "арифметика", как более понятным тем, с кем мне обычно приходится иметь дело :)
Ох... обязательно прочитаю позже :). Выглядит очень вкусно. Спасибо
На картинках про преобразование указано Im лямбда и для вертикали и для горизонтали, наверное имелось ввиду, что горизонталь это Re лямбда, действительная часть.
Матрица с кратными собственными числами может быть диагонализируемой, а может быть дефектной, не диагонализируемой. С точки зрения создаваемых арифметик это не важно, всё равно параболические числа? Или есть нюансы?
Я, как говорится, просто оставлю это здесь.
Мне очень интересно, как работает вот эта числовая система:
https://conformalgeometricalgebra.org/wiki/index.php?title=Main_Page
Это некоторое расширение уже довольно привычной системы с тремя эллиптическими и одной дуальной единицей, которыми оперирует проективная геометрия и проективная геометрическая алгебра, при работе с линейными подпространствами аля плоскость, прямая, точка. Но тут за счёт добавления ещё одной единицы с довольно специфическим законом умножения оно каким-то образом получает возможность работать со сферами и кругами и я никак не могу ухватить в чём глубинный смысл этой системы
А вот вопрос по теме. Он несколько сумбурный, но давно меня беспокоит:
Возможно ли, что уравнение x*x + 1 = 0 разрешимо в каких-то иных отличных от матриц структурах несводимых к линейным преобразованиям или "матричность", что бы это ни значило, каким-то образом зашита в аксиоматике сложения и умножения?
"сумма двух элементов вычисляется, как минимальное среди них"
Разве не максимальное?
Любое линейное преобразование двумерного пространства это композиция растяжения, сдвига, скашивания, поворота и отражения относительно какой-либо линии.
За сдвиг отвечает сложение векторов, а умножение матрицы на вектор представляет те преобразования, которые оставляют начало координат на месте.
Я как-то привык, что, говоря о линейных преобразованиях, имеют в виду те, что сохраняют ноль. Но это маловажный вопрос терминологии.
Вопрос же: верно ли, что пространство преобразований сдвига изоморфно пространству векторов? Всегда ли «трансляционная» компонента независима от «линейной с неподвижным нулём»? Для обычных линейных пространств ℝ^n то всегда, но вдруг есть иные хитрые неведомые мне алгебраические структуры (кольца, модули), где эта догма не работает.
Не могу утверждать, что дам исчерпывающий ответ, но на взгляд уже празднующего Новый Год на Камчатке кажется, что эта независимость — следствие линейности, а значит, в линейных алгебраических структурах независимость трансляции от чистых "матричных" преобразований должна выполняться. По крайней мере, в проективных геометрических алгебрах (Клиффорда) это так.
Кажется там просто ошибка. Сдвиг надо убрать. Не есть линейное преобразование.
С матрицами действительно всё очень вкусно. Но непонятно одно. Откуда в том же скажем расширении для целых чисел, появляется отношение эквивалентности ??? Это можно как-то разумным путем получить из свойств матриц, или это уже чисто наш "мистический" выбор ??? То же самое с отношением порядка. Почему для целых чисел его можно ввести, согласованно с арифметическими операциями, а для гауссовых нет ??? Можно ли это как-то напрямую получить из свойств матриц ???
Математическая продлёнка. Изобретаем числа по-взрослому