master_program 24 окт в 20:18

Квантовая механика без магии: пересобираем физику на языке геометрии

Сложный

8 мин

10K

Лайфхаки для гиковФизикаМатематика * Научно-популярное

+16

Комментарии 40

DenisYahnovec 25 окт в 04:12

Действительно очень интересная статья, если смотреть на наш мир немного подругому то становятся понятны многие вещи из квантовой механики, или точнее сказать данные которые предоставляют нам ученые как факты заставляют нас посмотреть на наш мир подругому

master_program 25 окт в 05:28

20 лет назад Хестенес переписывал всю физику через геометрическую алгебру. Конкретно эту вещь он тут разбирал The-zitterbewegung-interpretation-of-quantum-mechanics.pdf . Там у него похоже (волновую функцию он тоже рассматривает как произведение плотности вероятности на ротор), но у меня немного другие рассуждения получились.

Tintins 28 окт в 05:23

Сейчас прямо бум на геометрическую природу.

master_program 25 окт в 05:30

А вот тут, например, 2002.11463 , пытаются темную энергию извлечь из ГА.

harikein70 25 окт в 05:51

Будучи дилетантом не совсем понял - а как это поможет описанию структуры на субпланковских масштабах ?? и что это меняет в понимании того как возникает собственно пространство ? Мы можем преодолеть аксиматичность ввода характеристик пространства ??

Pshir 28 окт в 17:43

Описанию структуры на субпланковских масштабах это никак не поможет. Про субпланковские масштабы мы не знаем ничего - описывать просто нечего.

amazingname 25 окт в 11:22

Мне кажется все подобные упрощения это выплёскивание вместе с водой ребенка, чтобы понять ребенка.

Загадочность квантовой механики вовсе не в комплексных числах не в спине и не в уравнении Дирака. Человек с достаточной математической подготовкой поймет изложенные в статье особенности квантовой механики и скрытую неизбежность определенных ее утверждений примерно с одинаковыми усилиями как с геометрическими интерпретациями так и без них. Человек без такой подготовки ни черта не поймет и так и так.

А вот выплёскивание ребенка здесь налицо. Даже две запутанные частицы не опишешь. И пропадает сама "информационная" сущность квантовой механики - понятие наблюдаемых, унитарность, обобщение вообще на любые измеряемые изолированные системы а не только точечные частицы и так далее.

И.е. если на первый взгляд подобные модели могут выглядеть как способ попроще ухватить суть, на самом деле это способ выбросить суть и искать где светлее вместо места где потерял, как в анекдоте. Та же схема как было много фриковой науки с различного рода механическими эфирами, чтобы понять СТО.

И что касается постулирования квантовой механики через процедуру квантования, я когда пытался ее изучать такой тенденции не заметил. Добрая половина учебников не пляшет от квантования а пляшет от неких постулатов. При этом картина мира складывается как бы независимо, измерение выглядит как ее фундаментальная часть, а процедура квантования как прикольный лайфхак, позволяющий выполнить "реверс инжиниринг" от наблюдаемого обратно к квантовой картине..

master_program 25 окт в 13:17

Это другая часть загадочности квантовой механики. Она заключается в том, что если у нас описание больше чем одной частицы (любого числа частиц), то они описываются не разными волновыми функциями, а одной многочастичной. Отсюда запутанность и т.п.

Никакой проблемы описывать это геометрической алгеброй нет.

amazingname 25 окт в 15:35

По моему, у квантовой механики нет частей. Это некий единый принцип формирования реальности. Геометрическая алгебра с волновой функцией в трехмерном пространстве для нескольких запутанных частиц же не получится.

master_program 25 окт в 17:19

Получается то же самое, что и в обычной КМ. У нас просто вместо одного трехмерного пространства для каждой частицы свое трехмерное пространство, а связаны они между собой за счет потенциалов. Ровно это описывает и обычная КМ.

amazingname 25 окт в 19:53

Ну как тоже самое... Для одной частицы это хотя и непонятной природы функция в пространстве, но все же это просто несколько чисел (4 вроде) в каждой точке пространства. Для двух запутанных это уже никак наглядно в 3d пространстве не интерпретируешь - числа цепляются к 6-мерному пространству а не к координатам в 3-мерном.
Здесь интуитивно просматривается другая картина: две частицы были как-то созданы, этот процесс создания вложил в них какую-то информацию, типа "если одна была тут, а другая там, то такое можно обнаружить с такой-то вероятностью" и волновая функция отражает эту информацию. При этом по сути она отражает вероятности исходов всех возможных экспериментов с этой системой. Точнее - вероятности для одного базиса экспериментов, и содержит фазы в дополнение, чтобы хватало информации для перехода в другой базис. При этом по сути в векторе состояния нет описания системы как таковой в привычном классическом смысле (или в этом самом геометрическом смысле). Без понимания что эта за система и что с ней можно делать вектор состояний не имеет смысла. И это все действительно сложно и как это правильно понимать без понятия.

