Аннотация

Предлагается симметричная криптографическая схема, основанная на функциональных инвариантах над псевдослучайными осцилляторными функциями с рациональными аргументами и скрытыми параметрами. Секретное значение кодируется через алгебраическое тождество, связывающее четыре точки одной и той же функции. Без знания внутреннего устройства функции (индекса , осцилляторов, маскирующих коэффициентов) подделка значений, удовлетворяющих инварианту, оказывается практически невозможной. Верификация осуществляется путём восстановления из переданных значений s_1 , s_3 и проверки хэша. Схема отличается компактностью, однонаправленностью и подходит для аутентификации, обмена параметрами и использования в условиях ограниченных ресурсов.

Полное описание, включая формулы, модели атак и параметры безопасности:
https://zenodo.org/records/15368121
Буду рад получить обратную связь, комментарии или предложения.

1. Введение и мотивация

Во многих криптографических задачах требуется убедиться в целостности и корректности передаваемых данных без раскрытия самих данных или ключей. Стандартные схемы — такие как MAC, цифровые подписи или схемы с аутентифицированным шифрованием — обеспечивают проверку подлинности, но полагаются на структуру сообщения или предполагают наличие ключей у обеих сторон.

В данной работе предлагается другой путь: обеспечить верифицируемость через структурное тождество — инвариант, который выполняется только при корректных значениях. Получатель может проверить, что полученные значения согласованы с внутренней структурой скрытой функции, и на основании этого восстановить нужный параметр. Таким образом, структура становится криптографическим механизмом.

Среди особенностей схемы:

отсутствие необходимости в дешифровании: проверка основана на структурной идентичности, а не на восстановлении зашифрованных данных;
передаваемые значения не раскрывают секретов;
нет необходимости в взаимодействии — проверка односторонняя;
допускается многократное переиспользование секрета без утечки.

Схема опирается на математическую конструкцию, в которой определённая комбинация четырёх значений псевдослучайной функции всегда даёт определённый результат, если параметры выбраны правильно. Это и есть инвариант, лежащий в основе протокола.

2. Конструкция маскированной функции и инвариант

Предлагаемая схема основана на специальной маскированной функции s(t) , определённой на рациональной сетке, и четырехточечном алгебраическом инварианте, сохраняющемся при заданной параметризации.

Маскированная функция

Функция s(t) определяется как:

$s(t) := \left( \frac{p^{\lfloor t \rfloor} \cdot \mathrm{PRF}(i, K) + q_1 \cdot \varphi(Ct) + q_2 \cdot \psi(Ct)}{t} \right) \bmod M$

где:

$t = \frac{i}{K}$ — скрытый рациональный индекс на сетке с шагом ;
$p, q_1, q_2 \in \mathbb{Z}_M$ — параметры, выводимые из общего секрета и сессионного значения ;
$\varphi(), \psi()$ — псевдослучайные антисимметричные осцилляторы, сгенерированные из ;
$\mathrm{PRF}(i, K)$ — значение псевдослучайной функции, замещающее $p^{\delta}$ , где $\delta = t - \lfloor t \rfloor$ ;
— большой простой модуль, например $2^{256} + c$ .

Такое определение скрывает как структуру аргумента , так и форму самой функции, затрудняя аналитическую инверсию.

Инвариант на четырёх точках

Пусть выбраны три целых параметра $\Delta_1$ , $\Delta_2$ , $\Delta_3$ , например:

$\Delta_1 = 2v + 1, \quad \Delta_2 = 2u, \quad \Delta_3 = 2u + 2v + 1$

Тогда значения функции:

$s_0 = s(t), \quad s_1 = s(t + \Delta_1), \quad s_2 = s(t + \Delta_2), \quad s_3 = s(t + \Delta_3)$

удовлетворяют алгебраическому инварианту:

$I(s_0, s_1, s_2, s_3) = \frac{s_0 \cdot t + s_1 \cdot (t + 2v + 1)}{s_2 \cdot (t + 2u) + s_3 \cdot (t + 2u + 2v + 1)} = \frac{1}{p^{2u}} \bmod M$

Этот инвариант связывает значения функции на четырёх равномерно смещённых точках и выступает как проверяемая идентичность, привязывающая передаваемые данные к внутренней структуре.

3. Игровая формулировка: Invariant Index-Hiding Problem (IIHP)

Для формального описания криптографической стойкости схемы вводится игра между противником и системой, основанная на невозможности подделки инварианта без знания скрытого индекса и параметра .

