master_program 7 ноя в 18:15

Путеводитель по матанализу, который скрывали от вас в вузе

Простой

46 мин

42K

Математика * Научно-популярноеФизикаЛайфхаки для гиков

Туториал

+195

287

Комментарии 287

master_program 7 ноя в 18:28

Только что наткнулся на хорошую видео иллюстрацию в форме мема Real Analysis vs Abstract Algebra. Сразу видно, где алгебраический подход логичен и естественен, а где нет.

youscriptor 7 ноя в 18:52

Мне кажется вы разложили все в удобной для вас интуиции. Я мыслю немного иначе. Смотрите, традиционно Платон наследник Пифагора и он мыслит от объекта (идеи). И соответственно тут возникают интуитивные непонятки, как проекцируется объекты одного типа на объекты другого и как вообще существует бесконечно малое. Галуа сделал революцию, сделав первчиным симметрию и принеся понятие изоморфности, по факту сделал первыичным действие, операцию над множеством. Алгебра, геомерия просто заточены под удобное человекческое восприятие (визуализация для геометрии, счет как ..хм.. синтетическое априорное знание, основанное на чистой интуиции времени по Канту ). Но первично именно действие, а объекты лишь форма записи. Вообще понятие бесконечно малого изначально глубоко философское и неразрывно связано с детерменистским, механистическим взглядом на мир. А если смотреть с точки зрения чисто математики - мне достаточно понимания того что производная - это просто касательная, а алгебра и геометрия - это в принципе одно и то же (из за изоморфности). Сори за небрежность суждений, скорее хотел передать смысл, а не доказательство (у вас строже, да)

master_program 7 ноя в 18:57

Ну в подходе Вейерштрасса и Коши, там много алгебры неравенств, и импликации на основе кванторов. Это главное препятствие для понимания студентами - абстрактность.

У меня прямо сейчас на репетиторстве студент первого курса МФТИ, который завалил коллоквиум по матанализу и его пересдачу тоже, хотя всё упорно учил. Просто понять ничего не может, несмотря на то, что он поступил в МФТИ по олимпиаде без экзаменов, выпускник сильной физмат-школы. Старается, но не получается у него. А всё из-за этих кванторов и сплошных стен текста с большим количеством слов и кванторов. Наизусть выучить всё это может - понять нет.

anshdo 8 ноя в 15:16

Хммм, я на 1-м курсе был в восторге от кванторной записи, мне она казалась простой, абсолютно понятной и очень изящной. Хотя выездную олимпиаду МФТИ я завалил, и пришлось поступать в провинциальный пединситут 😋

А вот подход Гейне мне совершенно не зашел. Не, я мог в нем разобраться, но он казался мне какой-то переусложненной мутью.

Так что мышление у всех разное, и нет какого-то универсального подхода к изучению, который был бы хорош для всех.

acsent1 8 ноя в 17:58

Странно. Матан с его эпсилон дельтами был самым простым из всего что мы проходили. Вообще нас учили, что епсилон-дельта это база (и по факту это так и есть). И даже ночью тебя разбуди ты должен выдать определение непрерывности на языке эпсилон дельты.
Собственно конечно можно от него уклониться, но дальнейшее продвижение все равно потребует его понимания

xaoc80 9 ноя в 13:52

Аналогично. Самым сложным на первом курсе был тензорный анализ с его символами Кристофеля и индексами. Я смог понять, только когда столкнулся с реальным и приложениями к физике- теории упругости и т.д.

gres_84 10 ноя в 12:40

Возможно, он выбрал не то направление и не тот вуз. Обычно этим грешат дети преподавателей. Мне тоже очень сложно первые два семестра давались, потому что после обычной школе в глубинке резкий скачок получился. Но проблема была скорее в количестве новых знаний, а не в абстракциях. Если сейчас непонятно, что потом в ТФКП или Урматфизе будет...

Soarerru 11 ноя в 13:38

Странно. Вообще первый семестр матана очень много имеет из курса старшей школы ("Алгебра и начала анализа"), и если (и тем более) физ-мат школа была сильная - то непонятно, что там может быть непонятно. Уже писали - что он будет делать дальше, на УМФ, ТФКП и дискретке.

sci_nov 7 ноя в 18:54

Горе уму... 🙃

Да, аппарат епсилон и дельт непривычен, но для себя я в свое время выработал практический - почти интуитивный - навык нахождения пределов, решая Демидовича самостоятельно, вне так называемых домашек. Аппарат епсилонов и дельт был благополучно оставлен после экзаменов, так как по факту он оказывается не нужен, если ты не профессиональный математик конечно. Подход по Гейне как-то не понадобился, и, вероятно, я слышал про него краем уха на одной из лекций - и всё на этом.

Главным стимулом познания для меня стала духовная сторона, без которой всё равно что пелена перед глазами и ступор. Под духовной стороной каждый будет понимать своё: для кого-то это просмотр видео блестящего лектора, для кого это вдохновляющий учитель в школе/вузе, а для кого-то - поддержка единомышленников.

OlegZH 7 ноя в 19:44

Великий обман в преподавании математического анализа заключается в фундаментальной подмене. Это педагогическое преступление, которое совершается в вузах по всему миру. Нам обещают дать инструмент для описания движения, изменения и формы — то есть, для понимания геометрии нашего мира.
А вместо этого нам вручают сухой и безжизненный набор правил для манипуляции неравенствами с эпсилонами и дельтами — то есть, алгебру.

Зачем пытаться написать красивую статью и неожиданно разорвать её таким резким и довольно смелым утверждением?

Язык "эпсилон-дельта" — это никакая не алгебра. Чем занимается анализ? Он занимается сходимостью. Как в том, конкретном виде, как этого имеет место в $\mathbb R$ , так и в том обобщённом виде, как это имеет место в метрических и, шире, топологических пространствах. По идее, анализ ограничивается многообразиями, но не суть важно. Важно то, что основной вопрос — это вопрос сходимости. Алгебра занимается всевозможными разложениями, составляющими. Теория Фурье — это то место, где анализ и алгебра сходятся самым тесным образом. Без языка "эпсилон-дельта" никак не обойтись. Он пронизывает всю математику. Не всегда в виде неравенств, но всегда есть какие-то кванторы (существования, всеобщности). В логике, вообще, цела теория кванторов есть.
Что такое алгебра как таковая? Это анализ операций. Полугруппы, группы, кольца, поля, модули, лупы, области целостности. Алгебраический вопрос — это вопрос о представлении одних объектов через другие посредством заданных операций. Грамматики и языки программирования — это такая прикладная алгебра.
А что такое геометрия как таковая? Это исследование инвариантов заданных преобразований. Например, площадь. То, что сохраняется при преобразовании. Или топологическая структура.
Геометрия и алгебра — это две противоположные стороны одного и того же. Тут у Вас есть преобразования, вот свойства этих преобразований, отвлечёмся от их природы, получим алгебраическую задачу, а тут у нас что-то сохраняется при преобразовании, отвлечёмся от самих преобразований, получим геометрическую задачу. Можно сказать и так, что что каждая алгебра (алгебраическая конструкция) может быть реализована как некая геометрия (в соответствующем пространстве), и наоборот, за каждой геометрией (инвариантом) стоит некая алгебра. Дифференциал вполне можно воспринимать геометрически (как он и определяется, как отображение касательных пространств), но всякие инварианты позволяют решать вопрос разрешимости дифференциальных уравнений алгебраически. (Здесь можно сослаться на давнюю работу Софьи Ковалевской и то, что из этого вышло.)
Есть, по крайней мере, две книги, где язык "эпсилон-дельта" взят в серьёзный оборот. Это учебники Зорича и Рудина. Конечно, есть Никольский, Ильин с Поздняком, Шилов, Вулих (?), Натансон (?), Кудрявцев. Придётся, теперь, все учебники проверять...

Только, зачем всё это? Я уже всё забыл. Придётся вспоминать. И очень многое. А, ведь, есть ещё и т.н. "нестандартный" анализ Дэвиса, где бесконечно малая величина рассматривается ка конечная (со своими особенностями). Мы, тут, очевидно, вступаем на очень зыбкую почву.

master_program 7 ноя в 19:56

Тут не соглашусь, потому что анализ занимается далеко не только сходимостью.

"Без языка "эпсилон-дельта" никак не обойтись. Он пронизывает всю математику. Не всегда в виде неравенств, но всегда есть какие-то кванторы (существования, всеобщности). "

Обойтись можно, особенно актуально от него избавиться в определениях типа нескольких видов устойчивости в механики, равномерной непрерывности и тому подобных, в таких случаях он становится слишком уж неуклюжим и неудобным, малопригодным для решения задач.

Например, есть теорема Кантора (непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем), через определение непрерывности по Гейне доказывается элементарно, коротко и доказательство имеет ясный геометрический смысл. А по Коши так:

Теорема Кантора.
Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. 0 , что для любого $\delta>0$ найдутся такие точки $x \in[a, b]$ и $x^{\prime} \in[a, b]$ , что $\left|x^{\prime}-x\right|<\delta$ , но $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f(x)\right| \geq \varepsilon$ . В частности, для $\delta=1 / n$ найдутся такие точки, обозначим их и $x_n^{\prime}$ , что

$\left|x_n^{\prime}-x_n\right| 1 / n,$

но

$\left|f\left(x^{\prime}\right)-f(x)\right| \geq \varepsilon_0$

Из последовательности точек $\left\{x_n\right\}$ в силу свойства компактности отрезка (см. теорему 4 в п. 5.8) можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\left\{x_{n_k}\right\}$ . Обозначим ее предел :

$\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}=x_0 .$

Поскольку $a \leq x_{n_k} \leq b, k=1,2, \ldots$ , то $a \leq x_0 \leq b$ . Функция непрерывна в точке , поэтому

$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_k}\right) \quad=\quad f\left(x_0\right)$

Подпоследовательность $\left\{x_{n_k}^{\prime}\right\}$ последовательности $\left\{x_n^{\prime}\right\}$ также сходится в точке , ибо

$\left|x_{n_k}^{\prime}-x_0\right| \leq\left|x_{n_k}^{\prime}-x_{n_k}\right|+\left|x_{n_k}-x_0\right|<1 / n_k+\left|x_{n_k}-x_0\right| \rightarrow 0$

при $k \rightarrow \infty$ . Поэтому

$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_k}^{\prime}\right)=f\left(x_0\right)$

Отсюда следует, что

$\lim _{k \rightarrow \infty}\left[f\left(x_{n_k}^{\prime}\right)-f\left(x_{n_k}\right)\right]=f\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)=0$

а это противоречит условию, что при всех $k=1,2, \ldots$ выполняется неравенство

$\left|f\left(x_{n_k}^{\prime}\right)-f\left(x_{n_k}\right)\right| \underset{(7.25)}{\geq} \varepsilon>0$

Полученное противоречие доказывает теорему. $\triangleleft$

Вот зачем так издеваться над людьми? Это же просто бессмысленно.

Огромная куча слишком длинных рассуждений, да еще и на другие теоремы ссылки.

Кроме того, в анализе имеет значение же еще равномерная сходимость, там сложность ее описания через эпсилоны и дельты еще сложнее, а по Гейне остается элементарной.

OlegZH 7 ноя в 20:07

Только не на ночь глядя! На ночь я точно не сойдусь ни к одной точке!

Arastas 8 ноя в 08:40

особенно актуально от него избавиться в определениях типа нескольких видов устойчивости в механики

А как вы хотите переписать определения видов устойчивости?

master_program 12 ноя в 19:31

Уже переписал в комментариях.

October_fest 12 ноя в 19:26

Да, есть гораздо более прозрачные доказательства теоремы Кантора. И возможно, многие бы разделили вашу неприязнь к плохо приготовленному эпсилон дельта, если не некоторые но. Как вы будете доказывать Кантора, пользуясь Гейне? определения равномерной непрерывности по Гейне нет. Как и равномерной сходимости. Как и многих других определений, которые нужны, вон, уже устойчивость вспомнили.

master_program 12 ноя в 19:30

Определение равномерной непрерывности по Гейне:

Функция f(x) равномерно непрерывна, если для любых двух последовательностей xₙ и yₙ, из (xₙ - yₙ) → 0 всегда следует, что (f(xₙ) - f(yₙ)) → 0.

Здесь не нужны эпсилоны и дельты в определении.

Доказательство намного проще, чем по Коши, оно получается практически сразу из теоремы Больцано-Вейерштрасса.

Определения равномерной сходимости. устойчивости и так далее по Гейне - это как раз одна из главных мотиваций его использовать, там всё сильно проще. И доказательства сильно проще, и определения намного прозрачнее.

October_fest 12 ноя в 20:14

Не вижу я, чтобы проще. Я знаю, как исходя из определения Коши доказывать. Это само по себе просто. И не нужны навороты от противного (то что вы привели), так как раз контринтуитивно и ничего не видно. Вполне доказывается напрямую. А вот как по Гейне напрямую, чтобы ничего не упустить - не видно.

Больное место с рассуждениями по Гейне в начинающейся стандартной подмене понятий. Первый курс так пределы считает, раз икс стремится к трем, то икс минус 3 к нулю. У вас то же самое - раз x_n к трем, то x_n минус три к нулю. То есть просто берем и подставляем.

Не замечая, кстати, что ваше определение в текущем виде содержит ошибку и так как есть работает только для непрерывных функций. Потому что требуется не просто любая последовательность, а любая из проколотой окрестности своего предела.

Проще не будет, будут незаметнее ошибки в логике.

У Гейне есть своя область применения - доказательства от противного или например доказательства, что предел не существует. И тому подобное.

TimID 13 ноя в 03:52

Поддерживаю. Сходимость последовательности в одной точке не означает, что функция на её основе будет сходиться (x+3). Для этого нужно слишком много дополнительных допущений, конечно же базирующихся на "бесконечно малых".
Особенно, если вдруг вспомнить о "больших числах".
Кроме того, язык малых приращений - это язык теорфизики. И это язык дифференцирования и интегрирования.
Не сумев прорваться через них вообще нельзя пытаться идти дальше.

master_program 13 ноя в 03:58

"Сходимость последовательности в одной точке не означает, что функция на её основе будет сходиться (x+3). "

Означает. Это определение предела функции по Гейне.

TimID 13 ноя в 06:15

А, то есть нужно взять определение (постулат) кем-то придуманный, чтобы с его помощью доказать его же утверждение? Так не работает.
Знаете, сколько я навидался всяких "квантовых психологий" в своей жизни? Давайте мы не будем использовать в доказательствах определения терминов, которые могут отличаться от тех, которые даны в опровергаемых работах. Если названия у каких-то сущностей совпадают, это не значит, что совпадают сами сущности.

October_fest 13 ноя в 07:31

Сходимость последовательности в одной точке не означает, что функция на её основе будет сходиться (x+3). "
Означает. Это определение предела функции по Гейне.

Нет, это не определение. Потому что нужно рассматривать все возможные последовательности сходящиеся к точке и не принимающие это значение. Все, а не одну. И когда предел нетривиален, по сути, вы сперва займетесь вычислением предела функции (безо всякого определения). А потом будете туда подставлять последовательность. Используя тем самым теорему о пределе сложной функции, для которой уже нужно существование предела функции и его значение.

Если вдруг непонятно, о чем я говорю, посмотрите на вычисление предела по Гейне первого замечательного предела. И прямо по Гейне его и сосчитайте.

master_program 13 ноя в 04:06

"бесконечно малые" - это последовательности и функции. Я как раз предлагаю отказаться от расписывания эпсилон-дельта доказательствах в пользу прямого использования свойств бесконечно малых. И это по духу как раз близко к определению предела по Гейне, потому что это последовательностный подход, а не окрестностный.

"бесконечно-малые" - это тоже из последовательностного подхода терминология.

TimID 13 ноя в 06:16

Нет, бесконечно-малые сразу указание на непрерывность и ... будущую дифференцируемость.

master_program 13 ноя в 03:57

Непрерывность функции в точке - это равенство функции в точке ее пределу. Для простоты я пока не углублялся в этот нюанс. Здесь же речь не об этом.

У Гейне куда шире область применения. Например, переносить свойства с последовательностей на функции, как в этом примере.

master_program 13 ноя в 04:02

Из определения Коши равномерная непрерывность без рассуждений от противного доказывается через использование леммы Гейне-Бореля. По Гейне можно сделать аналогичное доказательство по теореме Больцано-Вейерштрасса и оно намного проще доказательства по Коши.

Есть другой путь по Коши - доказывать от противного, доказательство в итоге короче, но до него сложнее догадаться.

Вообще анализ равномерной непрерывности и сходимости - это как раз область применения предела по Гейне должна быть, там с ним сильно проще.

Сейчас в учебниках существует подход на основе определения Коши, основанный на том, что вводят колебания функции в точке, и эти вспомогательные абстракции позволяют делать доказательства, похожие на те, что можно делать через предел по Гейне, просто немного более сложным способом. По сути, там без этих дополнительных абстракций сложно решать какие-либо задачи на равномерную непрерывность.

October_fest 13 ноя в 07:24

Проще, значит. Хорошо, покажите, что это проще. Докажите равномерную непрерывность $f(x)=\sqrt{x}$ на области определения. По Гейне. Интересно посмотреть на эту простоту.

IUIUIUIUIUIUIUI 7 ноя в 23:19

А, ведь, есть ещё и т.н. "нестандартный" анализ Дэвиса, где бесконечно малая величина рассматривается ка конечная (со своими особенностями).

Там на самом деле просто рассматривается нестандартная модель (и именно поэтому анализ нестандартный) аксиом ℝ, в которую через повышение мощности Левенгеймом-Сколемом и компактность (логическую, не топологическую, хотя какая разница?) можно засунуть элемент (дальновидно назовём его ∞), для которого в этой модели верно, что он больше всех элементов ℝ — сиречь, ∞ на самом деле есть бесконечность. Дальше 1/∞ будет бесконечно малой в интуитивном смысле, и при этом с ними (а также с производными, и так далее) можно работать как с нормальными числами, без плясок с пределами, эпсилонами и дельтами.

Я это всё, конечно, очень неаккуратно написал, но общая идея такова.

Но преподавание анализа таким образом потребует сначала семестра-другого матлога и теории моделей, поэтому так, конечно, не делают. А жаль.

mvv-rus 9 ноя в 03:25

А студентов вам не жаль - когда им придется всем этим мозги себе сушить?

IUIUIUIUIUIUIUI 9 ноя в 04:00

В отличие от классического матана (который вот на самом деле сушит мозги и бесконечно скучен), матлог — это постоянный источник космических мультиоргазмов.

И, ИМХО, куда полезнее для, скажем, программиста, а мы же тут на сайте программистов.

jaoaja 9 ноя в 07:57

матан скучен, а душный матлог - нет?) матлог - единственный предмет, на который с двух потоков ходило 10 человек. А вот на тот самый "скушный" матанализ ходило 40 только с одного, разницу замечаете? И нет, его не читали плохо, просто он до ужаса тупой и душный.

IUIUIUIUIUIUIUI 9 ноя в 17:43

Кто ходил, в каком вузе, на каком направлении, что было в программе? Неизвестно.

Если хотите говорить о таких примерах, то тот же матлог я зашарил самостоятельно (проботывая Верещагина-Шеня после работы). Чтобы я зашаривал (или углублял) анализ после работы — такого я себе представить не могу. Разницу замечаете?

mvv-rus 10 ноя в 00:52

И, ИМХО, куда полезнее для, скажем, программиста, а мы же тут на сайте программистов.

Матан для программистов бесполезен. Я вот лет за тридцать, как из науки в программирование да админство ушел, ни одного интеграла не то что не взял, а даже близко не видел. Какая-нибудь верхняя алгебра была бы полезнее (хотя бы чтобы с ФП-шниками спорить), но нам ею мозги не сушили.

OlegZH 7 ноя в 20:04

А, вообще, всё это очень странно. Как только мы схватываем понятие сходимости, то все кванторы как-то сами собой начинают выстраиваться в правильную цепочку. Почему же не у всех это получается? Мы можем рассуждать неформально и не писать никаких "эпсилон-дельта", но рассуждения, по свой сути, будут теми же. Не стоит всё это друг другу противопоставлять.

И, потом, язык "эпсилон-дельта" — это наследие числовых пространств. (Скажем так, "легаси": можно и не использовать, но знать и понимать приходится.)

А, ведь, сколько всяких видов сходимости есть! По мере, например. В среднем. По Мору-Смиту.

