Comments 64
И как все это связанно с заглавием статьи?
Как-то "связанно". Возможно, верёвками
Демидович: 2835-2935.
Что за загадочный набор цифр? Похоже, нас отсылают к известному задачнику, но числа... Это номера страниц? Тогда указывайте издание. Номера задач? Тоже могут отличаться в разных редакциях. И главное - что хотел сказать автор комментария?
Очевидно этот известный задачник вам совершенно неизвестен не то знали бы, что это за цифры которые не меняются в данном задачнике из года в год, из издания к изданию. Вы серьезно о том, что у Бориса Павловича более 2800 страниц? Т.е. вы и в глаза не видели эту книгу. Вы вообще можете назвать книгу из мат. анализа на 3000 страниц? А последний вопрос хорош тем, что на него несколько прекрасных ответов, но вы сперва хоть задачник посмотрите, порешайте. Без антидемидовича. Ну а к вам вопрос простой: зачем брать заглавием ложь?
Очевидно, что к научной деятельности вы не имеете отношения, не то знали бы, как оформляются ссылки на печатные издания. И что мне даёт ссылка на сотню задач? Ну есть какие-то задачи, дальше что? Разгадывать загадки нет времени, простите. А на простой вопрос - простой ответ: в заголовке нет лжи
Кстати, раз уж вы упомянули Демидовича, скажите, есть ли в задачнике раздел "ряды Тейлора". Как вы думаете, почему нет?
Что за загадочный набор цифр? Похоже, нас отсылают к известному задачнику, но числа... Это номера страниц? Тогда указывайте издание. Номера задач? Тоже могут отличаться в разных редакциях. И главное - что хотел сказать автор комментария?
Любой ученик университетов СНГ с годов 70х знает эти цифры наизусть
Рядов Тейлора не существует
Кликбейтных заголовков не существует
Какой же кликбейтный заголовок.
Суть статьи: для некоторых действительных функций ряд тейлора в некоторых точках имеет радиус сходимости 0, и мало чего дает. Поэтому надо забить на ряды тейлора для вещественных функций. Используйте комплексные функции! Я все правильно понял?
Но, скажите мне, а вот если взять вот ту классическую функцию 
, но рассматривать ее как фукнцию комплексной переменной, то как она раскладывается в ряд тейлора в нуле? Ой, там тоже какая-то фигня происходит? Т.е. что получается, "рядов тейлора и для комплексных функций не существует", потому что у некоторых функций в некоторых точках ряд тейлора не существует или имеет радиус схождения 0? Или "это другое"?
Эта функция ведёт себя очень плохо около 0 в комплексной плоскости. Например подходя к 0 по мнимой оси (ia a-> 0) мы получим бесконечность...
Это не просто "другое", это "совсем-совсем другое". Смотрите: указанная функция, рассматриваемая как функция комплексного переменного, не имеет предела в нуле, и следовательно, ни одной производной. Потому и её ряд Тейлора в нуле не может быть построен. Это не просто "какая-то фигня", это чёткое и честное указание на неаналитичность.
А вот её ограничение на
ведёт себя по-хамски: "прикидывается" хорошей, бесконечно-гладкой функцией, но в итоге путает все карты. Тут комплексный анализ выступает в роли фильтра, "отбраковывая" все такие "нечестные" псевдо-аналитические функции.
Кстати, интересное замечание. Я думаю, оно заслуживает включения в основной текст статьи
Однако стоит взглянуть на функции комплексного переменного — и мир становится гораздо стройнее. Именно поэтому комплексный анализ является одной из самых красивых областей математики.
Это так, но есть ещё кватернионный анализ, в рамках которого я, когда-то очень давно, написал статью: «Интегральная формула Коши для кватернионов» :
https://scholium.narod.ru/Math/Scholium001-IntegralFormulaOfCauchyForQuaternions.pdf .
А эти системы чисел, такие как комплексные числа, кватернионы, они ограничены, или их бесконечно много?
Если их неограничено много, то на любое утверждение про кватернионы, всегда можно сказать, что это всё фигня, и лишь частный случай гораздо более сильного и важного утверждения для более замороченый системы чисел.
