Это же стандартный принцип предельного процесса в анализе: любое вещественное число можно аппроксимировать конечными дробями, но точное значение достигается лишь как предел этих приближений. Т. е если рассматривать вычислительный аспект, то бесконечную двоичную дробь нельзя получить за конечное число шагов при явном построении. Но это верно для любой непрерывной функции, записанной в конечной точности
Функция Кантора действительно существует, и её построение вполне конструктивно. Она определяется как предел последовательности кусочно-линейных функций, каждая из которых непрерывна, монотонно неубывающая и ограничена. Если рассмотреть стандартное построение через пошаговое разбиение отрезка и назначение значений на краях оставшихся интервалов, то видно, что каждая следующая функция в последовательности строится на основе предыдущей, уточняя её значения, но не нарушая уже установленные точки. Это типичный пример поточечнойсходимости.
Кроме того, все приближающие функции образуют монотонную неубывающую последовательность ограниченных функций (от 0 до 1). По теореме о монотонной сходимости функций (без необходимости аксиомы выбора) такая последовательность обязательно имеет поточечный предел, который и является функцией Кантора.
Никаких тонких вопросов с аксиомой выбора тут не возникает, потому что построение явно даёт предельную функцию, а её сходимость можно обосновать стандартными аналитическими методами.
По поводу где посмотреть доказательства, могу посоветовать несколько источников: 1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (раздел о поточечной сходимости). 2. Более глубокий разбор обычно в учебниках по теории меры и функциональному анализу, например Bartle, R. G. The Elements Of Integration And Lebesgue Measure
Под «нигде не дифференцируема» обычно подразумевают, что функция не имеет конечной производной во всех точках множества, где она действительно изменяется. Производная действительно существует и равна нулю почти всюду, но именно на множестве Кантора (где функция поднимается) она либо не определена, либо имеет разрывные скачки. Если функция постоянна на некотором интервале, то она, конечно, дифференцируема там с нулевой производной. Однако это не делает её глобально дифференцируемой. В точках канторова множества (а именно там происходит весь рост функции) производная либо не существует (потому что функция делает скачок на новую ступеньку), либо равна нулю с одной стороны и принимает другое значение с другой.
Т. е, если говорить строго, она действительно дифференцируема почти всюду вне множества Кантора, но в точках Кантора дифференцируемость нарушается. А так как именно там происходит весь нетривиальный рост функции, её относят к нигде не дифференцируемым примерам в классическом понимании этого термина.
Я бы не назвал это бесполезным – всё же оно имеет довольно важное теоретическое значение. Согласен, что на практике подобные построения не являются стандартным инструментом и применяются достаточно редко. Я использовал его для исследования поведения градиентных методов на функциях с плато и резкими скачками. Такие исследования показывают, где стандартные методы сталкиваются с трудностями и как можно улучшить их устойчивость.
Пример Вейерштрасса — отличный способ показать, как математика умеет ломать интуицию. Мы привыкли, что если функция непрерывна, то она «почти везде» гладкая, но тут тебе буквально дают пример, где это вообще не так.
Есть еще несколько "странных" функций:
1. Функция Дирихле — просто хаос. Она равна 1 на рациональных числах и 0 на иррациональных. Она нигде не является непрерывной, но при этом технически определена везде. В каком-то смысле это полный антоним функции Вейерштрасса.
2. Функция Кантора — это когда берёшь отрезок [0,1] и начинаешь выбрасывать из него середины (как в канторовом множестве). Получается функция, которая растёт, но нигде не имеет производной, а при этом она остаётся непрерывной и даже ограниченной.
3. Функция Римана (ζ(x) = сумма от 1 до ∞ (sin(n²)/n²)) — выглядит как хаос, но при этом гладкая почти везде, кроме множества, где вообще сложно определить, что происходит.
4. Функция Монстр (из теории распределений) — есть такие жуткие примеры, когда функция может быть дифференцируема почти везде, но её производная нигде не является непрерывной.
