Несколько лет тому назад я готовился к научно-популярной презентации, в которой рассказывал о числе Пи. Одна из тем была задача Бюффона о бросании иглы. Это любопытный эксперимент о том, как связано бросание иглы на лист бумаги и число Пи.


Тогда в подготовке мне сильно помогла эта статья. В отпускe я начал читать Владимира Игоревича Арнольда книжку «Математическое понимание природы» и наткнулся в ней на элегантное доказательство-рассуждение.


Далее, мой пересказ с иллюстрациями.



Задача


Возьмем лист бумаги, разлинованный параллельными прямыми такими, что расстояние между соседними равно $inline$1$inline$. Бросим случайно иглу длины $inline$1$inline$ на этот лист бумаги. Повторим этот опыт много раз. Пусть $inline$N$inline$ — число всех попыток, а $inline$M$inline$ число пересечений упавшей иглы с линиями на бумаги. Как будет расти с $inline$N$inline$ число пересечений $inline$M$inline$?


Решение


Отношение числа пересечений к числу всех попыток будет стремиться к константе


$$display$$\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{M}{N}=\frac{2}{\pi}$$display$$


Таким образом, если бросить иглу достаточное число раз, то можно получить хорошее приближение к числу Пи.


Доказательство


  1. При $inline$N\rightarrow\infty$inline$ число пересечений будет асимптотически равно $inline$M \sim cN$inline$. Здесь $inline$c$inline$ постоянная, означающая вероятность падения иглы на линию при одном бросании.
  2. Возьмем иглу длиной $inline$2$inline$, тогда число пересечений тоже увеличится в два раза. Удлиняющая половина иглы тоже игла длины $inline$1$inline$, и она тоже падает случайно.
  3. Иглу можно изогнуть. Обе половины дадут прежнее пересечение, а вместе в два раза больше.

  4. Давайте теперь будем бросать кривую иглу длиной $inline$l$inline$, тогда при $inline$N\rightarrow\infty$inline$ число пересечений будет $inline$M \sim cNl$inline$

  5. И напоследок будем бросать окружность диаметром $inline$d=1$inline$.
    Длина такой окружности $inline$l=\pi d= \pi$inline$. При $inline$N\rightarrow\infty$inline$ число пересечений будет асимптотически равно $inline$M \sim cN\pi$inline$.

  6. Однако, такая окружность при любом бросании имеет ровно две точки пересечения. То есть $inline$cN\pi=2N$inline$, а следовательно, $inline$c=\frac{2}{\pi}$inline$
    Таким образом $inline$M \sim \frac{2}{\pi}N$inline$ или $inline$\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{M}{N}=\frac{2}{\pi}$inline$