И насколько мат. анализ, построенный на таких системах чисел плодородный? Например в ТФКП есть киллер фича - теорема о вычетах. А в кватернионном анализе есть такие крутые результаты?
Можно их бесконечно расширять, конечно. Но чем дальше, тем больше свойства теряются. Например, перемножение кватернионов уже некоммутативно (a*b != b*a). При переходе к комплексным числам потерялся порядок. Какие-то новые свойства вроде и возникают, но в целом, чем дальше - тем менее полезной оказывается система. После комплексных чисел слишком много арифметических свойств теряется, чтобы какой-то анализ строить.
А эти системы чисел, такие как комплексные числа, кватернионы, они ограничены, или их бесконечно много?
«Хороших – мало, плохих – много!». После кватернионов, размерности –четыре, идут числа (алгебра) Кэли, размерности восемь. Затем – алгебры Кэли-Диксона, размерности степени двойки. Там уже возникает много плохих свойств. Сначала, теряется коммутативность, потом ассоциативность, после чего возникают делители нуля, из-за чего эти числовые алгебры уже малоинтересны.
Грусть начинается быстро - основная теорема алгебры не выполняется для кватернионов.
Следовало бы выражаться более определённо. Основная теорема алгебры не имеет "входящих параметров", она просто есть, и она выполняется (потому она и "теорема").
Выражения типа "ОТА для кватернионов" и тп. смысла не имеют. Можно говорить лишь "аналог ОТА для кватернионов". Но проще (и точнее) сказать так: "тело кватернионов не является алгебраически замкнутым". Хотя, опять же, понятие "алгебраической замкнутости" вводится только для полей, с телами всё сильно сложнее из-за некоммутативности. Например, даже обычное понятие полинома уже не так очевидно в некоммутативном случае: коэффициенты могут умножаться на степени неизвестного слева, справа, или с двух сторон. Можно говорить о "левых" и "правых" корнях и тп. Крч, уже тут начинаются "дебри". Но эта статья была немного не об алгебре)
Аналитические функции довольно легко считать от произвольных матриц 2 на 2 с комплексными коэффициентами, там общая процедура для всех таких матриц. С интегральной теоремой Коши для таких матриц аналогично.
А кватернионы - это всего лишь частный случай этих матриц.
О! В комментариях знакомые всё лица! Рад поприветствовать, коллеги!
По делу.
Статья/карма +/+, от подписки пока воздержался.
Плюсы: оригинальное исследование.
Минусы: - всегда, если это возможно, нужна демонстрация на геометрии (её нет); - не сравнены ФКП и ФВП и не сделаны выводы об их поведении, вытекающие из их свойств.
Одноместная ФКП - определена на плоскости (если отображать её геометрически), одноместная ФВП - на прямой. В то же время такая ФКП может "схлопываться" и до прямых (одномерный объект), и до точек (нульмерный), а ФВП - только до точек. (уходы в бесконечности - опускаю).
Вот такое бы исследование рядов - с дельтами, и построениями на геометрии - было бы ИМХО куда интереснее, чем просто алгебраистика, которую мы имеем в статье.
А ещё веселее было бы затем распространить исследование и обобщить результаты на многоместные функции. :)
Вы просто выбираете удобные задачи
Функции комплексного переменного не только ведут себя более "регулярно", но и позволяют, в некоторой степени, установить поведение соответствующих функций действительного переменного.
Аналитические функции (что вещественные, что комплексные) ведут себя "более регулярно". Другое дело, что аналитичность у ФКП проверяется сильно проще, но на этом всё.
Как только Вы выйдете за рамки удобных (аналитических) функций, всё сразу становится нерегулярно (а ТФКП превращается в тыкву). И если Вам кажется, что неаналитические функции неинтересны, то это сильно не так.
Например, есть важные теоретические конструкции, которые опираются на существование бесконечнодифференцируемых функций, которые не являются аналитическими (например, интеграл по многообразию).
Анализ не становится красивым, от того что Вы затребуете кучу свойств от своего объекта изучения. Анализ красив именно когда Вы требуете минимум свойств. В этом смысле, ТФКП — одна из самых скучных областей анализа (как раз ввиду своей регулярности).