А так... если хотите... давайте заведём небольшой математический кружок на Хабре. Всегда полезно вспомнить, привести в тонус серые клеточки.

master_program 7 ноя в 20:27

"Мы можем рассуждать неформально и не писать никаких "эпсилон-дельта", но рассуждения, по свой сути, будут теми же. Не стоит всё это друг другу противопоставлять. "

Почему теми же? Вообще-то нет.

И почему неформально? Это другая формализация, не менее строгая.

OlegZH 8 ноя в 09:23

Боюсь, Вы совершаете ошибку. Когда Вы пишете

Возьмём любую последовательность {xₙ}, которая сходится ...

Вы должны сначала определить понятие сходимости. Вы, конечно, можете взять за определение некое абстрактное представление о сходимости. Например, топологическое, через систему окрестностей (если она задаётся изначально). Но Вам придётся доказать множество теорем об эквивалентности. При всём при этом, Вы должны понимать, что некоторые эквивалентности суть результат компактности того или иного вида. Вот у нас есть компактность в смысле возможности выделить из любого открытого покрытия конечного подпокрытия, а вот есть компактность в смысле возможности выделить из бесконечного множества сходящуюся подпоследовательность. Сюда примыкает и представление о непрерывной функции как о такой функции, у которой праобраз каждого открытого множества открыт.

Лучшие математические умы бились над этими вопросами! А Вы хотите вмиг всё исправить и навести красоту...

master_program 8 ноя в 09:26

Так я сходимость определил через точки сгущения.

Там отдельные сложности с рассмотрением неограниченных последовательностей и бесконечности, примечания вставил уже в статью, но они сейчас не принципиальны.

OlegZH 9 ноя в 11:46

Так я сходимость определил через точки сгущения.

Мы с Вами уходим в дурную бесконечность определений... А точки сгущения у Вас как определяются? А они у Вас какими-то общими рассуждениями определяются:

А что значит "последовательность сходится к числу a"? Это значит, что a — её единственная "точка сгущения" (или предельная точка).

Попробуйте формализовать понятие сгущения. Вот Вы берёте некую окрестность точки сгущения. Вы обнаруживаете там бесконечно много точек рассматриваемой Вами последовательности. Если точек конечное число, то, очевидно, у Вас нет никакой "точки сгущения" (сгущаться нечему, дискретное множество попросту ооочень дырявое множество))). Потом, Вы берёте меньшую окрестность и, о радость, опять обнаруживаете бесконечное количество точек данной Вами последовательности. Вы бесконечно продолжаете этот процесс, и вот это бесконечное продолжение и становится основанием для определения точки сгущения: какую бы маленькую окрестность точки Вы не возьмёте, у Вас всегда в этой окрестности будет бесконечное количество точек последовательности. Язык "эпсилон-дельта" естественным образом описывает эту ситуацию. Именно поэтому, нет никакого подхода к сходимости и непрерывности по Гейне., а есть различные формулировки одного и того же — на различных языках: на общечеловеческом языке и на формализованном языке. Да, конечно, мы можем попытаться положить в основу какое-то одно определение, но нам придётся тщательно вывести из него остальные, эквивалентные ему. Математики так и делают. Можно, вообще, представить, что структура сходимости нам уже задана заранее в виде обобщённых сходимостей или направленностей. Такова, например, сходимость по Мору-Смиту. Но в анализе у нас нет никакой заранее заданной структуры сходимости. В анализе у нас есть метрическое пространство, а это значит, что все понятия определяются в терминах расстояния, а это и есть язык "эпсилон-дельта"! Причём, в анализе фигурирует очень хорошее метрическое пространство — полное хаусдорфово пространство, то есть такое метрическое пространство, в котором любые две точки (да, и, вообще, два любых открытых или закрытых подмножества) отделимы друг от друга, и в котором сходится любая сходящаяся в себе последовательность (тот самый принцип Коши!). Тут надобно вспомнить про три важнейших принципа (принцип вложенных отрезков, принцип подпокрытия и принцип предельной точки), которые непосредственно связаны с компактностью числового пространства, фигурирующего в анализе.

В математике очень плохо обстоит дело с бесконечностью. И есть две диаметрально противоположные друг другу точки зрения. Классическая точка зрения заключается в том, что оперирование бесконечностью законно, а это значит, что мы можем определить понятие мощности множества через существование взаимнооднозначного соответствия. Неклассическая точка зрения заключается в том, что операции с бесконечностью требуют большей осторожности, и, вообще говоря, эти операции не вполне конструктивны. Всё это — крайне интересная тема, но для анализа это всё не имеет никакого значения. В анализе все эти конструкции с участием бесконечности хорошо работают.

master_program 9 ноя в 11:57

Попробуйте формализовать понятие сгущения. Вот Вы берёте некую окрестность точки сгущения. Вы обнаруживаете там бесконечно много точек рассматриваемой Вами последовательности. Если точек конечное число, то, очевидно, у Вас нет никакой "точки сгущения" (сгущаться нечему, дискретное множество попросту ооочень дырявое множество))). Потом, Вы берёте меньшую окрестность и, о радость, опять обнаруживаете бесконечное количество точек данной Вами последовательности. Вы бесконечно продолжаете этот процесс, и вот это бесконечное продолжение и становится основанием для определения точки сгущения

Зачем здесь нужен этот бесконечный процесс?

Я просто определяю точку сгущения как точку, в любой окрестности которой бесконечно много точек последовательности. Никакой другой формализации не нужно.

Именно поэтому, нет никакого подхода к сходимости и непрерывности по Гейне., а есть различные формулировки одного и того же

Это не так, определение предела по Гейне сильно отличается от определения по Коши, а и в некоторых пространствах, например, они вообще не эквивалентны.

а есть различные формулировки одного и того же — на различных языках: на общечеловеческом языке и на формализованном языке

Это тоже не так. Определения по Гейне даются на формализованном языке.

Классическая точка зрения заключается в том, что оперирование бесконечностью законно, а это значит, что мы можем определить понятие мощности множества через существование взаимнооднозначного соответствия.

Я тут ее и использую, потому что выход за ее пределы к анализу не имеет никакого прямого отношения.

OlegZH 10 ноя в 07:41

Зачем здесь нужен этот бесконечный процесс?
Я просто определяю точку сгущения как точку, в любой окрестности которой бесконечно много точек последовательности. Никакой другой формализации не нужно.

Формализация нужна всегда. Язык "эпсилон-дельта" и есть формализация. Это формальное изложение того набора слов, которые Вы здесь написали "в любой окрестности которой бесконечно много точек последовательности", ответ на вопрос, что это означает и как с этим работать. Вы просто произнесли некий набор слов, но ничего не расшифровали. Что значит "бесконечно много"? Как это понять? Почему это важно? Потому что это отвечает интуиции: мы хотим называть непрерывными только те функции и только в тех точках, когда малое шевеление аргумента приводит к такому же малому шевелению значения. Но надо чтобы было что шевелить, отсюда в определение непрерывности в точке и вводится условие того, чтобы данная точка была предельной для области определения. (Я, конечно же, прочитаю статью Кудрявцева по этому поводу. Я же изагаю Вам классический подход. Его логика такова.) А без подходящей формализации набор слов так и останется ни к чему не обязывающим набором слов, а не строгим определением.

boldyshev 10 ноя в 17:54

И кстати, чтобы определить любую окрестность, тоже надо вводить эпсилон > 0

OlegZH 8 ноя в 09:27

И, кстати, на практике очень важно уметь оценивать скорость сходимости. Например, в вычислениях. Тут и проявляется язык "эпсилон-дельта". Я и не говорю про всякие виды устойчивости, про которые написано у того же Демидовича в книге "Лекции по математической теории устойчивости".

master_program 8 ноя в 09:37

Нет, там появляется язык "о-малое", "О-большое", эквивалентных функций и тому подобного. Во-первых, эпсилоны-дельты там как раз не нужны.

Во-вторых, предложенный в статье подход делает как раз больше упора на темы, связанные со скоростью сходимости и аппроксимацией.

master_program 8 ноя в 09:50

Устойчивости по Гейне гораздо проще формулируются и яснее.

Положение равновесия x_e = 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для любой последовательности начальных условий {x_n(0)}, сходящейся к нулю (lim (n→∞) x_n(0) = 0), соответствующая последовательность максимальных отклонений траекторий также сходится к нулю.

Положение равновесия x_e = 0 называется асимптотически устойчивым, если:

Оно устойчиво по Ляпунову (в смысле предыдущего определения).
Существует такая окрестность B точки 0, что для любой начальной точки x(0) ∈ B и для любой последовательности моментов времени {t_n}, стремящейся к бесконечности (lim (n→∞) t_n = ∞), соответствующая последовательность состояний системы сходится к нулю:
lim (n→∞) x(t_n) = 0

Наконец

Положение равновесия x_e = 0 называется экспоненциально устойчивым, если существует такая окрестность B точки 0, что для любой начальной точки x(0) ∈ B (кроме самого x(0)=0) и для любой последовательности моментов времени {t_n}, стремящейся к бесконечности (lim (n→∞) t_n = ∞), выполняется следующее предельное соотношение:

$\lim \sup (n \rightarrow \infty)\left[\left(1 / t \_n\right) * \ln \left(\left\|x\left(t \_n\right)\right\|\right)\right]<0$

Вот Gemini мне иллюстрацию построил (это python matplotlib, я все рисунки так сделал в статье, очень быстрый и удобный способ получается).

Arastas 8 ноя в 12:00

А почему вам кажется, что ваше определение устойчивости по Ляпунову лучше? Даже наоборот, мне стандартный подход, что траекторию можно целиком уместить в сколь угодно малый шар, если начать достаточно близко к равновесию, кажется понятнее и практичнее, чем то, что предел максимальных отклонений (как функции начальных условий) равен нулю.

master_program 8 ноя в 12:18

Потому что его смысл в том, что маленькие толчки приводят к маленьким отклонениям.

Обращаться с ним проще потому, что вообще-то дельту подбирать не надо.

Можно еще так сформулировать

Положение равновесия $\mathrm{x}=0$ устойчиво по Ляпунову, если для любой последовательности начальных условий $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}(0)\right\}$ , сходящейся к нулю, соответствующая последовательность траекторий $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}(\mathrm{t})\right\}$ сходится к нулевой траектории PABHOMEPHO при $t \geq 0$ .

Определение Коши выглядит как подгон, потому что там нужно для каждого эпсилон доказывать существование дельты, а тут не нужно.

Любой инженер или физик мыслит именно так: "Что будет, если я приложу малое возмущение? А если еще меньшее?". Подход Гейне — это в точности математическая формализация этого инженерного эксперимента.

ε-δ — выглядит как абстрактный слой, через который инженеру приходится "продираться", чтобы соблюсти строгость. А тут получается, что и для строгости этот слой не нужен совсем.

Подход Гейне мгновенно выводит нас на гораздо более мощный уровень мышления. Мы начинаем думать не о последовательностях чисел, а о последовательностях функций и их сходимости в функциональном пространстве (в данном случае, о равномерной сходимости). Это прямой мост к современному функциональному анализу, где объектами являются не точки, а функции, операторы и т.д.

Рассуждать о том, как ведет себя стая траекторий, гораздо более конструктивно, чем доказывать существование абстрактного δ

Ну и, наконец, в эпсилон-дельте подходе, чтобы хоть что-то нетривиальное доказать, всё равно приходится придумывать искусственные новые конструкции типа "колебаний функций", а тут сразу всё есть.

Arastas 8 ноя в 13:59

Давайте по порядку.

Мне представляется, что концепция «траектории целиком умещаются в шарике, который становится всё меньше, когда мы стартуем всё ближе к равновесию» проще, чем ваша первая формулировка про последовательность максимальных отклонений. Хотя они и равнозначны. Формулировка с шариком сама по себе вполне геометрична и наглядна.
В вашей первой формулировке я не вижу ничего про равномерность сходимости. Почему?
Что более важно и в чём суть, «малые отклонения при малых точках» или «сколь угодно малые движения вокруг равновесия при начале вблизи равновесия» - вопрос личных интерпретаций и предпочтений.

master_program 8 ноя в 14:44

А это ключевая проблема. Ваша концепция проще, потому что она ошибочная:

«траектории целиком умещаются в шарике, который становится всё меньше, когда мы стартуем всё ближе к равновесию»

Шарик может не уменьшаться монотонно.

Чтобы аккуратно сформулировать, вам нужно рассмотреть мажорирующую подпоследовательность шаров и тогда сильно всё усложнится, станет гораздо абстрактнее.

В определении по Гейне она не нужна, так как там берётся любая последовательность начальных условий.

Ключевое для понимания устойчивости по Ляпунову - это понимание равномерной сходимости, которую на языке эпсилон-дельта понять значительно сложнее.

Arastas 8 ноя в 15:11

Ваше исходное определение ничего не говорит о равномерности. Оно ошибочное?

master_program 8 ноя в 15:25

Оно верно. Там именно равномерная сходимость и сформулирована.

Arastas 8 ноя в 15:37

Положение равновесия x_e = 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для любой последовательности начальных условий {x_n(0)}, сходящейся к нулю (lim (n→∞) x_n(0) = 0), соответствующая последовательность максимальных отклонений траекторий также сходится к нулю.

Мы про это говорим? Разве это определение говорит нам, что максимальное отклонение является равномерно непрерывной функцией начального отклонения? Или мы о чём?

master_program 8 ноя в 15:26

Определение:

функция f(x) равномерно непрерывна, если для любых двух последовательностей xₙ и yₙ, из (xₙ - yₙ) → 0 всегда следует, что (f(xₙ) - f(yₙ)) → 0.

Равномерная сходимость аналогично определяется.

Arastas 9 ноя в 10:27

Я, похоже, сначала не понял, о какой равномерности вы говорите. Меня смутила вот эта фраза:

Потому что его смысл в том, что маленькие толчки приводят к маленьким отклонениям.

Вы хотите сказать, что максимально отклонение траектории будет (равномерно?) непрерывной функцией начального отклонения? Почему, откуда это следует?

master_program 9 ноя в 12:00

Речь о равномерной сходимости последовательности траекторий. Это то же самое, что говорить о максимальном отклонении траектории, потому что в слове максимальный здесь заключено, что максимум берется по множеству траекторий, т.е. добавляется параметр, по которому сходимость должна быть равномерной.

Arastas 9 ноя в 12:24

Там был вопрос про цитату, которая про смысл устойчивости по Ляпунову, ответьте, пожалуйста.

Arastas 9 ноя в 12:33

Хм, я «максимальное отклонение траектории» читал как максимальное по времени для конкретной траектории. Ок, мне становится понятнее. Но эта равномерность сходимости решений явно следует из стандартного дельта-эпсилон определения, достаточно сделать интуитивное наблюдение, что шар меньшего радиуса находится внутри шара большего радиуса с тем же центром, разве нет? Или я снова что-то не так читаю?

master_program 9 ноя в 18:04

Равномерная сходимость (как и непрерывность) от обычной отличается всего лишь наличием дополнительного параметра.

Arastas 10 ноя в 10:24

Вы считаете, что это ответ на вопрос, что ли? Я спросил, согласны ли вы, что равномерная сходимость решений тривиально следует из стандартного определения устойчивости по Ляпунову.

Потому что его смысл в том, что маленькие толчки приводят к маленьким отклонениям.

Вы так и не ответили про "смысл устойчивости". Я повторю: считаете ли вы, что максимально отклонение траектории будет (равномерно?) непрерывной функцией начального отклонения? Если да, то почему? Если нет, то о каких маленьких отклонениях идёт речь в цитате?

TimurZhoraev 7 ноя в 20:39

В любом доказательстве можно выделить главное очень просто, достаточно найти знаки $\ge,\le,<,>,=$ которые фактически преобразуют нечто в последовательность натуральных чисел. В конечном итоге за доказательство принимается что 2<3, 2<6, включая символическую форму с этими коэффициентами. Само по себе решение уравнения или неравенства на языке эпсилон-дельта - задача ещё та. Любое определение в математике это грубо говоря число. А числа можно сравнивать. Поэтому в качестве определения непрерывности они и используются, обозначаемые как $\epsilon/\delta$ . По-сути, для решения неравенства вначале мы определяем главные уравнения $|x-x_0|-\delta = 0$ и $|f(x)-f(x_0)|-\epsilon=0$ . И если мы можем решить задачу оптимизации поиска минимума по функциям в левых частях в одной точке, то эта функция есть непрерывна, то есть лучше всего переписать именно в таком виде.

Геометрией конечно можно представить всё, но анализ затруднён, так как он в большей мере двумерный с точки зрения читателя, символический же лишён этого недостатка.

eugenk 7 ноя в 21:24

Честно говоря не знаю что и сказать на это. Я от кванторов и эпсилонов особо не страдал. Да, к этому надо привыкнуть. Но потом всё достаточно легко.

Mingun 7 ноя в 22:33

Докажем, что она ограничена сверху. Предположим противное: она не ограничена.
...
Получили противоречие! По нашему предположению, эти значения улетали в бесконечность, а по свойству непрерывности — они сходятся к конечному числу f(c). Это невозможно. Значит, наше исходное предположение было неверным, и функция ограничена.

Тут есть интересный момент. Почему мы считаем, что предположив одно и доказав его противоречие, мы закончили с доказательством? Ведь когда мы выясняли про множество всех множеств, мы предположили сначала одно (R содержит R? ДА), получили противоречие, затем предположили противоположное (R содержит R? НЕТ) и тоже получили противоречие. А если бы второе предположение не сделали, то получили бы вывод: Множество R содержит само себя? НЕТ.

Почему в примере с множествами мы пошли проверять противоположную идею, а в процитированном не пошли? А вдруг и там было бы противоречие?

master_program 7 ноя в 22:35

Обычно при доказательствах считают, что исходная система аксиом непротиворечива. Но в данном случае можно также сказать, что с противоположной идеей проблем нет, так как пример очень легко построить. Достаточно взять любую непрерывную на отрезке функцию.

Например, , на отрезке . Максимум в точке 2, минимум в точке 0.

010011011000101110101 7 ноя в 23:02

Это из серии "сантехники скрывают!"? :-))) То, что алгебра имеет геометрический смысл известно как минимум со времён Декарта*, который нарисовал функции на плоскости. И тут ... РРРразоблачение! :-)))

*Собственно, в своей книге "Геометрия" Декарт решал алгебраические задачи :-)

master_program 7 ноя в 23:15

А этот вопрос я предвидел и в тексте ответ на него сразу написал. Вот тут

010011011000101110101 7 ноя в 23:25

но я так и не увидел что вы разоблачили :-) и геометрия имеет алгебраический смысл и алгебра геометрический, всё это каждый день миллионы людей используют в обе стороны, это прошито в бесчисленное количество программ, работает в устройствах, положено в основу многочисленных технических дисциплин

maximlubyanov 7 ноя в 23:29

"Начнём с нуля. У нас нет ничего, кроме пустого множества ∅. Логично отождествить его с числом 0"

А что тут логичного? Ноль этот отсутствие чего-либо, Пустое множество существует? Раз существует - логичнее отождествить его с числом 1.

master_program 7 ноя в 23:33

Размер пустого множества равен нулю.

Vasissualiy 7 ноя в 23:32

Я поступил на физтех в 1987. Насколько я помню, нам и на лекциях, и на семинарах всегда давали геометрическое объяснение эпсилон-дельта логики. На матанализе всегда было множество рисунков. Так что логика из анализа, понимание - из геометрии. Не помню каких-то трудностей с усвоением терминологии матанализа первого курса.
Тем не менее, после окончания института у меня сложилось убеждение, что матанализ дал возможность строить суждения о предмете, зная только правила обращения с ним. Возможно, это говорит о том, что матанализ не был уж настолько интуитивен, как это кажется мне по прошествии времени.

master_program 7 ноя в 23:45

Сейчас у многих студентов МФТИ есть с этим проблемы.

Да, эпсилон-дельта язык как раз этому и учит - строить суждения, используя только правила.

Вопрос в том, что нужен какой-то альтернативный подход, если не усваивают.

Однако, в книжке советского академика 70х годов, мне приходилось читать следующее:

Но перед тем, как поставить в зачетной книжке студенту высшую отметку, профессор решил почему-то задать вопрос о самом понятии интеграла. К своему удивлению, профессор не получил правильного ответа. Еще более тяжелым оказался случай с определением дифференциала. Студент явно и безнадежно «плавал».
«Как же это можно? — недоумевал профессор. — Вы прекрасно интегрируете и дифференцируете, но не имеете понятия о том, что такое интеграл и дифференциал? Как это можно?»
«Профессор, — ответил расстроенный студент, — все дело в том, что мы вначале не понимаем, а потом привыкаем»/

Да и в статье Неретина, на которую в тексте ссылаюсь, описаны советские практики.

