Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Поток Научпоп доступен 24/7 благодаря поддержке друзей Хабра
Комментарии 171
Давайте начнём с восьмой главы, добавим тензоры и как именно они применяются в ОТО. А то всё остальное уже и так понятно. Также ещё не против углубиться в теорию категорий простыми словами.
Она позволила создать теории невероятной мощи и общности:
Теория множеств (Кантор): чтобы говорить о бесконечности строго, Кантор создал для нее целый новый язык, классифицировав разные «размеры» бесконечности и навсегда изменив наше представление о математической вселенной.
И перед этим вы аргументируете необходимость создания подобных теорий несоответствием нашей интуиции и арифметики? На числовой оси дыры, видите ли, появились?)) Ну тогда для полноты картины надо было и теорему Бореля о нормальных числах упомянуть - она под дых интуиции и конструктивизму бьёт куда сильнее ;)
Ну и теория множеств в принципе плохо с современной физикой дружит...
Нормальные числа ещё надо объяснить, что это такое. А вот парадокс Банаха–Тарского прост и понятен в формулировке любому человеку, и действительно контринтуитивен.
Нет! Этот парадокс сложнее представить чем "почти все числа нормальные" - тут хотя бы на пальцах можно вероятности прикинуть, а вот "разрезать сферу немыслимым образом" - ну такое...
Этот парадокс возникает только при использовании так называемой аксиомы выбора - очень проблемного суждения.
Я думаю использовать аксиому счетного выбора. Ее достаточно для почти всех теорем анализа, а аксиома полного выбора в курсах анализа обычно нужна только для построения множеств, неизмеримых по Лебегу (с аксиомой счетного выбора таких множеств не существует).
Преимущество аксиомы счетного выбора в том, что она очень наглядная. https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_счётного_выбора
Нет, этим я объясняю необходимость создать вещественные числа вообще. А подробнее про подобные парадоксы будет в первой главе.
Я про то, что у вас стратегия нарратива будет очень непоследовательна. В нулевой главе вы нагнали столько драмы касательно иррациональных чисел - тем самым закладывая у читателя собственную "интуитивную аксиоматику". А потом у вас вообще пойдёт неконструктивная математика и читатель вполне ожидаемо спросит "но ведь в нулевой главе было то же самое, почему мы тут не боремся с подобными «интуитивными дырами»?"...
Тут другая последовательность. Мы остановились на нерешаемой проблеме, и в первой главе "кирпичный завод" всё-таки придётся взорвать.
Вместо конструктивного подхода переходим на чистый аксиоматический с построением моделей внутри него. Но перед этим надо показать, зачем это нужно.
Различие в том, что тут все наоборот.
На "кирпичном заводе" делали кирпичи и доказывали их свойства. Взамен этого в анализе мы будем постулировать кирпичи и строить модели, опирающиеся на аксиомы. Модель "архитектор + инженер" сменяется на "Творец + демиург" (или другую метафору, поищу).
С дырами тут тоже борятся, но иначе - исследуем возможные миры.
«Напиши учебник. Тот самый, который мы заслужили».
Читать учебник никто, конечно же, не собирался. Каневский.jpg
Кто-то и начнет читать. Есть много примеров, как люди начинали на 3-4-м курсах МФТИ и позже заново изучать материал первого курса, чтобы понять, что же это было.
По отзывам знакомых, для такой цели идеально подходит Энциклопедия элементарной математики Александрова. Но там не сделано достаточно геометрично и наглядно, там просто всё очень подробно и понятно расписано, без пропусков.
Кстати говоря, они там предел последовательности определили точно также, как я в прошлой статье!
Сначала ввели предельные точки (я их называл точками сгущения). Предел определили как единственную предельную точку.
Хочется. Очень хочется, чтобы был как раз такой учебник. Чтобы объяснялось именно по этим принципам: зачем что-то вводится, каким образом дошли до именно такой мысли. И в то же время не экскурс в отдельную область, а цельное систематическое изложение. Вот бы ещё и по другим наукам такие учебные пособия появлялись...
В то же время некоторое недоумение вызвали дата-сатанистские термины и аналогии во введении. Подозреваю, они окажутся близки не каждому читателю.
Ладно бы они говорили так в конце XIX, начале XX века, когда по анализу литературы было очень мало. Но сейчас? Существуют десятки учебников на русском и сотни на английском языке. И многие из них очень хорошие - аккуратно и подробно всё объясняют и доказывают. Было бы желание их читать. Ну и в каждом учебнике чуть по разному строится подход к объяснению. Где то, как в Фихтенгольце с упором на числа, где то, как в Зориче с упором на теоретико множественные конструкции. А есть и такие, где вообще без доказательств, просто "на пальцах" пытаются всё объяснять. Особенно много таких учебников американских авторов. Неужели эти люди не нашли себе ничего, что им бы подошло? Да они даже не пытались...
Там, где популярно западные авторы объясняют, обычно только калькулюс, без подробных доказательств. В этом пробел.
Не только калькулюс. Есть книги по линейной алгебре без доказательств. Самый популярная в мире книга по электронике Искусство Схемотехники Хоровиц Хилл по сути это тоже учебник без доказательств, но это, конечно не математика.
Из наших авторов Босс (Опойцев) написал серию учебников без доказательств по самым разным разделам математики.
А я хочу написать популярное изложение с доказательствами.
Потому что без них вся суть идей не передана.
Ну попробуйте совместить несовместимое )) В любом случае благое дело затеяли.
Почему несовместимое? Смотрите в чем проблема
Для утверждения теоремы Лагранжа в учебниках и популярных изложениях иллюстрация есть, а для доказательства нет. А она ведь простая - взять теорему Ролля и повернуть координатные оси. И подобные иллюстрации есть вообще для всех доказательств в курсе матанализа, просто их не рисуют и не объясняют почти никогда. А еще многие другие доказательства можно переписать куда более понятным и наглядным способом.
Ну если добавить больше картинок хуже точно не будет. Я не знаю почему авторы стараются по-минимому использовать графики и рисунки. Возможно им просто лень рисовать, или бумагу экономят. Или раньше принято было экономить, а потом вроде как уже традиция сформировалась.
А как вы собираетесь определить производную, например? Наверное как и все: предел отношения приращения функции к приращению аргумента, где аргумент стремится к 0. Ок. А что насчёт производной от числа, почему она равна нулю? Ведь число это не функция, значит производная не определена. А если подразумевается, что производная от числа, это производная от постоянной функции, то значит, в анализе чисел вообще то и нет, любое число это не вовсе и не число, а некоторая постоянная функция. И тогда что такое сумма или произведение например? + это что, сумма двух чисел или это некий оператор над пространством функций? А полином это что? Либо это сумма произведений некой переменной на разные числа, но тогда его производная неопределена, либо это какая то страшная комбинация операторов над пространством функций, и тогда от него производную брать можно, но представить себе что же это за хтонический ужас такой становится совершенно невозможно.
Производную я собираюсь определить через о-малое.
Если f(x) = f(x0) + A*(x-x0) + o(x-x0), то f(x) называется дифференцируемой в точке x0, а число A - пределом f в x0
Или раньше принято было экономить
Я вопрос про картинки задавал в конце прошлого тысячелетия одному физику, и получил ответ в духе «каждая дополнительная иллюстрация откладывает публикацию примерно на неделю». Именно этот человек мне, кстати, рассказал про PostScript с надеждой, что язык программирования обеспечит прорыв в качестве научных публикаций.
Производная - это скорость.
А все-таки, какое у вас мнение к серии учебников от Валерия Опойцева
/ Босса? Тоже ваш бывший коллега из МФТИ, также пропагандировал за неформальное объяснение довольно сложных направлений вузовской математики.
Мой любимый школьный учебник - оранжевая геометрия Погорелова ;)
тоже слышал, бывало где-то "вот я читаю учебники - повторяю", мне по итогу помогло другое обьяснение тех же моментов уже векторной математикой(всего мат аппарата векторной математики с матрицами и этими нюансами), тут важный момент без шума были источники, только по существу и с 3д примерами, и тогда картина стала ясна более менее, но я не эксперт, просто в моём подходе так получилось понять что-то чуть-чуть
сегодня хорошей геометрической вводной был бы екскурс, опять же без шума, только по существу, ray-trace и тогда вся геометрия, большая её часть встанет на свои места как я считаю, а этот мат аппарат и геометрия и алгебра и тригонометрия и физика и сразу прыжок в матрицы и мерности
например физика твёрдых тел - ригид боди, там есть тяжеленное описание, да по итогу его надо понять, но если идти от мат аппарата комплексно, там есть заглушки на пути этого решения, что в принципе тоже аналог твёрдого тела просто на отдалении так сказать из далека чуть имитирует )
просто как я понял в основе лежит векторка и тут как мы пользуемся этими векторами возможно в условиях пространства комплекса мат аппарата типо
Если в американских вузах и европейских более слабые программы по инженерным наукам, то кто те гении, которые делают там роботов, ракеты и отличные машины? И почему у наших роботы Федоры падают на сцене, не пройдя и двух шагов???