С этим соглашусь:
Анализ не становится красивым, от того что Вы затребуете кучу свойств от своего объекта изучения. Анализ красив именно когда Вы требуете минимум свойств.
А вот с этим - нет:
ТФКП — одна из самых скучных областей анализа
В ФКП сходится алгебра над элементарными множествами (количествами), алгебра над треугольником, и - соответствнно - геометрия. Люблю ТФКП. :)
В ФКП сходится алгебра над элементарными множествами (количествами), алгебра над треугольником, и - соответствнно - геометрия. Люблю ТФКП. :)
Ну так я не зря говорил про анализ. Там, по сути своей, алгебры больше чем анализа. Поэтому алгебраически там можно много чего интересного найти. А вот с точки зрения анализа там уже почти всё решено (аналогично как решение слау в алгебре).
И если Вам кажется, что неаналитические функции неинтересны
Нет, мне так не кажется. Я просто не стремлюсь охватить абсолютно все вопросы в одной маленькой статье. И не вижу смысла цепляться к словам.
Рассуждения о "красоте" - это лирика, и вообще очень субъективное понятие. Кому как.
Да, процитированные вами слова слишком размыты, чтобы делать из них какие-либо более точные выводы. Это скорее описание "ощущений", чем строгая формулировка. И всё же она имеет под собой некоторое основание. Как я ответил другому комментатору, зачастую ФКП выступает в роли "фильтра", более чётко отделяя по-настоящему "хорошие" функции от тех, которые только пытаются "притвориться" таковыми. Вовсе не имел в виду всего того, что вы за меня "додумали". А выбор задач для рассмотрения в статье всегда остаётся за автором и зависит от основной мысли публикации, которая состоит в том, что не следует рассматривать "ряды Тейлора" в контексте действительного анализа, и на этом всё.
А выбор задач для рассмотрения в статье всегда остаётся за автором и зависит от основной мысли публикации, которая состоит в том, что не следует рассматривать "ряды Тейлора" в контексте действительного анализа, и на этом всё.
В статье эта мысль так и не раскрыта. Вы предлагаете отказаться от рядов Тейлора, просто из-за того, что бесконечно дифференцируемая функция в действительном анализе не обязательно является аналитической? На примерно таком же основании можно вообще отказаться от рядов, потому что не все ряды сходятся.
Если честно хотел поставить дизлайк только за факт существования статьи в моих рекомендациях в данный момент, ибо сейчас активно готовлюсь к пересдаче комплана и тут вот это, среди развлекательных статей про авто, космос, компы и тд. Мне половину из называемых теорем доказывать надо, в том числе и "единственность разложения по формуле Тейлора"
Ввиду этого по-диагонали прочитал, возможно нашел ошибку, но сейчас точно не буду проверять
Ну и определение аналитичности у вас дано в обратную сторону. Аналитическая функция это та, что дифференцируема в этой области, а не та, что раскладывается в Тейлора.
Классическим определением аналитичности является разложимость в ряд Тейлора. Дифференцируемость в точке - это дифференцируемость. Дифференцируемость "в области" называется голоморфностью. Весь комплексный анализ строится вокруг того факта, что из голоморфности вытекает аналитичность.
"...разложимость в ряд Тейлора..." в окрестности любой точки?
Вот какой-нибудь sin(1/x) раскладывается в области нуля?
Нет, мы говорим про аналитичность в точке (степенной ряд в этой точке существует и сходится к функции в некоторой окрестности этой точки). Можно говорить об аналитичности в области - это когда функция аналитична в каждой точке этой области.
sin(1/x) просто не определена в 0, поэтому ее степенной ряд в 0 тоже не определен. С точки зрения комплексного анализа в 0 она имеет "существенно особую точку". В области C \ { 0 } эта функция аналитична.
Понятия "аналитичности в точке" не существует и абсурдно: если аналитичность - это представимость степенным рядом, то в единственной точке аналитична любая функция. Она представима рядом, в котором почти все коэффициенты равны нулю (кроме коэффициента при
). Говорить можно только про аналитичность в области.