У него на сайте про это много Mathematical education тут.

anshdo 8 ноя в 15:51

Да, эпсилон-дельта язык как раз этому и учит - строить суждения, используя только правила.
Вопрос в том, что нужен какой-то альтернативный подход, если не усваивают.

Кстати, нам на лекциях давали оба подхода. Но для получения пятерки на экзамене достаточно было разобраться хотя бы в одном.

vvbob 8 ноя в 19:33

Провинциальный ВУЗ, матан преподавали так-же, мне он нравился во многом по этой-же причине, я вижу геометрическое представление, потом мне дают кучу формул, и я вижу как они отображают то что я вижу в виде графиков..Все было понятно. Впрочем я даже не хочу критиковать подход автора статьи, это очень круто, и хороший подход, надо максимально понятно и интуитивно давать подход к этим самым эпсилон-дельта. Одно другое совсем не исключает, скорее хорошо дополняет.

Edwward 8 ноя в 01:39

Спасибо. Я бы сделал обязательным чтение Вашей статьи, для изучающих мат. анализ. Ваша статья - это пример того КАК НАДО делать математику.

Refridgerator 8 ноя в 01:43

Я тоже считаю, что математику преподают неправильно, но ваш подход ничем не лучше. Вы говорите о геометрии и тут же пишите о логике и множествах. Вот только чтобы провести отрезок линии карандашом, совсем не обязательно представлять его как бесконечное количество бесконечно малых точек. А логика отвечает на вопрос - пересекается этот отрезок с другим или нет. Да/нет, 1/0, дихотомия. Но не единственная форма отношений между объектами и их математическим абстракциями.

Вы начинаете статью с доказательства, но - зачем? При решении какой именно задачи возникла потребность в таком доказательстве? Что изменится в зависимости от того, будет получено это доказательство или нет? Ну помимо зачёт/незачёт от преподавателя.

Вы также полностью проигнорировали прямо противоположную идею - выражать дискретное через непрерывное. Производящие функции, дельта-Дирака, вот это вот всё. Идея, на которой строится фундамент современной цивилизации - электричество, радио, телевидение, интернет. В учебниках по физике вы не найдёте ничего про счётные и несчётные бесконечномерные множества. Эти абстракции там не пригодились.

master_program 8 ноя в 07:55

Так геометрия тоже должна быть строгой.

Если игнорировать доказательства, то можно упустить неприменимость тех или иных математических методов. Насчет счетности и несчетности, непрерывности - это всё сильно нужно в первую очередь для равномерной непрерывности и сходимости на практике, которая как раз определяет, можно ли почленно ряд дифференцировать/интегрировать, можно ли дифференцировать по параметру интеграл и тому подобное.

Refridgerator 8 ноя в 11:30

Я не про саму геометрию (и физику в общем случае, за что в частности топит товарищ Арнольд), а про последовательность изложения конкретно в вашей статье и примеров, взятых из воздуха (что также характерно для современой школы).

Те же комплексные числа в своё время навели достаточно шуму тем, что в них все элементарные функции определены везде. Что существует не только корень из -1, но и логарифм из -1, а синус может быть равен 4 в любое время, а не только в военное. Преобразование Фурье в свою очередь стирает грань между непрерывными и кусочно-непрерывнимы функциями, и дифференцировать/интегрировать в спектральном домене можно всё что угодно, без ограничений на сходимость и прочее. А вот про это даже в ВУЗ-ах не рассказывают, и даже на курсе ТФКП не всегда. Про это рассказывают на курсах ЦОС для радиоинженеров.

Ещё можно дуальные числа вспомнить, про которые мало кто знает только потому, что они не вписываются в стандартную систему множеств чисел от Бурбаки. А ведь с их помощью можно не только численно производные считать, но вполне легально делить на ноль (в частности, для решения задачи барицентрической интерполяции, в которой деление на ноль возникает в узлах интерполяции). О чём знают 2.5 человека и те случайно.

orenty7 11 ноя в 04:54

А ведь с их помощью можно не только численно производные считать, но вполне легально делить на ноль

Звучит сомнительно: дуальные числа образуют кольцо. В кольцах нельзя делить на ноль по тем же причинам, что и в обычных числах

Refridgerator 11 ноя в 05:32

Под нулём подразумевалась только действительная часть дуального числа. Ну а неопределённости вида "ноль делить на ноль" разрешаются очевидным образом через правило Лопиталя.

lgorSL 8 ноя в 03:24

Мне кажется, на физтехе был слишком большой упор в "непрерывные" штуки и почти не рассказывали дискретную алгебру, хотя они очень интересно дополняют друг друга и многие подходы и даже теоремы работают одинаково и там и там. Мне кажется, не надо их противопоставлять и лучше всё вместе изучать.

Мне на это открыла глаза книжка "Concrete Mathematics" от Кнута: https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_Mathematics

Например, для ряда чисел можно точно так же определить производную как и у Коши: (f(n + eps) - f(n))/ eps, только разница в том, что eps не получится устремить к нулю и она будет либо 1, либо -1 (у кнута они называются производной слева и производной справа и они не равны)

Можно провести аналогию между интегралом и суммой ряда. Например, интеграл от х - это х^2/2, сумма ряда x(n)=n будет n * (n - 1) / 2. По сути то же самое, только вылезла наша единичная eps.

Преобразование Фурье применимо и для ряда, и для непрерывной функции. Причём даже можно взять кольцо вычетов для простого числа p, найти там корень N-ной степени из единицы и потом прямо в кольце сделать преобразование Фурье с таким корнем. И там не будут нужны комплексные числа!

Некоторые штуки типа свёртки для дискретного случая как будто намного очевиднее выглядят и проще доказываются, и дальше уже легче к непрерывному перейти, но у нас в программе было только непрерывное :(

И для дельта-функции дискретная аналогия это просто ряд с одной единичкой и остальными нулями.

EvilTeacher 8 ноя в 03:45

Великолепно. Как точно сформулирована главная идея - именно геометрия первична. Я уже 40 лет преподаю начертательную геометрию в своем родном ВУЗе, и постоянно пытаюсь донести эту простую, но важнейшую суть: геометрия точек и линий - это то, из чего началась математика формул и уравнений. И главный козырь геометрии - в ее НАГЛЯДНОСТИ, ВИЗУАЛЬНОСТИ. А формула, уравнение, равенство/неравенство - это лишь попытка получить еще несколько циферок в каком-то абстрактном числе, которое мы считаем решением задачи...

tenzink 8 ноя в 06:57

Хорошая статья. Думаю, что достойна превратиться в небольшую книгу. Я помню, что впервые увидев определение предела, подумал WTF и какой это ужас. Уже потом как-то стало очевидно, что по сути определение тривиально и переключения с мышления на языке "прообраз открытого открыт" на язык последовательностей и т.п. проходит бесшовно на автомате, как у bilingual проходит переключение с одного языка на другой.

По сути статьи, мне кажется, что вот такое определение предела некорректно (для некомпактного множества)

Предел последовательности: Последовательность {xₙ} сходится к числу a, если у неё есть только одна точка сгущения, и эта точка — a.

Контрпример - последовательность: 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ....

Исправить можно так

Предел последовательности: Последовательность {xₙ} сходится к числу a, если у любой её подпоследовательности есть только одна точка сгущения, и эта точка — a.

Сути статьи это не меняет, но заполняет пробел, например, вот в этом доказательстве

Теорема 1: Сходящаяся последовательность ограничена.
Дано: Последовательность {xₙ} сходится к a.
Доказать: Она ограничена.
Доказательство:
Раз a — единственная точка сгущения, то в очень маленьком интервале вокруг a находится бесконечное число членов последовательности.
А где остальные? Их конечное число. <=== в исходном определении это не так (привет последовательности. 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ....), а в исправленном, имея бесконечное число точек, мы бы взяли их как подпоследовательность и нашли бы ещё одну точку сгущения
...

master_program 8 ноя в 07:51

В вашем контрпримере две точки сгущения. Вторая - бесконечность.

Если добавить "у любой ее подпоследовательности" - это ничего не меняет. Ваш контрпример тогда превращается в то, что есть подпоследовательность 1, 2, 3, ...

Вопрос в том, где находится бесконечное количество членов последовательности.

tenzink 8 ноя в 08:09

Начнём с того, что бесконечность это не число, соответственно она не может быть точкой сгущения. Но если уж хотите её добавить (что сделает пространство компактом), то ok, но:

Задайте топологию - опишите тогде и её окрестности. Кстати, тут возможны варианты - добавить одну или две бесконечности (+ / -)
Не называйте последовательность {1, 2, 3, ...} расходящейся. Теперь у неё есть предел - бесконечность
Уберите теорему Теорема 1: Сходящаяся последовательность ограничена. - она теперь неверна

Вот цитата из текста - нужно определиться, бесконечность это ок или нет

Если их нет совсем (как у {1, 2, 3, ...}), предела тоже нет.

master_program 8 ноя в 08:18

Допишу тогда "сходящаяся к конечному пределу ..."

master_program 8 ноя в 08:17

Я в паре мест дописал про точку бесконечность отдельно.

tenzink 8 ноя в 09:38

Можно и так, по сути сделав "Теорему 1: Сходящаяся последовательность ограничена." определением. Но это совсем необязательно. Всё будет работать без дополнительных оговорок про бесконечность и не особенно усложнит доказательства/определения, если определить сходимость, как

Предел последовательности: Последовательность {xₙ} сходится к числу a, если у любой её подпоследовательности есть только одна точка сгущения, и эта точка — a.

Для последовательностей принимающих значения в компактном пространстве это определение эквивалентно тому, что вы приводили изначально. Примером такого компакта может быть замкнутый отрезок (ограниченные последовательности), числовая прямая, пополненная бесконечностью, окружность и т.д.

Mingun 8 ноя в 08:37

А где остальные? Их конечное число.

Кстати, по-моему, это неверно. Последовательность $\{x_n\}=1/x_n$ сходится к точке 0, но ведь вы сами доказывали, что на любом отрезке бесконечное число точек. Следовательно, на каком бы отрезке не рассматривали эту последовательность, за пределами малого интервала вокруг 0 тоже бесконечное число точек.

master_program 8 ноя в 09:29

Конечное число точек последовательности. Для

$\left\{x_n\right\}=1 / n$

В окрестности любой точки, кроме нуля, конечное число этих точек.

aneveroff 8 ноя в 06:59

Предел последовательности: Последовательность {xₙ} сходится к числу a, если у неё есть только одна точка сгущения, и эта точка — a.

Действительно интуитивно, но у последовательности {0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ...} тоже одна точка сгущения, но сходящейся ее назвать трудно.

master_program 8 ноя в 07:57

Короче говоря, надо дописать в статью, что числовую прямую дополняем точкой бесконечность. Тогда всё будет нормально.

haqreu 8 ноя в 07:29

Топологию вы упомянули, это хорошо, но почему-то про непрерывность функций продолжили объяснять не на её языке...

Вопрос (некорректно заданный, с подвохом): непрерывна ли функция

$f(x) = \begin{cases}x & x\leq0\\x+1 & x>0\end{cases}$

nikita_ii 8 ноя в 08:18

Поздравляю, отличная статья!

Сразу отвечу про учебник, с удовольствием купил бы книгу по матану, где всё будет построено на определении Гейне. Когда мне преподавали матанализ, то кажется почти сразу доказали эквивалентность подходов. Да, эпсилон-дельта почти всегда сложно, а с последовательностями кажется понятней. А самым большим откровением было то, что оказывается это (и философию и историю) можно так компактно изложить.

Удачи вам!

master_program 8 ноя в 08:46

Я думаю через неделю немного раскрыть тему Аристотель->Спиноза->Гегель->Коши в виде отдельной статье на Хабре про то, как появилась теория множеств и как этих 4 философов можно интерпретировать в терминах парадигм программирования или структур данных.

При этом надо сказать, что Коши был в русле антигегельянского движения (поэтому и опирался на Спинозу), а у Гегеля были довольно противоположные изложенному здесь взгляды на математику (он сам анализ выводил из алгебры, был против геометрического подхода).

У Аристотеля я читал в его книге "Физика" вот эти все рассуждения про непрерывность. Там он их выводит, анализируя апории Зенона, так что это всё еще от Зенона идет.

А полный исторический экскурс требует много кого еще вспомнить, например схоластов.

acsent1 8 ноя в 18:16

По хорошему каждый предмет нужно начинать с истории возникновения, задач которые стояли и как к ним приходили. Но к сожаления этого нет

muxa_ru 8 ноя в 18:43

Было бы очень хорошо, но источниковая база не позволит. Слишком многое осталось в головах давно умерших людей и в их устных обсуждениях. То что отложилось в письменных источниках было манипуляцией уже в момент написания, а потом фильтровалось переизданиями под разные темы и политические реалии.

vvbob 8 ноя в 19:46

Хотя бы в нескольких словах было-бы очень полезно. А то тебя пичкают формулами, которые хрен знает откуда и почему взялись.. это и понять и запомнить сложно. С историческим контекстом это воспринимается намного лучше и понятнее.

muxa_ru 8 ноя в 20:00

Проблема в том, что исторического контекста у нас нет.

В какой-то момент назрела какая-то проблема, которую решали всей тусовкой. И контекст состоит в том что была за проблема, почему она возникла и какие пути решения были неправильными.

Но часть этих людей в источниках не отложилась.

Часть тех кто пошёл по правильному(сам или спёр у соседа) пути и имел ресурсы для отставания приоритета - начали вписывать своё имя в историю, иногда делая вид что кого-то не было. Потом пришли разного рода наследники и интересанты и стали продвигать своих. Потом пришли беллетристы и стали писать из этого ЖЗЛ и "историю отрасли".

В итоге, всё сводится к упрощению на уровне "упало яблоко на голову" и "приснилось".

Если же это древние греки, то вообще капец - там просто коллекция списков сделанных средневековыми монахами с других списков, которые являются списками переводов переводов, чего-то что, вроде бы Аристотель.

И вот не факт что такой вариант будет полезен для слушателей, потому что в реальности, такие "исторические вставки" играют именно ту роль, которую Вы назвали - развлечь и разгрузить аудиторию.

vvbob 9 ноя в 05:57

ОК, там где не сохранился исторический контекст, хотя-бы логику объяснять надо. Потому что реально, вспоминаю годы своего обучения, ну тяжело это воспринималось: вот тебе, дорогой студент, десяток теорем с кучей формул, изучай!

Зачем, откуда это взялось, какая от этого польза, пускай хотя-бы для абстрактной математики, ничего не понятно. Хорошо еще когда преподаватель толковый и увлеченный своим делом, хоть что-то пояснит, но много ведь есть и таких, плана отбубнил материал на лекции и достаточно.

zkutch 8 ноя в 09:02

Вы, рассматривая Гейне, на самом деле рассматриваете пределы арифметически операций для последовательностей которые одинаково формулируются для обоих определений предела и выставляете это как манипулирование именно по Гейне - это и есть обман. Дальше уже не читал.

master_program 8 ноя в 09:20

Да, если доказать сначала в общем виде свойства пределов арифметических операций. Но эти доказательства тоже надо как-то сделать, и тут получается, что проще сделать это по Гейне.

master_program 8 ноя в 21:08

Это не обман, а прямое применение определения предела по Гейне.

А если я действую по Коши, я не могу напрямую заменить функцию на последовательность.

В этом заключается крайнее неудобство анализа по Коши, которое приводит к чрезмерному удлинению многих доказательств.

zkutch 9 ноя в 21:32

Сперва вы согласились с тем, что я написал - что ваше так называемое доказательство по Гейне совершенно подходом Гейне не пользуется, а представляет собой просто применение арифметических свойств пределов. Т.е. вы согласились и ввернули "ответ", что оказывается эти арифметические свойства тоже надо доказывать. И

тут получается, что проще сделать это по Гейне

так чего же вы приводите главный аргумент, который вовсе не аргумент, а оказывается существует где-то другой которой "получается, что проще сделать это по Гейне" ? Приводите уже тогда такой пример где как раз и видно это "проще", а не тот который якобы элегантно подтверждает подход Гейне как более лучший.

Потом вы увидели, что я написал, что это обман и тут душа "открывателя" возмутилась. Где это вы не можете

напрямую заменить функцию на последовательность

Вы понимете, что последовательность это функция? И что вы не можете заменить? В вашем т.н. элегантном пути замените на и пишите все для функции . Получится все то же самое и без запаха Гейне потому, что его там нет - есть только применение, как я писал наверху арифметических свойств пределов.

Далее просматривая по диагонали я увидел

Так кванторы для понимания и строгих доказательств в матанализе не нужны совсем

Вы где-нибудь видели, например, то же самое определение по Гейне без кванторов? Приведите точный источник, если сможете.

master_program 9 ноя в 21:50

Удобство Гейне именно в том, что при доказательстве предела функции как в примере я просто сразу могу заменить функции на последовательности. Подход Гейне именно в этом и заключается.

А по Коши надо идти более громоздким путем.

Более того, по Коши нужно свойства пределов функций доказывать отдельно от свойств пределов последовательностей.

zkutch 11 ноя в 21:22

Другими словами вы прекрасно научились замалчивать написанную чушь? Где ответ по вопросу о кванторах?

Меня до сих пор неприятно поражает как люди, даже в науке, научились говорить как в политике. Понос слов и все в свою пользу. Забыли слова "Извините, ошибся. Благодарю за указание на ошибку" ?

И кто вам сказал, что математике нужен пророк от святого Гейне? В науке нужен ученый, а не пророк. У нас тут мессия математики, который дарует откровение в чем же именно состоит подход по Гейне. Вы еще бы написали "заповеди от Гейне". Есть ли у вас хоть одно предложение новое, хоть одна мысль, которая бы уже много раз не была обговорена в мат. анализе? Все эти разговоры про Гейне vs Коши обсуждаются первокурсниками и остаются на первом же курсе. Вещает тут "путеводитель" что просто, а что громоздко. А ничего, что это субъективно? В науке нужно не вещать истины, а доказывать. Вы хоть знаете определение истинного предложения?

Определение по Коши как раз просто и элегантно, так же как и определение по Гейне - понравилось? "просто", "сложно", "элегантно", "прекрасно" - субъективные слова. Они не про науку. Кстати вы знаете, что это не Коши придумал дельта-эпсилон? Знаете легенду про бессоную ночь и пропущенную лекцию Вайерштраса? (и я специально пишу "а" вместо "е"). Оба определения прекрасны и профессионал должен работать с обоими, как двумя правыми руками. Где-то, кому-то легче одно, в другом месте другое. Как раз однобоко расхваливать одно и обвинять математическое образование в том, что от вас что-то скрывали и есть преступление. Как же вы узнали о Гейне, если "они" скрывали? Инструмент с дельта-эпсилон так же великолепен, как и инструмент с последовательностями. Плохому танцору ..

Кстати, все вопросы риторические - не нужно за критику про ерунду отвечать еще большей ерундой. Простите за "ерунду", но кликбейтные, дешевые заголовки заслуживают еще более худшей оценки. Кванторы ему не нужны. Не стыдно? (последний вопрос тоже риторический, если что).

master_program 12 ноя в 00:05

Вы смешиваете науку и математическое образование. Преступление - учить так, чтобы никто ничего не понял, за единичными исключениями.

zkutch 13 ноя в 10:41

Первое предложение это ваша обида на меня. Вероятно у вас какая-то сложность с этой парой, раз вы решили бить в этом направлении.

Вот второе предложение уже ничего, но ключевое слово "понял". Вы думаете вы или я понимаем так, как понимал Гаусс? Или, например, Григорий Михалыч Фихтенгольц?

Вот, например, я понял, или подумал, что понял, - ваш заголовок=крик

матанализу, который скрывали от вас в вузе

это вы, вероятно, про себя. Вы продолжаете разговор со своим учителем или пытаетесь помочь себе тогдашнему?

И, имейте совесть, или хотя бы позаботьтесь об улучшении, уберите неправильный пример по Гейне и вставьте настоящий, если, разумеется, вы в состоянии такой представить.

cpud47 13 ноя в 16:07

В науке нужно не вещать истины, а доказывать.