Если кто-то хочет пощупать эти функции, можно попробовать написать их на python и посмотреть, как они ведут себя на графиках. Особенно интересно получается, если анимировать изменение параметров
Ну, экология – это всегда удобный рычаг, когда хочется что-то прикрыть или наоборот развернуть. В 90-е и 2000-е она точно была аргументом, но, конечно, не единственным. Тут скорее комплекс: дешевизна китайского сырья, отсутствие стратегического взгляда у западных стран и общее желание вынести грязные производства подальше.
Но суть правильная – как только зависимость от Китая стала политической проблемой, сразу нашлись технологии, которые и отходы перерабатывают, и радиоактивность уже никого не смущает. Так что да, на самом деле речь всегда шла о деньгах, а экология – это просто удобная вывеска, которую используют по ситуации.
Но для нас, обычных людей, этот вопрос всё равно важен. Потому что когда производство переносили в Китай, экологические проблемы просто стали чьими-то проблемами, а не исчезли.
Теперь, когда добычу редкоземельных пытаются вернуть в США, Австралию и Европу, они вынуждены вкладываться в более чистые технологии — не потому что стали добрее, а потому что граждане там не готовы терпеть такой же беспредел, как в 90-е. В итоге, возможно, мы всё-таки увидим баланс между экономикой и адекватным подходом к отходам, а не просто гонку за самой дешёвой добычей.
В конечном итоге вопрос не в том, можно ли добывать РЗЭ без вреда (технически это уже возможно), а в том, готовы ли мы платить за более чистые технологии. Пока бизнес и государства идут туда, где дешевле, но если общество начнёт требовать прозрачности и контроля, может статься, что будущее за действительно устойчивыми способами добычи, а не просто переносом грязных производств из одной страны в другую.
1.Бифляция — да, это интересное явление, но вопрос в том, насколько долго оно может сохраняться. Исторически такие ситуации обычно разрешались в одну из сторон: либо инфляция берёт верх, либо наступает полноценная дефляция. Если смотреть на текущие тенденции, то скорее инфляционная часть останется доминирующей, особенно если ФРС в какой-то момент начнёт смягчать политику.
2.Стагфляция — всё очень похоже на 70-е, но экономика сейчас другая. Тогда экономика была более индустриальной, а сейчас многие сектора (тех, финансы) менее зависимы от классического производства. Вопрос в том, насколько текущее положение затянется, потому что решения через повышение ставок, как в 80-х, сейчас будут куда болезненнее.
3.CPI vs реальная инфляция — ну да, методики менялись, ShadowStats дают интересную картину. И даже если не углубляться в теорию, то всё видно по обычным ценам: аренда, еда, коммуналка — всё растёт быстрее официальных цифр. Так что люди не зря ощущают инфляцию сильнее, чем её показывает статистика.
4.Передел активов — ну тут, наверное, вопрос в масштабе. В любом кризисе кто-то теряет, а кто-то покупает дешёвые активы, и это реально перераспределение капитала. Вспомним тот же 2008-й, когда фонды скупали недвижку за копейки. Может, это и не глобальный передел, но процессы явно идут.
5.Фондовый рынок и реальная экономика — в долгосроке они, конечно, связаны, но в короткой перспективе фондовый рынок живёт своей жизнью. Пока есть ликвидность и вера в то, что «ФРС спасёт», он может расти даже при спаде в реальном секторе. Дотком-пузырь в 2000-х — классный пример: экономика тормозит, а акции летают.
6.Кризисы не повторяются — полностью согласен. История рифмуется, но не повторяется 1 в 1. Хотя механизмы схожи: долги, перекосы, ошибки в политике. Так что да, нынешняя ситуация — это что-то новое, но общие паттерны вполне узнаваемые.