Я серьезно спросил если что, без сарказма..
отличные машины
Ну вот тут надо подчеркнуть как раз преимущество немцев ;)
Да и американская ракетная программа выросла из работ одного немецкого учёного ;)
Ответ тут распадается на 3 части.
Не всё так плохо с робототехникой на уровне исследований на самом деле, всякие престижные международные турниры роботов российские лаборатории выигрывают. Плохо с внедрением в промышленность, с производством.
Огромный отъезд за границу, я вот заканчивал ФОПФ МФТИ с 2013-м, нас на потоке было человек 90, в России из них сейчас может 10, может меньше, остальные в основном в США уехали.
В американских и европейских вузах активно обучают сложным вещам в магистратуре, а потом и в аспирантуре. У нас нет. В итоге к получению кандидатской степени (а у них PHD) их специалист может больше всего изучить, что нужно для работы по специальности в науке
Для роботов для начала развитый точмех нужен. С этим в СССР/РФ традиционно очень плохо всё.
Китайцы и индусы, у которых подготовка намного выше, чем в России. И чуть-чуть русских инженеров.
их позиция заключается в том, что учебный материал несложный, студенты просто ленятся, а упрощать изложение является путем в никуда.
Ну, на 99% это так и есть. Попробуйте дать почитать ваш текст в качестве первого знакомства с матанализом. Это будет такая же китайская грамота, как и стандартный курс. Потому что "математика, сложно, думать нужно, лень". Но зато те, кто привык работать, без проблем разберутся и в стандартном материале, потому что он действительно не сложный. В итоге, пустая трата времени.
Но для уже освоивших матан может, кстати, и будет полезно почитать. Как дополнительный взгляд с другой стороны - почему бы и нет.
P.S. ИИ-шный стиль текста очень отталкивает. Я понимаю, что материал и идеи ваши собственные, а не тупая копипаста из чат-бота, но стиль изложения все равно очень режет глаз.
Да по-моему наоборот, тут стиль настроен так, что читается легко. Часть текста здесь к тому же я сам вообще написал, выдерживая тот же стиль, без ИИ.
ИИ по умолчанию так не пишет, кстати говоря. Там нужен промпт.
Если бы не ИИ, то написание этого материала потребовало бы минимум в 10 раз больше времени, не говоря уже о картинках и куче формул. Собственно, это главная причина, почему я подобную книгу несколько лет назад не написал, идеи то уже были.
Картинки сделаны в Питоне все, код писал Gemini.
стиль настроен так, что читается легко
Да, тем кто уже знает все это. Для первого знакомства - что в лоб, что по лбу. Стандартные учебники слишком сухи, ваш слишком "мокрый". Провел эксперимент на знакомой, которая в матане вообще ни в зуб ногой. Особого понимания не возникло, но к середине возникло утомление из-за обилия метафор и эпитетов.
Например, в следующем небольшом отрывке выделил жирным шрифтом все такие украшательства. Поймите правильно, в 1-2 метафорах на параграф нет ничего страшного. Но когда они идут сплошняком - то это сильно утомляет при чтении.
Ну и да, объем текста не прямо пропорционален степени его понимания. Иногда короткий "сухой" абзац лучше для понимания основной мысли, чем несколько страниц "воды", которая, вроде бы, призвана эту мысль лучше донести.
Стена, которую не взял Архимед
Чтобы понять масштаб их революции, нужно сперва отдать дань уважения величайшему уму античности — Архимеду. Он первым осмелился приручить бесконечность не софистикой, а строгой логикой. Его «метод исчерпывания» был похож на интеллектуальную осаду: чтобы найти площадь круга, Архимед вписывал и описывал многоугольники, всё туже сжимая тиски вокруг истинного значения.
Архимед был мастером. Но у его подхода был фатальный недостаток: он не был универсален. Для каждой новой фигуры — параболы, спирали — ему приходилось изобретать уникальный, невероятно остроумный, но совершенно новый трюк. Это было искусство, а не технология. Миру же требовалась технология — универсальный метод для решения тысяч практических задач: рассчитать объем винной бочки, траекторию полета ядра или движение планет.
Смена парадигмы: от «Что?» к «Как?»
Гений Ньютона и Лейбница заключался в том, что они задали совершенно другой, куда более дерзкий вопрос. Их интересовала не статичная форма, а динамика изменения.
Не какова площадь под кривой?, а как быстро она растёт прямо сейчас?
Не какой путь пролетело ядро?, а какова его мгновенная скорость в эту долю секунды?
Это был тектонический сдвиг от статики к динамике, от геометрии к физике, от ответа на вопрос «Что?» к ответу на вопрос «Как?». Они создали универсальный язык для описания изменения — исчисление бесконечно малых.
Сила и безумие dx
Их методы были подобны обретению сверхспособности. Вся современная наука и инженерия — прямое следствие этой революции. Но у этой новой магии была тёмная сторона. В её основе лежало понятие, такое же логически противоречивое, как и парадоксы Зенона, — «бесконечно малая величина», тот самый знаменитый
dx.
Вы не умеете принимать конструктивную критику.
А стиль довольно графоманский и слишком много пафоса. Марти Сью от мира математики.
Вы не умеете принимать конструктивную критику.
Объясните, пожалуйста, что для вас означает «уметь принимать конструктивную критику».
Я вижу, что пользователь Gentoos00: 1) выразил скепсис в выбранном автором стиле изложения; 2) предположил использование LLM и выразил неудовольствие по этому поводу. Автор: 1) возразил, что на его вкус стиль подходящий; 2) признал использование LLM. Где, на ваш взгляд, здесь «неумение принимать критику»? В том, что автор не бросился немедленно переделывать текст так, как скажет комментатор? А если мнения полярны?
Интересно, на основании чего вы сделали такой вывод?) Автор не кинулся отвергать предложенное или ругаться. Ответил по существу, отметил, что примет к сведенью.
Надо сказать, что на данный момент положительных отзывов на стиль изложения намного больше, чем отрицательных. Сегодня вот в личке только пришел и на фэйсбуке хвалили сильно недавно. Они идут потоком, а такие негативные единичны.
Однако я согласен с тем, что с количеством эпитетов перебор получился. Стиль будет подкорректирован в любом случае.
Это всё в первую очередь вопрос тонкой настройки промпта + самостоятельной вычитки и коррекции получившегося. ИИ выступает тут как ускоритель работы (по сути - бесплатный ассистент). Идеи мои, настройки промптов мои, я пишу ИИ что надо писать, он оформляет хорошо, иллюстрации делает, текст генерирует и структурирует, и тому подобное.
А еще эти тексты уже принесли доход. Ко мне обратились 2 человека как клиенты на репетиторство, и написали, что им очень нравится стиль, вдохновляет, мечтают, чтобы вот все учебники так писали, и чтобы так преподавали.
Я много работаю со школьниками и студентами разного уровня подготовки. Много готовил к перечневым олимпиадам в том числе и видел, как они учатся.
"без проблем разберутся и в стандартном материале, потому что он действительно не сложный "
Выпускников школ, способных на это, в стране довольно немного.
В МФТИ, например, значительная часть поступивших - это не те, кто по льготе "поступление без экзаменов" (БВИ), а те, кто стали стали призерами олимпиад по физике и по математике, которые дали им 100 баллов по математике и 100 баллов по физике вместо ЕГЭ автоматом + 10 бонусных баллов, а также хорошо написали русский. И вот среди этой второй категории крайне мало детей, которые способны на то, что вы описываете. А если брать тех, кто по ЕГЭ поступил, без олимпиад (набрали на 3 ЕГЭ под 300 баллов), там вообще обычно без шансов разобраться в матанализе - потому что олимпиадная подготовка подразумевает обучение доказательствам, а ЕГЭ нет.
Серьезное обучение доказательствам в школе успешно прошли только те дети, которые способны тянуть финал Всеросса, или там Турнир городов, ЮМШ, олимпиаду СПбГУ, то есть только самые сложные из школьных олимпиад по математике.
Фактически, к такому способу обучения, который вы рекомендуете, подготовлено менее тысячи выпускников всех школ России каждый год.
Кстати говоря, в Екатеринбурге (УрФУ) мне говорили другой аргумент, который я не слышал в МФТИ (в МФТИ говорят как вы, что всё не сложно). Что дескать вообще невозможно понимать математику на первых двух курсах, нужно просто выучить, а понимание первого семестра первого курса начинает только впервые появляться на третьем курсе, а нормально понять матан первого курса можно только в аспирантуре, начав заниматься наукой и преподавая его.
То есть там такой подход - годами учим без понимания, зубрим наизусть, тренируемся решать тысячи типовых задач до автоматизма, потом занимаемся наукой в области математического анализа, преподаем и только тогда только начинаем что-то понимать.