А с каких пор математика стала наукой?;)

avshkol 8 ноя в 09:06

Мне нравится ваш подход к математике через призму истории, философии, борьбы идей. А не через нагромождения формул, в которые рредлагается нырять новичку...

Книгу бы купил.

через неделю немного раскрыть тему Аристотель->Спиноза->Гегель->Коши в виде отдельной статье на Хабре про то, как появилась теория множеств и как этих 4 философов можно интерпретировать в терминах парадигм программирования или структур данных

Это будет интересно. Особенно анализируя конкретные множество, список, словарь (например, в питоне), и вообще, можно ли вывести "Идеальный всеохватывающий самодостаточный" набор структур данных для языка программирования?

master_program 8 ноя в 09:14

Особенно анализируя конкретные множество, список, словарь (например, в питоне), и вообще, можно ли вывести "Идеальный всеохватывающий самодостаточный" набор структур данных для языка программирования?

Можно (сопоставить философов и всевозможные структуры данных), но тогда мы уйдем в сторону от той линии, которая ведет к решению проблемы непрерывности и введению понятия множества.

Например, ведь тогда там появится процессуальная онтология, а это как минимум Уайтхед и Делез. Или, к примеру, функциональное программирование - а это Фреге уже. То есть сильно за пределы обозначенной темы выходит.

Я в данном случае рассмотрел в статье лишь самый минимум. Аристотель - мимо него никак, там база для дальнейшего, Гегель - потому что его модель всеобщего-особенного-единичного очень близка к теории множеств (но есть некоторые отличия), Спиноза - потому что на него опирался Кантор. Ну и сам Кантор, который теорию множеств придумал.

21224 8 ноя в 09:16

Это катастрофа. Представьте себе программиста, который умеет писать код, но не понимает, как работает процессор или память. Он может решать типовые задачи, но бессилен перед любой нестандартной проблемой.

— то есть, если не менять положения вещей, то можно безболезненно уволить всех лекторов, а на высвободившиеся средства купить подписку ChatGPT.

master_program 8 ноя в 09:33

Не всех, но, к сожалению, многих.

А с матанализом в вузах действительно беда, даже в хороших вузах.

В МФТИ стараются смысл объяснять, но из-за упора в эпсилон-дельта формализм и там многим студентам довольно сложно это дается.

RedWolf 11 ноя в 06:35

Реально ужасная аналогия. Представьте себе водителя, который не понимает, как работает софт, который управляет машиной или как сделан механизм поворота колес. Ужас, катастрофа.

Любая "нестандартная" проблема, требующая знания специфики работы процессора - форс-мажор, если она дошла до высших уровней абстракции.

Gwilwo 8 ноя в 09:19

студенты привыкли к тому, что они не знают и не понимают определений понятий, учат их исключительно к коллоквиуму и зачету. а потом сразу забывают

Так учат в большинстве учебных заведений(школы, колледжи, универы) в том числе и в Москве. Ученики просто заучивают метериал, без понимания темы и это считается нормальным. Когда я готовился к ЕГЭ мой репетитор по математике скзал -"Не можешь понять - зазубри".

anshdo 8 ноя в 16:01

Хе-хе, я помню, как у нас на экзамене преподаватель (молодой, да) шокированно спрашивал у одной девочки: "Ты что, пыталась вызубрить матанализ? 😳". Тройку он ей конечно поставил, из жалости, но ... В общем, нормальным это у нас не считалось. И это был провинциальный педвуз.

ioccy 8 ноя в 09:52

Ну не знаю, нужно быть очень косноязычным, чтобы не донести геометрический смысл предела по Коши. Опять же, это определение дает непробиваемый и лаконичный (короче, чем записывать "простыми словами") символьный аппарат. Для тех, до кого не дошло, есть коллоквиум.

master_program 8 ноя в 09:57

Так через точки сгущения еще короче получается, а для функций по Гейне.

ImagineTables 8 ноя в 09:53

Недавно как раз объяснял ребёнку первый замечательный предел на пальцах. Буквально на пальцах: чем дольше пинчишь, тем прямее линия.

dmagin 8 ноя в 10:04

Возможно, придираюсь. Но вроде как отрезок - это не просто множество, а упорядоченное множество. В результате не совсем понятно, где использованы свойства просто множества, а где именно упорядоченного. Или раз речь про числа, то множество сразу подразумевается упорядоченным? Но на множестве абстрактных элементов тоже можно строить упорядоченные выборки. В общем, тут немного туманно получилось на мой взгляд.

master_program 8 ноя в 10:06

Упорядоченность используется сразу же при использовании окрестностей. А именно то, что окрестность - это интервал, а задается он неравенством.

Конечно, можно эти вещи расписать прям совсем до аксиом.

MainEditor0 8 ноя в 10:19

Эпсилон-дельта язык лично мне понятен стал после интерпретации через окрестности и геометрическую интерпретацию

murmol 8 ноя в 11:29

Действительно интересно и непривычно смотреть на анализ, построенный на пределе по Гейне.
Но вообще кажется, что определение по Коши само по себе достаточно геометрическое. Нужно просто читать не посимвольно, а сразу "группами символов". Так же как, когда мы читаем текст, мы читаем его не по буквам, а целыми словами. Вместо "для любого $\varepsilon$ больше нуля найдется натуральное , что для всех модуль разности и строго меньше $\varepsilon$ "на самом деле написано "какой бы ширины полосу вокруг мы ни взяли, начиная с некоторого момента, все члены последовательности начнут попадать в эту полосу". И это очень понятная картинка (которая приведена в статье). И здесь просто формально записано интуитивное представление о бесконечном приближении к пределу.

Подход с точками сгущения (для меня) не интуитивен, потому что (у меня) нет интуитивного понимания, что это именно то, что я представляю в качестве предела последовательности. Если у меня бесконечно много точек вблизи единственной точки сгущения, как это противоречит тому, что они время от времени "вырываются" от этой точки сгущения? Понятно, что я могу это обосновать, что если их "вырвалось" бесконечно много, то они должны еще где-то сгуститься, но, честно говоря, я это скорее понимаю чем чувствую.
Кроме того, если вы начнете формально записывать, что значит

Число a называется точкой сгущения (или частичным пределом) последовательности {xₙ}, если в любой, сколь угодно малый интервал, содержащий точку a, попадает бесконечное число членов последовательности.

у вас получится определение с кванторами и эпсилонами. И вообще у меня сложилось впечатление, что дальнейшее доказательство теорем -- это пересказ сути их стандартных доказательств. Это полезно, их действительно стоит понимать именно так, но это не связано с выбором определения. А $\varepsilon-\delta$ формализм связан с желанием заранее ответить на как можно большее количество "почему".
Например, в Теореме 3 пункт 5

Но раз последовательность неубывающая и "добралась" до окрестности b, то все последующие её члены будут ещё правее. Они уже никогда не смогут вернуться в окрестность a.

Здесь сразу хочется спросить, почему, если она в окрестности , то она уже не окажется в окрестности . Понятно, что это из-за того, что мы разрешаем брать сколько угодно малые окрестности. А насколько малые окрестности надо брать? Так, чтобы они не пересеклись. Например, радиуса меньше . Вот уже и вырисовывается доказательство с эпсилонами.

А еще теорема 1 так-то и не теорема, потому что вы потребовали ограниченность в определении сходящейся последовательности. Второй пункт в вашем доказательстве нужно пояснять (как раз о чем я писал выше). Если в маленьком интервале бесконечное число точек, то вне его не обязательно конечное.

Прошу прощения за такой длинный комментарий. Это не потому что что-то не понравилось, а потому что здесь частично мой внутренний диалог

master_program 8 ноя в 11:30

"Здесь сразу хочется спросить, почему, если она в окрестности , то она уже не окажется в окрестности . "

Потому любые две точки на числовой прямой отделены конечным расстоянием. А окрестности мы берем сколь угодно малые.

Так то да, тут нужно еще довести до уровня строгого учебника, дописав кучу примечаний и доказав кучу промежуточных лемм. Но в отличие от эпсилон-дельта учебников, при наведении этой строгости интуитивность и наглядность не пропадают.

master_program 8 ноя в 11:33

Можно попробовать цикл статей сделать, с подробным разбором курса матанализа, со всеми нюансами. Я тут в обзорной этой статье просто выделил самое ключевое.

master_program 8 ноя в 11:35

А еще теорема 1 так-то и не теорема, потому что вы потребовали ограниченность в определении сходящейся последовательности.

Скорее в определениях точек сгущения эта теорема стала слишком очевидной.

А давайте чуть слабее условие напишу, чтобы логичность осталась.

master_program 8 ноя в 11:38

Смотрите , сделал так

Просто в эпсилон-дельта формализме менее прозрачно, а тут да, вся суть этой теоремы в том, что любая конечная последовательность точек ограничена.

AndreyWinter 8 ноя в 13:07

Педагогические позиции авторов многих известных нам учебников математического анализа напоминают установки средневековых схоластов в диспутах и научных турнирах. Учащийся представляется таким авторам опытным противником, выискивающим слабые места в позиции учителя. Задача же педагога сводится к опровержению всех возможных возражений. В противоположность этому мы рассматриваем учащегося как друга, готового поверить педагогу и заинтересованного в первую очередь в том, чтобы побыстрее получить возможность использовать те новые приёмы, которым его научили.
Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. «Высшая математика для начинающих физиков и техников»

Выскажусь как инженер, то есть представитель профессии, которая по задумке должна использовать теоретические знания, такие, как высшая математика, для решения практических задач.

На практике преподавание высшей математики (не одного только матанализа) поставлено настолько плохо, что студенты имеют полное право забыть "эту дичь" сразу после зачёта. Никто никогда им не показывает ни единого мостика между выкладками вышмата и их практической специальностью. Соответственно, для них вышмат - какая-то чушь, которую почему-то надо выучить. В пределе это сводится к фразе "Я, б** что, обязан знать, что такое первая производная?!", которую как-то при мне произнёс уже не студент, а ведущий инженер-механик. Отличный диагноз высшей школе.
Вторая проблема описана в цитате. Теоретики (в плохом смысле) настолько зафиксировались на строгости доказательств, что нарушают принцип Парето и ради 20% редко встречаемых ситуаций неадекватно усложняют оставшиеся 80%. В пределе это выглядит так:

На уроке физики сидят восьмиклассники. Тема - скорость. Но вместо формулы V=S/t мы начинаем грузить их релятивистской физикой, добавляя выкладки из общей теории относительности с зависимостью массы от скорости, времени от скорости и т.д., и т.п. В итоге дети релятивистскую физику не поймут, но и не научатся более простому приближению, которое достаточно для решения 99% задач, которые встретятся им на практике.

Просто сравним два определения. Какое из них проще и понятнее?

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Производная — это скорость © лорд Кельвин (тот самый).

Говорят, Ландау (который часто вступал в конфликт с преподавателями математики) хотел реформировать систему преподавания математики для физиков, но автокатастрофа помешала ему это сделать. Но проблема - бессмысленное усложнения ради ничего - осталась.

Если усложнять что-то просто "потому что так правильно" - это путь к тому, что ни поймут ни один из вариантов: ни строго-правильный, ни простой.

Здесь, на хабре, я написал курс оптики для технического зрения. В нём всё крутится вокруг школьной теории тонкой линзы, несмотря на то, что никакая реальная линза не соответствует тонкой, а сама правильная модель тонкой линзы вместо одной школьной плоскости состоит из двух главных плоскостей и четырёх базовых точек. Так правильно. Только вот объяснять через такую сложную модель - дикость.

Объяснять надо максимально просто, чтобы показать суть - даже если это упускает детали. Потом, при необходимости, можно добрать более сложную теорию, объясняющую нюансы.

master_program 8 ноя в 13:28

А как вы своим определением будете проверять, дифференцируема ли функция, является ли она непрерывно дифференцируемой? Как определите равномерную сходимость интеграла с параметром? А это ведь важно для практики применения методов.

Ну и в первую очередь всё это нужно для понимания концепций.

haqreu 10 ноя в 16:43

Просто сравним два определения. Какое из них проще и понятнее?

Просто в качестве fun fact. Мне на первом курсе производную определили как коэффициент второго члена ряда Тейлора функции в точке. Если надо, могу сфотать учебник, под рукой лежит :)

master_program 10 ноя в 18:35

Ну у меня фактически примерно то же самое выходит, через "о-малое". Такое определение хорошо своей простотой, но у меня суть идеи в том, чтобы свойства символа "о-малое" потом использовать для доказательства множества теорем.

haqreu 10 ноя в 19:32

Давайте я вам выложу предисловие к учебнику анализа, что я упомянул? Оно перекликается с вашей статьёй, причём разбито на две части: предисловие для студентов и предисловие для преподавателей. Осторожно, лонгрид.

Скрытый текст

master_program 11 ноя в 20:31

За это большое спасибо

master_program 11 ноя в 20:34

Ну вот я предлагаю формальность от строгости отделить.

Сложность не в строгости, она в формальности.

Можно же русским языком излагать, словами, а не "нотными значками".

haqreu 10 ноя в 16:51

Не буду голословным. Виктор Петрович Хавин считал, что так проще и понятнее.

tenzink 10 ноя в 17:20

Интересно, а как там определялся тогда ряд Тейлора?

haqreu 10 ноя в 18:35

Виктор Петрович определял порядок близости функций (в смысле приближения), и через него ряд Тейлора. За давностью лет технических деталей не помню, а учебник на работе остался, потом сфотаю, если интересно.

А вообще он нам на самой первой лекции сказал, что мы наверняка уже учились по Фихтенгольцу в школе, и что теперь нам самое время посмотреть на более наглядный подход к анализу. И действительно, в ряде случаев это было свежо и очень практично - он многое сразу мотивировал практикой (в данном случае - аппроксимацией функций).

master_program 10 ноя в 18:37

Ну через о-малое - это и есть порядки близости. Просто можно сделать такой подход сразу же, и без потери строгости.

haqreu 10 ноя в 19:23

Так точно, через асимптотические оценки и вводились порядки близости, там вариантов не сильно много. Вот конкретно про Тейлора:

Скрытый текст

murkin-kot 8 ноя в 13:08

Автор, я понимаю ваш творческий порыв, но... Вот вам история.

Есть такие люди - айтишники. Они тоже многим недовольны. И как их учили, и что им работать надо, и вообще по жизни много проблем. Ну и они, вот точно как вы, начали творить. А что, весело и вкусно! Сами пишем, сами радуемся. И... Да, понеслось.

Сегодня каждый уважающий себя айтишник написал свой личный фреймворк. Это такая штука, которая лично ему жизнь облегчает. Но некоторым слегка повезло и их взяли на прокорм крупные конторы. Так вот эти конторы теперь внедряют в массы поделия везунчиков. И что бы вы думали? Мир стал лучше? Ведь никаких тебе эпсилонов с дельтами там где ненадо! Всё рационально, удобно и хорошо документировано. Но...

В общем, мир уже устал от бесконечности (в математическом смысле) всех этих радостей для отдельных айтишников. Тысячи толстых контор проповедуют тысячи глупостей. Да, всем сначала казалось, что вот именно они сделали лучший в мире фреймворк для задач из домена Х. Но время идёт и уносит детские мечты в унылое и серое настоящее, где на все эти творения миллионов начинающих и ярко горящих индивидуальностей в самом глубоком смысле слова, сталкиваются с объективной реальность, которая, вот гадина, не впечатлилась их детскими порывами! Но почему?

Очень просто - человек слаб. Да, в том числе интеллектуально. А вы думали иначе? Тогда вы ошиблись. Человек не способен предсказать результат логического выражения хотя бы из пары десятков конъюнкций, ага, но уже бросается лепить поделия вселенской значимости, в которые толстые конторы вкладывают миллионы денег. Конторам-то хорошо, у них есть свой слоник, которого они кормят и в итоге доят всех подсевших на его спинку. Им даже полезно, если слоник получился тупенький и хроменький - больше спрос на услуги конторы по поддержке штанов, напяленных покупателями на их слоника.

Но при чём здесь математика?

Ещё проще. Там всё точно так же. Вот сколько альтернатив ZFC вы знаете? И теперь умножьте это число на количество областей, которыми занимается математика. Получите сильно искажённую в сторону занижения оценку снизу.

Но математикам не платили денег толстые конторы за производство хроменьких слоников. Ну или платили, но гораздо реже, нежели айтишникам. Поэтому математики, где-то в 19-м ещё веке почуяли неладное. Чувствуете к чему идёт?

Ну да, они решили ввести золотой стандарт. То есть фреймворк фреймворков. Самый халяльный и кошерный сразу. Одобренный светилами. И как же такой выбрать? Да очень просто - голосованием. Ну не нашли математики более действенного способа. Потому что выбор человеков всегда основан на субъективных началах. Это такое свойство, от обезьян и далее по иерархии наследования. Что бы люди могли договориться им нужна сила. Для айтишников это толстые конторы с их большими деньгами. А для математиков это мутный процесс журналописательства и разного рода конференций с кулуарами и закоулками. Так вот в итоге и порешили - делаем так. Всё остальное - некошерно и нехаляльно. И если вдруг подходит студент к преподу с умной идеей, то препод делает лицо кирпичом, а нос задирает выше студента, после чего заявляет - бестолочь! Ну в лучшем случае банально игнорирует. Примерно так ещё сам Коши теории Галуа в унитаз отправлял (хотя, возможно, просто в известное отверстие, но для понимания нынешним поколением лучше использовать привычные понятия, так вот и автор рекомендует).

Немного серьёзнее.

Математика неидеальна. Это аксиома. Попытки её улучшить были есть и будут. Автор проникся одной из идей по улучшению. Но автор танцует от математики, или от логики. Только миром правит иррациональное эго с его субъективными критериями полезности. Этого автор не понял, хотя скорее всего просто не знает, не встречал в жизненном опыте достаточно доказательств. Поэтом посоветовать можно лишь одно - понять. Ну и не ожидать успеха, да. Немножко волну подняли, уже хорошо. Большее - это уже политика.

Ну а по сути статьи могу сказать, что строгости даже в нынешней математике недостаточно. Потому что если подойти к преподу и указать на тонкий момент, который рвётся, то он по заученному - нос вверх и математические догмы в лицо (ах, извиняюсь, аксиомы). И даже если проблема реально есть, никто ею заниматься не будет, потому что это уже общественная проблема, а не математическая, то есть математики не обладают должными умениями в этой новой для них области.

Ну и пример нестрогости - бесконечности. Начали смело - все множества всех множеств. Получили парадоксы. Слегка сократили замах, убрали в одном месте слово "все". Ну и решили, что теперь всё хорошо. Только основа осталась порочная - слово "все" используют и в хвост в гриву. Вот автор пишет: Нельзя создать множество "всех объектов во Вселенной с свойством Х". Ну да, и тут же математики декларируют "возьмём множество N". Свойство элемента - генерируется прибавлением единицы к предыдущему. Но ведь вроде нельзя, да?

Или про однозначное соответствие целых и действительных чисел. Говорят "допустим такое отображение существует и оно дано в виде списка чисел". Но выше написано - нельзя всё множество брать. Получается, что бы опровергнуть то, что не нравится - брать можно. Ну вот вам и Банах с Тарским в панамку. Или ещё парадоксов показать? Так ведь всё равно общественная система "именитые математики" даже не заметит.

В общем, с бесконечностями математика немного ушла не туда. Ну да ладно, речь-то про новый фреймворк. Очередной, из тысяч аналогов. И миллион подобных авторов там же. И миллиард денег на то, что ни у одного ничего не получилось.

Но вы надейтесь. Типа капля точит камень. Может так и жизнь поприятнее покажется...

master_program 8 ноя в 13:26

Тут нет проблемы, всё множество действительных чисел брать можно.

Парадокс Банах-Тарского тут не причем.

Вы игнорируете тот факт, что должно быть обоснование методов, а без этого не будет ни их понимания, ни понимания того, когда их использовать нельзя.

Хотя математический анализ больше используется как база для последующих дисциплин, его доказательства тоже нужны на практике. Потому что возможность применения многих прикладных методов анализа определяется условием равномерной сходимости.

TldrWiki 8 ноя в 14:45

Если последовательность это бесконечный набор чисел, то почему количество чисел вне предела (интервала вокруг точки сгущения) конечно?

Ещё вопрос про непрерывность - выколотая точка является пределом, точкой сгущения, а функция терпит разрыв?

master_program 8 ноя в 14:50

В этом и есть смысл понятия предела. Это значит, что количество точек сходящейся последовательности бесконечно на интервале тогда и только тогда, когда этот интервал включает точку сгущения.