Если смотреть на ситуацию с макроэкономической точки зрения, то идея «инфляционной депрессии» звучит как оксюморон. Депрессия обычно сопровождается дефляцией (как в 1930-х), а инфляция — это признак перегрева или структурных проблем в экономике. Но если копнуть глубже, то можно увидеть, что в данном случае речь идёт о стагфляции — когда экономика стагнирует, но цены продолжают расти.
Что меня больше всего заинтересовало в статье — это вопрос о реальной инфляции. Официальные данные CPI (индекс потребительских цен) не всегда отражают реальное положение дел, особенно с учётом манипуляций с корзиной товаров. Люди ощущают рост цен сильнее, чем это показывают официальные цифры.
Также интересный момент про рынок коммерческой недвижимости. Мы действительно можем наблюдать начало большого передела активов. Если офисы продолжают пустовать, а крупные компании начинают отказываться от аренды — это серьёзный сигнал о трансформации экономики, который может повлиять и на банковский сектор (ведь банки держат эти активы как залоги).
Но тут важно помнить, что финансовые рынки и реальная экономика — это не одно и то же. Фондовый рынок может расти, даже если экономика находится в застое. Всё зависит от денежно-кредитной политики, настроений инвесторов и ликвидности.
В общем, ситуация сложная. Это не классическая депрессия, но сочетание высокой инфляции, слабого роста и проблем на рынке активов действительно выглядит тревожно.
Не спорю, что не вся добыча редкоземельных связана с катастрофическим ущербом, но сказать, что это просто "как любая другая горнорудная деятельность", тоже упрощение. Проблема не только в объёмах отходов, но и в том, что редкоземельные металлы часто идут в смеси с торием и ураном, из-за чего отходы бывают радиоактивными. Поэтому в том же Китае, Малайзии и США вопрос захоронения таких хвостов стоит остро.
Про монополию Китая — да, согласен, там и запасы большие, и политика грамотная, но нельзя недооценивать и фактор экологии. В 80-90-е США и другие страны сознательно свернули производство, потому что оно оказалось грязным и дорогим. Китай же в это время активно развивал отрасль, предлагая дешёвый экспорт за счёт слабых экологических норм. Сейчас, кстати, сам Китай ужесточает регулирование, и появляются попытки вернуть часть добычи в США и Австралию. Так что экологический фактор тут всё-таки не на последнем месте.
Интересный обзор, особенно про историю открытия и применение. Но чувствуется, что вопрос экологии добычи остался за кадром. Ведь помимо редкости, главная проблема этих металлов — дикий ущерб окружающей среде. Китай почти монополист в этой сфере именно потому, что другие страны не хотят иметь у себя радиоактивные хвостохранилища. Было бы круто увидеть разбор перспективных альтернатив, типа переработки или редкоземельных-free технологий, если такие реально разрабатываются.
Согласен с автором статьи: чем дальше продвигаешься в разработке, тем больше ценишь крепкую математическую базу. На младших позициях часто хватает готовых инструментов и наработанных практик, но по мере роста задач и ответственности математика — это не просто «формулы ради формул», а фундаментальный язык для решения сложных инженерных (и не только) проблем.
Глубже понимаешь технологии. Если знаком с математикой, можно не только нажимать на «кнопочки» библиотек, но и понимать, как они устроены. Особенно важно в областях вроде AI, криптографии, анализа данных — без математики они очень быстро становятся чёрным ящиком.
Прокачиваешь абстрактное мышление. Математика помогает структурировать задачи и видеть в них общие закономерности, а не тонуть в деталях. При проектировании систем или оптимизации алгоритмов это умение сильно экономит время и силы.
Выбираешь оптимальные решения. Грамотная математическая база позволяет глубже разбираться в алгоритмике, статистике, вероятности и т.д. В итоге не приходится долго гадать, почему система тормозит или как лучше построить логику распределения нагрузки.
Растёшь по грейду. На позиции синьора, тимлида, архитектора — приходится работать со сложными концепциями: от распределённых систем до ML-моделей. Там без крепкой теории быстро упрёшься в потолок, потому что задачи выходят за рамки «готовых рецептов».