eugenk 30 окт в 00:31

Извините что влезаю в разговор, но это опять-таки математика. Да, позволяет описать и даже посчитать. Но ПОНЯТЬ СУТЬ не помогает.

master_program 25 окт в 13:18

"Загадочность квантовой механики вовсе не в комплексных числах не в спине и не в уравнении Дирака. "

Да вообще в основном в этом. Нелокальность представить себе можно. А откуда берется спин и что такое вообще комплексная ВФ - куда загадочнее.

eugenk 30 окт в 00:36

Завидую... Я вот понять нелокальность вообще не могу. Это что-то за пределами. Я даже линейность и принцип суперпозиции не могу понять. Весь мир вокруг нас нелинеен. Иногда существенно нелинеен. Почему же тогда квантовая механика линейна ??? Или она какое-то приближение (скажем случай малых полей) и более фундаментальная теория будет уже нелинейной ???

А вообще огромное спасибо за Вашу серию статей. Понимаю не всё, но читаю с удовольствием.

master_program 30 окт в 01:08

Есть книга Иванов М. Г. Как понимать квантовую механику, в интернете легко находится. Там он посвящает много внимания всем эти вопросам. В первую очередь - вопросу о линейности квантовой механики.

eugenk 30 окт в 07:20

Спасибо ! Уже нашел. Пока глянул оглавление, действительно книга ценная. А главное не только математика, но и изрядная доля философии, что мне как раз и надо.

kapas19 25 окт в 15:59

Вы пишете, что "фазовый множитель из стандартной КМ - это лишь одномерная проекция этого объекта, который описывает вращения во всех плоскостях пространства-времени". Что вы конкретно имеете в виду под "одномерной проекцией"?

master_program 25 окт в 17:16

Одна степень свободы - угол.

kapas19 25 окт в 17:30

Какой конкретно угол из ротора R соответствует U(1)-фазе? Ротор содержит вращения/бусты в разных плоскостях пространства-времени - как выделить именно ту степень свободы, которая:

Не зависит от системы отсчёта (инвариантна при Лоренц-преобразованиях)?
Соответствует ли он комплексной фазе e^(iφ), а не просто углу θ?

master_program 25 окт в 18:19

U(1)-фазе соответствует угол вращения в плоскости, представленной псевдоскаляром пространства-времени I. Этот угол является лоренц-инвариантным скаляром.

I₄ = γ₀γ₁γ₂γ₃

$\psi=\rho^{1 / 2} e^{I \beta / 2} R$

У Хестенеса это такая особая плоскость, одной осью которой является сам объект X, а другой - его ортогональное дополнение X*I. Например, в 4D вектору будет соответствовать тривектор. Эта штука их перемешивает.

Ротор R кодирует всю зависящую от наблюдателя (от системы отсчета) информацию о состоянии электрона. А эта штука - не зависящую.

master_program 25 окт в 18:20

В общем да, это надо всё вписать в статью, иначе слишком сокращенно.

master_program 25 окт в 21:53

Дело в том, что вращение, задаваемое этим псевдоскаляром, это одновременное вращение во всех трех пространственных плоскостях и буст во всех трех временеподобных плоскостях.

master_program 25 окт в 22:19

Но вообще хороший вопрос, реально. Стоит поразмыслить над смыслом такого псевдоскалярного вращения.

parolx 28 окт в 13:15

Вот и ещё одно замечание автору образовалось. Нет никаких бустов в волновой функции. Неоткуда взяться скорости в координатном представлении. Для скорости надо переходить в импульсное.

У обычной волновой функции 4 компоненты - скаляр и три пространственных бивектора. Тогда и волновая функция электрона правильно разбивается на левохиральный зиг и правохиральный заг, см. комментарий ниже. Оба имеют только пространственные компоненты бивекторов.

В этом случае и угол очевиден - он просто лежит в плоскости бивектора и нет никаких загадочных вращений в "плоскости" псевдо-скаляра.

master_program 28 окт в 13:33

Очень хороший комментарий. Учту. Но я пока решил заняться переделкой и доделкой темы своей статьи про ОТО на хабре. Напишу отдельную статью про символы Кристоффеля - несколько разных выводов, смыслы и полное описание в ГА. Потом про тензор Римана. Затем третью про Риччи и Эйнштейна.

kapas19 28 окт в 15:03

В координатном представлении волновая функция $\psi(x)$ описывает амплитуду вероятности, и в этом смысле «бустов» в $\psi$ нет.