То есть вся бесконечность точек уместилась в бесконечно малой окрестности всего лишь одной точки.

В комментариях был хороший пример Xn = {1/n}

TldrWiki 8 ноя в 15:31

Это понятно, Но почему вне этого интервала количество точек не бесконечно?

Про непрерывность понял.

master_program 8 ноя в 17:28

Потому что тогда последовательность не сходится. Можно доказать эквивалентность этого определения сходимости и по Коши.

А именно, если за пределами этого интервала есть бесконечное число точек, то мы берём достаточно малое эпсилон для окрестности именно этой точки сгущения и получаем, что бесконечное число точек за пределами этой окрестности. Для этого эпсилон нельзя подобрать соответствующий номер N.

muxa_ru 8 ноя в 15:12

Представьте себе программиста, который умеет писать код, но не понимает, как работает процессор или память.

В абсолютном большинстве случаев, знание того как работает процессор нафиг программисту не нужно, а может даже и вредно.

Программист работает с многослойными абстракциями, где процессор не сильно то и важен.

OlgaVivanova 8 ноя в 15:37

Мало кто понимает матан, и высшую математику тоже. В принципе.

Академическая среда - не подарок: сложная, конкурентная, далеко не всегда приятная. Идти в этом чужой монастырь со своим уставом - уже конфликт. Критиковать уровень преподавания - это приходить как враг, угрожающий сразу множеству преподавателей, которым очень непросто достались их ставки.

Качество образования в МФТИ выше, но если менее престижный вуз хочет достичь качества образования МФТИ или МГУ, он приглашает преподавателей из МФТИ или МГУ, и они делают скидку на уровень подготовки, упрощая свой курс, а приглашающие объясняют студентам, как им повезло и что стараться нужно больше.

Иногда нужно просто закрыть ставку. Особенно чувствительна для бюджета незакрытая ставка преподавателя у студентов-платников. А матан мало кто понимает, и высшую математику тоже...

И если из этой ситуации родится хорошая книжка по сложной дисциплине, это здорово. По ней можно будет преподавать авторский курс. Но даже его поймет очень небольшой процент студентов непрофильного вуза, в основном - поступившие на бюджетные места.

ris58h 8 ноя в 18:44

Представьте себе программиста, который умеет писать код, но не понимает, как работает процессор или память.
...
Это все равно что учить человека водить машину, начав с самостоятельной переборки двигателя.

Вы уж там определитесь нужно ступившим на путь Коши лезть в детали или нет. В любом случае, лучше не использовать аналогии, а то они как собаке пятое колесо.

wataru 8 ноя в 19:15

Элегантный путь Гейне (логичное рассуждение)

Это замечательно, но работает только на простых примерах. Докажите ка так же логически:

$\lim_{x \to 0}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$

Эпсилон-дельта не просто так придумали.

Представьте себе программиста, который умеет писать код, но не понимает, как работает процессор или память

Полностью разделяю это чувство. Вот только аналогия тут как раз в другую сторону. Работать с непрерывностью и пределами через интуицию - это как раз не понимание, как это все на самом деле работает.

Да, студенты тяжело вникают в кванторы, и тут можно давать всякие интуитивные примеры для понимания, но основа должна быть формальной.

master_program 8 ноя в 20:31

Так кванторы для понимания и строгих доказательств в матанализе не нужны совсем. Они искусственно удлиняют все доказательства и скрывают смысл. А во многих задачах без Гейне вообще крайне сложно доказать. При этом подход по Гейне совершенно не нуждается в Коши, последний нигде не лучше.

Насчёт вашего примера, берём x_n = {1/n}, получается число е по определению.

Дальше надо доказать монотонность (способов много, можно через производную, можно через обобщенный бином, можно через свойства логарифма и так далее).

Отсюда следует, что она сходится (так как частичный предел есть) и предел последовательности равен е.

В обычных учебниках по матанализу делают это намного сложнее, потому что они не пользуются определением предела по Гейне, для которого достаточно любую последовательность использовать вместо оценок и неравенств.

Ваш пример - как раз отличный пример факта, который в анализе по Гейне сильно короче доказывается. Но по-настоящему сильно всё упрощается при доказательстве теорем про равномерную непрерывность и сходимость, или про обратную функцию для неявно заданной ФНП, или там, например, для теоремы о единственности в диффурах

wataru 9 ноя в 09:14

x_n = {1/n}, получается число е по определению.

Нет такого определения. Число e можно определять по разному но уж точно не в виде предела. Вы тут просто замели под ковер проблему. Вот как вы в подходе Гейне докажете этот предел?

определением предела по Гейне, для которого достаточно любую последовательность использовать вместо оценок и неравенств.

Нет, мало взять одну какую-то последовательность. Надо доказать, что они все такие. Вот возьмите функцию, которая 0 в рациональных числах и 1 в иррациональных. Берете любую последовательность, наример x_n = {1/n} - получаете сходимость к 0 в нуле. А если брать последовательность из иррациональных чисел - сходимость к 1.

Так что, если по настоящему целиком и формально доказывать, то не особо-то и короче подход Гейне окажется.

master_program 13 ноя в 06:17

Число e в курсах анализа определяется как предел по целым числам.

$\lim \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$

Это не теорема, а определение числа e, доказывать не нужно.

А доказательство второго замечательного предела заключается в том, чтобы доказать верность предела при вещественном x, то есть для функции, а не последовательности.

И именно поэтому подход Гейне к доказательству второго замечательного предела гораздо проще получается, так как в нем от последовательности к функции легче перейти.

Я рассматриваю любую последовательность, и она сходится к тому же самому. Во-первых, она сходится, потому что доказали монотонность и ограниченность. Во-вторых, ее можно мажорировать с обеих концов с помощью x_n = {1/n} - так мы доказываем, что любая последовательность сходится к одному и тому же пределу.

Мажорирование обосновывается монотонностью.

А теперь посмотрите, что происходит в обычных курсах, и сравните.

wataru 13 ноя в 13:04

Странно, у нас (1+1/x)^x - это был замечательный предел. е, конечно, можно и через предел определять, но есть чаще дают через угол наклона экспоненциальной функции или через производные. В худшем случае, как сумму ряда.

Ну хорошо, возьмите любой другой замчечательный предел, там вы не заметете проблему под ковер тем, что "а это уже дано в определении". Поиск предела по Гейне будет ничем не проще епсилон-дельта, ибо это только в тривиальном примере так легко выражается.

master_program 13 ноя в 14:04

Первый замечательный обычно через лемму о трех милиционерах. Тут определение предела не влияет.

А так тут ситуация следующая, если я докажу монотонность f(x) в окрестности нужной точки, то мажорированием получается, что у любой последовательности предел один и тот же. А дальше можно взять любую удобную. По сравнению с Коши удобство в том, что по Коши придётся брать произвольные значения х в окрестности , а тут достаточно только одну {Xn} сходящуюся рассмотреть.

Так что, видимо, стоит этот факт про связь монотонности и эквивалентности сходимости разных {Xn} доказать, а потом использовать.

В курсах матанализа этого факта нет обычно. В общем хорошо, что обсудили, видимо я тут нащупал самый простой способ.

Что же касается функций, не монотонных ни на какой окрестности нужной точки, например x*sin(1/x), то тут можно сначала оценивать по модулю отклонения. : |x*sin(1/x)| <= |x|.

October_fest 7 часов назад

Извините, у вас опечатка. Этот предел равен 1, а не e.

belch84 8 ноя в 20:36

в учебнике осталось только определение предела по Гейне

1. Возьмём любую последовательность {xₙ}, которая сходится к 3.2. По определению предела последовательности это значит, что {xₙ - 3} сходится к 0.

А можно узнать, каково же строгое определение предела по Гейне? Извините, если пропустил его в статье

master_program 8 ноя в 21:04

Функция имеет предел a в точке x0, если для любой последовательности xn->x0 последовательность f(xn) - > a.

belch84 8 ноя в 21:17

Функция имеет предел a в точке x0, если для любой последовательности xn->x0 последовательность f(xn) - > a.

Но что тогда означает значок "- >"?

master_program 8 ноя в 21:31

Предел последовательности

belch84 8 ноя в 21:50

Что означает, что предел последовательности xn есть x0? Можете написать определение в виде: предел последовательности xn есть x0, если ... (если что?)

fujinon 8 ноя в 21:51

У автора предел определяется через другой предел

belch84 8 ноя в 21:59

Вот именно

master_program 8 ноя в 22:00

Да, именно. Именно в этом преимущество подхода Гейне, которое позволяет полностью строго и вывести доказать анализ без эпсилон и дельт.

Именно об этом и вся статья.

master_program 8 ноя в 22:03

Предел последовательности xn есть x0, если она имеет единственную точку сгущения (включая случай бесконечно удаленной точки).

Вместо включения случая бесконечно удаленной точки можно также написать условие, что за пределами любой окрестности точки сгущения не более чем конечное количество точек последовательности.

belch84 8 ноя в 22:16

Предел последовательности xn есть x0, если она имеет единственную точку сгущения

Оставим пока в покое бесконечно удаленную точку. Что такое точка сгущения в случае обычной ограниченной последовательности?

master_program 8 ноя в 22:20

Точка, в любой окрестности которой бесконечное количество членов последовательности.

belch84 9 ноя в 07:05

Тогда что такое окрестность?

master_program 9 ноя в 09:20

Это симметричный интервал, включающий эту точку.

belch84 9 ноя в 11:28

Могу спросить, что такое интервал, и что такое симметричный интервал, но продолжать уже нет смысла, наверное. Для того, чтобы определить, что такое предел функции в точке, вам понадобились несколько новых понятий, а также едва ли не десяток комментариев с уточнениями значений этих понятий. Можно попробовать записать это в виде единого предложения, но я сомневаюсь, что определение получится более простым, чем такое:

Здесь нет никаких дополнительных понятий, требующих объяснения, кванторы тоже не обязательны

master_program 9 ноя в 11:41

Все эти понятия уже были определены в тексте. Понятие интервала гораздо проще, чем вот это, его в 5-6-м классе изучают, примерно когда проходят числовую прямую

Deosis 11 ноя в 04:07

А по-вашему фраза "для любого положительного числа е" это не квантор?

belch84 11 ноя в 19:56

Кванторы - это именно два значка логических операций

$\forall, \exists$

а не фраза на русском языке, которая раскрывает их смысл

Главная причина их непонимания была в том, что они не могут рассуждать с помощью кванторов, использовать эпсилоны и дельта

Автор считает эти значки, а также епсилоны и дельты интуитивно непонятными

wataru 11 ноя в 20:01

Эти значки - это просто короткая форма записи фраз "для любого" и "существует". Можно вместо "+" везде писать "прибавить", но от этого вы плюсом пользоваться не перестаете. Все та же операция сложения.

Так и тут, можно избавиться от значков, но кванторы остаются. Вы все еще осуществляете ту же самую логическую операцию обобщения утверждения. Только писать становиться дольше.

master_program 11 ноя в 20:40

Тут есть тонкости. Например, когда мы говорим, для любого эпсилон, для любого сигма, мы не подразумеваем, что сигма зависит от эпсилон, а в кванторах это так.

А по-русски раскрыть определение предела по Коши будет совсем другая фраза, чем используют в матане. Будет

"для любой наперёд заданной точности эпсилон , существует такая дельта-окрестность точки (дельта зависит от эпсилон), что функция на ней изменяется в пределах этой точности"

haqreu 11 ноя в 21:43

"Для любого, для любого" можно переставлять местами, так что зависимости нет.

"Для любого существует" - вот тут появляется зависимость. См. сколемизация.

wataru 12 ноя в 07:46

Например, когда мы говорим, для любого эпсилон, для любого сигма, мы не подразумеваем, что сигма зависит от эпсилон, а в кванторах это так.

Во-первых, если для любого сигма, то оно никак нре может зависить от эпсилон. Оно уже любое. Как в кванторах не записывай: $\forall \epsilon, \forall \delta$ или $\forall \epsilon, \delta$ - это эквивалентные утверждения.

Вот если вы про "существует дельта", то там да. Но это неточность человеческого языка, которая математической нотацией как раз и разрешается. Ибо есть разница между $\forall \epsilon, \exists \delta$ и $\exists \delta, \forall \epsilon$ . В первом случае дельта зависит от эпсилон, во втором - нет.

А по-русски раскрыть определение предела по Коши будет совсем другая фраза

Не вижу, чем стандартная фраза "для любого эпсилон существует дельта, т.ч. при аргументе в пределах дельта значение функции в пределах эпсилон" хуже вашего.

wataru 9 ноя в 09:16

в любой окрестности которой бесконечное количество членов последовательности.

Ну вот и получили это самое эпсилон/Эн-большое из стандартного определения пределов.

master_program 9 ноя в 09:23

Нет, обхожусь без этого. Потому что я тут не использую в определении, что для любого эпсилон, начиная с какого-то номера, они все внутри. Я просто говорю, что в любой окрестности точки их там бесконечное количество, не уточняя расположение.

Более того, точка сгущения - это частичный предел, а не предел. Определение предела тут - "единственный частичный предел". Понятие частичного предела проще, чем предела, геометрически, если определять его не как предел подпоследовательности (что требует строить еще одну сущность), а просто как точку сгущения.

wataru 9 ноя в 11:43

Я просто говорю, что в любой окрестности точки их там бесконечное количество,

Окресность - это и есть епсилон.

master_program 9 ноя в 11:45

Только зачем здесь его вводить? Эта конструкция, во-первых, логически намного проще, чем у Коши, во-вторых никакого конкретного эпсилон вводить не нужно.

lightln2 13 ноя в 02:26

ну это же просто неверно в общем случае. Возьмите последовательность 0, sinx, 0, sin2x, 0, sin3x, ... в пространстве непрерывных функций на отрезке от 0 до 2π (с практически любой метрикой, например, L2). У нее единственная точка сгущения - 0, но предела нет.
вместо sin(nx) можно взять базис в любом бесконечномерном пространстве с метрикой.

master_program 13 ноя в 02:46

У последовательности sin(n*x) при иррациональном х точками сгущения являются все точки отрезка [-1,1].

master_program 13 ноя в 02:54

В функциональном пространстве тогда останется только брать определение, что в любой окрестности, не включающей точку сгущения, конечное число членов последовательности.

Но я как раз хотел избежать такой переформулировки, так как

Она сложнее и абстрактнее, чем про единственную точку сгущения
Разбор этой формулировки дает понимание, как устроено расположение точек последовательностей на числовой прямой и геометрический смысл ряда теорем.
Использование в такой форме упрощает ряд последующих доказательств.

Тут написан набросок нового изложения, а его я допишу скоро.

lightln2 13 ноя в 08:32

ну это почти определение предела в хаусдорфовом топологическом пространстве (если окрестность заменить на замкнутое множество). Для евклидовых пространств - одно из нескольких десятков эквивалентных, далеко не самое мощное. Собственно, такое количество эквивалентных определений и удобно, что для доказательства можно выбрать наиболее подходящее.
Я очень сомневаюсь, что оно может упростить ряд доказательств, потому что для него даже метрики не нужно, только наличие свойства отделимости (я тут, конечно, говорю о строгих доказательствах)

omxela 8 ноя в 21:10

То, что написал автор, вызвало у меня приятный приступ ностальгии. Я протянул руку к полке и достал старую общую тетрадь в коричневой обложке, в которой записаны конспекты двухлетнего курса матанализа, читанного проф. мехмата Алексеевым Владимиром Михайловичем учащимся 9-10 классов одной из московских школ более полувека назад. Смотрим. Лекция 1 - Основы теории множеств. Лекция 2 - функция, как отображение одного множества на другое. Затем долгое, не торопясь, обсуждение свойств функций и их конкретных представлений с массой примеров из механики с картинками. Конец семестра.

Второй семестр. Лекция 1 - множество натуральных чисел как множество объектов с определёнными операциями на них (сложение и умножение) и существованием 0 и 1. Далее идут лекции об аксиоме Архимеда; рациональном числе как паре натуральных; действительном числе как паре множеств рациональных чисел с отношением порядка и отношением бесконечной близости. Аксиома полноты. Интервал. Окрестность точки. Уже ближе.

Далее, последовательность как функция на множестве натуральных чисел. Предел: точка a есть предел последовательности, если любая окрестность этой точки содержит все члены последовательности, кроме, возможно, конечного их числа. Да это, никак, точка сгущения? Но это же утверждение совершенно естественно записывается при помощи кванторов и эпсилон. Легко доказывается, что двух пределов не бывает.

И вот, наконец, 13 апреля - функция непрерывна в т. a, если эта точка принадлежит области определения (ОО) функции, а предел этой функции на любой последовательности из ОО, сходящейся к a, сходится к f(a). Но то же самое совершенно естественно записывается при помощи кванторов, дельты и эпсилон.

И так далее. Весь базовый матанализ параллельно записывается через последовательности и точки сгущения, и тут же переформулируется через кванторы, дельту и эпсилон. Было бы очень странно, если бы эти языки не были бы эквивалентны. На мой непросвещённый взгляд, противопоставлять их друг другу, делать из одного бяку, а из другого наку - это довольно смешно. Разумеется, понимание лучше дрессировки. Кто бы спорил? Как достичь понимания - это не вопрос математики, а вопрос взаимоотношения учителя и ученика, то есть, чистая психология. Одному зайдёт так, другому - эдак. Но если человеку не интересно, если он не мотивирован, не задаёт вопросы, не умеет их задавать, то как ни прыгайте, как ни пляшите с бубном - ничего не получится. Имхо.

master_program 8 ноя в 21:12

Так это вам сильно повезло. В вузах так не преподают, как вам читали.

В вузовских учебниках такого подхода нет.

cpud47 13 ноя в 16:19

Когда я учился, нам тоже давали оба определения предела.

Отдельного курса теории множеств, или культуры доказательств не было. Давали по месту на разных курсах.

October_fest 7 часов назад

И нам давали два, и их эквивалентность. И потому непонятна идея противопоставления. Кого удобнее, того и применяем. Нам вообще читали с ходу пределы по базе, и ничего, знаете, никто не умер. Интересно, как из этого вырастают все другие конструкции, хотя конечно, исторически, высшие абстракции всегда вырастают из более ранних.

conan007 13 ноя в 09:04

Согласен. Эквивалентны. Язык "эпсилон-дельта" неявно предполагает язык произвольных последовательностей, только упаковывает это в единый, компактный образ. Как сказал бы ныне уже к сожалению покойные великий ВВГ (Василий Васильевич Головачев) - компактифицирует.

Дочитал до момента с рассуждениями о множествах не могущих включать себя в качестве элемента и спустя некоторое время заскучал из-за запрета оного, потому что увидел тут же пример в виде множества множеств точек некоторой области, например, на плоскости внутри замкнутой линии. Как элемент она себя включает.

А вот множество просто точек там же не включает себя в себя. Потому что оно - множество.

Логика-с, она же словоблудие высокого полета

cpud47 13 ноя в 16:21

множества множеств точек некоторой области, например, на плоскости внутри замкнутой линии. Как элемент она себя включает.

Не очень внятно сформулированно, но не включает.

conan007 15 ноя в 07:38

Сформулировано кратко, лапидарно, но в традициях.

Множество множеств означает, что элементом множества является тоже множество. Множество точек может состоять из одной точки. Если есть множество множеств точек, то оно включает в себя и множество, состоящее изо всех точек, входящих в состав всех множеств данного множества множеств точек, если нет правила, исключающего данное обобщение. Так что не соглашусь - включает. Примерно так, если коротенько, но на мой взгляд просто словесный понос. Предпочитаю античную лапидарность, использованную мною ранее

cpud47 15 ноя в 11:05

У Вас элементами множества точек являются точки. А элементами множества множеств — множества. Поэтому это множество множеств не содержит себя как элемент — иначе его элементами должны бы быть точки.

fujinon 8 ноя в 21:58

Очевидно, что язык "эпсилон-дельта" - это просто эффективный способ работать привычными "конечными" методами с базовыми понятиями мат.анализа - пределом и бесконечностью. и причем тут кванторы, откройте Фихтенгольца, нет там их. Жаль учеников автора.

master_program 8 ноя в 22:19

Так у Фихтенгольца еще запутаннее выходит.