Но мыслите вы верно: функция sin(1/x) не может быть представлена степенным рядом с центром в 0 по одной простой причине: она не имеет предела в 0 и, соответственно, ни одной производной. А даже для написания ряда Тейлора нам потребуются производные всех порядков.
Емнип, голоморфность — она про сохранение углов между кривыми (при переходе к образу).
Хотя из-за того, что дифференцируемость в области, голоморфность и аналитичность эквиваленты друг другу, эти понятия часто используются взаимозаменяемо.
Интересная статья, после прочтения понял, что я не так много знаю о рядах :)
Насчёт ТФКП согласен, сам изучаю, там ряд Тейлора вообще обобщается до ряда Лорана и появляются надёжные инструменты для его исследования.
Честно говоря, статья ни о чём, просто цитата доказательств из учебников.
Если же говорить про аналитиков, то первое знание, которое осваивает правильный аналитик - это понимание граничных условий применимости инструментов, с которыми он работает. И точности, которую они дают. Банальное разложение Фурье так-то тоже работает только для непрерывных и периодических функций. Но этим можно пренебречь в случае каких-то реальных расчетов. Также и любая аппроксимация ряда́ми - где-то её хватает, чтобы просто прикинуть порядок величины - и этого может быть уже достаточно.
А... зачем прибегать к таким дешевым приёмам для привлечения внимания?
По делу. Мне не встречалось ни одного учебника, где не говорилось бы прямым текстом, что не любая дифференцируемая функция является аналитической. Пример функции, не совпадающей со своим рядом, тоже приводится всегда, очень часто - именно ваш. Но ни кому ещё не хватало задора воскрикнуть на этом моменте: "Ага!". Да, аналитичность доказывать надо, да, для этого часто удобнее переходить к комплексному анализу. Это не то, чтобы не новость - это база. Следует ли, в таком случае, понимать так, что вы данное принципиальное утверждение пропустили мимо ушей, потом для себя его открыли и впали в крайность, посчитав, что вас пытались ввести в заблуждение?
Противопоставление ряда Тейлора формуле Тейлора вызвало не меньшее удивление. Понятно, что часто возникает путаница, но они ж про разное. Вводятся в курсе анализа в разных контекстах. Формула описывает поведение в точке, ряд функцию как таковую. А из вашего объяснения я бы сделал вывод, что ряд - хрень какая-то бесполезная, а вот формула - клёвая штука.
Красота доказательств это, конечно, прекрасно. Но доказательство совпадения функции с её степенным рядом это средство, а не цель. Поскольку если мы можем доказать или предположить аналитичность, либо аппроксимировать что-то аналитической функцией, то это часто на порядок жизнь упрощает. Например, для применения разложения по малому параметру, построения функции Ляпунова и т.д.
Кликбейтный провокационный заголовок - прекрасный способ одновременно и собрать зрителей, и нарваться на предвзятось и неприязнь со стороны тех, кого фактический материал разочаруют. Даже несмотря на действительно грамотную подачу материала.
А... зачем прибегать к таким дешевым приёмам для привлечения внимания?
А... О чём это вы? Можете пояснить, пожалуйста?
Противопоставление ряда Тейлора формуле Тейлора вызвало не меньшее удивление
Где же вы усмотрели противопоставление? Там, где я говорил про их различие? С таким же успехом можно обвинить меня в противопоставлении формулы Коши-Адамара и интегральной теоремы Коши с её следствиями
Вводятся в курсе анализа в разных контекстах.
Ни в одном курсе действительного анализа не "вводится" ряд Тейлора. Поймите же наконец! Их там просто нет. Эта штука из другого раздела науки
Можете пояснить
Да всё о том же - о кликбейтных провокационных заголовках. По которым щелкают на всякий случай - мало ли, что-то новое выползло, а ты не в курсе. А под ним содержание, не особо соответствующее столь вызывающему названию. Где автор зачем-то доказывает, что разложение функции в степенной ряд более содержательно в комплексном анализе, чем в действительном. С чем как бы никто до сих пор вроде как и не спорил.