Это я сам исследовал и тесты проводил)
Это же стандартный принцип предельного процесса в анализе: любое вещественное число можно аппроксимировать конечными дробями, но точное значение достигается лишь как предел этих приближений.
Т. е если рассматривать вычислительный аспект, то бесконечную двоичную дробь нельзя получить за конечное число шагов при явном построении. Но это верно для любой непрерывной функции, записанной в конечной точности
Хороший вопрос)
Функция Кантора действительно существует, и её построение вполне конструктивно. Она определяется как предел последовательности кусочно-линейных функций, каждая из которых непрерывна, монотонно неубывающая и ограничена.
Если рассмотреть стандартное построение через пошаговое разбиение отрезка
Кроме того, все приближающие функции образуют монотонную неубывающую последовательность ограниченных функций (от 0 до 1). По теореме о монотонной сходимости функций (без необходимости аксиомы выбора) такая последовательность обязательно имеет поточечный предел, который и является функцией Кантора.
Никаких тонких вопросов с аксиомой выбора тут не возникает, потому что построение явно даёт предельную функцию, а её сходимость можно обосновать стандартными аналитическими методами.
По поводу где посмотреть доказательства, могу посоветовать несколько источников:
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (раздел о поточечной сходимости).
2. Более глубокий разбор обычно в учебниках по теории меры и функциональному анализу, например Bartle, R. G. The Elements Of Integration And Lebesgue Measure
Под «нигде не дифференцируема» обычно подразумевают, что функция не имеет конечной производной во всех точках множества, где она действительно изменяется. Производная действительно существует и равна нулю почти всюду, но именно на множестве Кантора (где функция поднимается) она либо не определена, либо имеет разрывные скачки. Если функция постоянна на некотором интервале, то она, конечно, дифференцируема там с нулевой производной. Однако это не делает её глобально дифференцируемой. В точках канторова множества (а именно там происходит весь рост функции) производная либо не существует (потому что функция делает скачок на новую ступеньку), либо равна нулю с одной стороны и принимает другое значение с другой.
Т. е, если говорить строго, она действительно дифференцируема почти всюду вне множества Кантора, но в точках Кантора дифференцируемость нарушается. А так как именно там происходит весь нетривиальный рост функции, её относят к нигде не дифференцируемым примерам в классическом понимании этого термина.
Это функция Дирихле
Я бы не назвал это бесполезным – всё же оно имеет довольно важное теоретическое значение. Согласен, что на практике подобные построения не являются стандартным инструментом и применяются достаточно редко. Я использовал его для исследования поведения градиентных методов на функциях с плато и резкими скачками. Такие исследования показывают, где стандартные методы сталкиваются с трудностями и как можно улучшить их устойчивость.
Пример Вейерштрасса — отличный способ показать, как математика умеет ломать интуицию. Мы привыкли, что если функция непрерывна, то она «почти везде» гладкая, но тут тебе буквально дают пример, где это вообще не так.
Есть еще несколько "странных" функций:
1. Функция Дирихле — просто хаос. Она равна 1 на рациональных числах и 0 на иррациональных. Она нигде не является непрерывной, но при этом технически определена везде. В каком-то смысле это полный антоним функции Вейерштрасса.
2. Функция Кантора — это когда берёшь отрезок [0,1] и начинаешь выбрасывать из него середины (как в канторовом множестве). Получается функция, которая растёт, но нигде не имеет производной, а при этом она остаётся непрерывной и даже ограниченной.
3. Функция Римана (ζ(x) = сумма от 1 до ∞ (sin(n²)/n²)) — выглядит как хаос, но при этом гладкая почти везде, кроме множества, где вообще сложно определить, что происходит.
4. Функция Монстр (из теории распределений) — есть такие жуткие примеры, когда функция может быть дифференцируема почти везде, но её производная нигде не является непрерывной.
Если кто-то хочет пощупать эти функции, можно попробовать написать их на python и посмотреть, как они ведут себя на графиках. Особенно интересно получается, если анимировать изменение параметров
НА ДУ ЛИ, просто нагло обманули :)
Ну, экология – это всегда удобный рычаг, когда хочется что-то прикрыть или наоборот развернуть. В 90-е и 2000-е она точно была аргументом, но, конечно, не единственным. Тут скорее комплекс: дешевизна китайского сырья, отсутствие стратегического взгляда у западных стран и общее желание вынести грязные производства подальше.
Но суть правильная – как только зависимость от Китая стала политической проблемой, сразу нашлись технологии, которые и отходы перерабатывают, и радиоактивность уже никого не смущает. Так что да, на самом деле речь всегда шла о деньгах, а экология – это просто удобная вывеска, которую используют по ситуации.
Но для нас, обычных людей, этот вопрос всё равно важен. Потому что когда производство переносили в Китай, экологические проблемы просто стали чьими-то проблемами, а не исчезли.
Теперь, когда добычу редкоземельных пытаются вернуть в США, Австралию и Европу, они вынуждены вкладываться в более чистые технологии — не потому что стали добрее, а потому что граждане там не готовы терпеть такой же беспредел, как в 90-е. В итоге, возможно, мы всё-таки увидим баланс между экономикой и адекватным подходом к отходам, а не просто гонку за самой дешёвой добычей.
В конечном итоге вопрос не в том, можно ли добывать РЗЭ без вреда (технически это уже возможно), а в том, готовы ли мы платить за более чистые технологии. Пока бизнес и государства идут туда, где дешевле, но если общество начнёт требовать прозрачности и контроля, может статься, что будущее за действительно устойчивыми способами добычи, а не просто переносом грязных производств из одной страны в другую.
1.Бифляция — да, это интересное явление, но вопрос в том, насколько долго оно может сохраняться. Исторически такие ситуации обычно разрешались в одну из сторон: либо инфляция берёт верх, либо наступает полноценная дефляция. Если смотреть на текущие тенденции, то скорее инфляционная часть останется доминирующей, особенно если ФРС в какой-то момент начнёт смягчать политику.
2.Стагфляция — всё очень похоже на 70-е, но экономика сейчас другая. Тогда экономика была более индустриальной, а сейчас многие сектора (тех, финансы) менее зависимы от классического производства. Вопрос в том, насколько текущее положение затянется, потому что решения через повышение ставок, как в 80-х, сейчас будут куда болезненнее.
3.CPI vs реальная инфляция — ну да, методики менялись, ShadowStats дают интересную картину. И даже если не углубляться в теорию, то всё видно по обычным ценам: аренда, еда, коммуналка — всё растёт быстрее официальных цифр. Так что люди не зря ощущают инфляцию сильнее, чем её показывает статистика.
4.Передел активов — ну тут, наверное, вопрос в масштабе. В любом кризисе кто-то теряет, а кто-то покупает дешёвые активы, и это реально перераспределение капитала. Вспомним тот же 2008-й, когда фонды скупали недвижку за копейки. Может, это и не глобальный передел, но процессы явно идут.
5.Фондовый рынок и реальная экономика — в долгосроке они, конечно, связаны, но в короткой перспективе фондовый рынок живёт своей жизнью. Пока есть ликвидность и вера в то, что «ФРС спасёт», он может расти даже при спаде в реальном секторе. Дотком-пузырь в 2000-х — классный пример: экономика тормозит, а акции летают.
6.Кризисы не повторяются — полностью согласен. История рифмуется, но не повторяется 1 в 1. Хотя механизмы схожи: долги, перекосы, ошибки в политике. Так что да, нынешняя ситуация — это что-то новое, но общие паттерны вполне узнаваемые.
Если смотреть на ситуацию с макроэкономической точки зрения, то идея «инфляционной депрессии» звучит как оксюморон. Депрессия обычно сопровождается дефляцией (как в 1930-х), а инфляция — это признак перегрева или структурных проблем в экономике. Но если копнуть глубже, то можно увидеть, что в данном случае речь идёт о стагфляции — когда экономика стагнирует, но цены продолжают расти.
Что меня больше всего заинтересовало в статье — это вопрос о реальной инфляции. Официальные данные CPI (индекс потребительских цен) не всегда отражают реальное положение дел, особенно с учётом манипуляций с корзиной товаров. Люди ощущают рост цен сильнее, чем это показывают официальные цифры.
Также интересный момент про рынок коммерческой недвижимости. Мы действительно можем наблюдать начало большого передела активов. Если офисы продолжают пустовать, а крупные компании начинают отказываться от аренды — это серьёзный сигнал о трансформации экономики, который может повлиять и на банковский сектор (ведь банки держат эти активы как залоги).
Но тут важно помнить, что финансовые рынки и реальная экономика — это не одно и то же. Фондовый рынок может расти, даже если экономика находится в застое. Всё зависит от денежно-кредитной политики, настроений инвесторов и ликвидности.
В общем, ситуация сложная. Это не классическая депрессия, но сочетание высокой инфляции, слабого роста и проблем на рынке активов действительно выглядит тревожно.
Не спорю, что не вся добыча редкоземельных связана с катастрофическим ущербом, но сказать, что это просто "как любая другая горнорудная деятельность", тоже упрощение. Проблема не только в объёмах отходов, но и в том, что редкоземельные металлы часто идут в смеси с торием и ураном, из-за чего отходы бывают радиоактивными. Поэтому в том же Китае, Малайзии и США вопрос захоронения таких хвостов стоит остро.
Про монополию Китая — да, согласен, там и запасы большие, и политика грамотная, но нельзя недооценивать и фактор экологии. В 80-90-е США и другие страны сознательно свернули производство, потому что оно оказалось грязным и дорогим. Китай же в это время активно развивал отрасль, предлагая дешёвый экспорт за счёт слабых экологических норм. Сейчас, кстати, сам Китай ужесточает регулирование, и появляются попытки вернуть часть добычи в США и Австралию. Так что экологический фактор тут всё-таки не на последнем месте.
Интересный обзор, особенно про историю открытия и применение. Но чувствуется, что вопрос экологии добычи остался за кадром. Ведь помимо редкости, главная проблема этих металлов — дикий ущерб окружающей среде. Китай почти монополист в этой сфере именно потому, что другие страны не хотят иметь у себя радиоактивные хвостохранилища. Было бы круто увидеть разбор перспективных альтернатив, типа переработки или редкоземельных-free технологий, если такие реально разрабатываются.
Согласен с автором статьи: чем дальше продвигаешься в разработке, тем больше ценишь крепкую математическую базу. На младших позициях часто хватает готовых инструментов и наработанных практик, но по мере роста задач и ответственности математика — это не просто «формулы ради формул», а фундаментальный язык для решения сложных инженерных (и не только) проблем.
Глубже понимаешь технологии. Если знаком с математикой, можно не только нажимать на «кнопочки» библиотек, но и понимать, как они устроены. Особенно важно в областях вроде AI, криптографии, анализа данных — без математики они очень быстро становятся чёрным ящиком.
Прокачиваешь абстрактное мышление. Математика помогает структурировать задачи и видеть в них общие закономерности, а не тонуть в деталях. При проектировании систем или оптимизации алгоритмов это умение сильно экономит время и силы.
Выбираешь оптимальные решения. Грамотная математическая база позволяет глубже разбираться в алгоритмике, статистике, вероятности и т.д. В итоге не приходится долго гадать, почему система тормозит или как лучше построить логику распределения нагрузки.
Растёшь по грейду. На позиции синьора, тимлида, архитектора — приходится работать со сложными концепциями: от распределённых систем до ML-моделей. Там без крепкой теории быстро упрёшься в потолок, потому что задачи выходят за рамки «готовых рецептов».