Вместо кванторов обозначающие их слова - это запутывает только. Потому что это всё равно "не по-русски" написано получается.
Фихтенгольцу нужно понятие точки сгущения области, оно вообще лишнее. Просто он определяет предел сразу на произвольном числовом множестве, а если бы он использовал предел по Гейне, можно было это вообще не упоминать. В ряде современных учебников вместо этого определяют сразу предел в точке, которая не является точкой сгущения области, там получается, что он тогда равен значению функции в этой точке (например, по Иванову функция всегда непрерывна в изолированной точке, если она в ней определена).

wataru 9 ноя в 09:17

Фихтенгольцу нужно понятие точки сгущения области, оно вообще лишнее

Вам и Гейне тоже нужно понятие точки сгущения. Вы сами его выше упоминули.

master_program 9 ноя в 09:19

Точка сгущения последовательности и точка сгущения области - понятия разные.

OlegZH 9 ноя в 11:57

В ряде современных учебников вместо этого определяют сразу предел в точке, которая не является точкой сгущения области, там получается, что он тогда равен значению функции в этой точке (например, по Иванову функция всегда непрерывна в изолированной точке, если она в ней определена).

Какие, однако, нововведения! Вот так, взять, и выбросить старое определение, согласно которому, непрерывность имеет смысл рассматривать только в такой точке области определения функции, которая является предельной для области определения. Говорить о непрерывности функции в изолированной точке бессмысленно.

master_program 9 ноя в 12:03

Ну в МФТИ сейчас на лекциях по матанализу, например, учат, что функция непрерывна во всех изолированных точках своей области определения.

Не знаю, где еще так тоже, но учебники таковые имеются.

master_program 9 ноя в 12:05

Вот, например, какой-то конспект из МГУ http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0609.html , тут даже не постулируют, а доказывают как теорему, что функция непрерывна в изолированной точке.

October_fest 7 часов назад

И еще раз: не путайте предел с непрерывностью.

October_fest 7 часов назад

вместо этого определяют сразу предел в точке, которая не является точкой сгущения области, там получается, что он тогда равен значению функции в этой точке (например, по Иванову функция всегда непрерывна в изолированной точке, если она в ней определена).

Вы повторяете одну и ту же ошибку. Предел функции в точке не имеет никакого отношения к значению функции в этой точке. И это досадно, что вы повторяете. Пределы вычисляются только в предельных точках множества (точках сгущения, по-вашему), потому у Ф. так и написано.

Изолированная точка или неизолированная (предельная) важно только для определения непрерывности. Тривиальный случай непрерывности возникает в изолированной точке. Там все равно какая функция, лишь бы точка лежала в области определения. Это все не по Иванову, а по Зоричу, с которым, возможно, Иванов согласен. Главное, что это вырожденный случай, который не дает никакой информации о поведении функции в точке.

А если бы он (Ф.) использовал предел по Гейне, то, что точка предельная для множества пришлось бы упоминать тоже, потому что вам нужно обеспечить сходимость последовательностей из аргументов к этой точке.

... Никому не запретишь изобретать велосипед.

ink_off 9 ноя в 00:24

Помню первые сложности с множествами, когда их было сложно понять, и доказательства с ними.
Потом пришли пределы(мы их лимитами называли) - там только зубреж помог.
Потом пришла производная через множества и лимиты - первый раз получил 2 за колок.
Потом объяснили геометрический смысл производной - выдохнули всем курсом. Далее перерыв на лето - и все сначала.
А параллельно, эти выклдаки по термеху длинной в лэндскейп А3...
Потом объяснили физический смысл первой и второй производной, и отдельно к преподавателю подошел для выяснения про третью производную...
Но на разложении в ряды Фурье - прям весь мир математики перевернулся...

Но я не об этом, уже позже, 3 курс вроде, обратил внимание как преподаватель по строительной механике корабля каким-то быстрым способом решал сложные производные и пределы. там тоже фигурировала h c чертой на верху. Но к этому моменту МатАн и Начало Высшей Математики закончилось.

А по Вашему способу - я представил как бы половина из отчисленых из-за МатАна все же поняла красоту инженерного образования.

Registan 9 ноя в 09:13

Вы меня потеряли на моменте, где понятие «истинного континуума» преподносится как более понятная, чем дельта-эпсилон… И то, и другое требует огромного бэкграунда, и оба совершенно неочевидны, если только вы не гений абстрактной философии. Проблема со студентами/преподавателями в основном в том, что абстрактные понятия типа «бесконечность», «множество», «точка», требуют воображения и особенного врожденного склада ума, а не зубрёжки. Мне кажется, если человек не может вообразить предел функции на рисунке, то объяснить ему через формальные шаги не получится. Собственно, это и значит быть «математиком» по призванию, обладать естественной тягой к предмету. К сожалению, сейчас ВУЗ это не греческая Академия, и по обе стороны кафедры отношение к абстрактному весьма прагматичное :)

master_program 9 ноя в 11:39

Не требует, здесь доказана неравномощность натуральных чисел и континуума.

Registan 9 ноя в 19:20

Ну как же «не требует», само понятие «континуума» - это уже очень сложная абстракция, которая даже в некоторых разделах самой математики не нужна (численные методы, прикладная математика). Это философская категория, своего рода аксиома («априорная» по Канту), и далеко не каждый абитуриент/студент понимает, что это такое, как и апорея Зенона, даже задачки Перельмана… Возможно, вам как математику «по призванию» даже сложно представить уровень неподготовленности и нежелания некоторых студентов! Но в целом ваш вектор правильный, спасибо за статью :D

master_program 11 ноя в 08:18

Попробуем сделать введение. Я на этой неделе где-то к субботе или вечер пятницы размещу продолжение. "Вводная глава" для нового учебника будет.

tviciouzzz 9 ноя в 16:34

По мне так статья вызывает огромные вопросы к математической культуре автора.

Оговорюсь сразу - читал по-диагонали, но и так вопросов очень много.

Само "СТРОГОЕ" определение точки сгущения содержит ничего не значащую оговорку "сколько угодно малый". Какой функциональный смысл оно несёт, и чем сколько угодно малый лучше сколько угодно большого, если речь о любой?

Определение предела последовательности в вашей форме - бесполезно. На практике для вычисления/доказательства любого предела вам придется опираться на классическое определение, иначе я не вижу никакого общего способа доказать что в окрестности содержится бесконечное количество точек последовательности. Эпсилон-дельта определение, повторюсь, дают прямой инструмент как пределы вычислять.

Определение предела функции, помимо того что страдает тем же недостатком, так ещё и не дано доказательство его эквивалентности классическому определению. Для меня вовсе не очевидно что из того что для любой сходящейся последовательности (то есть счётного множества значений) значений функции к А, означает что функция заданная на действительном (не счётном) интервале имеет А своим пределом.

Я не буду заморачиваться но уверен что доказательство что ваше определение предела функции вообще не корректно - это прямое следствие доказательства того что мощность множества действительных чисел больше мощности счетного множества, потому какое (конечное или бесконечное) семейство (множество множеств) счётных множеств (последовательностей то есть) вы не возьмите говорить о поведении функции на действительном множестве по ним нельзя.

дальше я пожалуй не буду. небольшое общее заключение:

Понятно что великие (без всякой иронии) математики нового времени, создавая анализ и формализуя его, вслепую ощупывали то что затем стало частью топологии; для этого и создав эпсилон-дельта язык. То что он на нынешнем уровне разработки теории видимо не нужен понятно, тот же Зорич построил курс как раз на пределе по базе, то есть современном уровне математики, где с ходу видно связь с топологией и да меньше кванторов если они так вас смущают. Зачем вместо того чтобы строить обучение либо вокруг классической программы или пытаться подать на современном уровне математики, делать то что делаете вы - всеми силами стараться редуцировать все до попыток описать анализ на множестве действительных чисел с помощью аппарата целочисленного я не знаю.

master_program 9 ноя в 16:44

Отвечу в виде пунктов.

" Какой функциональный смысл оно несёт " - так просто понятнее. "чем сколько угодно малый лучше сколько угодно большого " - а нам как раз тут не нужны любые конечные, и большие тем более, вот для акцента на этом и дано.
"На практике для вычисления/доказательства любого предела вам придется опираться на классическое определение " - оно не нужно. "общего способа доказать что в окрестности содержится " - достаточно доказать, что существует конкретная окрестность, в которой нет ни одной точки. И смысл этого намного яснее. Потому что если такой окрестности нет, то в любой их бесконечно много, и наоборот - если есть такая, в которое конечное, то есть и такая, в которой их нет (случай совпадения точек последовательности с пределом можно отдельно рассмотреть).
"так ещё и не дано доказательство его эквивалентности классическому определению " - это доказательство элементарно и есть в любом учебнике по матанализу (эквивалентность определений по Коши и по Гейне).
Определение предела последовательностей через точки сгущения - топологическое. А вот определение предела функции тут берется другое.
Предел по базе нужен только для того, чтобы унифицировать понятие предела в точке и на бесконечности. Ради такой мелочи нет смысла резко повышать уровень абстракции, к тому же опыт преподавания самим Зоричем на мехмате МГУ такого определения предела очень печален - студенты его совсем не понимают.

tviciouzzz 9 ноя в 17:08

спасибо за ответы есть что думать)

но по п2 вы меня не поняли, выкладки реальные проводить без эпсилон-дельт то как? То есть нам все равно придется в процессе реальных хоть сколько то содержательных вычислений искать те самые радиусы и то самое N для всех n больше которого члены последовательности попадают в ту самую окрестность радиус который вы не хотите отдельно называть) тут мне видится потенциальных разрыв теории и практики.

master_program 9 ноя в 16:50

А тут

прямое следствие доказательства того что мощность множества действительных чисел больше мощности счетного множества, потому какое (конечное или бесконечное) семейство (множество множеств) счётных множеств (последовательностей то есть) вы не возьмите говорить о поведении функции на действительном множестве по ним нельзя.

вот в чем проблема.

Множество всех последовательностей, сходящихся к одной данной точке, является несчетным.

master_program 9 ноя в 17:02

За эти вопросы в целом спасибо, так понятнее, что разбирать следует, если излагать моим способом.

tviciouzzz 9 ноя в 17:56

В плане определения производной - вы даёте ещё через определения дифференциала , но самого термина стесняетесь почему-то, хотя он важен для тех кто полезет за дополнительной литературой; и при этом избегаете выражение производной через частное дифференциалов просто тыкая пальцем в A - вот это производная будет (как в анектоде про найдите X). Ну и упираете на некое приближенное равенство, что сразу приносит неприятно чувство, и не просто так! Вы исключаете предельный переход, потому там у вас все и приблизительно. А важно понимать что это предел и равенство точное.

Опять же хотелось бы посмотреть на вывод интересных производных.

Ну и заканчивая критику - что ещё отталкивает: это пафос и вода в игровой формуле. Ровестников этих студентов уже учат взрывному делу а некоторые уже убивают людей) а вы чтото пытаетесь зачем-то преподнести в интересной игровой форме)

master_program 10 ноя в 11:31

Дифференциал обычно определяют как линейную часть приращения.

Равенство с "о-малым" не приближенное, а асимптотическое.

Так смысл этих определений из анализа как раз и заключается в асимптотических приближениях в окрестности.

f(x) = A*x + o(x)

Тогда A - это производная в точке х = 0. Тут весь предельный переход в свойствах символа о-малое, ведь о-малое определяется через предел же.

Преимущество в том, что обоснования предельного перехода можно заменить во многих случаях на алгебраические манипуляции и оценку асимптот.

tviciouzzz 10 ноя в 13:42

Все так, вы это равенство показываете, но на приращение аргумента не делите, то есть для вывода формул производных нам вероятно надо будет выписать приращение функции в таком вот виде, и в линейную её часть ещё и как-то представить в виде произведения dx*df. Тоже не увидев вывод интересных производных элементарных функций не уверен что это практично.

master_program 10 ноя в 19:28

А зачем делить на приращение в определении? Я просто говорю, что А - это производная.

Выводить формулы по-разному можно, для некоторых не нужно делить, так работает даже лучше (например, через бином Ньютона).

mvv-rus 10 ноя в 01:41

Это катастрофа. Представьте себе программиста, который умеет писать код, но не понимает, как работает процессор или память. Он может решать типовые задачи, но бессилен перед любой нестандартной проблемой. Именно в таком положении оказываются студенты (и даже преподаватели!), для которых анализ — это набор формальных правил.

Не вижу в чем тут катастрофа. Для программиста, например, вполне нормально писать код, не зная не то что как работают процессор и пямять. А работают они в наше время крайне сложно, не так как пишут в учебниках. Вкратце, современный процессор, например, выполняет команды не по порядку, а разбивает их на параллельно выполняемые потоки, а потом собирает результаты потоков так, чтобы процесс выполнения выглядел так, будто он выполняет команды последовательно, одну за одной. С памятью аналогично - в современных системах больше нет той памяти из учебников, в которой к каждой ячейке доступ идет независимо, с одной и тиой же скоростью. Потому программист работает как минмум (если на ассемблере) не с реальной микроархитектурой процессора, а с ее абстрактным представлением в виде архитектуры набора команд.И до тех пор, пока программа не проваливается в дыры в этой абстракции то он может успешно работать без понимания работы нижележащего слоя. И, слой этот, микроархитектура, кстати - не самый нижный, ниже него лежит работа цифровых электронных схем, реализующих эту микроархитектуру. А цифровые схемы - это тоже абстракция, поскольку реальные элементы схем - аналоговые.

А если поглядеть на программирование вверх со слоя архитектуры системы команд, то там будут вышележащие слои абстракций: архитектура ОС, язык программирования, и, наконец, фреймворк. И программисту на фреймворке в большинстве случаев совсем не нужно знать нижележащие абстракции: ему в этих случаях достаточно быть пользователем (или оператором) абстракций даваемых фреймворком - по крайней мере пока он не проваливается в дыры этой абстракции. И большинство промышленных программистов AFAIK работают именно на таком уровне.

Кстати, у математики пользователи тоже есть. Например - физики теоретики. В частности, на одном из первых занятий теорфизом наш преподаватель сразу сказал, что в теоретической физике по умолчанию считается, что используемые математические объекты (функции и т.д.) обладают всеми нужными свойствами. А т.к. в математике с дырами в ее абстракциях дело обстоит сильно лучше, чем в программировании (их сильно меньше), такой, чисто пользовательский подход к математике вполне обоснован - пока теория с экспериментом сходится (физикам легче - у них есть хотя бы в принципе независимый способ проверки). Хороший пример такого пользовательского подхода - операционное исчисление Хэвисайда: он использовал формальные методы (интегральные преобразования и работу с их результатами) за пределами области из применимости, известной в тогдашней математике - и у него результаты с экспериментами сходились. Ну, а математики - бог с ними, они там поработают и разберутся, как расширить область применимости (кстати, поработали и разобрались). Так что в Ебурге студентов инженеров учат правильно: они должны уметь пользоваться математическими методами, а разбираться, почему эти методы именно такие - для будущей работы им это не нужно.

Короче, как чтиво ваша статья небезынтересная, но не более того: не надо мешать преподавателям готовить специалистов - чисто пользователей методов этой вашей математики, против чего вы тут в статье возражали.

Deosis 10 ноя в 07:03

Определение непрерывности по Гейне: Функция f(x) непрерывна в точке c, если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к c, последовательность значений {f(x_n)} сходится к f(c).

Такое определение подходит для доказательства разрыва функции - просто приводим контрпример, где это не так.

Для доказательства непрерывности нужно обработать бесконечное количество последовательностей.

tviciouzzz 10 ноя в 08:57

ну с одной стороны непрерывность можно доказывать так же так же - от противного -, то есть предполагаем что есть последовательность для которой это условие не выполняется и доказывать что в этом есть противоречие некое (для каждой задачи своё). Ну такое хотя педагогически и полезно, в целом единого подхода не даёт.

Можно доказывать прямо, как вы предлагаете, то есть что вот для любой произвольной последовательности её отображение сходится. Тут я считаю беда в том что придется вводить все эти епсилон и дельты, третьего я думаю в общем случае не дано. А тут появляется разрыв теории в которой типа все понятно, и задач где разрабатывается отельная параллельная теория)

master_program 10 ноя в 11:27

Для доказательства существования предела последовательности есть много способов, и только 2 из них по Коши: это по определению и через критерий фундаментальности. Давайте посмотрим на некоторые остальные

Лемма о двух милиционерах
Монотонность и ограниченность
Сжимающие отображения
Эквивалентные последовательности.

Еще один довольно эффективный способ, который позволяет решать олимпиадные задачи и сложные, но редко излагается, заключается в том, чтобы представить последовательность рекуррентно и исследовать неподвижные точки отображения.

В целом да, доказательство сходимости последовательностей, рядов, пределов функций - это целая отдельная теория. Но разрыва нет, она просто вырастает из базовой теории.

Теперь насчет использования точек сгущения напрямую

Пример: Доказать, что lim (n→∞) (2n+1)/(n+1) = 2.
- Шаг 1: Докажем, что L = 2 — точка сгущения.
  Рассмотрим любой интервал (2-ε, 2+ε). Нам нужно, чтобы |(2n+1)/(n+1) - 2| < ε. Мы уже знаем, что это эквивалентно 1/(n+1) < ε или n > 1/ε - 1. Для любого ε существует бесконечно много таких номеров n. Значит, 2 — точка сгущения.
- Шаг 2: Докажем, что других нет.
  Возьмём любую другую точку M ≠ 2. Пусть расстояние между ними d = |M - 2| > 0. Давайте построим вокруг M "изолирующую" окрестность радиусом d/2, то есть интервал (M - d/2, M + d/2).
  Мы знаем, что все члены нашей последовательности, начиная с номера N = ceil(1/(d/2)), попадают в интервал (2 - d/2, 2 + d/2).
  Поскольку d = |M-2|, эти два интервала не пересекаются.
  Это означает, что в "изолирующую" окрестность точки M может попасть лишь конечное число членов (те, что с номерами до N). А раз так, M по определению не является точкой сгущения.
  Вывод: Мы доказали, что 2 — точка сгущения, и других нет.

Ограниченность обычно доказывается по индукции.

Если монотонности или пары сжимающих последовательностей нет, то можно еще доказать, что разность соседних двух членов последовательности -> 0. Если доказана ограниченность, то это работает. Это альтернатива критерию фундаментальности.

Отдельный вопрос - предел функций по Гейне.

Тут, действительно, можно доказывать, что работает для любой сходящейся последовательности. Не нужно перебирать все возможные, нужно выводить это из свойства сходимости - а всё что угодно иное там может быть нарушено. Окрестность точки сгущения x должна отображаться на окрестность предела функции.

tviciouzzz 10 ноя в 13:45

ну вот у вас доказательство где п1 это по-сути доказательство того что выполняется определение предела по коши. а шаг 2 это уже начетничество ради следования другому изложению теории. Это вы заметьте предлагаете студентам которые домашку списывают а на семинарах у доски не работают.

и да я не исключаю что могут быть задачи где именно подход от-противного будет элегантен. а вот такой прямой уж нет - никогда.

master_program 10 ноя в 14:27

Пункт 1 более слабое утверждение. Ведь надо еще доказать, что других точек сгущения нет. Но да, в данном случае это короче будет, чем пункт 2.

Refridgerator 10 ноя в 14:15

А разве не проще вывернуть эту функцию "наизнанку", заменив n на 1/n, упростить, и посчитать значение в нуле?

OlegZH 10 ноя в 09:08

И?

Akjfeisdf 10 ноя в 18:33

Очень интересно, книгу бы купил)

0serg 11 ноя в 15:57

Честно скажу что статья вызвала некоторое чувство оторопи.

Начнем с определения предела. Предел по Коши определен следующим образом.

Возьмем точку A и выберем любую сколь угодно малую окрестность этой точки (что алгебраически соответствует выбору $\epsilon$ )
Последовательность x_n сходится к A если все точки этой последовательности попадают в эту окрестность после отрезания конечного числа начальных точек в последовательности (N)

Ваш вариант через точки сгущения - он вроде как про то же самое, но у Коши точка определена однозначно а у Вас начинается рассуждения про "единственность точки сгущения". Чем это простите проще? А ведь это важно. Чуть дальше Вы из этого определения например делаете такое утверждение

Раз a — единственная точка сгущения, то в очень маленьком интервале вокруг a находится бесконечное число членов последовательности.
А где остальные? Их конечное число.

Так вот, голубчик, это же неверно и контрпример строится элементарно. Берем последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ... и любую последовательность сходящуюся к пределу в точке a. Перемешиваем их - четные члены берем из первой последовательности, нечетные из второй. Хоп - и мы получили последовательность в которой есть единственная точка сгущения, но при этом вне окрестности точки a находится бесконечное число членов последовательности.

