Comments 6
Ого, красиво! Жаль, когда я проходил квантмех, такого не рассказывали.
Единственное, что я бы хотел добавить (или наоборот услышать опревержение) - возможно, матричное представление для матриц Паули не является фундаментальным и лучше сразу мыслыть в терминах e1 e2 e3 c их свойствами.
И ещё мне кажется, что ротор и экспонента бивектора сами-по-себе более фундаментальные, чем их представление в виде синуса и косинуса. Например, если бы во второй задаче магнитное поле бы менялось со временем, в выражении под экспонентой ещё бы появился интеграл от времени. (Не помню как это правильно называется, там есть нюанс с некоммутативностью и тем как это правильно вычислять)
От себя добавлю, что я взял PGA для 3д, которое еще описывает перемещения, написал библиотеку и классическая механика туда тоже очень хорошо уложилась. Сила, приложенная к точке - это буквально точка, умноженная на вектор анти-внешним произведением (point v force), и результат - это линия. Силы в таком представлении аддитивны, причём и сила и вращательный умещаютсся в одном бивекторе. Если вдруг интересно - есть в моей статье на хабре и там же ссылки на код.
Ну там вся фундаментальность для физики в том, чтобы использовать для описания спиноров векторы из двух элементов вместо матриц 2 на 2 с комплексными числами. Для этого весь огород и городили с конкретными матрицами.
Однако при таком подходе, особенно когда не рассказывают, откуда это всё взялось, формулы выглядят совершенно загадочными.
"возможно, матричное представление для матриц Паули не является фундаментальным и лучше сразу мыслить в терминах e1 e2 e3 c их свойствами. "
Разумеется, оно не фундаментальное. Но вопрос, лучше ли - неоднозначен.
Про классическую механику конечно знаю. А еще в геометрическую алгебру отлично укладываются электромагнетизм (вся система уравнений Максвелла превращается в одно небольшое уравнение на комплексный кватернион), теория относительности (4-векторы всякие и т.п.), современная теория поля (как квантовая, так и классическая).
С помощью геометрической алгебры можно даже оптику рассчитывать.
Вот только не видел как ОТО уложить, но наверное как-то можно.
Всё-таки вторая задача не даёт мне покоя. Там вроде можно не переходить к матрицам, смотрите (хабр не даёт формулы в комментарии писать, поэтому пишу как могу):
Ротор это exp(e23 * wt / 2)
Если выхотите посмотреть, как он действует на элемент e1, то можно просто написать так:
exp(e23 * -wt / 2) e1 exp(e23 * wt / 2)
И дальше всё просто:
(cos(-wt / 2) - e23 sin(wt/ 2)) e1 exp(e23 * wt / 2)
дальше я перенесу e1 влево. косинус не изменится, и у синуса знак останется прежним, потому что
(e2 e3) e1 = -e2 e1 e3 = e1 (e2 e3)
Получается, что exp(e23) и e1 коммутативны, а экспоненты exp(e23 wt / 2) exp(e23 - wt/ 2) перемножатся в единицу.
e1 exp(e23 -wt/ 2) exp(e23 wt/2) = e1
И компонента e1 не вращается.
Если вместо e1 подставить e2, то формула будет отличается тем, что e23 e2 = - e2 e23
exp(e23 * -wt / 2) e2 exp(e23 * wt / 2)
Я точно так же вынесу e2 влево, но знак у синуса поменяется.
e2 (cos(wt / 2) + e23 sin(wt / t)) exp(e23 wt / 2)
e2 exp(e23 wt)
e2 (cos(wt) + e23 sin (wt))
e2 cos (wt) + e3 sin (wt) - т.е., компонента e2 будет вращаться в плоскости e2 e3. И аналогично с e3.
В статье выглядит странным переход к матрицам, когда можно точно так же продолжать в терминах e1 e2 e3
О формализме матриц Паули и геометрической алгебры в нерелятивистской квантовой механике