Где же вы усмотрели противопоставление?
В заголовке "Что же тогда существует?". В заходе "формулы Тейлора, на первый взгляд, очень похожа на частичную сумму ряда Тейлора". Вы вполне конкретно дали понять, что, мол ребят, кто ещё помнит с универа вышмат и что там были какие-то ряды Тейлора - вы путаете. Рядов нет, это бессодержательное понятие в теории функций действительного переменного. То, что вы помните это формула Тейлора. И да, она крутая.
Их там просто нет
Серьезно? Выборка только из моего книжного шкафа.
Ильин, Садовничий "Математический анализ". т.2 гл.2 п.7 "Разложение функций в степенные ряды". Формулы Тейлора и Маклорена вводятся в ч.1. гл.6 "Основные теоремы о дифференцируемых функциях".
Зорич, Гл.5, п.3. Вводится полином Тейлора, формула Тейлора. Ряд Тейлора вводится как предельный случай, не совсем удачно на мой взгляд, и тут же указывается, что а) этот ряд вовсе не обязан сходиться и б) если сходится, то не обязательно к исходной функции. Контекст понятен, единственность разложения позволяет судить о близости функций по их разложениям в ряд.
Это не "штука из другого" раздела. Это одно из понятий, которые достаточно естественно возникают в действительном анализе, но в полной мере раскрываются только в комплексном.
Вы всю дорогу делаете вид, что кто-то убеждал в тождественности ряда и функции, в некой их "надежности". Оспариваете утверждения, которые встретили непонятно где? Точно не в учебнике. Если в курсе по анализу данных что-то подобное утверждалось, либо было неаккуратно сформулировано - проблема наверное в курсе. Но всё изложенное часть базовой университетской программы.
Ильин, Садовничий "Математический анализ". т.2 гл.2 п.7 "Разложение функций в степенные ряды"
Ну вот вам и ответ. "Степенные ряды". Где же здесь понятие ряд Тейлора??
Да, ряд Тейлора - это степенной ряд. Да, всякий сходящийся степенной ряд - это ряд Тейлора чего-то там (в статье об этом тоже прямо сказано). Но, тем не менее, эти понятия - не синонимы. Хотя разница чисто-семантическая, чтобы её понять, нужно видеть чуть дальше своего носа
Милсдарь, прежде чем обвинять других в близорукости, научитесь внимательно читать. "Разложение функций в степенные ряды", а не просто "Степенные ряды". Функция может быть разложена в степенной ряд, если существует степенной ряд, сходящийся к этой функции. Это определение. После чего элементарно доказывается, что если разложение существует, то оно единственно, в процессе строится формула для его коэффициентов, и функциональный ряд с коэффициентами, определяемыми данной формулой, называют рядом Тейлора. Не утверждается, что у любая Cinf-функция разложима в ряд. Но если разложима - то это ряд Тейлора. В этом смысл определения. Вы перепутали голову и хвост, но делаете вид, что познали какой-то глубинный смысл.
Функция может быть разложена в ряд Фурье, если существует ряд Фурье, в который она может быть разложена. Это определение. Далее элементарно доказывается, что оно единственно, а потом каким-то сложным образом строится формула для коэффициентов. Не утверждается, что всякая функция разложима в ряд Фурье. Но если разложима - то это ряд Фурье, в который она разложима. Если не разложима - то не разложима. А если неразложима, то и ряд не Фурье.
Лучше иной раз что-то перепутать, чем заниматься таким словоблудием
Ну да, словоблудие как оно есть )
Видите ли какая штука, степенные функциональные ряды, также как тригонометрические, появились довольно давно и исследовались довольно долго. И вопрос об их соотношении с гладкими функциями (соответственно - периодическими) тоже, поскольку он не очевиден. Вопрос такой: можно ли поставить в однозначное соответствие функции ряд? Для каких-то определенно можно. И для таких функций вводится тавтологичное определение "разложимых в степенной ряд функций". Дальше мы смотрим однозначно ли такое соответствие, взаимно ли, насколько оно "механистично" и т.п. Вам, видимо, не очень понятно, что такого рода вопросы и вызывающие у вас приступы ёрничанья определения обсуждаются в том числе за тем, чтобы правильно расставить акценты и исключить необходимость изобретать велосипет. А не из сугубо утилитарных соображений.