Сценарий передачи

Пусть Алиса, обладая секретом и сессионным значением , выбирает случайный и вычисляет:

$\Delta_1 = 2v + 1, \quad \Delta_3 = 2u + 2v + 1$

Затем она публикует:

$s_1 = s(t + \Delta_1)$
$s_3 = s(t + \Delta_3)$
— открытый сессионный параметр
— nonce (уникальный идентификатор сессии)
$H_{\mathrm{check}} = H(S, v, s_1, s_3, u, z)$ — хэш-подпись всей информации

Получатель (Боб), зная (S, s_1, s_3, u, z) , восстанавливает с помощью инвариантного выражения:

$v = \frac{-s_0 p^{2u} t - s_1 p^{2u}(t+1) + s_2(t+2u) + s_3(t+2u+1) }{ 2(s_1 p^{2u} - s_3)} \bmod M$

где s_0 = s(t), s_2 = s(t + 2u) и все параметры восстанавливаются детерминированно из и .

Определение IIHP

Задача для противника:

Имея $(s_1, s_3, u, z, H_{\mathrm{check}})$ , противник должен сгенерировать поддельную пару $(s^*, \delta^*)$ , такую что:

$\delta^* \notin \{2v + 1,\ 2u + 2v + 1\}$
Вычисленный $v^* := \mathrm{RecoverV}(s_1, s^*, u, z)$
И выполняется $H(S, v^*, s_1, s^*, u, z) = H_{\mathrm{check}}$

Цель схемы — сделать вероятность успеха такого противника пренебрежимо малой по параметру безопасности $\lambda$ .

Интуиция

Поскольку s^* должен удовлетворять жёсткому инварианту и приводить к верному значению , а затем пройти проверку по хэшу, для его нахождения необходимо либо:

определить , , $\varphi$ , $\psi$ , , и восстановить $s(t + \delta^*)$ , что эквивалентно взлому PRF/PRG, либо
найти коллизию в хэше, что невозможно при корректной реализации (например, SHA-3)

Таким образом, задача IIHP является центральной криптографической гипотезой безопасности предложенной схемы.

4. Структура безопасности и эвристическое обоснование

Криптографическая стойкость схемы не сводится к одной операции. Она вытекает из взаимодействия нескольких независимых уровней сложности и структурных ограничений.

Ключевые элементы стойкости

Скрытый индекс
Точка оценки $t = \frac{i}{K}$ принадлежит рациональной сетке и не раскрывается. Без неё невозможно выровнять псевдослучайные значения функции $s(t + \delta)$ , даже при известной форме инварианта.
Маскированная экспонента
Поскольку рационален, вычисление осуществляется через разложение $p^t = p^{\lfloor t \rfloor} \cdot \mathrm{PRF}(i, K)$ — последняя часть обеспечивает невозможность восстановления из .
Псевдослучайные осцилляторы
Функции $\varphi(Ct)$ и $\psi(Ct)$ формируют колебательные сдвиги, зависящие от и . Из-за антипериодичности и непредсказуемости они не поддаются аппроксимации или интерполяции.
Инвариант как ограничение
Четыре значения $s_i = s(t + \Delta_i)$ подчиняются точному алгебраическому тождеству. Даже малое отклонение одного из них нарушает его, что делает подделку крайне трудной.
Отсутствие доступа к оракулу
Протокол не предоставляет интерфейс запроса $s(t + \delta)$ . Противник имеет лишь фиксированный транскрипт, без возможности адаптивных атак.
Хэш-связывание
Проверка инварианта не ограничивается его выполнением: всё содержание сообщения хэшируется с секретом. Даже если получен, подделка потребует нахождения коллизии:

$H(S, v^*, s_1, s^*, u, z) = H_{\mathrm{check}}$

Сравнение с известными криптографическими задачами

Похожесть на LWE
Маскирующие осцилляторы работают как шум в задаче LWE, но без решёток: значения непредсказуемы, даже при малых сдвигах по индексу.
Аналогия с скрытыми показателями
В отличие от классического Diffie–Hellman, здесь показатель не является целым и не участвует в группе — но его скрытность также критична для стойкости.
Инвариант как MAC
Можно рассматривать инвариант как нетривиальную симметричную подпись: получатель может проверить значение, не зная самого , но зная, что оно было встроено корректно.

Вывод

Без знания скрытых параметров восстановить согласованную тройку (s^*, v^*, H) невозможно. При разумных параметрах ( $|M| \geq 2^{256}$ , $|K| \geq 2^{160}$ , $|v| \geq 2^{64}$ ) вероятность успешной атаки становится пренебрежимо малой.

6. Формат сообщения и параметры

Схема предполагает передачу от отправителя (Алисы) к получателю (Бобу) структурированного сообщения, содержащего всё необходимое для восстановления скрытого значения и проверки его подлинности через инвариант.

Формат передаваемого сообщения

Каждое сообщение содержит следующие поля:

$s_1 \in \mathbb{Z}_M$ : значение $s(t + \Delta_1)$ , где $\Delta_1 = 2v + 1$ .
$s_3 \in \mathbb{Z}_M$ : значение $s(t + \Delta_3)$ , где $\Delta_3 = 2u + 2v + 1$ .
$u \in \mathbb{N}$ : открытый параметр смещения.
$z \in \{0,1\}^{256}$ : уникальный nonce для сессии.
$H_{\mathrm{check}} \in \{0,1\}^{256}$ : хэш-значение, связывающее всю сессию.

Общий размер сообщения — 1056 бит (132 байта), что сопоставимо с размерами современных симметричных аутентификационных схем.

Рекомендуемые параметры

: простое число $\geq 2^{256}$ — модуль всей арифметики.
$p \in \mathbb{Z}_M^\times$ : база экспоненты, получаемая как $p := H_p(S, z) \bmod M$ .
$K \in [2^{160}, 2^{256}]$ : разрешение сетки для индекса $t = \frac{i}{K}$ .
$C \in [2^{24}, 2^{32}]$ : частота осцилляторов $\varphi$ , $\psi$ .
$u \in \mathbb{N}$ : открытый параметр (обычно 32 бита).
$v \in [2^{64}, 2^{128}]$ : секретное значение, восстанавливаемое по инварианту.
$S \in \{0,1\}^{256}$ : общий секрет между сторонами.
$z \in \{0,1\}^{256}$ : уникальный nonce.

Хэш-связка

Финальный хэш вычисляется как:

$H_{\mathrm{check}} = H(S, v, s_1, s_3, u, z)$

Он должен использовать стойкую хэш-функцию (например, SHA-3-256 или SHAKE256 с усечением до 256 бит), и служит криптографической привязкой всех параметров сессии.

7. Сценарии использования и свойства схемы

Схема может использоваться как легковесный криптографический механизм для безопасной передачи, подтверждения или восстановления скрытого параметра , без его раскрытия в открытом виде. Ниже представлены некоторые возможные сценарии, демонстрирующих универсальность конструкции.

1. Базовый обмен секретом

Обе стороны (например, Алиса и Боб) знают общий секрет .

Алиса выбирает , генерирует $(s_1, s_3, u, z, H_{\text{check}})$ .
Боб, получив эти значения, восстанавливает по формуле и проверяет хеш.
Без знания корректное воспроизведение невозможно.

Используется для аутентифицированной передачи значений между доверенными сторонами.

2. Доказательство обладания объектом

Алиса берёт файл и вычисляет его хеш $v = H(\text{file})$ .
Строит $(s_1, s_3, u, z, H_{\text{check}})$ и публикует.
Позже раскрывает , и любой, зная , может убедиться, что соответствует опубликованным значениям.

Это реализует публично проверяемое обязательство (commitment) без раскрытия объекта на момент публикации.

3. Разделение доверия (split trust)

Алиса генерирует для заданного .
передаётся Бобу, — Чарли.
Ни одна сторона не может восстановить в одиночку.
Вместе, объединив данные, они могут восстановить .

Может использоваться для элементарного порогового раскрытия или совместной авторизации.

4. Проверка «свой–чужой» без раскрытия секрета

Сервер выбирает и отправляет их клиенту.
Клиент должен сгенерировать корректное , зная .
Сервер проверяет, что удовлетворяют инварианту.

Позволяет проверять принадлежность клиента к кругу доверия без раскрытия секрета или значения .

Свойства схемы

Безопасность: невозможно подделать без знания .
Структурная проверка: восстановление происходит только при соблюдении инварианта.
Однозначность: для фиксированных значения и определяются единственным образом.
Устойчивость к повторному использованию: nonce обеспечивает уникальность сессии.
Маскирующее разделение: значения и по отдельности не раскрывают .

Заключение

Предложенная симметричная криптографическая схема основана на функциональном инварианте, связывающем четыре значения функции s(t) , построенной из зашумлённых осцилляторов и псевдослучайно замаскированной экспоненты. Передаваемые значения (s_1, s_3) не раскрывают ни индекс , ни параметр , но позволяют однозначно и проверяемо восстановить с помощью инвариантной формулы.

В отличие от стандартных симметричных схем, здесь:

структура передаваемых значений содержит встроенный механизм верификации;
нет необходимости в прямом шифровании сообщения;
вся проверка происходит через аналитическое сопоставление и хэш-функцию.

Развитие может идти в сторону:

асимметричных вариантов (например, ZK-доказательств знания ),
расширения инварианта на многомерные конструкции,
применения в криптографических протоколах нового типа.

Инвариантная симметричная криптография: конструкция и модель безопасности