Однако в геометрической алгебре вводится поле $\Psi(x)$ , которое уже не является амплитудой, а представляет собой фермионное поле – локальный мультивектор, включающий ротор . Именно в этом операторе реализуются локальные бусты и вращения, отражающие преобразования системы отсчёта, а не изменение вероятности.

Поэтому оба утверждения можно согласовать: в смысле волновой функции $\psi(x)$ бустов нет, а в описании поля $\Psi(x)$ они естественно возникают как локальные преобразования базиса.

parolx 28 окт в 15:24

Да, $\Psi(x)$ электрона имеет 8 компонент, в том числе 4 - псевдо-скаляр и бусты, но они относятся к правохиральной частице заг.

kapas19 28 окт в 15:57

Формально у $\Psi(x)$ восемь действительных компонент – скаляр, бивекторы и псевдоскаляр. Но связывать «псевдоскаляр и бусты» только с правохиральной частью некорректно: в представлении Хестенеса все эти компоненты входят в единый мультивектор, а хиральность определяется проекторами $(1\pm\gamma_{5})/2$ , а не разложением по компонентам мультивектора.

parolx 29 окт в 07:51

Может это у раннего Хестенеса? Вроде он всегда разделял на Ѱ+ и Ѱ- Сначала как-то совсем нелогично, потом как в в моём комментарии ниже: Ѱ = Ѱ+ + I * Ѱ- Может конечно это уже Доран / Лазенби, не помню точно. Но в любом случае эта интерпретация гораздо логичнее.

А по поводу проекторов хорошо написал flx0

LinkToOS 25 окт в 18:22

Эти формулы используются для практического применения?
Используются они например в работе описанной в статье "От наномира к макроэффектам: ученые раскрыли секреты поведения света в наноцилиндрах"? https://habr.com/ru/articles/959154/

master_program 25 окт в 21:48

В той работе используется только электромагнетизм (уравнения Максвелла). Например

$\overleftrightarrow{\mathbf{G}}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)=\left(\mathbb{I}_{3 \times 3}+\frac{1}{k_0^2} \nabla \otimes \nabla\right) \frac{i}{4} H_0^{(1)}\left(k_0\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|\right),$ $\begin{aligned}\mathcal{R} & =\frac{1}{4 L^2} \sum_{m_{<}}^{m_{>}} \frac{\left|4 \pi k_0^2 \widetilde{\alpha}\right|^2}{k_z^{(m)} k_z^{(0)}} \\\mathcal{T} & =1-\frac{4 \pi \Im \mathrm{~m} \widetilde{\alpha}}{L k_z^{(0)}}+\frac{1}{4 L^2} \sum_{m_{<}}^{m_{>}} \frac{\left|4 \pi k_0^2 \widetilde{\alpha}\right|^2}{k_z^{(m)} k_z^{(0)}}\end{aligned}$ $m_{<}=-\left\lfloor\frac{\omega / c+k_{\|}}{2 \pi / L}\right\rfloor, \quad m_{>}=\left\lfloor\frac{\omega / c-k_{\|}}{2 \pi / L}\right\rfloor$ $P_i=\alpha_{y y} \mathcal{E} e^{i k_z z_i+i k_{\|} x_i}+4 \pi k_0^2 \alpha_{y y} \sum_{j \neq i} G\left(\mathbf{r}_i, \mathbf{r}_j\right) P_j,$

LinkToOS 26 окт в 08:07

Значит при взаимодействии электромагнитного поля с атомами, никакой квантовой неопределенности нет, и использование волновых функций избыточно? Или уравнения Максвелла уже включают в себя волновую функцию?

flx0 26 окт в 08:59

Волновая функция электромагнитного поля - это электромагнитный векторный потенциал, который ненаблюдаем.

Взаимодействие ЭМ поля с атомами бывает разным. Если свет просто преломляется в кристалле - то для описания этого процесса достаточно рассматривать размазанный в пространстве заряд, который под действием оного света начинает двигаться, движение создаёт противодействующее поле, и так далее, никаких квантов.

А вот когда речь заходит о поглощении/излучении света атомами, начинается веселье. Потому что ненаблюдаемая до этого фаза электронов претерпевает топологическое изменение - они переходят на другую орбиталь. И, через необходимость соблюдать калибровочную симметрию, это тянет за собой и вполне определенное изменение в ЭМ потенциале, которое по сути и называется фотоном.

Pshir 28 окт в 08:42

Значит при взаимодействии электромагнитного поля с атомами, никакой квантовой неопределенности нет, и использование волновых функций избыточно?