А если этого явно не сказать, то пытливый ум мгновенно одолеет идея, что раз в полином Тейлора можно добавлять члены по известной формуле, и раз остаточный член стремится к нулю, то продолжая этот процесс мы "очевидно" придём к формальному выражению ряда, эквивалентному функции. Зорич в своем изложении это понимает, поэтому останавливается на данном моменте - хотя не достаточно чётко, на мой субъективный взгляд. В более "классическом" изложении обычно придерживаются более формального подхода, подобно тому, который у Ильина. Мы сразу говорим: некоторым функциям можно поставить в однозначное соответствие степенной ряд. Выводится формальный вид этого ряда. Поскольку в формальной записи нет никаких явных требований кроме бесконечной дифференцируемости, исследуется вопрос достаточности этих требований для сходимости ряда к породившей его функции. И показывается, что нет, этих требований недостаточно. В результате выстраивается цепочка рассуждений, исключающая именно то, за что вы пытаетесь ряды Тейлора деклассировать - возможность безосновательно отождествить гладкую функцию и её степенной ряд.
Вам также может показаться удивительным, что ранее действительно так и говорилось: "функция, допускающая разложение в ряд Фурье", или "разложимая по Фурье" или "разложимая в тригонометрический ряд". Что по определению означало только то, что для неё существует сходящийся тригонометрический ряд, который, как потом оказалось, ряд Фурье. Более того, так и сейчас местами говорят, поскольку условия, например, Дирихле не являются необходимыми. Словоблуды, чесслово.
Это одно из понятий, которые достаточно естественно возникают
Ещё раз. Какое такое "это" понятие? "Ряд Тейлора"? Нет. Степенные ряды - да, никто и не утверждал, что их не существует в действительном анализе
По вашему мнению, Зорич "не совсем удачно" излагает матанализ? А я у него учился, и считаю, что его курс - один из лучших. И то, что вам не понравилось, как он он говорит о рядах Тейлора, на самом деле говорит о другом. Быть может, о том, что применимость понятия ряда Тейлора под вопросом в матанализе? Так именно в этом и состоит суть статьи
Зорич "не совсем удачно" излагает матанализ
По моему мнению Зорич прекрасно и довольно нестандартно излагает матанализ, я сам по его учебникам учился. Речь конкретно про то, что ряд он вводит формально как полином Тейлора бесконечного порядка. Это действительно может вызвать (и вызывает) путаницу, хотя и честно отмечается необязательность сходимости к породившей ряд функции. В учебниках Зорича хватает таких моментов, почему их и сложно рекомендовать как базовые при изучения матана. Хотя как доп литература они бесценны.
Я имел в виду "у самого Зорича", а не "по учебникам". Но не суть. С вашими рекомендациями тоже не соглашусь. Хотя его учебник может быть немного сложноват для восприятия, зато он закладывает такой фундамент, имея который, уже никогда не забудешь матанализ).
Что можно интегрировать? Только дифференциальные формы!
А иначе "знание матана" с годами опускается до уровня "знаю, на какой полке справочник стоит"
Я вас понял. Завидую. С Владимиром Антоновичем счастья свести знакомство, увы, не имел.
Дело не столько в сложности учебника. Я бы сказал, что он как раз написан очень живым языком. Но сам учебник для тех, кто всерьез увлечен математикой. А курс матанализа это обязательная часть фундаментальной подготовки, не обязательно математической. Поэтому часто сухая строгость более предпочтительна, хотя бы при первом знакомстве с предметом.
Помню, как пытался сдать ему экзамен на 1-м курсе. Завалил, потому что ещё не успел перестроиться с "попсового" изложения а-ля Садовничий и Ко на его строгий штиль. Просит дать определение градиента - и я даю "стандартное" координатное определение. Он даже обиделся: "ведь я же давал инвариантное определение, не зависящее ни от каких координат"! И только тогда я по-настоящему осознал его подходы.