И вот среди этой второй категории крайне мало детей, которые способны на то, что вы описываете.
Не знаю, в мой вуз много олимпиадников не поступает. Но я регулярно наблюдаю, как самые обычные дети, из самых обычных школ рутинно осваивают начала матанализа. Да, не все доходят до глубин, но уж определение предела - извините.
нормально понять матан первого курса можно только в аспирантуре, начав заниматься наукой и преподавая его.
Это, кстати, правда. Я тоже нормально понял матан, только когда начал его преподавать. И это не что-то специфическое для матана. Просто мозг человека так устроен: он думает, что разобрался в чем-то, пока не попробует составить связный рассказ для кого-то другого. Тут-то и выясняется, что все это "понимание", что было до этого - иллюзия. Поэтому нужно почаще советовать студентам практиковать метод Фейнмана.
Ну и, второе, матан же важен не сам по себе, а как часть математического контекста. К аспирантуре у студента уже формируется более широкая картина из функана, топологии, диффур, и т.д. и т.п. Поэтому, когда он возвращается в матан, он уже видит связи и мотивировки теорем, которых на первом курсе не видел (и не мог видеть). Поэтому да, "понимание" - процесс итеративный.
Под пониманием определения предела я имею в виду конечно же умение оперировать им для доказательств и точно осознавать формулировку.
Почему студенты осознают, что не понимают - потому что у них были устные экзамены, на которых надо доказывать теоремы, а они поняли, что не понимают, почему там что и откуда, и с состоянии только выучить (а потом всё забыть) или списать. Ну и задачи теоретические не решают, только типовые могут.
А ещё потому, что идут лекции, на которых лектор даёт сплошной поток кванторов и формул, строгих определений, и на них ничего непонятно.
Все так, только не
и с состоянии только выучить
а не хотят тратить время на то, чтобы разобраться. Легче списать и отмазаться, мол "мы не в состоянии". Но это их личное дело, каждый сам в ответе за свои решения.
В МФТИ был скандальный случай, один выпускник МФТИ стал психологом и устроился работать психологом в МФТИ. Его уволили за то, что он продвигал тезисы, схожие с моими, и набрал популярность среди студентов.
Вот тут его пост
Как у студента отбивают охоту изучать математику?.. | Рауф Мухарамов
Студенты очень положительно отнеслись, преподаватели в основном резко отрицательно, поэтому его на работу в МФТИ больше не берут.
Ну, собственно, ему там Мария Юденкова в первом же посте все правильно расписала. Мне добавить нечего.
Ну так она неверно все расписала, особенно про стили обучения, которые к вопросу не имеют отношения. Там её коллега пишет
"Нет, на физтехе преподавание далеко от идеала. Однако, если говорить о кафедре высшей математики, то сам образовательный процесс на ней построен лучше, чем на всех прочих кафедрах. Хотя и есть над чем работать."
Ровно наоборот. На других кафедрах ситуация лучше, потому что там нет методического семинара и курса по методике преподавания высшей математики. У них там методика так устроена, что полное отсутствие какой-либо методики гораздо лучше, чем она. Ни на одну другую кафедру студенты не жалуются так сильно, как на них.
Насчёт Джона Хэтти, там у него описываются как хорошо работающие множество методов обучения, которые убийственны для образования, только потому, что ученики после них тесты хорошо пишут. Например, метод рабочих тетрадей, в котором ученику нужно только дописать ответ или кусочек текста в поле, выбрать вариант ответа.
Насчёт педагогики как науки, основанной на изменениях - ну это анекдот, потому что там куча враждующих школ, и каждая делает себе измерения какие хочет, подгоняет под ответ. Захотели - докажем высокую эффективность обучения в ковид, и так далее. Там зачастую нет критического подхода к способам измерения. Книга Хэтти как раз плоха тем, что там обобщены результаты огромного количества исследований без критического отношения к методам измерений. Кроме того, сами мета исследования Хэтти много раз нарушали научный метод и законы статистики, они крайне низкого качества.
Навскидку, тут дают ссылки на критику https://www.reddit.com/r/AustralianTeachers/comments/c62yx2/john_hattie_and_visible_learning_schools/?tl=ru
Но для меня самое убийственное тут то, что Хэтти считает тесты на каждом занятии и рабочие тетради, а также прочие методы тупого натаскивания на экзамен очень эффективными методами обучения (а реально эффективные классические подходы - не эффективными).
а реально эффективные классические подходы
Это те, которые вы хотите заменить каким-то своим?:)
Кроме того, сами мета исследования Хэтти много раз нарушали научный метод и законы статистики, они крайне низкого качества
Вот бы педагоги в матан умели, да? :)
Нет, на физтехе преподавание далеко от идеала. Однако, если говорить о кафедре высшей математики, то сам образовательный процесс на ней построен лучше, чем на всех прочих кафедрах. Хотя и есть над чем работать.
Не знаю, как сейчас, а когда я учился на ФОПФе (2005-2011) образовательный процесс на кафедре высшей математики был построен вообще никак. Проблем с пониманием любых математических курсов у меня не было никаких (олимпиадная подготовка была). Более того, я восхищался красотой матана и тогда, и сейчас. И преподаватели почти все были хорошие. Лекции по матану сам Кудрявцев вёл, кстати. Но общий смысл происходящего, особенно в контексте подготовки к работе физиком (я и сейчас в ИФТТ в Черноголовке), я не смог найти до сих пор. На кафедре высшей математики был набор отдельных почти не связанных друг с другом курсов, а уж о подстройке программы к освоению нужного физикам матаппарата речи не шло вообще в принципе.
Кстати говоря, он то как раз именно потому на методы кафедры вышмата критику возводит, потому что он психолог, работает со студентами, а студенты ругают и критикуют эту кафедру намного больше, чем все остальные, вместе взятые.
Ну, мало ли, что там студенты ругают. Больные дети тоже лекарство ругают, потому что горькое. Но это же не значит, что не нужно его давать. В общем, прислушиваться к фидбеку нужно, конечно, но без фанатизма.
Это справедливо, имхо, но ведь и единого фидбэка не существует. Когда вы возитесь с одним человеком, вы можете подстроиться под него. А когда человеков много? Чей фидбэк и с каким весом учитывать? Вы либо упустите "сильных" (что бы это ни значило), либо угробите "слабых". Автор говорит: долой эпсилоны и дельты, даёшь интуитивно понятный курс анализа с доказательствами. И тогда восстанут сирые и убогие, и прозреют глаза их, и скажут они: это хорошо. И он не просто декларирует это, он пишет этот вот "интуитивно понятный" текст, который, откровенно говоря, невозможно читать из-за обилия воды и жутких эпитетов типа катастрофа, безумие, кошмар, стена, кристальный дворец разума, и т.д., и т.п. Если всё это отжать, то останется один из возможных формальных подходов к обоснованию анализа, который ничуть не более "понятен" и "интуитивен", чем любой другой, ибо объект-то один и тот же. Все обоснования, если они формально являются таковыми, эквивалентны между собой. Выбирай на вкус. Но нет какого-то особого, царского, простого и лёгкого пути в анализ, перефразируя древний афоризм. Во что я свято верю, для автора этот подход, безусловно, является самым интуитивно понятным, универсальным, естественным и простым.
Есть странная закономерность, преподаватели кафедры высшей математики МФТИ, родившиеся в первой половине 20-го века, очень старались излагать свой курсы понятно, особенно это удавалось Кудрявцеву, Яковлеву и Никольскому. Это три лучших учебника по мнению многих студентов. Когда я учился, немало слабых студентов просто боготворили учебник Яковлева за понятное изложение. Современные студенты о них сейчас не знают, так как все эти книги даже с сайта кафедры удалили.
А среди современных преподавателей, особенно молодых, совершенно противоположные устремления.
Интересный тут вопрос - почему?
В общем, прислушиваться к фидбеку нужно, конечно, но без фанатизма.
Если говорить конкретно об МФТИ, то вот вам фидбек от уже представителя профессии, в которую готовят именно конкретно в МФТИ. Курсы высшей математики очень классные и полезные для развития мозгов, но вообще никак не связаны с тем, с чем выпускникам потом надо будет работать. Если что, проблем с усвоением у меня не было. Ну, кроме курса матстатистики - там лектор начал курс с каких-то бессмысленных лирических отступлений на целую пару, поэтому на занятия я больше не ходил и пришёл только на экзамен. Благо, тогда система Физтеха ещё в каком-то виде существовала, и это было возможно.
Абсолютно на всех других кафедрах, кроме кафедры вышмата, прилагается огромное количество усилий для того, чтобы изложение материала сделать понятным большинству студентов и наглядным.
Даже на кафедре теормеха, курсы от которой тоже очень формальные и содержат много доказательств, используют разные демонстрации. Например, на всю жизнь ярко запомнилось, как лектор объяснял уравнения Аппеля через движение коньков на льду, а для объяснения кватернионов он даже притащил веревки и стулья. И только на кафедре высшей математики считают, что это нормально, когда студенты записывают лекции, не понимая, что они пишут
А вот кстати его пост с более подробным описанием проблемы
Когда начинает тошнить от учебы? Типичный пример.. | Рауф Мухарамов
Обращу внимание, что Рауф предложил и свое решение проблемы - скопировать успешный опыт из MIT, американском аналоге МФТИ во многих отношениях, в котором она давно была решена.
Но кафедры отрицательно к этому относятся. Принято многими из них считать, что МФТИ гораздо лучше, чем MIT, поэтому использовать опыт MIT значит заниматься разрушением образования.
То есть там такой подход - годами учим без понимания, зубрим наизусть, тренируемся решать тысячи типовых задач до автоматизма, потом занимаемся наукой в области математического анализа, преподаем и только тогда только начинаем что-то понимать.
Так и есть. В провинциальных ВУЗах матан преподают роботы - лектор оттарабанил лекцию, кто не успел записать - экзамен не сдаст. Понимание материала никогда не требовалось. Я учился в 90-х и было всё то же самое. Нам впихивали эти гигантские выкладки, но никто не постарался обьяснить "нахрена козе баян" и зачем люди в 18-м и 19-м веках тратили на это своё время.
Вобщем, хорошее дело Вы затеяли, продолжайте. Мне уже поздно учитья, но я все равно прочитал вступительную главу с удовольствием.
ссылка на файл была бы самым кратким изложением матанализа:-)
Лично у меня на первом курсе в 2015 году проблем с мат. анализом не было, у преподавателя были свои методички, плюс в интернете полно материалов и теории и примеров решения задач, и красивых визуализаций.
Проблемы начались курсе на третьем с диффурами в частных производных, когда и изложение преподавателя не ясно, и в интернете скудно, и даже сложно сопоставить терминологию преподавателя с тем что нашел а интернете.
Ещё мне очень не нравился тот факт, что на двух факультетах одного и того же вуза, были разные учебники по одному и тому же предмету. Глубина изучения темы одинаковая, но разная терминология (линейное пространство vs векторное пространство), да что там даже система аксиом на старте разная (в одой 8, в другой 7 эквивалентных). И так было не на одном предмете.
Я считаю, что нужны разные уровни абстракций учебника:
Единый международный справочник терминологии, где сухие термины, определения, теоремы без доказательств.
Доказательства теорем, тут уже кто во что горазд, много разных способов, от разных авторов.
Учебные материалы которые объясняют те или иные термины, показывают как вообще работает та же производная. Выводит формулы и так далее.
Пособие по решению задач, где разъясняется как решать задачи.
Сборник задач.
Нужно что бы большое количество людей подписалось под единым списком терминов и теорем. А далее, уже подбивать под это учебные материалы, иллюстрации и так далее.
Когда большинство не справляется с усложнённым курсом, проще всего объявить их «тупыми и ленивыми», чем признать несовершенство программы.
Некто Н. Замяткин заметил тоже самое и в области изучения иностранных языков и написал книгу Вас невозможно научить иностранному языку, в которой изложил основные принципы своей методики.
Вот цитаты из главы С чего начать, или Информация не для идиотов
Вы должны перестать считать себя идиотом.
Я беру на себя смелость утверждать, я решительнейшим образом утверждаю, что вы не идиот! Как? Вы не думали, что вы идиот, и без моих утверждений? Уверяю вас, мой любезный собеседник, что вы так думали и думаете! Продукт нашей школьной системы не может так не думать – как минимум в том, что касается ваших – наших! – способностей к освоению иностранного языка. Вам много лет и к тому же в самом впечатлительном возрасте, с упорством, достойным лучшего применения, внушали, что вы – в силу вашего природного идиотизма – не способны к изучению иностранных языков.
...
Вас, конечно, подмывает закричать – прямо здесь, в магазине: «Но почему же?! Почему в школе-то…?!». На это, мой дорогой друг и любезный собеседник, есть весьма веские причины. Но ваши личные способности к изучению иностранных языков в их число не входят. Смею вас в этом уверить! Главной причиной здесь является институционная нечестность, когда все – и учителя, и ученики – поставлены в условия, в которых реальное овладение иностранным языком просто-напросто невозможно, какие бы правильные слова при этом ни произносились участниками этой игры. Сам формат «обучения» иностранному языку в школе не позволяет получения положительного конечного результата.
...
Твердая вера в то, что в области изучения иностранных языков вы полный и законченный идиот, продолжает сопровождать вас – всех нас, за исключением редких счастливчиков! – на протяжении всей вашей жизни – единственное, в чем наша школа безусловно преуспела. Впрочем, хваленая американская школа, выше крыши засыпанная долларами, находится не в лучшем положении...
Проблема в том, что вам преподавали не математику
Это не так.
Учебники по матану написаны абстрактными математиками в вакууме для студентов-математиков, которые учатся рассуждать про возможность существования абстрактных сферических коней в абстрактном математическом вакууме.
Проблема же заключается в том, что матан по учебной программе есть не только у этих студентов, но, о ужас, даже у "гуманитариев", которых за кружкой вакуума пошлёшь, а они только наполовину полную и принесут. А ещё ужаснее то, что этот самый матан этим самым "гуманитариям" вполне даже мог бы и пригодиться...
Когда большинство не справляется с усложнённым курсом, проще всего объявить их «тупыми и ленивыми»
Каким образом? Если "не справляется" есть эквивалент оценки "не сдал", то как только их будет не то, что большинство, а достаточно ощутимый процент, руководство вуза немедленно возбудится из-за плохих показателей.
Существует негласный договор: мы даём вам нерешаемые задания, вы приносите списанные решения, мы ставим вам зачёт.
"Сильное заявление"(с)
У Вас есть какие-то подтверждения массовости этого явления?
Представьте, что вы — лучник.
Мы показали, что общая среднеквадратичная ошибка — это сумма трёх ортогональных компонент.
А вот и лучники на лошадях! :)
Используя ассоциативность и коммутативность сложения натуральных чисел (которые мы считаем уже доказанными)
Откуда? Ранее по тексту нет никаких доказательств этого.
Верно, про ассоциативность и коммутативность сложения натуральных забыл дописать. Впишу завтра в статью.
Все аксиомы математического анализа имеют своим истоком физику. Именно поэтому матан так эффективен в физике и естествознании. Математика - это просто (гипер)формализованная физика, и ей всегда стоит знать своё место и критически оценивать свой формализм, особенно в преподавании.
Ух вы как прям с плеча)) Выкидываем из математики все бесконечности? Так матан же тогда как раз поломается... Но в целом я ваш тезис поддерживаю.
Ну, это рубит сам Арнольд, Владимир Игоревич.
С бесконечностями не так просто: скорее, их "боятся" как раз математики, а не физики (достаточно вспомнить, что дельта-функцию придумал Дирак, а явное деление на ноль (обозначавшийся буквой о) при расчёте производной и решении нелинейных уравнений своим методом применил Ньютон).
Более того, всё ещё "ужаснее": бесконечности повсюду. В самом деле, прямой опыт показывает, что конечная энергия излучения может быть сосредоточена на одной частоте, а имеющиеся уширения вызваны побочными факторами (дополнительным взаимодействием или тепловым уширением). Плотность излучения в расчёте на единицу частоты равна бесконечности!
Более того, любую величину или явление можно рассмотреть, добавив (ещё) одно измерение, ещё один параметр, где эта величина или явление будет отмечено лишь одной точкой. И тогда всё содержание этой величины или явления (масса, энергия, поток, - что угодно) в этой новой переменной будет чистейшей дельта-функцией.
Мир кишит бесконечностями. Просто надо уметь их готовить...
Чтобы избавиться от «минуса», перенесем члены:
Откуда взялась эта операция и с чего ей быть корректной?
Читается легко, хотя не покидает ощущение, что это потому, что в процессе понятно "а, вот к чему мы идем" и "а, вот как мы к этому пришли". Возможно, для студента, который матанализ еще не знает (т.е. "к чему идем"), будет не настолько понятно.
§ 0.0 выглядит как мета-информация, которая не особо-то и нужна в учебнике. Она может быть в статье об учебнике на хабре, поясняя мотивацию его создания, или в очень сжатом изложении на обороте книги. Нужны ли студенту пример экзамена или список тем, если ему еще неизвестно, сложно это или проходится за первый семестр?
И, кажется, § 0.2 не справляется с целью быть простым-понятным, ввергая читателя в хтонический ужас портянками формул с вложенными операторами, подстрочными индексами и крышечками над буквами. Не уверен, что эта часть способна убедить читателя в том, "почему именно два" (*). Достаточно ли для этого было остановиться на картинке с мишенями? Или, может быть, можно было вообще перепрыгнуть из § 0.1 сразу в § 0.3?