Не совсем так. В комментарии, на который вы отвечали содержатся формулы. В этих формулах обратите внимание на буковку альфа с волной. Эта буква и есть результат расчёта взаимодействия электронной системы одиночного проводника с электромагнитным полем. А расчёт этот делается (если он вообще возможен) с помощью квантовой электродинамики. Но в данной конкретной статье фокус совершенно на другом, поэтому в формуле пишется просто одна буква.

Точно так же, как при написании программы на высокоуровневом языке программирования вы не вдаётесь в детали физической реализации ячеек памяти или регистров процессора. Значит ли это, что физическая реализация ячеек памяти и регистров процессора избыточна?

master_program 28 окт в 13:05

Да, хорошее сравнение. Можно ещё вспомнить, например, что сила реакции опоры стола из принципе неопределённости Гейзенберга на самом деле выводится (если описывать вещество как множество зарядов двух знаков, без квантовой теории, только электромагнетизм, никаких твёрдых тел не может быть). Но при расчётах с ней достаточно механики Ньютона, или даже статики, которая была и до Ньютона.

flx0 26 окт в 05:12

А теперь можно пойти чуть дальше и рассмотреть проекции этого уравнения на идеалы алгебры. Для того чтобы получить традиционно используемый в физике базис Вейля, используются проекторы

$\frac{1}{2}(1 \pm i \gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3), \frac{1}{2}(1 \pm i \gamma_2 \gamma_3)$

(здесь i - обычная мнимая единица, т.е. рассматривается уже не , а комплексная $\mathbb{Cl}(1,3)$ ).

Если уравнение

$\nabla\Psi = m\Psi\gamma_0$

выполнятеся, то выполняется и

$\nabla\Psi \frac{1}{2}(1 \pm i \gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3) = m\Psi\gamma_0 \frac{1}{2}(1 \pm i \gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3)$

Или, поменяв местами с $\gamma_0$ :

$\nabla\Psi \frac{1}{2}(1 \pm i \gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3) = m\Psi\frac{1}{2}(1 \mp i \gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3) \gamma_0$

Как видим, "хиральный" проектор поменял знак в правой части. То есть проекции нашей частицы $\Psi$ можно рассматривать как две взаимодействующие друг с другом частицы: "правую" $\Psi^+$ и "левую" $\Psi^-$ , а уравнение Дирака тогда разбивается на 2:

$\begin{cases}\nabla\Psi^+ = m \Psi^- \gamma^0 \\\nabla\Psi^- = m \Psi^+ \gamma^0\end{cases}$

А масса становится коэффициентом взаимодействия между этими двумя частицами.

Здесь должно быть что-то про зигзаг-представление Пенроуза, поле Хиггса и слабое взаимодейстие, но я пока не придумал что.

michael_v89 26 окт в 18:08

I — это не абстрактная мнимая единица, а псевдоскаляр, единичный объем 3D-пространства
Мнимая единица i — это плоскость или объем.

Геометрически i это не число или точка на плоскости, это операция поворота на 90°. Такая же как сложение и умножение (т.е. сдвиг и масштабирование). Поэтому i^2 полностью можно записать как 1ii, то есть поворот точки "1" вокруг точки "0" 2 раза на 90°, что и дает "-1". Угол поворота задается степенью i, то есть i^(1/3) это поворот на 30°.

Но вы и сами это пишете в другой статье. Почему тут это не оператор?

master_program 28 окт в 02:40

Потому что это разные корни из минус единицы. В другой статье написано про e12 в Cl(3,0), а тут e1234 в Cl(3,1).

parolx 28 окт в 13:05

У меня два замечания к статье. Во.первых одного ротора недостаточно для волновой функции электрона. Ротор - это скаляр + бивектор, которых 6 штук, т.е. всего 7 компонент, а надо 8. Не хватает псевдо-скаляра.

И тогда волновая функция, как правильно заметил flx0, распадается на 2 ротора, как у Хестенеса, а именно

Ѱ = Ѱ+ + I * Ѱ-

То есть вторая часть живёт в дуальном пространстве. Для пространства Минковского их 2 - левое и правое. Только в левом время течёт в обратную сторону, значит остаётся правое. Вот автоматически получились зиг, левой хиральности и заг, правой.

Во-вторых рассуждение почему надо правую часть умножать на γ₀ меня не убедили. Вообще-то умножение на γ₀ слева или справа - это расщепление мульти-вектора на временную и пространственную часть. У Хестенеса результат слегка другой, хотя тоже не убедительный - пространственно несимметричный.

А в остальном статья понравилась. Давно пора переходить на геометрическую алгебру.

master_program 28 окт в 13:06

Я вроде про псевдоскаляр давно дописал. Но пока что мой наскок на кванты и ОТО получился далеко не таким хорошим, как должен быть. У Хестенеса там тоже далеко от идеала вышло.

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий