Почему структура Ur, Uz не случайна даже при случайном k в ECDSA: математика за топологией цифровых подписей / Habr

Пример структуры для секретного ключа . Каждая цветовая область соответствует определённому значению , формируя чёткие диагональные линии на торе.

Введение

ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) является краеугольным камнем современной криптографии, защищающим транзакции в Bitcoin, SSL/TLS-соединения и электронные документы. Однако даже в хорошо изученных алгоритмах скрываются неочевидные математические свойства, которые могут быть использованы как для укрепления безопасности, так и для обнаружения уязвимостей.

В этой статье мы глубоко погрузимся в один из таких феноменов: почему структура параметров в ECDSA остаётся детерминированной даже при идеально случайной генерации секретного числа . Это свойство, часто игнорируемое в учебниках, имеет фундаментальное значение для понимания безопасности ECDSA и объясняет, как криптоаналитики обнаруживают уязвимости в реальных системах.

Основы ECDSA: от теории к практике

Как работает ECDSA

ECDSA основывается на математике эллиптических кривых над конечным полем $\text{GF}(p)$ . Основные этапы генерации подписи:

Выбирается случайное число $k \in [1, n-1]$ , где — порядок группы
Вычисляется точка $R = k \cdot G$ , где — базовая точка кривой
$r = x(R) \mod n$ (x-координата точки )
$s = (z + r \cdot d) \cdot k^{-1} \mod n$ , где — секретный ключ, — хеш сообщения

Параметры и определяются как:

$U_r = r \cdot s^{-1} \mod n, \quad U_z = z \cdot s^{-1} \mod n$

Ключевое соотношение

Из уравнения для выводим:

$s = (z + r \cdot d) \cdot k^{-1} \mod n \implies k = U_r \cdot d + U_z \mod n$

Это линейное уравнение — ключ к пониманию всей структуры. Для фиксированного секретного ключа каждое значение определяет прямую линию на плоскости с наклоном .

Математическая структура

Торическая природа пространства

Поскольку все вычисления в ECDSA выполняются по модулю , пространство образует двумерный тор — циклическую структуру с соединёнными границами. На этом торе:

Горизонтальные циклы: $U_z = \text{const}$ , изменяется
Вертикальные циклы: $U_r = \text{const}$ , изменяется
Линии с наклоном : $U_z = k - d \cdot U_r \mod n$

Это не случайное облако точек — это строго упорядоченная структура параллельных линий, чётко видимая даже при случайной генерации .

Анализ примера с

Рассмотрим таблицу, приведённую в начале статьи, которая иллюстрирует структуру для секретного ключа :

Цветовая схема: Каждый цвет соответствует определённому значению (x-координаты точки )
Диагональные полосы: Отчётливо видны параллельные линии, наклон которых соответствует
Тороидальность: Структура замыкается по краям, подтверждая топологию тора

Этот паттерн возникает не из-за уязвимости в генерации , а из-за фундаментального математического соотношения $k = U_r \cdot d + U_z \mod n$ .

Топологический анализ: от теории к криптоанализу

Mapper-алгоритм и визуализация структуры

Mapper — метод топологического анализа данных — позволяет визуализировать скрытую структуру:

Определяем фильтрующую функцию
Разделяем диапазон на интервалы
Для каждого интервала кластеризуем точки
Строим граф, где вершины — кластеры, а рёбра — пересечения кластеров

Для корректной реализации ECDSA этот граф имеет тороидальную структуру с диагональными связями, соответствующими наклону . Это подтверждает, что даже при случайной генерации структура подписей не случайна — она отражает топологию тора, определяемую секретным ключом.

Персистентная гомология: инструмент обнаружения аномалий

Персистентная гомология анализирует "дыры" в структуре данных на разных масштабах. Для ECDSA:

Корректная реализация: Персистентная диаграмма содержит два долгоживущих цикла, соответствующих структуре тора
Повторное использование : Диаграмма содержит короткие интервалы
Предсказуемая генерация : Аномально длинные интервалы

Это позволяет обнаруживать уязвимости даже при небольшом количестве подписей, не зная секретного ключа.

Заключение

Структура в ECDSA не является случайной даже при случайной генерации — это фундаментальное математическое свойство алгоритма, вытекающее из линейного соотношения $k = U_r \cdot d + U_z \mod n$ . Эта структура:

Всегда формирует регулярную сетку параллельных линий на торе
Позволяет восстанавливать секретный ключ по наклону линий
Не является уязвимостью самой схемы, но позволяет обнаруживать проблемы в реализации

Понимание этой структуры критически важно для:

Разработчиков криптосистем — чтобы избежать ошибок, подобных взлому PlayStation 3
Криптоаналитиков — для обнаружения слабых реализаций
Аудиторов безопасности — для проверки корректности ECDSA-реализаций

Даже идеально случайная генерация не устраняет регулярную структуру — это свойство должно учитываться при проектировании и анализе криптосистем. Топологический анализ данных, такие как Mapper-алгоритм и персистентная гомология, становится незаменимым инструментом для современной криптографической безопасности.

Ссылки:

FIPS 186-4: Digital Signature Standard (DSS)
RFC 6979: Deterministic Usage of ECDSA
Dey, T. K., & Wang, Y. (2022). Computational Topology for Data Analysis
Nguyen, P. Q., & Shparlinski, I. E. (2002). The Insecurity of the Digital Signature Algorithm with Partially Known Nonces. Journal of Cryptology

Статья подготовлена на основе оригинальных исследований в области топологического анализа криптографических систем. Все примеры и вычисления проверены с использованием открытых инструментов анализа.