* — речь про вопрос из заголовка § 0.2; заголовки параграфов в тексте и в плане перед ним различаются.
Да, тут часть информации - мета-информация.
Если оформлять в книгу, то убрать часть.
Несоответствие заголовков уберу.
Фидбэк от трижды поступившего в универ и трижды ушедшего из универа на первом семестре программной инженерии, так до сих пор не то что не понявшего, а даже не постигшего основы матанализа товарища: § 0.2 разбил мой мозг. До того, как появились формулы, было более-менее понятно интуитивно. Потом началась магия.
О чем вообше здесь речь?
Секретный ингредиент: почему именно квадрат ошибки?
"Постойте-ка", — возразит проницательный читатель, — "разве это красивое разложение работает всегда?"
Это суть вопроса.
Кто такая эта ваша среднеквадратичная ошибка? Что за L2-норма? Откуда взялась дисперсия шума? Сигма-нойз?
Ну а на "вскрытии" я остановился, чтоб не чувствовать себя ещё большим идиотом, чем сейчас, что довольно иронично. Ваш учебник предполагает законченный вуз? В смысле он для тех, кто как-то продался через матан, но так его не понял? На первых лекциях матана было хоть что-то, что объясняли общими словами, но уже относилось к матану и это можно было худо-бедно понять после панической атаки и долгого просмотра стены.
В общем вопрос такой - шо еще почитать, чтоб стало понятнее? :D
Ну можете пропустить параграф 0.2. Или не читать доказательства, а посмотреть просто, в чем суть задачи с поражением мишени.
Понял, спасибо, попробую.
Просто есть два типа ошибок - смещение и сдвиг. Они по сути отличают аппроксимацию от кластеризации (классификации). А эти два способа машинного обучения и есть непрерывное и дискретное описание мира. Собственно я просто эту мысль хотел вставить и подробно развернуть.
Теоретические построения, что делаются в этой статье, потом будет снесены в следующей, т.к. описанный тут конструктивный подход для анализа потом не работает. Он работает для построения дискретной математики. Статья имеет смысл введения, чтобы показать все проблемы, которые предшествуют появлению вещественных чисел.
Читается легко, хотя не покидает ощущение, что это потому, что в процессе понятно "а, вот к чему мы идем" и "а, вот как мы к этому пришли". Возможно, для студента, который матанализ еще не знает (т.е. "к чему идем"), будет не настолько понятно.
На мой взгляд, вы уловили суть проблемы. Дело вовсе не в том, что одна система обоснования анализа хуже другой, и вот поэтому массовое студенчество трудно въезжает, или не въезжает совсем. А дело в том, что приходящий из школы товарищ не понимает, с чем именно ему предстоит столкнуться. Дело не в том, что слон какой-то большой, непонятный и неподъёмный, а в том, что это вообще за зверушка такая. Когда я был мелким пареньком, где-то в классе в 5-м или шестом мне попалась только что вышедшая книжка Якова Зельдовича "Высшая математика для начинающих". Я её купил на сэкономленные от школьных завтраков деньги и прочитал. Сначала кусочками, а потом целиком. Там нет доказательств и строгих обоснований. Зато есть то, как это устроено и работает. Это просто пример. Книжек много, всяких и разных. Был бы интерес. Мне попалась эта. Зато к 9-му классу, когда на мою голову обрушился формальный матанализ, я хотя бы примерно понимал, что это такое.
На Западе давно система устроена так, что до изучения анализа с доказательствами минимум пару лет будешь изучать калькулюс. И брошена куча усилий на то, чтобы калькулюс сделать понятным и популярным.
В России же в связи со спецификой актуально сделать сразу дебри анализа понятными и очень наглядными. Это пока введение, наверное самое сложное написать следующую статью с первой главой.
Смущает то, что вы как бы лишаете учащегося субъектности. Я не утверждаю, что это так, но создаётся такое впечатление. То есть, есть некая масса, сопротивляющаяся обучению. И вот в эту пассивную субстанцию нужно оптимально "понятным" и "интуитивным" образом влить магическую субстанцию. Разумеется, под этим есть некое основание: если чувак с самого начала по какой-то причине не въехал, затормозил, отвлёкся, подумал, что ерунда, наверстаю - его сметёт. Возникнет когнитивный коллапс и отторжение от предмета. Возникнет ощущение, что над ним издеваются и троллят особо изощрённым и циничным образом при помощи эпсилон и дельт. Дали ему курс Иванова - вот он с тихим стоном им и убьётся. Вопрос: а у чувака свои какие-то амбиции и желания есть? Он зачем сюда пришёл - мама заставила (бывает и так)? Есть же человеческие книжки. Для начального понимания можно и их почитать. Например, классическая последовательность:
Курант & Роббинс "Что такое математика".
Курант Рихард "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (2 тома).
Курант & Гильберт "Методы математической физики" (2 тома).
Где тут Иванов? Мы про понимание, или про что? Хороших книг много. Они даже для школьников доступны, был бы, повторюсь, интерес к предмету.
Откуда у студентов МФТИ на младших курсах есть свободное время, чтобы еще какие-то книжки читать? Тем более что перечисленное мало связано непосредственно с программой первого курса.
Там собственно правильно пишет Рауф
"студенту начинает сносить крышу — с одной стороны его мозг дико перегружен, ведь он реально много «ботал», а с другой стороны мозг остался голодным (!), потому что глубоких знаний не прибавилось (а ведь именно этого и нужно было мозгу). "
А потом, получается, что эти студенты в школе были лучшими из лучших, отличниками, победителями олимпиад, а к третьему курсу стали отстающими, не освоили материал и от науки их уже тошнит, потому что ничего непонятно и потому что есть эмоциональное выгорание, перегрузки и необходимость сдавать много предметов и заданий без понимания происходящего на них в авральном режиме.
Всё это указывает на очень низкую эффективность системы, но на попытки предложить заимствовать успешный западный опыт (например, MIT), все тут же начинают обижаться, говорить что МФТИ гораздо лучше MIT, а того, кто посмел эти вопросы вообще публично поднять (т.е. Рауфа), увольнять и никогда больше на работу не принимать.
Ну кстати хорошие книги надо еще найти, курс анализа Куранта раньше не видел. Сейчас посмотрел - конечно хороший, но для МФТИ слишком примитивный и вряд ли поможет чем-то для сдачи коллоквиума, например.
Ну кстати посмотрел сейчас Куранта, там много вещей, которые я сам хотел сделать в курсе, только он ограничивается лишь небольшим количеством вещей.
Про пределы он там через точки сгущения излагает, например, для доказательства теорем анализа и как раз у него очень простые доказательства, как я и хотел. Но проблема в том, что он там совсем немного из курса так излагает.
Кстати сейчас пересмотрел Кудрявцева, оказывается там тоже есть много моих идей, например куча теорем через предел по Гейне доказана, вследствие чего его изложение этих теорем куда короче, чем у других авторов.
Так что видимо с Курантом и Кудрявцевым можно сверяться тоже в ряде мест.
За наводку на Куранта спасибо, вот то что нужно, я на это сошлюсь. Но я собираюсь через этот принцип доказать гораздо больше теорем, чем там доказано.
А еще есть ряд еще других упрощающих идей, которых у него в книге нет.
Скажу честно, мне нравится направление, которое вы взяли, но к реализации в текущем исполнении масса вопросов. На мой вкус, текст крайне перегружен словесными аналогиями. Лично мне лишние слова читать некомфортно - оно уводит мысль куда-то в сторону, рассеивая мое внимание. Я бы пошел по-другому пути - больше иллюстраций и демонстраций на каких-то физических объектах, на шариках и палочках если хотите, это задействует расчеты на гпу(визуальной коре), но при этом оставляет нас в той же абстракции, а не зашумляет оперативную память лишними словесными сущностями. Я сам из тех немногих, кто в университете смог понять матанализ, сдать его и потом использовать дальше в жизни, но далось мне это исключительно тем, что я сам подбирал себе материалы на стороне после "лекций", и были эти материала преимущественно визуальными - только так получалось понять. Может быть это особенность лично моей психики, но по моему опыту, почти кто угодно поймет концепцию лучше, если ее нарисовать, а не рассказать. Идеалом были бы вообще анимированные демонстрации в духе 3blue1brown, но это нужно тогда ломать еще одну скрепу академии - выкинуть бумажные книжки, когда у нас уже есть более совершенные способы передачи информации в мозг.