Как говорится "приплыли". А ведь это простейшая из Ваших теорем. На мой взгляд эпсилон-дельта в этом плане гораздо надежнее - да, там есть некий формализм, но блин, он надежный и дает верный результат в отличие от Вашего "интуитивного понимания"

На мой взгляд все Ваши "упрощения" зачастую неявно основаны на недоказанных утверждениях. Взять Ваш пример из самого начала статьи с вычислением предела 2x+1. Вы там делаете утверждение что если (x-3) сходится к 0, то 2(x-3) тоже сходится к 0. Но простите это отдельная теорема матанализа. Я понимаю что для Вас она "очевидна". Но простите если мы такие вещи считаем очевидными то в Вашем примере вообще не нужно оперировать эпсилон-дельтой. Мы просто применяем теорему о том что

$lim(ax+b)=a\cdot lim(x) +b$

после чего ответ тривиален, не так ли? При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях.

Так что Ваш подход мне кажется, мягко говоря, странным если не сказать более грубо. Математика критически зависит от строгости доказательств.

master_program 11 ноя в 16:44

Только там написано

Примечание: это определение следует также расширить случаем стремления к бесконечности. Для этого числовую прямую дополняют абстрактной бесконечной точкой, окрестности которой - это неограниченные множества числовой прямой.

Либо рассматривать ограниченную последовательность

0serg 11 ноя в 18:47

"Абстрактная бесконечная точка" это мягко говоря не самое простое понятие. Ее требуется формализовывать и это можно сделать не единственным образом. Например в вашем определении вообще говоря нужна не одна а две "бесконечные точки" - минус и плюс бесконечность (в отличие скажем от проективной геометрии). Причем дальше эти специальные точки начнут создавать Вам проблемы в разного рода теоремах - ведь у них необычные свойства, не такие как у обычных чисел.

Но даже с подобного рода логической заплаткой (скажем при рассмотрении лишь ограниченных последовательностей) Ваше утверждение про "конечное число точек вне точки сгущения" требуется доказывать. Оно не является ни аксиомой ни тривиальной леммой. У меня например ушло где-то полчаса на то чтобы придумать ему надежное доказательство и оно отнюдь не банально.

master_program 11 ноя в 19:50

В вещественном матанализе и в ТФКП обычно берут одну бесконечную точку, в двух нет смысла. Потому что луч в минус бесконечность и луч в плюс бесконечность удобнее считать просто направлениями движения к одной и тоже точке.

В моих определениях тоже достаточно определить одну бесконечную.

master_program 11 ноя в 20:14

В курсах матанализа собственно делают одно из двух - рассматривают бесконечные пределы отдельно, или сразу обобщают, рассматривая бесконечность как точку. В ТФКП всегда сразу вводят бесконечность как одну точку и вводят окрестности бесконечности.

Кроме того, есть курсы вещественного анализа, в котором используют предел по базе, или фильтры, в этих курсах предел в бесконечности естественным образом обобщается и его не надо отдельно рассматривать от предела в конечной точке.

Насчет конечного числа точек вне единственной точки сгущения. Тут два случая. Если последовательность не ограничена, то эта точка не единственная. А если ограниченная, то тут аналогично теореме Вейерштрасса показываем, что в случае бесконечного количества есть еще одна, или сразу выводим это по лемме Гейне-Бореля. Если же мы считаем, что единственная точка сгущения - бесконечность, то показываем аналогично теореме Вейерштрасса, что на любом ограниченном интервале, на котором есть бесконечное число точек, есть точка сгущения.

Я сейчас посмотрел, в курсах, где в теории пределов используют также и точки сгущения, помимо обычного определения, делают проще. Сначала предел определяют как точку, за любой окрестностью которой конечное число точек. А потом уже сильно позже доказывают, что если такая точка единственная, то она предел.

У определений предела последовательности через точку сгущения есть два преимущества:

1) педагогическое, рассуждения в духе "где находится бесконечное количество точек", студенты воспринимают гораздо легче, чем кванторы. Тут в комментариях указывали, что кому-то преподавали так в 9-10-м классах, параллельно с обычным подходом. Это не случайно так, есть целая традиция такого преподавания анализа школьникам, так как это понятнее.

2) научно-методическое, это то же самое определение, что в топологии, оно является более современным, чем определение предела последовательности по Коши.

0serg 12 ноя в 11:44

В ТФКП который фактически оперирует проективной плоскостью точка бесконечности одна. А вот в вещественнном матанализе их две - если Вы конечно не собираетесь рассматривать его как частный случай ТФКП (вещественный матан заметно богаче).

Сначала предел определяют как точку, за любой окрестностью которой конечное число точек.

Это дословно формулировка предела от Коши. Выбираем окрестность (epsilon) и по Коши можно выбрать конечное число точек N таких что если их убрать то все остальные будут в выбранной окрестности. Вы ее просто геометрически проиллюстрировали.

master_program 11 ноя в 20:22

Так как тут на Хабре большой интерес к этим темам, я раз в неделю буду выпускать по статье похожего размера, с главой нового типа учебника. Там как раз подробно разберу и куда более аккуратно. Правда, до этих тем нужно еще 2-3 статьи сначала написать, я буду постепенно подбираться.

master_program 11 ноя в 16:48

"после чего ответ тривиален, не так ли? При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях. "

Там есть две отдельные теоремы - свойства пределов последовательностей и свойства пределов функций. Свойства пределов последовательностей автоматически переносятся на функции из определения по Гейне. А вот по Коши не автоматически.

В случае
"если (x-3) сходится к 0, то 2(x-3) тоже сходится к 0 "

Я по Гейне могу просто взять постоянную последовательность Xn = 3.

Тогда 2*(х-3) сходится к нулю, потому что 2*0 = 0.

В случае определения по Коши так тривиально не получится.

tenzink 11 ноя в 18:12

Совершенно некорректное рассуждение. Контрпример, где всё ломается

f(0) = 0
f(x) = 1/x, x != 0

x_n = 0, для неё f(x_n) = 0

По вашей логике это должно доказывать вот это:

x_n -> 0 => f(x_n) -> 0

Хотя, очевидно, что это не так

x_n = 1/n -> 0
f(x_n) = n -> \infty

master_program 11 ноя в 18:24

Я тут немного другое определение предела дал. Вы рассматриваете случай, когда предел определяется на выколотой окрестности. В таком случае это упоминается и в пределе по Коши, а по Гейне условие x_n не равно предельной точке.

Тогда да, останется только сослаться на свойства бесконечно малой последовательности.

0serg 11 ноя в 18:59

Мы рассматриваем здесь пределы последовательностей. Откуда тут выколотые окрестности? Это последовательность, она по определению дискретна.

Я думаю что Вы имели в виду что функция f(x) непрерывна лишь на выколотой окрестности. Но в таком случае Вы в своих рассуждениях по сути будете опираться на теорему о том что линейная функция f(x)=ax+b является непрерывной на R.

master_program 11 ноя в 20:16

В изначально рассматриваемом пределе шла речь о пределе функции.

Обычно предел функции определяют с оговоркой про значение в самой точке. Я дал более простое определение в этой статье, без выкалывания.

0serg 12 ноя в 11:25

Вы в своем доказательстве "предела 2x+1 тогда, повторяюсь, неявно используете теорему о том что любая линейная функция f(x)=ax+b является непрерывной на R

October_fest 12 ноя в 21:01

Нет, не определяют. Обычно, определяя предел функции, подчеркивают, что на его значение влияет лишь поведение функции именно в проколотой окрестности точки. В самой точке функция может быть какой угодно, в том числе может быть не определена. Вы в своих рассуждениях действительно неявно для самого себя используете непрерывность + теорему о пределе сложной функции, а не предел по Гейне, в котором последовательность не просто любая, а любая не принимающая значение своего предела.

master_program 13 ноя в 01:26

Я использую свойства пределов последовательностей. Вот что написано

Возьмём любую последовательность $\left\{x_n\right\}$ , которая сходится к 3 .
По определению предела последовательности это значит, что $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-3\right\}$ сходится к 0 .
Рассмотрим последовательность значений нашей функции: $\left\{f\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)\right\}=\left\{2 \mathrm{x}_{\mathrm{n}}+1\right\}$ .
Нам нужно доказать, что она сходится к 7 . Для этого посмотрим на разность

$f\left(x_{\mathrm{n}}\right)-7=\left(2 x_{\mathrm{n}}+1\right)-7=2 x_{\mathrm{n}}-6=2\left(x_{\mathrm{n}}-3\right)$

Смотрите, тут в принципе свойства бесконечно малых используются. В ряде изложений сначала доказываются свойства бесконечно малых последовательностей, а потом свойства пределов последовательностей, а затем свойства пределов функций.

Вообще этот пример я не сам писал даже, а из книжки скопировал, там просто писалось про преимущества предела по Гейне. Там особенность в том, что почему-то решили свойства бесконечно малых использовать, поэтому стали выделять конструкции типа (x - 3).

Наверное, зря так искусственно, потому что роль предела по Гейне тут лишь в том, что идет перенос с пределов на функции.

Вот пишут, например

Мы показали, что определения по Коши и по Гейне эквивалентны друг другу, и теперь в случае необходимости будем пользоваться тем или другим. Как правило, если нам нужно доказать, что предел чему-то равен, мы будем пользоваться определением по Коши. Определение по Гейне удобно там, где нужно доказывать противоположное утверждение (что предел чему-то не равен, или вообще не существует), а также в некоторых теоретических построениях. Дополнительный бонус определения по Гейне — оно позволяет переносить на пределы функций ряд свойств, доказанных для пределов последовательностей, практически «бесплатно».

Я бы сюда добавил вот что. Я давно занимаюсь олимпиадными задачами по матанализу, там предел по Коши почти бесполезен. Что-то сложное всегда по Гейне доказывается, без него не получается.

October_fest 13 ноя в 08:05

Мы показали, что определения по Коши и по Гейне эквивалентны друг другу, и теперь в случае необходимости будем пользоваться тем или другим. Как правило, если нам нужно доказать, что предел чему-то равен, мы будем пользоваться определением по Коши. Определение по Гейне удобно там, где нужно доказывать противоположное утверждение (что предел чему-то не равен, или вообще не существует), а также в некоторых теоретических построениях.

В выделенной вами цитате правильно написано, и выше мне уже приходилось говорить то же.
В перенесенном тексте скрина определение неверно (третий раз повторюсь), и как следствие, у вас тоже. Элементы последовательности берут не совпадающие с предельной точкой, чтобы не говорить более сложных слов - что начиная с некоторого номера таких совпадений не случается. Контрпример, почему это неверно, вам уже привели. Возьмите любую функцию с устранимым разрывом в точке A и последовательность, к примеру, стационарную, равную А.

Ma3ke9al 15 ноя в 13:04

"занимаюсь олимпиадными задачами по матанализу, там предел по Коши почти бесполезен" Это очень вредное заблуждение, поскольку в определении предела по Гейне имеется условие "любая сходящаяся последовательность" и так или иначе необходимо будет задавать дельта окрестность предельной точки, где находятся члены любой последовательности с n>N. Точно также неправ и автор статьи с утверждением, что избавился от эпсилон и дельта окрестностей, хотя на самом деле эпсилон окрестности явно присутствует в определении предела, а дельта окрестность также неявно присутствует в виде окрестности бесконечно удаленной точки (n>N). На самом деле изложение основ мат. анализ можно провести не прибегаю явно к понятию предела, если изложение обосновать используя понятие дифференциала.

master_program 13 ноя в 01:32

Ну вот кстати пример.

Утверждение 1.

Пусть $f(x) \rightarrow a$ и $g(x) \rightarrow b$ при $x \rightarrow x_0$ . Рассмотрим функцию . Докажем, что $h(x) \rightarrow a+b$ при $x \rightarrow x_0$ .

Доказательство.

Докажем, что для функции выполняется опрделение предела по Гейне. Пусть $\left\{x_n\right\}$ произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям $x_n \rightarrow x_0$ и $x_n \neq x_0$ для всех . Тогда согласно определению предела по Гейне, примененному к функциям и :

$f\left(x_n\right) \rightarrow a, \quad g\left(x_n\right) \rightarrow b .$

По теореме о пределе суммы для последовательностей, отсюда следует, что

$h\left(x_n\right)=f\left(x_n\right)+g\left(x_n\right) \rightarrow a+b$

Значит, условие определения по Гейне действительно выполняется: если $x_n \rightarrow x_0$ и $x_n \neq x_0$ для всех , то $h\left(x_n\right) \rightarrow a+b$ . Утверждение доказано.

Упражнение 1.

Докажите аналогично теоремы о пределе произведения и частного.

wataru 13 ноя в 13:15

По епсилон-дельта доказательства даже короче. Для суммы по определению предела берем дельта1 для епсилон/2 из предела f. И дельта2 для епсилон/2 для g. Сумма функций для min(дельта1, дельта2) отличается от a+b не более чем на эпсилон, потому что |f+g-a-b| <= |f-a|+|g-b| = eps/2+eps/2

Для произведения также но берем корни из епсилон для поиска дельт. Для частного надо сначала доказать, что 1/g -> 1/b. Тут надо взять дельта из определения предела для епилон = епсилон/b/max(g) - максимум в небольшой окресности x0. И он конечен, опять же из-за предела. Берем любой епсилон и получаем нужную окресность.

master_program 11 ноя в 16:57

"При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях. "

Я ее не применял даже неявно. Я неявно применил, что 2*(3-3) = 0.

И это еще один пример преимущества определения по Гейне.

Gentoos00 11 ноя в 17:19

Хоп - и мы получили последовательность в которой есть единственная точка сгущения, но при этом вне окрестности точки a находится бесконечное число членов последовательности.

Тут, видимо, имеется в виду, что у этой последовательности две точки сгущения: а и бесконечность. То есть, рассматриваем расширенную числовую прямую. Но я не прочитал полностью весь текст автора, не знаю, упоминает ли он об этом где-то.

master_program 11 ноя в 17:05

Тут отдельный вопрос, а с чего мы взяли, что у функции в этой точке предел вообще есть. Если считать это не доказанным, то тогда нужно доказывать для любой последовательности. Но в таком случае я использую свойства бесконечно малых последовательностей, а не свойства пределов последовательностей вообще.

Но суть то примера была как раз в том, что по Коши нельзя автоматически использовать пределы последовательностей, чтобы доказывать пределы функций, а по Гейне можно.

Так что в любом случае с примером никаких проблем нет.

Gentoos00 11 ноя в 17:17

Вот, например, задача. Доказать, что lim (x→3) x^2 = 9.
1. По Коши: для любого ε>0 существует δ = min(1, ε/7) такое, что если |x-3|<δ, то |x^2-9| = |x-3||x+3|< |x-3|*7 < |x-3|*7 < ε. Используется только определение и монотонность x^2.
2. По Гейне (по крайней мере, по вашей версии Гейне) нужно дополнительно еще обосновывать, что |x_n-3| → 0 при {x_n} → 3, и что |x_n-3||x_n+3| → 0 при |x_n-3| → 0. Какое уж тут упрощение.
Вообще же, нужно давать студентам и тот подход, и другой, и обосновывать их эквивалентность. А там для каждой конкретной задачи пусть выбирают, каким легче воспользоваться конкретно тут.
Непонятна ваша нелюбовь к кванторам, при том, что вы сами пользуетесь ими во всех определениях. Или весь замес только из-за специальных значков? Ну так это просто нотация, и студенту нужно привыкнуть к ней чем раньше, тем лучше. С таким подходом до абсурда можно дойти: давайте, например, в уравнениях писать не х^5, а "квадрато-куб", как у Диофанта:) Ну а чего, словами же понятнее.

master_program 11 ноя в 17:46

У меня нет нелюбви к кванторам. У меня есть опыт преподавания матанализа, в ходе которого я обнаружил, что обильное использование кванторов является главным препятствием для понимания теоретического материала студентами.

Да это в общем-то понятно и из ЕГЭ, например. Задача с параметром из второй части имеет довольно низкий процент решаемости, учить школьников эту задачу решать - очень сложно, они с трудом понимают, а работа с кванторами в матане - это неравенства с параметрами.

Сложности у студентов как из-за специальных значков, так и из-за сложной логики, так и просто из-за абстрактности определений. А еще есть сложность, связанная с эффектом "стены текста".

Gentoos00 11 ноя в 20:18

Тут помогает вначале разобрать применение кванторов на более легкой логике, прежде чем переходить к определению предела.

В любом случае, полностью отказываться от значков кванторов - это не выход, потому что потом студенты не смогут прочесть практически ни одну книгу по математике.

master_program 11 ноя в 20:28

Думаю, тут прежде всего нужно решить проблему, которая заключается в том, что кванторы сейчас обычно объясняют через матан, а матан через кванторы, и обе вещи студентам непонятны. Объяснять непонятное через непонятное, рассчитывая, что так поймут и то, и другое - не лучший подход.

С кванторами же проблема у них скорее не в том, что они вообще есть, а в том, что их в одном определении дают 3 и больше подряд.

Определение с одним квантором воспринимают и нормально работают с ним в принципе почти все, с двумя - в основном физмат-школьники, и то не все, а кванторные определения из матана уже мало кто вообще.

Определение предела функции по Коши - это 3 квантора подряд. Многие студенты воспринимают его как что-то монструозное.

Gentoos00 12 ноя в 05:22

Определение с одним квантором воспринимают и нормально работают с ним в принципе почти все, с двумя - в основном физмат-школьники, и то не все, а кванторные определения из матана уже мало кто вообще.

Так это значит только то, что нужно им объяснять кванторы на более простых конструкциях, а потом переходить на Коши. А не заметать проблему под ковер. Ладно, сейчас вы, ценой неимоверных усилий переписали им курс матана так, чтобы не дай бог не встретилось два квантора подряд. Но дальше-то они что будут делать? Как будут изучать литературу в остальных областях математики, где в каждой первой теореме два, три, а то и четыре квантора? Тоже ждать преподавателя, который так же им все разжует и упростит?

С кванторами же проблема у них скорее не в том, что они вообще есть, а в том, что их в одном определении дают 3 и больше подряд.

Кстати, отличная возможность продемонстрировать на этом примере то, что порядок кванторов играет роль. Что ∀ε ∃δ - это не то же самое, что ∃δ ∀ε. Дать разные "аналоги" определения Коши с переставленными кванторами, попросить студентов привести примеры функций, которые им удовлетворяют. Так они (кто захочет, конечно) гораздо лучше разберутся в правильном определении. И, что важнее, продвинутся в понимании смысла и устройства длинных логических цепочек.

master_program 12 ноя в 09:16

Я кстати несколько лет назад тоже так думал :

Кстати, отличная возможность продемонстрировать на этом примере то, что порядок кванторов играет роль. Что ∀ε ∃δ - это не то же самое, что ∃δ ∀ε. Дать разные "аналоги" определения Коши с переставленными кванторами, попросить студентов привести примеры функций, которые им удовлетворяют. Так они (кто захочет, конечно) гораздо лучше разберутся в правильном определении.

Но 5 лет назад как раз на практике понял, что это очень плохая идея.

Подобные упражнения они способны усваивать только после освоения и понимания анализа, но никак не до.

Как будут изучать литературу в остальных областях математики, где в каждой первой теореме два, три, а то и четыре квантора?

Тут надо смотреть какую. Среди вузовских предметов такая проблема есть разве что с функциональным анализом. Но сложности с его пониманием обычно как раз связаны с непониманием идей анализа.

Вообще сейчас актуальная проблема, например, такая.

Принимал зачёт у студентов второго курса ФБМФ МФТИ лет 7 назад, около половины не могут ответить правильно на вопрос "что такое О-большое", а они не могут ответить, потому что там же определение с кванторами, а у них после первого курса МФТИ психологическая травма, из-за которой они говорят "математический анализ невозможно понять", "я никогда в жизни не смогу это понять ".