Это был далёкий 1995-й год
прекрасный способ одновременно и собрать зрителей
Даже и не думал об этом. Статья - это способ донести важную информацию. Нет смысла говорить о рядах Тейлора в контексте действительного анализа. Их там действительно нет и быть не может (почему - я показал). Да, некоторые функции ВП могут быть представлены сходящимися степенными рядами, но это скорее случайность, а тейлоровость ряда - это возможность для любой бесконечно-дифференцируемой функции формально построить сходящийся к ней ряд. Таким свойством действительные функции, вообще говоря, не обладают.
Обладание таким свойством никогда и не заявлялось.
тейлоровость ряда - это возможность для любой бесконечно-дифференцируемой функции формально построить сходящийся к ней ряд
Это вы придумали. То, что не для любой бесконечно дифференцируемой функции её степенной ряд к ней сходится говорится всегда. И контр-пример это не ваш пример, а именно типовой пример из типового учебника.
Это вы придумали
Почему вы так решили? Потому что не встретили ничего подобного в своём книжном шкафу? Ну так я и не обязан составлять статью только лишь из цитат "учебников", согласны? А в чём, по вашему мнению, состоит понятие тейлоровости? Ведь это не то же самое, что "степенной ряд", хотя и близкое понятие. Тейлоровским ряд может быть не сам по себе (в отличие от степенного ряда), а по отношению к некоторой функции. Нельзя быть "рядом Тейлора вообще", а только "рядом Тейлора конкретной функции". Что это значит? Что ряд Тейлора порождается заданной функцией, а не является таковым "сам по себе". Для какой функции можно построить ряд Тейлора? Очевидно, для всякой такой, для которой можно написать последовательность её производных, то есть для всякой бесконечно-дифференцируемой. Но поскольку поведение полученного ряда может быть каким угодно, ничто больше не связывает полученный ряд с породившей его функцией. Поэтому нет смысла говорить о рядах Тейлора вообще в матанализе. Это понятие полностью раскрывается лишь в комплексном, вот там и есть его самое место. И оспариваю я не какое-то "утверждение", взятое "неизвестно где", я борюсь с тенденцией "вводить" понятие ряда Тейлора там, где ему места нет
Потому что не встретили ничего подобного в своём книжном шкафу?
Нет, потому что ни разу не встречал такого термина, хотя прочитал больше книг, чем стоят в моем шкафу. Если он действительно есть - готов буду признать неправоту, приведите источник.
А в чём, по вашему мнению, состоит понятие тейлоровости?
Ни в чем. мне не знакомо такое понятие.
не является таковым "сам по себе"
Такого никто никогда и нигде и не утверждал. Да, ряд Тейлора порождается функцией. Да, он тождественен не любой породившей его функции. Поэтому вводится специальный класс функций, эквивалентных своим степенным рядам - аналитических.
И контр-пример это не ваш пример, а именно типовой пример из типового учебника
То есть, обобщение "типового примера" вы всё-таки проигнорировали? Я так и знал. И после этого именно я "не умею читать". Ну-ну.
Пример функции, не совпадающей со своим рядом, тоже приводится всегда, очень часто - именно ваш.
В моей статье приведено несколько примеров, какой из них вы имеете в виду?
Но ни кому ещё не хватало задора воскрикнуть на этом моменте: "Ага!"
Где-то в тексте вы нашли восклицание "ага"?
Это не то, чтобы не новость - это база
Я разве где-то утверждал, что сделал новое научное открытие?
ряд - хрень какая-то бесполезная, а вот формула - клёвая штука
Именно так и есть (в определённом контексте)
Имею ввиду пример bump-функции.
Их там действительно нет и быть не может (почему - я показал).
Вы показали, что не любая бесконечно дифференцируемая функция является аналитической и что дополнение к множеству аналитических функций бесконечно. Вот только противоположное никогда и никем не утверждалось.
Ряд Тейлора сходится не в радиусе. Просто надо выколоть особые точки. И если функция была бесконечно дифф то он сходится везде, кроме особых точек.
a(n) ~ 1/n! -> 0 кроме особых точек
Рядов Тейлора не существует