Мощная математическая техника используется для моделирования таяния льда и других явлений. Но у учёных долгое время были опасения по её использованию из-за некоторых «кошмарных сценариев». Новое доказательство устранило это препятствие.
Представьте себе кубик льда, плавающий в стакане воды. В конце концов, он растает до крошечной замороженной крупинки, прежде чем исчезнуть. По мере того, как он сжимается, его поверхность становится более гладкой, и любые неровности или острые края постепенно исчезают. Математики хотят понять этот процесс более подробно, чтобы иметь возможность точно сказать, как поверхность льда — или, скажем, форма постепенно разрушающегося песчаного замка — меняется со временем.
Чтобы проанализировать это явление, они изучают, как более абстрактные математические поверхности и формы эволюционируют в соответствии с некоторым набором правил. Эти правила определяет процесс, называемый потоком средней кривизны. Этот процесс одновременно сглаживает поверхность — даже очень нерегулярную — и сжимает её.
Но по мере эволюции поверхности могут образовываться сингулярности: точки, где наши математические описания ломаются. Поверхность может резко выдаваться вперёд или истончаться до точки, где кривизна «взрывается» до бесконечности. Многие распространённые виды поверхностей — например, те, которые замкнуты, как сфера — гарантированно демонстрируют сингулярности в потоке средней кривизны.
Если эти сингулярности слишком сложны, продолжение потока становится невозможным.
Математики хотят гарантировать, что даже после формирования сингулярности они все ещё могут анализировать, как поверхность будет эволюционировать. В 1995 году математик Том Ильманен, ныне работающий в Швейцарском федеральном технологическом институте в Цюрихе, предложил гипотезу «кратность-один». Согласно ей, любые сингулярности, которые образуются в процессе потока средней кривизны, должны быть относительно простыми. «Плохое» (то есть приводящее к сингулярностям) поведение должно быть ограничено отдельными точками: вы никогда не должны видеть, например, несколько областей (будь то из одной и той же поверхности или из разных поверхностей), наложенных друг на друга.
Если гипотеза «кратность-один» верна, она подтверждает, что сингулярности — не препятствие для потока средней кривизны. Если появляется сингулярность, поток может продолжаться — что позволяет математикам оценить эволюцию поверхности.
За последние несколько десятилетий математики добились больших успехов в описании поведения поверхностей в потоке средней кривизны. «Но многие из достигнутых до сих пор результатов зависели от истинности гипотезы «”кратность-один”, — сказал Ричард Бамлер, математик из Калифорнийского университета в Беркли. — Так или иначе, главным камнем преткновения всегда была гипотеза “кратность-один”».
Теперь он и Брюс Кляйнер из Нью-Йоркского университета наконец доказали, что эта гипотеза на самом деле верна.
«Это большой прорыв», — сказал Брайан Уайт из Стэнфордского университета. Эта работа теперь не только позволяет математикам лучше понять поток средней кривизны, но и может иметь важные приложения в геометрии и топологии.
Мощный поток
Понятие потока средней кривизны было введено в 1950-х годах как способ объяснить различные явления, происходящей в металлах при их охлаждении. В 1978 году Кеннет Бракке, ныне почётный профессор Университета Саскуэханна в Пенсильвании, формализовал эту концепцию математически. Его модель в конечном итоге дала более общее математическое описание, которое также можно было применять к абстрактным поверхностям и формам любого измерения.
Гипотеза «кратность-один» касается замкнутых двухмерных поверхностей, таких как сферы или пончики, которые живут в трёхмерном пространстве. В любой точке такой поверхности вы можете вычислить её кривизну в заданном направлении — меру того, насколько быстро поверхность изгибается в этом направлении. Существует бесконечно много направлений, которые вы можете рассмотреть. Но математикам часто нужно смотреть только на направления, которые дают наибольшее и наименьшее значения кривизны. Затем они берут среднее значение этих двух чисел. Это среднее значение называется средней кривизной, и оно может предоставить много полезной информации о поверхности в этой точке.
Поток средней кривизны использует эту информацию для уменьшения площади поверхности как можно быстрее и эффективнее. В потоке средней кривизны каждая точка на поверхности будет двигаться со скоростью, равной её средней кривизне, — и в направлении, перпендикулярном её «касательной» плоскости, двухмерной плоскости, которая наилучшим образом аппроксимирует поверхность в этой точке.
Примечание: Существует два таких перпендикулярных направления, одно направлено внутрь, другое — наружу. Если поверхность выпячивается наружу в этой точке, то поток движется внутрь. Если поверхность изгибается внутрь, то поток направлен наружу.
Возьмём сферу. Поток средней кривизны будет сжимать её по направлению к центру всё быстрее и быстрее. (Это потому, что по мере сжатия сферы средняя кривизна в каждой точке будет увеличиваться: сферы меньшего размера изгибаются сильнее, чем сферы большего размера.) В конце концов, всё, что останется, будет одной точкой, где когда-то был центр сферы.
Теперь предположим, что ваша поверхность — это частично вмятая сфера, как футбольный мяч, который имеет вмятины в определённых местах. В потоке средней кривизны вмятые части будут выталкиваться наружу, в то время как остальная часть поверхности будет двигаться внутрь. Она будет всё больше и больше походить на идеальную сферу, а затем сожмётся в точку.
Тот же процесс сводит цилиндр к линии, а бублик к кругу. Но как насчёт более сложных форм, таких как штанга, ось которой уже, чем блины? В потоке средней кривизны самое тонкое место на оси сожмётся до точки, создавая сингулярность. Эта сингулярность будет напоминать «точку разрыва», где мыльный пузырь отделяется от пластиковой палочки или капля воды отделяется от крана. В этой точке поверхность штанги больше не будет гладкой, и кривизна станет бесконечно большой.
Это проблема. Вы не можете включить бесконечность в ваше уравнение потока средней кривизны. Уравнение сломается; оно больше не сможет предсказывать будущую эволюцию поверхности. Но если вы удалите сингулярность, то получите два отдельных каплевидных куска. Теперь можно продолжить изучать, как поток средней кривизны повлияет на эти куски. Они постепенно станут более гладкими и круглыми, почти превратившись в идеальные сферы, прежде чем сжаться до двух отдельных точек.
Для любой замкнутой, компактной поверхности — то есть такой, которая имеет конечный диаметр и отличается внутренней и внешней частью — поток средней кривизны обречён на то, чтобы привести к сингулярности. (Для простой сферы эта сингулярность является конечной точкой, к которой сжимается поверхность.) «У нас есть этот поток, который должен упрощать поверхности, но мы знаем, что поток всегда становится сингулярным, — сказал Бамлер. — Поэтому, если мы хотим понять, как работает поток, нам нужно понять, как в нём формируются сингулярности».
Вот тут-то гипотеза «кратность-один» и выходит на сцену.
Разделение — ключ к успеху
Простые сингулярности, такие как точки разрыва, можно удалить простым способом, что позволит потоку средней кривизны беспрепятственно протекать. Но если сингулярность более сложная — скажем, если два листа внутри поверхности сходятся вместе, перекрывая всю область, а не только одну точку — это будет невозможно. В таких случаях, сказал Бамлер, «мы не знаем, как ведёт себя поток».
Ильманен сформулировал свою гипотезу, чтобы исключить эти проблемные ситуации. Спустя десятилетия Бамлер и Кляйнер решили доказать его правоту.
Для этого они представили необычную форму — то, что Кляйнер назвал «злым катеноидом». Она состоит из двух сфер, одна внутри другой, соединённых небольшим цилиндром, или шейкой, чтобы сформировать единую поверхность. Если шейка сожмётся так быстро, что стянет две сферические области вместе, отметил Кляйнер, это будет «кошмарный сценарий». Чтобы исключить его, он и Бамлер хотели понять, как две области будут взаимодействовать друг с другом, и как расстояние между ними будет меняться со временем.
Итак, два математика разбили форму на строительные блоки — области, которые выглядели как параллельные листы при увеличении масштаба, и особые области, называемые минимальными поверхностями (которые имеют нулевую среднюю кривизну и, следовательно, не движутся во время потока средней кривизны). Затем они определили функцию для измерения расстояния от любой заданной точки на поверхности до ближайшей точки на соседней области.
Они нашли способ проанализировать, как эта «функция разделения» меняется со временем, и доказать, что она никогда не стремится к нулю. Это означало, что кошмарный сценарий никогда не мог произойти.
Математики могли бы легко применить этот метод к замкнутым поверхностям, которые включают те же виды строительных блоков. Но «произвольная замкнутая поверхность может выглядеть действительно сложной в определённых областях», сказал Бамлер — настолько сложной, что она «могла бы помешать нам контролировать поток». Затем он и Кляйнер показали, что эти проблемные области должны быть очень маленькими. Они «влияют на поток в целом лишь очень минимальным образом, — сказал Бамлер. — Так что мы можем, по сути, игнорировать их».
Функция разделения никогда не станет нулевой со временем, какой бы сложной или странной ни была поверхность. Другими словами, соседние регионы никогда не могут сходиться, а сложные сингулярности не могут возникнуть. Гипотеза Ильманена верна.
Фактически Бамлер и Кляйнер показали, что поток средней кривизны почти всегда приводит к одному из двух типов особенно простых сингулярностей: сферам, которые сжимаются в точку, или цилиндрам, которые сжимаются в линию. «Любой другой тип сингулярности встречается только в редких, весьма специфических случаях, — сказал Бамлер, — где сингулярности настолько нестабильны, что даже малейшее возмущение устранит их».
С решением гипотезы «кратность-один» «теперь у нас, по сути, есть полное понимание потока средней кривизны поверхностей в трёхмерных пространствах», — сказал Отис Чодош из Стэнфорда. Эти знания, добавил он, могут иметь значительные приложения в геометрии и топологии, особенно если математики смогут доказать гипотезу для трёхмерных поверхностей, живущих в четырёхмерном пространстве. (Бамлер и Кляйнер начинают изучать этот следующий случай, хотя они говорят, что им нужно будет найти другой подход, чем тот, который они использовали для двухмерных поверхностей.)
Чодош добавил, что доказательство уже может позволить математикам использовать поток средней кривизны для повторного доказательства важной проблемы симметрии сфер, называемой гипотезой Смейла. Предыдущие доказательства гипотезы были довольно сложными, сказал Бамлер. Доказательство, использующее поток средней кривизны, может быть более простым для понимания.
Связанный процесс, известный как поток Риччи, уже использовался для доказательства основных гипотез, включая знаменитую гипотезу Пуанкаре (ещё одно утверждение о сферах).
Примечание: Используя потоки Риччи в своих статьях, опубликованных в 2002-2003 годах, Григорию Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.
Математики надеются, что работа Бамлера и Кляйнера над потоком средней кривизны поможет ему стать таким же мощным методом. «Бамлер и Кляйнер совершили огромный шаг вперёд в нашем понимании сингулярностей, лежащих в основе потока средней кривизны, — сказал Уайт. — Это определённо открывает возможность использовать его в качестве инструмента… для выполнения всевозможных замечательных вещей».
Автор перевода @arielf
НЛО прилетело и оставило здесь промокод для читателей нашего блога:
-15% на заказ любого VDS (кроме тарифа Прогрев) — HABRFIRSTVDS.