Это фишка "алгебраистов")) У меня, как и у вас - "геометрическое мышление". Когда источником мысли является правое полушарие. Левое при этом может быть развито сколь угодно сильно, по правое "фундаментально" в процесс эволюции мысли. Поэтому мышление идёт в образах (сколь угодно абстрактных при этом). "Аналитикам" это без нужды - они легко оперируют именно крайним формализмом - я уж хз как это получается у них... Мы просто на разных языках не говорим, а мыслим ;)
в части истории - все-таки желательно упоминаний о Евклиде, и аксиоматическом подходе, кстати это помогло бы понять почему именно геометрия порядка тысячи лет играла центральную роль в математике,
заметим хотя анализ это сравнительно узкая область математики, но вероятно труд бы выиграл, если бы автор где-то изложил свое понимание того, что есть математика вообще, и чем отличается от других областей знания
Но тогда это будет учебник по истории и философии математики, а не по матанализу. Не нужно мешать несмешиваемое. Короткая историческая справка на полях - это пожалуйста. Но пол учебника копаться в Евклиде, отличии математики от остальных областей знания и прочих мета-вещах, зачем?
Я вот думаю вот в каком контексте упомянуть. Сила и особенность изложения по Евклиду в том, что там, с одной стороны, доказательства строгие, с другой - они формулируются не в значках и не в абстрактных соотношениях, а в понятиях.
Если я, допустим, определяю предел как единственную точку сгущения, или там как точку, за пределами любой окрестности которой конечное число точек последовательности, то тут всё определение состоит из понятий, а не переменных, кванторов и неравенств.
И такое определение воспринимается гораздо легче и яснее.
контекст например такой - после уже упомянутого кризиса с иррациональностями внимание надолго переключилось на чисто геометрические доказательства и построения, но немедленно стало понятно, что ни идеальных прямых, ни окружностей к которым можно применить логику доказательства в реальном мире не наблюдается, возможный выход это использование системы аксиом, из которых выводятся теоремы типа "если А, то необходимо B", без погружения в вопросы какое отношение к физической реальности имеют эти A,B, иными словами постулируя верность аксиом исследовать их следствия, без разницы где именно существуют эти абстракции
Как это нет идеальных прямых и окружностей? А луч света в вакууме? А эллипс с нулевым эксцентриситетом? А всевозможная куча эквипотенциальных поверхностей, в основе которых лежит окружность или сфера?
возможный выход это использование системы аксиом
Гёдель показал что это не выход.
Есть проблема в том, что это не совсем так.
Аксиоматический метод начал Фалес использовать, а не Евклид. А строгие абстрактные доказательства - из школы Пифагора ещё, там как раз рассматривали фигуры и числа как нечто идеальное
Главное новшество Евклида - найти минимальный набор аксиом, исходя из которых можно доказать любое верное математическое утверждение. При этом помимо геометрии, он так и арифметику построил. "без разницы где именно существуют эти абстракции" - такого у Евклида не видно. Он точку определяет как то, у чего нет частей, например, прямую как линию без ширины и так далее. Строгая аксиоматизация геометрии - это самый конец 19го века.
Противопоставление идеальных фигур и реального мира в такой форме - это Аристотель. До него не было, тот же Платон считал, что наш материальный мир из маленьких многогранников состоит.
Заслугу преврашения геометрии из эмпирического знания в чисто логическое обычно приписывают Фалесу и Пифагору.
С Евклидом ещё очень важен контекст пятого постулата, во многом улучшение формализации рассуждений происходило, в том числе и у самого Евклида, за счёт попыток доказать или опровергнуть пятый постулат о параллельных прямых.
учебник по анализу это не Рассел "История западной философии", в которой тоже достаточно неточностей, что-то надо упрощать, важно также иметь в виду, что серьезное изучение любого предмета требует нескольких итераций, как в математике, так и в программировании конечно,
Вам как автору надо делать выбор, что именно и как именно излагать, чтобы не перегружать деталями примерно как в данной статье, но тем не менее дать связное представление о предмете, которое послужит основой для дальнейшего изучения (my 2 cents),
вообще анализ это тот раздел математики, где написать хороший учебник особенно трудно, если бы мне пришлось читать лекции перед аудиторией уровня физтеха, вероятно просто начал бы с объяснения зачем именно Коши придумал используемый далее формализм, без погружения в историю математики, что заслуживает быть отдельным спец курсом
"Математика - это часть физики. Именно поэтому математика так эффективна в физике и так неэффективна в биологии и гуманитарных науках. Только в физике эксперименты, как правило, гораздо дороже, чем в математике". В.И. Арнольд.
Какой диагноз если понимание прекратилось на моменте из 0.2?
Анатомия ошибки: взгляд под капот
Куда копать, что читать? Или пациент скорее мёртв чем жив?
Для большинства из нас первая встреча с математическим анализом была интеллектуальной травмой.
Это, пожалуй, то, немногое, с чем бы я согласился. Только с маленьким нюансом. Речь идет о четырехсеместровом курсе матанализа Л.И. Камынина, на первом-втором курсе мехмата МГУ. При этом, для меня это был второй ВУЗ (первый – Политехнический институт, в котором математика у меня шла на «ура»).
Не смотря на то, что матанализ я начал изучать еще в советской школе (там его, официально, не преподавали), был в числе победителей конкурса, по задачам матанализа, в физмат журнале, для школьников, «Квант», тем не менее, матан в МГУ – это был интеллектуальный «взрыв» (но не «травма»). Полгода я был в состоянии прострации, как товарищ Сталин, в первые дни Войны. Но, выжил, привык и даже начал получать удовольствие.
Российский путь — беспощадная машина по отсеву
И вот теперь мы подходим к самому интересному — к нашей, российской (и ранее советской) образовательной философии. Она совершает самый дерзкий, самый рискованный и самый жестокий ход из всех: берёт немецкую беспощадность, но применяет её с американским размахом — ко всем подряд, и даже без предварительной подготовки.
Удивительно! Я, как тот литературный персонаж, который двадцать лет говорил прозой, но не знал про это!
Да, это так. У нас, из трехсот математиков-первокурсников, до пятого курса дошло только 150. Вылетали за неуспеваемость, даже вундеркинды (плотность которых на квадратный метр там просто зашкаливала), просто, если они позволяли себе расслабиться более двух недель в семестр. Ибо новая информация там шла непрерывным потоком. Об этом я, в своих комментариях, здесь, писал много раз.
«Напиши учебник. Тот самый, который мы заслужили».
А вот это – не надо! Разве нам мало было альтернативщиков от физики? Вы, кстати, второй, альтернативщик от математики, который встретился на моем пути. Первый тоже пытался «осчастливить человечество». Ну и где он сейчас, и кто его знает?
Что ж, это он. Глава первая. Забудьте всё, что вы знали. Мы начинаем с нуля.
Бегло просмотрел ваш опус, меня он не впечатлил. Как говориться: «Вашу бы энергию, да на мирные цели!». Занимайтесь лучше реальной наукой, в структурах Академии Наук. Делайте новые «Орешники» с «Посейдонами» и «Буреветниками» или утрите нос китайцам по части промышленной роботизации.
Можно подумать, что студентам ваша математика для «чайников», вроде, «La Grammaire Francaise pour les Nuls», будет более понятной, чем та, которая преподается в технических ВУЗах! У технарей математика это вообще ни о чем. Т.е., проблему вы нашли на ровном месте.
Здесь вы похожи на Александра Драгункина, который написал более десяти книг по «взлому» и «упрощению грамматики» английского языка. И что? Я вот читаю английскую грамматику на языке оригинала, и там все достаточно просто, настолько, что даже метод придумал: «Изучение иностранного языка на иностранном языке» (см. мои статьи, здесь, если что). Т.е., я хочу сказать, что «упрощения» Драгункина – сложнее оригинала. Не удивлюсь, если ваша «правильная», и «истинная» математика окажутся непонятней и сложнее существующей. По крайней мере, по первому впечатлению, ваш текст слишком перегружен информационно.
Лучше возьмите матан Л.И. Камыцнина и раскритикуйте его по существу. Будет интересно посмотреть. Только, делайте это без лишних эмоций, поскольку они к науке не слишком относятся.
Я, например, еще со студенческих времен храню ротапринтный четырехтомник матана, нашего любимого профессора, по сути, все математики нашего выпуска считают этот труд «математической библией». Станет ли ваш новый «учебник» чем-то похожим? Как-то слабо верится. Впрочем, дерзайте, кто вам запретит?
все люди разные, по памяти нам анализ на мехмате читал И.А.Вайнштейн (конец 60х), ничего подобного "травме" не припоминаю, но курс анализа выиграл бы, если бы толком объяснили историю используемого формализма, типа про Коши и пр.
все люди разные, по памяти нам анализ на мехмате читал И.А.Вайнштейн (конец 60х),
Всё зависит от лектора и семинариста. У меня это были (Л.И. Камынин и А.И. Штерн – мирового уровня, на мой взгляд). Уже на соседних курсах, препы были другие и того стресса, подомного моему, там уже ни у кого не было, хотя, общая тенденция та же – расслабишься. слишком, легко вылетишь за неуспеваемость.