Что же касается тех, кто кванторы освоил, у них есть серьёзные проблемы с пониманием идей и концепций анализа. Потому что показываешь им определения, написанные русским языком, они не могут их понять. Или, к примеру, равномерную непрерывность переписать через предел по Гейне - всё, они не понимают, что это такое, хотя такая запись гораздо проще.

wataru 12 ноя в 09:40

"что такое О-большое", а они не могут ответить, потому что там же определение с кванторами

Какие кванторы? Там определение через предел. Или вы требуете рекурсивно раскрывать все определения до самых базовых?

master_program 12 ноя в 09:59

Определение из лекций по алгоритмам такое

является «О» большим от при $x\rightarrow x_0$ ,если существует такая константа , что для всех из некоторой окрестности точки имеет место неравенство $|f(x)| \leqslant C|g(x)|$

И отдельно для последовательностей, там существует С такое, что существует номер N ....

wataru 12 ноя в 17:09

Виноват, перепутал с o-малым. Там часто дают в виде:

$f(x) = o(g(x)) \iff \lim_{x \to \infty} \frac{|f(x)|}{|g(x)|} = 0$

master_program 12 ноя в 17:17

Еще дают его проще, как произведение g(x) на бесконечно малую функцию.

cpud47 12 ноя в 15:14

Есть хорошее определение в стиле:

Функцияпринадлежит классупри $x \to x_0$ , если в некоторой окрестности точкифункцияпредставима в виде $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ Для некоторой ограниченной функции.

Хотя кажется немного странным на первый взгляд (поскольку оно не даёт способ проверки), оно гораздо естественнее выражает смысл символов Ландау.

master_program 12 ноя в 15:19

Почему не дает? Берем f(x)/g(x) и доказываем ограниченность.

Этот же способ дает определение, что я дал.

cpud47 12 ноя в 20:03

Не даёт в том же смысле, в котором определение предела как линейная часть приращения не даёт способ вычисления. Понятное дело, что вывести формулу через предел — тривиально.

Ну и плюс с делением есть всякие неприятные моменты когдаимеет слишком много корней. Впрочем это экзотика.

master_program 12 ноя в 15:19

Да, это чуть проще определение, чем кванторное.

Gentoos00 12 ноя в 18:20

Так вот как раз это время лучше потратить на объяснение логики. Невозможно, чтобы взрослый умственно полноценный человек не смог, приложив усилия, разобраться в одной логической цепочке из трех кванторов. А если не может, или не хочет прилагать усилия (что и скрывается в 99% за "не понимаю"), то что он забыл на математическом направлении, и что он будет делать дальше, когда закончатся преподаватели, которые готовы разжевывать материал до состояния каши?

В общем, мне вся эта затея видится бесполезной и даже вредной тратой времени. Но вам виднее, конечно. Будем ждать в следующих статьях раздела с результатами апробации этой методики. Хотя, конечно, с этого раздела вообще стоило бы начать.

master_program 12 ноя в 18:49

А почему бы просто не пытаться студентам на первом курсе преподавать то, что во всем мире преподают на 3-м и 4-м курсах?

Курс с доказательствами (Real Analysis/Advanced Calculus) обычно является курсом старших классов бакалавриата (Upper-Level Undergraduate Course):

Год обучения: Чаще всего изучается на 3-м или 4-м курсе (Junior или Senior year)
Предварительные требования (Prerequisites): Для записи на Real Analysis обычно требуются:
1. Завершение стандартной последовательности Calculus I, II, III (включая многомерный матанализ)
2. Курс, посвященный основам доказательств (например, Discrete Mathematics или Introduction to Proofs), чтобы студенты освоили логические рассуждения и методы построения математических доказательств до начала изучения анализа

На некоторых крутых западных матфаках на втором курсе, после года изучения теории доказательств. Но это считается как жесть, очень сложно. В Гарварде, например, так делают.

Стандартная траектория (для большинства математиков)

Эта траектория рассчитана на студентов, которые пришли в университет с хорошей, но не исключительной математической подготовкой.

1-й и 2-й курсы: Студенты проходят стандартную последовательность курсов, которые являются обязательными предпосылками (prerequisites) для "Real Analysis":
- Calculus I, II, III: Основной фокус на вычислениях, методах решения задач и интуитивном понимании. Доказательства либо отсутствуют, либо даются на неформальном уровне.
- Linear Algebra (Линейная алгебра): В зависимости от университета, этот курс может быть как вычислительным, так и более теоретическим.
- Introduction to Proofs / Discrete Mathematics: Это ключевой "мост". На этом курсе (обычно на 2-м курсе) студентов целенаправленно учат логике, теории множеств и техникам написания строгих математических доказательств. Без него записаться на "Real Analysis" невозможно.
3-й курс: Вооружившись навыками вычислений из Calculus и умением строить доказательства, студент готов к первому по-настоящему теоретическому курсу — Real Analysis I. За ним обычно следует Real Analysis II.

master_program 12 ноя в 18:52

Просто фактически вы предлагаете сразу же всем студентам на входе поставить практически непреодолимый барьер в виде цепочек из трех кванторов, который способны одолеть в общем-то даже далеко не все победители олимпиад, списывая тем самым почти всех студентов как неспособных к учебе.

Gentoos00 12 ноя в 19:26

Да не знаю, как-то же учились раньше, и все всё преодолевали. По крайней мере, на первом курсе так точно. Просто нужно наглядно геометрически объяснить смысл эпсилон окрестностей, и никаких проблем не будет.

Или, хотите сказать, что студенты тупее пошли? Но тогда тем более, подстраивать программу под тупых - путь в никуда.

Что же касается калькулюса, откройте один из самых популярных английских учебников - Стюарта. И все равно, внезапно, определение предела там даётся через эпсилон-дельта (правда, да, значки кванторов заменяются словами). Но обратите внимание, какая перед этим определением проводится подготовительная работа. Так вот, лучше потратить время на нее, а не на упражнения по изыманию кванторов из теорем матанализа:)

master_program 12 ноя в 20:14

В Стюарте это сделано точно также примерно, как в российском учебнике алгебры за 11 класс для общеобразовательной школы. И приготовления примерно такие же. Не помогает примерно никому.

А что касается тех студентов, которым давал это задание на определение с тремя кванторами, они в основном с местных в матшкол, в которых математический анализ изучается 10 и 11 класс как отдельный предмет.

Им это не помогло решить задачу - написать, что будет, если в определении предела поменять кванторы всеми возможными способами (т.е. составить 7 выражений и для каждого написать, описание какой последовательности получилось). Ни один не решил.

Gentoos00 13 ноя в 04:19

По моему опыту - помогает. Процентов 50-60 студентов прекрасно все осваивают, если уделить достаточно времени подготовительным примерам и рисованию картинок с окрестностями. Ну и самостоятельной работе, конечно. А остальные - из той серии что "скорее умрут, чем начнут думать" (с). Им ничего не поможет, независимо от программы.

В Стюарте это сделано точно также примерно, как в российском учебнике алгебры за 11 класс для общеобразовательной школы. И приготовления примерно такие же. Не помогает примерно никому.

Так это же вы упомянули западный калькулюс как один из вариантов программы для первого курса. Или он тоже не подходит? К чему тогда был ваш предыдущий комментарий?

В общем,

Будем ждать в следующих статьях раздела с результатами апробации вашей методики.

master_program 13 ноя в 06:46

В Стюарте почти нет строгих доказательств и практического использования этого определения для доказательств.

То, что там написано, никак не помогает анализировать такие определения и делать рассуждения с кванторами.

Я в соседнем посте написал пример задачи

Курс Стюарта не поможет это решить.

Gentoos00 13 ноя в 10:08

Конечно не поможет. Для этого нужен, например, Abbott, "Understanding Analysis". Но к чему вы все это говорите? Вы же сами упомянули в дискуссии Calculus как опцию для первого курса. Если он не отвечает требованиям вашей программы, то зачем?

master_program 13 ноя в 14:12

Так я пытаюсь построить другую альтернативу. Калькулюс пытается просто дать анализ без доказательств. Я предлагаю дать анализ со строгими доказательствами, но так, чтобы их было намного проще воспринимать и понимать.

Эта альтернатива актуальна для России, потому что в России явно не планируется переход на западную модель.

Gentoos00 13 ноя в 16:14

Ну понятно. Тут теоретическими рассуждениями ничего не решить. Попробуйте на группе. Получится - отлично. Но лично я очень сомневаюсь.

master_program 13 ноя в 06:48

"Будем ждать в следующих статьях раздела с результатами апробации вашей методики. "

У меня большой опыт преподавания анализа индивидуально как репетитора. Студенты эти слабые, но обычно всё понимают, если давать геометрическим подходом.

Gentoos00 13 ноя в 10:12

Да это понятно, индивидуально можно давать что угодно и как угодно, в зависимости от цели и уровня.

Тут вопрос в общей программе. Насколько успешно в среднем студенты осваивают как матанализ, так и дальнейшие математические курсы при разных подходах?

master_program 15 ноя в 11:56

"Или, хотите сказать, что студенты тупее пошли "

Я скажу, что есть очень мало оснований верить, что раньше преодолевали и осваивали. Кроме того, раньше - это когда? Если про СССР, то в СССР были намного более простые учебные программы по математике.

haqreu 15 ноя в 17:57

в СССР были намного более простые учебные программы по математике.

Любопытно, можете развить? Меня (конец 90х-начало 2000х, отделение чистмата матмеха СПбГУ) учили по СССРовским учебникам. За 25 лет программа усложнилась? Во всех вузах? В отдельных? На отдельных специальностях?

master_program 16 ноя в 19:55

В интернете легко находится много современных материалов с МКН СПбГУ, там очень сложные курсы, сложнее НМУ.

А вот чистому матмеху нагуглить такое смог http://www.add3d.ru/?page_id=18766 .

haqreu вчера в 05:52

Да я, в общем, не ссылки на программы хотел. Мне интересно было, как вы к такому заключению пришли. Что именно и где добавилось в курсы по сравнению с теми же местами, но во времена СССР?

master_program вчера в 09:05

В МФТИ растет нагрузка, больше предметов становится, содержание больше. Можно сравнить с задавальником 1993-го года, намного сложнее стало. Да и даже я вот учился в конце нулевых, и смотрю задавальники сейчас, у нас проще было и немного меньше материала в программы засовывали.

В плане математического анализа сейчас у многих основной учебник Иванова, и по нему соответственно сдавать, а это куда более сложное изложение, чем по Кудрявцеву, например.

Кроме того, я у Неретина читал про схожие процессы на мехмате МГУ, что за 30 лет там программа увеличилась где-то в 2 раза, а студенты сильнее не стали, скорее наоборот.

haqreu 23 часа назад

Хм. Возможно. А вообще я посмотрел современную программу отделения фундаментальной математики, что я окончил двадцать пять лет назад, и разницы со своим приложением к диплому практически не вижу.

Разве что квантовую механику заменили на цифровую культуру, на язык эффективной коммуникации и на основы бизнеса (sic !)...

master_program 12 ноя в 11:47

Есть такая книга О.Иванов, С. Климчук "Математический анализ для первокурсников". Там написано, что задачи очень простые, предназначены для студентов не математиков, чтобы обучить математическому мышлению. Там есть задачи такого рода, например

В символической записи определение предела выглядит следующим образом:

$a=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n \Leftrightarrow \forall \varepsilon \exists k: \forall n \geqslant k\left|x_n-a\right|<\varepsilon .$

В этом определении есть три места, на которых располагаются (определенным образом) «квантор всеобщности» $\forall$ и «квантор существования» $\exists$ . Таким образом, всего имеется 8 способов расположить эти кванторы. Рассмотрите семь оставшихся способов и в каждом из них дайте описание последовательностей и числа , удовлетворяющих соответствующему определению.

Причем это там, наверное самая сложная из всех задач оттуда.

И вот я давал же студентам матмеха (то есть это вообще-то математики, большинство выпускники матшкол местных) оттуда, потому что было понятно, что Демидович для них слишком сложный - они могут его решать "по образцу" или списывать, но не осознать решение. Оказалось, что задачи из книги Иванова и Климчука тоже даются с невероятным трудом, а так как решебника к этой книге нет (в отличие от Демидовича), то использование ее вызывает у студентов панику.

С двумя кванторами кстати еще более-менее зашло, а вот эта задача, что процитировал - был какой-то провал полный. Во-первых попытки разбора таких выражений у студентов матмеха вызывали ужас и психологическое подавление, во-вторых мне так и не удалось им эту задачу объяснить, хотя пробовал несколькими способами.

Причем сначала я ее вообще дал на дом, но там даже из сильных студентов никто не смог решить, хотя задачи с двумя кванторами они решали. А потом пытался на семинаре объяснить, но это была очень плохая идея. Видимо, есть какой-то мощный когнитивный барьер при переходе от 2 кванторов к 3.

А на лекциях своих они не понимали практически ничего.

haqreu 12 ноя в 12:15

Вывод: надо изучать матлогику, причём желательно в школе.

WASD1 12 ноя в 01:29

Всегда ε-δ считал более естественным и понятным языком.
Стягивание dx к точке должно вызывать стягивание df к точке (примерно как позднее проходят в топологиях) - вот вам и "динамика".

Язык же подпоследовательностей - крайне неинтуитивный (это для док-ва свойства функции в точке мы должны рассмотреть бесконечную подпоследовательность, да ещё и ЛЮБУЮ) и fall-prone.
Попробуйте дать студентам доказать ту же Теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции, но для интервала. Угадайте сколько они будут искать ошибку без страхующих формализмов.

master_program 12 ноя в 08:35

Формализация не играет уникальную роль подстраховки, она играет роль способа доказывать теоремы, механически оперируя кванторами.

Потому что страхующую играет просто использование уже доказанных теорем и свойств.

WASD1 12 ноя в 11:20

> она играет роль способа доказывать теоремы, механически оперируя кванторами.

Попыток мне известно много. Каких-то содержательных результатов - нет.
Так что пока "доказывать содержательные, вне школьного курса, теоремы механически оперируя кванторами" - несбыточные мечтания.

master_program 12 ноя в 12:24

Попробуйте дать студентам доказать ту же Теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции, но для интервала. Угадайте сколько они будут искать ошибку без страхующих формализмов.

Я думаю, нужно учить видеть, в чем тут дело, без формализмов. Потому что если человек начнет искать через формализм только, он не будет видеть сути.

А суть тут - как может вести себя функция в окрестности точек границ интервала.

PirateTigo 12 ноя в 15:57

Гениально! Спасибо за такую прекрасную статью! Я бы с удовольствием почитал Ваш учебник, а не тот, который мне преподавали на факультете прикладной математики и информатики. Всё в разы понятнее!

moa1988 12 ноя в 16:30

Не проработан вопрос исключения из непрерывных функций "функции, сходящейся к бесконечности". По вашему функция 1/x^2 вполне себе сходится в нуле - просто к бесконечности)))

master_program 12 ноя в 16:32

Ну тут общий обзор, я продолжу писать статьи такие же, одна статья = одна глава новой книги, и проработаю этот вопрос в соответствующей главе.

Бесконечность, наверное, всё же лучше отдельно рассматривать, так яснее.

Kabron287 13 ноя в 06:47

Если ничего не выдумывать,

то и проблем никаких не возникает.

zkutch 23 часа назад

https://arxiv.org/pdf/1006.4472

Usolia 12 часов назад

С интересом прочитал вашу статью, попытаюсь ответить на ваши вопросы.

А как преподавали матанализ вам? Сталкивались ли вы с бессмысленным формализмом?
В 1966 году поступил на мехмат Харьковского университета закончив 6 физмат школу в Курске. В этот год был двойной выпуск 10 и 11 классов, с 11 лет обучения перешли на 10 летнее обучение, так что конкурс был большой. В начале первого семестра было порядка двух месяцев введение в теорию множеств и математическую логику, так что кванторы нам были достаточно понятны и не только. Я был в небольшом потрясении, особенно от несчётности действительных чисел, ведь как до этого не додумались раньше, а также от того, что существует вполне формальный язык описания доказательства теорем, подобно выкладкам формулы в алгебре. По этому введению был коллоквиум, удалось его пройти. Читал эти лекции Любич Юрий Ильич, известный соавтор по задачнику Конечномерный Линейный Анализ, советую прочитать предисловие к нему.
Анализ нам читал .тогда Марченко Владимир Александрович на основе по только что вышедшей книге У.Рудин Основы математического анализа. Лектор тогда для нас был старик 44 года, а теперь он академик РАН ( до этого Академик СССР), ему сейчас 103 года, проживает в Торонто. после 2022 года согласно википедии.
Да теория пределов далась непросто, но кванторы воспринимали как удобную нотацию, достаточно в ней разобраться и главное без ошибок дать определение расходимости. Семинары вел аспирант с которым разбирали примеры теоретического характера, а также технические задачи на вычисление пределов на основе теорем. Вот для меня большую трудность вызвала построение вещественных чисел на основе сечений по Дедекинду. Формализма не было, тем более у лектора были результаты в квантовой теории рассеивания и теории солитонов.
Согласны ли вы, что подход через 'точки сгущения' и 'о-малое' более интуитивен? Или у 'эпсилон-дельта' есть свои незаменимые преимущества?
Не могу ответить однозначно, мне непонятно как можно просто определить например тот же интеграл Римана. А вот используя сходимость по Муру-Ситу это делается достаточно логично через направленные множества или фильтры по Бурбаки. И мне кажется ваш вариант неявно близок к этому, Что касается 'эпсилон-дельта' то владеть техникой оценок неравенств математику конечно необходимо, да и физику не мешало бы.
Какие ещё 'ужасы высшей математики' вам приходилось переживать?
Да, были проблемы когда читали курс общей алгебры в первом и втором семестре. Это был действительно ужас от обилия определений и количества теорем, ну как то пережили. А вот с физикой была беда, практически читался курс теоретической физики и он очень плохо воспринимался, на курсе только один понимал этот курс это сын лектора Марченко - Андрей, победитель международных олимпиад по математике. А вот учебник Арнольда по обыкновенным дифуравнениям и его Математические методы классической механике вернули мне интерес к математике именно своей геометричностью, полагаю что вы знакомы с ними. Я сторонник его утверждения, что математика это частный раздел физики.
Купили ли бы вы учебник по матанализу, который использует описанный здесь подход?
Книгу покупаю после того как только ознакомлюсь с электронной версией, по этой тематике конечно же купил, просто не люблю читать со смартфона.
Вот замечу, учебник по анализу МФТИ А.М.Тер-Крикоров, М.И.Шабунин просто изобилует кванторами, но я его купил, хотя у меня от сына был этот учебник, несмотря на то что кванторов там уйма, однако разбор примеров отличный, прогонял через дипсик, чтобы сравнить решения, всё в пользу учебника.
Что для вас было самым большим 'откровением' в этой статье?
Самым большим откровением было то, что вы репетитор для студентов МФТИ. Вот никак не мог подумать, что такое имеет место быть. С нашего класса поступило в тот год 3 человека в МФТИ, такого я там не слышал от них, хотя ребята по математике в классе не были первыми, но физику понимали на уровне. Насколько я помню у нас в каждой группе был свой репетитор из студентов, который мог объяснить некоторые темы не хуже преподавателя. Обычно выбирали свободную аудиторию и кто то объяснял трудную тему. Не знаю как сейчас дело с этим обстоит.

master_program 12 часов назад

Спасибо за столь обстоятельный ответ.

Сейчас репетиторство очень сильно распространено во всех возрастных нишах и студенты не исключение. Основные мои клиенты в последние годы - это дети, сдающие ЕГЭ по информатике, и дети из матшкол, которым нужна помощь по программе (обычно с геометрией проблемы или олимпиадной математикой).

Студенты МФТИ каждый год обращаются. В подавляющем большинстве случаев - из-за математического анализа, еще немного с физикой и теормехом бывают.

У меня математический анализ лекции вел Иванов и семинары тоже он. На лекциях он просто писал огромный лес из кванторов на всю доску, один в один со своего учебника. Но семинары вел иначе - очень доходчиво объяснял всю теорию и задачи.

Впоследствии я понял, что такие лекции просто бессмысленные, а заниматься переписыванием чужого леса из кванторов довольно бесполезно, даже если тебе более-менее понятно, что происходит. В МФТИ сложнее воспринимать математический анализ, чем студентам мехмата МГУ, насколько я понимаю, потому что

1) курс ничуть не проще мехматовского

2) мало задач на доказательства, а теорию спрашивают на всех сдачах. Очень сложно усвоить абстрактную теорию, не доказывая самостоятельно.

Насчет этого

В начале первого семестра было порядка двух месяцев введение в теорию множеств и математическую логику, так что кванторы нам были достаточно понятны и не только.

Это очень хороший подход. К сожалению, сейчас такого нигде не встретить, студентам практически сразу везде дают определение предела, состоящее из трех кванторов.

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий