Comments 6
Суровые у вас девятиклассники... Имхо достаточно просто доказать лемму, что если сумма векторов равной длины, равна нулю, то концы этих векторов, исходящих из 1 точки, образуют правильный многоугольник. Далее противоречие с простотой p.
Upd: виноват поторопился - бывают наборы векторов равной длины, дающие сумму 0 и не образующие правильный многоугольник. Причём наботы как с чётным, так и с нечётным кол-вом элементов.
С чётным кол-вом: вектора из центра прямоугольника в его углы
С нечётным кол-вом: все положения часовых стрелок кроме 3,4,8,9,12. (равносторонний треугольник 2 6 10 + крест 1 5 7 11).
Сложно вникать.
Я бы доказал так: возьмём квадрат и два вектора, направленных вдоль одной диагонали. Их сумма равна нулю.
А, заметил в тексте задачи, что p — простое число. В заголовке этого не было.
А вектор, выходящий из центра в сторону вершины, и длина которого, допустим, равна половине расстояния от центра до этой вершины — это всё ещё удовлетворяющий условию задачи вектор, ведь так? Тогда самое первое построение (1) — ложное в общем случае, но истинное в ряде (пусть и бесконечном) частных случаев.
Может ли сумма НЕ ВСЕХ векторов, выходящих из центра правильного p -угольника, в его вершины, быть равна нулю?