в те далекие времена более-менее знал многих, вступительный устный по математике у меня принимал Арнольд, еще молодой, но приведенные Вами имена мне не знакомы, так получилось, что быстро перешел на программирование в начале 70х, однако мехмат вспомнить приятно
приведенные Вами имена мне не знакомы
А.И. Штерн – автор множества статей в пятитомной математической энциклопедии. У Л.И. Камынина есть в Интернете его матанализ, только более развернутый, чем в ротапрингтном издании МГУ, по сути, конспекте лекций, где практически нет текста, только формулы, которое я храню до сих пор. Именно, этот сплошной поток формул, с алгебраическим уклоном, был для меня тем самым шоком.
Они, по сути, и сформировали мое отношение к математике. Жаль только, что из-за развала СССР, мне не пришлось заниматься математикой профессионально (хотя, карьера мне светила суперсверхсногсшибательная). Начались «лихие 90-тые», задача была – просто выжить. Поэтому, пришлось переквалифицироваться в «управдома», то бишь, программиста. Программирование, на персональных компьютерах, уже, освоил самостоятельно, поскольку это, в МГУ, было еще на терминалах мэйнфреймов.
В итоге, написал и внедрил собственную учетную программу на двух производственных предприятиях, которая меня кормила двадцать лет, пока, фирмы, где она работала, не закрыли по политическим мотивам. Что, немного обидно, ведь мы – как раз те новые регионы, которые вошли в состав России. Поэтому, сейчас приходится «баловаться» пет-проектами.
А вот это – не надо! Разве нам мало было альтернативщиков от физики? Вы, кстати, второй, альтернативщик от математики, который встретился на моем пути. Первый тоже пытался «осчастливить человечество». Ну и где он сейчас, и кто его знает?
Причём здесь "альтернатива"? Есть курс Ландау, а есть фейнмановские лекции.
А "альтернативы в математике" в советское время постоянно рассматривались - в геометрии "Александров и Погорелов против Колмогорова"...
Для меня встреча с мат.анализом была праздником духа.
Наглядная демонстрация огромной, сложной и в то же время формально строгой теории (безо всяких заметённых под ковёр, как в геометрии, "потому, что гладиолус").
Это было великолепно.
Очень тяжело читать из-за явного иишного слога
Я скажу так: мне, как выпускнику математической специальности, очень знакомо то чувство непонимания, о котором говорит автор. И если автор реализует свою задумку, это будет просто великолепно.
Но, к сожалению или к счастью, математика крайне жесткая и формальная наука. Тем не менее, если к каждому доказательству будет идти красивое, четкое, понятное визуальное объяснение, которое автор шаг за шагом, вместе с нами, превратит в сухое формальное доказательство - это ... будет шедевр.
Да, со следующей статьи как раз будет. Тут пока только скорее общие вещи.
мне, как выпускнику математической специальности, очень знакомо то чувство непонимания
А теперь представьте, каково тем, кто не на математической специальности учится. На социологии, например.
Но, к сожалению или к счастью, математика крайне жесткая и формальная наука
К счастью. Это сильно упрощает понимание и позволяет избежать многих сложностей. (Нет, это не делает вышмат легко понятным, но без этого он был бы вообще непонятным и единственным более-менее достоверным его разделом стал бы тервер).
Меня всё время не покидает мысль, что современная система образования (практически вся) крайне далека от совершенства. Под совершенством я понимаю такую систему, в которой для любого человека (или для абсолютного большинства) материал будет донесен таким образом, что этого шума, который упомянул автор в начале статьи, практически не будет.
Что я под этим понимаю: нужно учитывать: когнитивные способности человека (логика, оперативная память, степень концентрации и тд.), наличие любых пробелов, которые могут нарушить понимание твоей или нет (идеи в вышмате) мысли другим человеком, связи с другими сферами этой же области, скажем так зависимости, необходимость повторения материала человеком для запоминания (обычно, такие вещи нарабатываются практикой, но часто бывает так, что с первого раза начал делать неправильно и затем сложнее "перезаписать" это прием, навык или просто теорему), необходимость научить правильно искать инварианты для решения тех или иных задач, открытия чего-то нового, необходимость визуальных или переданных не только через текст примеров и ассоциаций (которые будут работать лучше и быстрее), навык оценки и визуализации человеком (построения мат. модели в голове)
Список требований для nearly impossible идеала можно продолжать вечно, но я хочу лишь значительно приблизить мир к такому обучению. Что ж, это одна из целей в моей жизни: создать такую систему образования, которая значительно превзойдёт все существующие ранее системы и в каждом ученике будет искать то, что мешает ему понимать, указывать ему на это и постоянно давать обратную связь, о том, а что ученику стоит обратить внимание. Эта статья неявно стала для меня поддержкой моей идеи. В общем, пока буду следить за этим учебником и брать для себя что-нибудь. Скоро планирую опубликовать проект, который будет частью моего глобального, но не недостижимого плана. Спасибо, что прочитали мои мысли.
..Какой-то первокурсник..
Очень жаль что подобная подача материала не попалась мне 20 лет назад
Вопрос: определение сложения и определение умножения являются аксиомами, теоремами или чем-то ещё? Определение вычитания и определение деления существуют ли первично или нет? Не монял этого.
Здесь показан подход, в котором эти определения конструируются, а их свойства (которые обычно являются аксиомами) потом доказываются. Это такой конструктивный путь к построению теорий.
В анализе его оказывается недостаточно, его хватает только на дискретную математику. Поэтому происходит переход на аксиоматический подход, в котором вопрос обоснования корректности системы аксиом выносится за пределы предмета (во-первых потому, что этим уже занимается отдельная наука, теория множеств, во-вторых потому, что часть аксиом - это аксиомы поля, кольца и группы, а их непротиворечивость и корректность уже не надо доказывать в курсе анализа).
Я не совсем это спрашиваю (либо не понял сказанного). Меня интересует вот это:
2. Определение сложения
Сложение (+) — это бинарная операция на
, которая определяется рекурсивно для любых
через два правила:
D1 (Сложение с нулем):
D2 (Сложение с последователем):
Интуитивно второе правило говорит: "Чтобы прибавить к
nчислоm+1, нужно сначала прибавитьm, а потом взять следующее число".
Вот это всё считается аксиомой? Или это 'определение' - иная сущность, нежели 'аксиома'?
В подходе Пеано это определение, а не аксиома. Потому что достаточно этих 5
Дальше надо доказать, что определение корректно (непротиворечиво), а также обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.
Я это доказательство уже вставил в статью, посмотрите, если не видели.
Есть учебник Эдмунда Ландау https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Landau1947ru.pdf .
Там такой подход используется и расписывается очень подробно.
Во всех известных мне курсах матанализа проблема ровно одна - перекос в сторону собственно анализа. Ну то есть считать пределы в точках и строить графики функции там учат, а вот решать обратные задачи, то есть вывести функцию по графику и/или с заданными свойствами - нет. Про комплексные числа рассказывают, а вот как с их помощью решать геометрические задачи или описывать 2D-механизмы - тоже нет. Пару раз мне даже довелось решать задачи, которые авторитетные товарищи сочли невозможными - типа определить минимум из двух комплексных чисел или нарисовать повёрнутую на произвольный угол параболу в виде функции 
, а не параметрически. А ведь на практике именно это приоритетно - на практике функции не появляются в виде божественных откровений (как та же 
, например).
вывести функцию по графику и/или с заданными свойствами
Этим вычислительная математика занимается.
У меня есть свой курс https://toomanydigits.online/
Посмотрел этот курс - не нашёл ничего даже близко похожего по теме. Там а) математика сугубо дискретная и б) урезанная настолько, что на практике его использовать не получится тоже (простите). Если в качестве ответа вы имели в виду полиномиальную интерполяцию (а я - нет), то у вас там ничего не сказано про узлы Чебышева, а сам пример - подогнан. Потому что если взять например 9 равноотстоящих узлов от функции 
, то результат будет
слегка не соответствовать ожиданиям
Как это ничего не сказано про узлы Чебышева?
Там про них довольно много написано в теории, и задачи на них есть.
На моем сайте узлы Чебышева через константы Лебега вводятся.
Простите, не увидел - это у вас это уже на другой странице с анализом погрешностей, а не про выбор узлов интерполяции. В любом случае, утверждение
Мы показали, что интерполировать, используя большое количество узлов некорректно. Начиная с n=50 не хватает даже машинной точности, да и производные строго говоря мы не ловим (а хотелось бы приближать и их).
легко обходится интерполянтом в барицентрической форме. В ней же при желании можно производные не приближать, а задавать явно, хотя это и не будет гарантировать сходимость к конкретной функции..
Если в качестве ответа вы имели в виду полиномиальную интерполяцию
Не только. Регрессия подходит, оптимизация (по разным нормам), сплайны.
Там еще метод через высшие производные есть для восстановления аналитической функции, в том же параграфе про интерполяцию.
Ну давайте конкретный пример разберём. Необходима непрерывная функция, имеющая вид
и для которой выполняется условие 
. Как её получить в аналитической форме через элементарные функции?
Это зависит от того, какими функциями приближать.
Ваша форма указывает на то, что это показательные функции.
Значит ищем в виде A*exp(kx), если плохо приближает, добавим B*exp(m*x) и так далее. Параметры по МНК находим.
Нет конечно - видно же по графику, что справа функция линейно растёт, а не экспоненциально. Предел её производной в плюс бесконечности будет 2.
Тогда есть проблема, это не может быть аналитической функцией. А значит нельзя точно выразить в элементарных функциях, потому что элементарные - аналитические. Но приближенно можно, вопрос только какую систему функций лучше взять. Для этого можно протестировать разные гипотезы.
Ну раз график тут нарисован не от руки (а в частности в Wolfram Mathematica через функцию Plot) - значит решение существует без всяких "но" (и оно мне конечно же известно).
Если f(x)*f(-x) = 1, и f(x) аналитическая функция, то ничего кроме экспоненты быть не может (можно доказать, расписав ряды).
Если это не аналитическая функция, то может быть что угодно.
Элементарные функции — это функции, которые можно получить из основных элементарных функций (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические) с помощью конечного числа арифметических операций (+, -, *, /) и операций суперпозиции (вложения одной функции в другую).
Элементарные являются подвидом аналитических.
Значит f(x) нельзя выразить в аналитических функциях.
Единственный подвох, который тут может быть. связан с многолистностью части элементарных функций.
Здесь нет никакого подвоха. Разве что я мог изначально не совсем точно выразиться - функция является комбинацией элементарных через стандартные арифметические операции и вложенные вызовы. Просто если прям сразу написать решение - так никакого же интереса не будет.
Вы на верном пути (что не удивительно - настоящий математик же, в отличие от меня). Поскольку вложение функций допустимо, x тоже может функцией, по сути модулирующей аргумент по оси икс. Экспонента от которой сможет упроститься до функции без экспоненты как таковой.
Насчет примеров, есть точные оценки сверху через константы Лебега, там в моем курсе приведены. Вы вот это пропустили как-то
задачи, которые авторитетные товарищи сочли невозможными - типа определить минимум из двух комплексных чисел
А в чем тут невозможность? Порядок на комплексных числах легко определить лексикографически. Другое дело, что это почти всегда бесполезно, поэтому так никто не делает.
В том-то и дело, что определение минимума через порядок - это подход через теорию множеств. А в функциональном анализе - это функция от двух переменных, которую (для действительных чисел) можно определить через элементарные функции как 
Квадратный корень - двулистная функция. Чтобы формула работала корректно, нужно брать разрез по лучу от 0 до +бесконечности на вещественной оси. Но тогда это значит, что в окрестности разреза результат вычислений будет неустойчивым.
Так что, получается, не для всех пар чисел такой подход хорош. Нужно эту формулу доработать до конкретного алгоритма, который устойчиво работает.
А ещё одна проблема, что не для всех пар разрез надо делать так, как я написал. Ещё придётся правило ввести условием, иначе формула даст неправильный ответ.
А это где используется и зачем?
В математическом моделировании используется.
Тут непонятно, чем это лучше просто условия. Ведь если брать 2 модуля и сравнивать if .. else..., то получается гораздо проще. По вашей формуле тоже придется условную конструкцию писать, но она гораздо сложнее. Если же этого не делать, то "меньшим" тогда считается то число, которое находится "слева" от другого относительно линии разреза функции корня на комплексной плоскости, что вообще-то совсем другое, чем выбор минимального по модулю.
То есть фактически вы делаете ровно то же самое сравнение модулей, чтобы выбрать, какой из листов функции корня использовать. Вы предлагаете:
import cmath
def complex_min_roots(x, y):
diff_sq = (x - y)**2
root = cmath.sqrt(diff_sq)
res1 = 0.5 * (x + y - root)
res2 = 0.5 * (x + y + root)
if abs(res1) < abs(res2):
return res1
else:
return res2
z1 = 3 + 4j # Модуль 5
z2 = 5 + 12j # Модуль 13
minimum = complex_min_roots(z1, z2)
print(f"Число 1: {z1} (abs={abs(z1)})")
print(f"Число 2: {z2} (abs={abs(z2)})")
print(f"Результат формулы: {minimum}")А не будет ли проще сделать так:
import cmath
def complex_min_roots(x, y):
if abs(x) < abs(y):
return x
else:
return y
z1 = 3 + 4j # Модуль 5
z2 = 5 + 12j # Модуль 13
minimum = complex_min_roots(z1, z2)
print(f"Число 1: {z1} (abs={abs(z1)})")
print(f"Число 2: {z2} (abs={abs(z2)})")
print(f"Результат формулы: {minimum}"Тем, что она а) символьно дифференцируема, б) позволяет выражать кусочно-непрерывные функции в виде одной формулы, а не матрицы и в) это не моя личная формула, её можно найти в интернете. Моя личная формула - это в случае комплексных чисел, потребность в которой возникла при решении задачи выделения центрального канала в стерео-сигнале.
Интересен вопрос, где такое может пригодиться.
Таинственно. Это понятно, что не в филологии.
Любопытство разгорелось ещё сильнее.
1) для реализации в системах, где возможность условного перехода отсутствует в принципе (в аналоговых схемах например) или когда нужно гарантировать одинаковое время выполнения (привет от предсказателя ветвлений в современных процессорах);
2) в качестве основы для более сложных функций со схожим смыслом. Например если добавить под корень константу - разрыв производных в граничных условиях волшебным образом исчезнет и таким образом станет возможным контролировать степень "гладкости";
3) просто для развития именно инженерного, а не математического мышления. Математики, как мы в очередной раз убедились в этой же теме, слишком уж склонны реагировать в стиле "это невозможно" / "в этом нет никакого смысла" на те задачи, решения которых им ранее не попадались.
Практика-практика:
1) автоматическое управление;
2) обработка изображений через их послойную комбинацию (кто работал в фотошопе поймёт);
3) обработка звука для насыщения их высокими гармониками (гитаристы поймут).
Я думаю, под невозможностью имеется в виду то, что это не аналитическая функция.
Чёрные точки — это зашумлённые данные, которые мы видим в реальности.
Почему на графике только одна такая точка? При этом другие данные (разборс, истина, .. ) это полноценные кривые
было бы здорово, если Вы выложили epub и/или fb2. в любом случае спасибо за материал.
Я мысленно поставил себя на место студента-первокурсника и ваш текст прочитал примерно так:
§ 0.0.
Ага
§ 0.1.
Угу, понятно
§ 0.2.
Ээээээ???
Какой-то слишком лихой скачок от лирических отступлений до среднеквадратичных отклонений. После которых мы начинаем конструировать числа и сложение с вычитанием.
Мне в целом нравится ваш подход как стремление к понятности и прозрачности, но тут такой скачок в сложности изложения происходит, что я был бы я студентом тут бы книжку и закрыл.
Впрочем, в своё время я сам, изучая анализ, перебирал учебники по понятности изложения темы: тут Кудрявцева прочитал, тут что-то у Фихтенгольца почерпнул, что-то третье вообще у Садовчничего. Не было такого, чтобы все были хороши во всех темах.
Я бы вообще заострил внимание на тех проблемах, которые привели к появлению каких-то объектов в математике. Все учебники, что я читал в целом были построены как-то так:
Давным-давно... (введение)
Давайте поговорим о множествах
Трах-бах, пределы, непрерывность, сходимость, остаточный член в форме Лагранжа
Ну и как бы ты смотришь на всё это и не понимаешь, а на кой ляд вообще другие нужны? Вот чем остаточный член по Пеано лучше (или хуже?) Лагранжа? Да бог его знает, вот они просто есть. А уж когда начинаются какие-нибудь функции нескольких перменных, то тут всё, сливай воду.
Точно та же история с дифурами, к слову. Вот вам N типов уравнений, делайте с этим что хотите.
Я, впрочем, математик не настоящий, а прикладной. Может быть людям, которые угорают по фундаментальной математике, это всё мало того, что интересно само по себе, так ещё и интуитивно понятно. Но вот мне хотелось бы понимания, зачем инструменты появились и какие задачи можно с их помощью решить.
Пеано хорош тем, что он очень простой, Лагранжа хорош тем, что повсеместно используется в вычислительной математике.
Да, нужно мотивацию определений давать. Но когда мы говорим про вводные темы, аксиомы, основания, там мотивация в том, чтобы строго рассуждать и не ошибаться.
А не думали о том, что, условно, уйдя от определения сходимости по Коши к определению по Гейне вы просто меняете одну часть непонимающих читателей на другую (вопрос о том, как эти части соотносятся я не поднимаю)?
Может быть, стоило бы рассмотреть вопрос со всех точек зрения? Даже в классическом подходе с засильем эпсилон-дельта языка уделяют время на доказательство эквивалентности определений.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Вводная глава учебника по матанализу нового типа