Важно понимать: из отсутствия границы не следует автоматически бесконечная вместимость или количественная беспредельность. Мы не утверждаем, что бытие «бесконечно велико» в привычном пространственном смысле. Мы утверждаем, что оно не может быть ограничено ничем внешним, а значит, всякая попытка ограничить его — это внутренняя операция внутри него самого. И потому любое представление о конечности будет частным случаем внутри бесконечного.
С этим примечанием стало лучше, хотя при прочтении остаётся много возможностей для путаницы между наличием/отсутствием границы/конца/края и, так сказать, сколь угодно большой (в этом смысле бесконечной) вместимостью. Правда, тут, к сожалению, язык нам сильно мешает, создавая ассоциации между математически не однозначно связанными понятиями. Но как понимать последнее, итоговое утверждение — мне пока не ясно.
Если я правильно понял, "бог" у вас включает "просто вот так устроена Вселенная", потому что это не объяснение. (Хотя по-моему, с чего-то базового в любом случае нужно начинать, глубже или более поверхностно, но без эмпирических аргументов это практически вопрос вкуса. И ещё я считаю, что циклические аргументы не работают.)
Мой повторяющийся вопрос в том, почему отсутствие зацикленности не настолько же неудовлетворительно в духе "просто вот так устроена Вселенная"? Простота не кажется объективным критерием, я уже приводил субъективные факторы, которые могут влиять на её восприятие.
Объяснение причин отсутствия зацикленности вам не нужно/достаточно того, что это (кажется) проще?
вот мы жили на шаре, считали землю плоской. математическая абстракцию дал Евклид 2300 лет назад.
затем наткнулись на зацикленность и её объяснили: мы живём на шаре.
если представить что самолётов/космических кораблей мы не построили и подтвердить шарообразность не могли, то у нас было бы два объяснения (мы - плоские люди):
мы живём на объекте, замкнутом в третьей координате
бог нас возвращает на юг, когда мы шагаем на север
Для начала, первое кругосветное путешествие (однозначное эмпирическое свидетельство именно зацикленности) закончилось в 1522, а сферичность Земли доказывали ещё древние греки по другим свидетельствам (форма тени на Луне во время лунных затмений, например).
И мы вроде бы оба признавали, что люди не плоские, а трёхмерные, что было понятно ещё раньше. Наши лучи зрения не ползут по Земле, как было бы у настоящих двухмерных существ, прикованных к её поверхности.
а почему кажется естественным? потому что это наиболее простое объяснение. более сложные или отрезаем бритвой Оккама или используем только при убедительных доказательствах их необходимости (релятивистская vs классическая механика, например).
Видимо, бесконечное пространство проще, потому что там можно просто складывать координату со смещением и не надо брать дробные части (или "делить с остатком" как в Python).
А это точно не из-за порядка обучению арифметике в школе? По-моему, при желании можно было бы начинать и с целочисленной арифметики по модулю (мотивацией могли бы быть компьютеры, например), а потом уже учить обычной, тогда и понятие о простоте могло бы быть другим.
Мы тут полностью зациклились, вернувшись к началу:
вы доказали разве что отсутствие границы/края бытия и сразу сделали "очевидный" вывод о неограниченной (бесконечно большой) вместимости (слова ОЧЕНЬ неудачные, потому что все намекают на границу/конец ≈ край, но во второй части не это имеется в виду! а то, что никаким фиксированным количеством объектов определённого размера пространство не заполнить)
а я говорю: не так уж это и очевидно, надо обосновать. Докажите, или оговорите, что это менее надёжный/более слабый переход.
пересчитывающий компьютер является внешним по отношению к изобретаемому нами миру объектом, то есть - бог (и не важно делает ли он невидимой склейку или нет)
Какой вообще пересчитывающий компьютер? Вам же вроде не нужен компьютер для расчёта новых координат после смещения на бесконечной прямой?
Склеенный отрезок — это математическая абстракция, как и бесконечные прямая/плоскость/пространство.
я не вижу как может быть склеен отрезок в одномерном пространстве, если второй мерности нет. Просто не могу представить подобного.
если бы я был одномерным человеком, для меня такое объяснение было бы того же уровня, что и "бог".
А вы не допускаете, что для одномерных людей на окружности склеивание отрезка могло бы быть совершенно естественно, а вот бесконечная прямая - наоборот?
Я вроде уже поднимал не такой очевидный вопрос, почему многим людям (включая вас) кажется естественным именно бесконечное пространство. Конечно, в нашем эмпирическом опыте, особенно повседневном, нет явных/конкретных свидетельств замкнутости. Но по опыту и нельзя строго заключить, что если лететь в одном направлении, никогда не вернуться обратно.
Ещё один момент для размышлений: уточню, что в примере со склеенным отрезком нет одной особой точки склейки, можно разрезать отрезок по любой другой точке (началу отсчёта) и переместить склейки в другую точку, в результате ничего не изменится. (Скажем, в Python это преобразование координат при смещении начала отсчёта будет (x + shift) % period.) В описанной мной симуляции то же самое, только по трём осям сразу; т.е. концептуально компьютер не обязательно "телепортирует" объекты на выходе за стенки, а это вот такое интересное пространство без начала и конца, но не бесконечной вместимости. Т.е. вроде как нет выделенного момента, где вмешиваются божественные силы. Хотя вам, похоже, кажется, что правила в целом слишком неестественны и потому должны быть установлены извне — но вот можно ли это доказать, или это вопрос веры?
Кстати, если такое бы кто-то нашёл: например Вояджер с какого-то момента вдруг бы начал приближаться к земле, пролетев сквозь границу, то это было бы хорошей гирей на весах симулированности нашего мира: ведь тогда и звёзды оказались бы внемировым изображением.
Если мы говорим о симуляции в периодической "коробке" (periodic box), то мы бы увидели копию, скажем, "Вояджера" с другой стороны, и это она стала бы приближаться, а "оригинал" бы непрерывно удалялся дальше. Вообще у любого объекта есть бесконечное количество копий/реплик, повторяющихся каждый период по каждой оси, но на практике многие из них будут слишком маленькими и/или тусклыми, чтобы их видеть. И наложить внемировое изображение нельзя, некуда.
Конечно, симуляцию можно и по-другому построить, например, с отражающими или заранее заданными непроницаемыми границами. Вот в последнем случае можно там "нарисовать" внешние звёзды и т.д.
Из отсутствия границы бытия сделан не такой уж очевидный вывод, что в нём помещается бесконечное количество объектов. По-моему, это стоило было бы доказать. Можно, конечно, использовать интуицию, аналогии или отсутствие материалистического контрпримера, но это всё более слабые, менее надёжные аргументы.
Вопрос, который я повторяю: почему не нужно объяснять бесконечное пространство, оно само собой разумеется? Может, конечно, это я неправильно мыслю, в философии и конкретно материализме не силён. По-моему, Вселенная устроена так, как она устроена, у нас может получиться или не получиться придумать под это красивые глубокие причины, и всё равно для начала придётся что-то принять или не принять практически по вкусу (вероятно, не самое подходящее мнение в обсуждении такого поста).
я не вижу как может быть склеен отрезок в одномерном пространстве, если второй мерности нет. Просто не могу представить подобного.
если бы я был одномерным человеком, для меня такое объяснение было бы того же уровня, что и "бог".
Принимаю, хотя и не соглашаюсь. По-моему, это элементарная операция, очень уж далёкая от уровня, требующего божественного вмешательства, но потенциально убедительные (для вас) аргументы, кажется, кончились. И до сих пор не совсем понимаю, почему бесконечная евклидова геометрия настолько более естественна и вопросов (вроде как) не вызывает.
я понимаю аналогию, но не понимаю как бы мог подобным способом быть устроен материалистический мир.
По-моему, то, что кто-то не понимает, не значит, что мир не может быть так устроен. Вселенная нам (всем) не должна быть понятной, да и вообще вряд ли что-то должна.
одномерное - это вдоль одной оси, например X. Но без участия оси Y окружность не построить - нужна вторая мерность.
Прекрасно строится и по одной оси, просто по выходу за конец отрезка возвращаемся в начало, они как бы склеены. (Если возражаете, то спросите себя, а почему нет-то?)
Мы так делаем симуляции в кубическом объёме, у которого вообще все три пары противоположных граней аналогично склеены: при выходе наружу через одну всё заходит обратно внутрь через противоположную. При этом четвёртая пространственная координата совершенно не нужна (можно её как-то добавить, но зачем? да и вложить такую топологию в непериодичное евклидово пространство совсем не так очевидно, как окружность/цилиндр или следующий уровень — тор). Если что, локальных искривлений пространства при этом нет. Это трюк для симулирования безграничной Вселенной в конечном объёме, предотвращающий (некоторые) артефакты у краёв.
как трёхмерные люди придумали четырёхмерную евклидову геометрию? экстраполировали свою мерность на большее число измерений.
Тут да, экстраполировать можно. Это только не значит, что четырёхмерное евклидово пространство должно существовать в реальности.
одномерное пространство но замыкается именно во второй мерности
Это как вообще?
одномерные люди СПЕРВА откроют ......евклидову геометрию, а только потом обнаружат что в большом она не евклидова а лобачевского/римана
Как, по-вашему, одномерным людям на окружности открыть (бесконечную) двухмерную евклидову геометрию? Люди на двухмерной поверхности Земли всё-таки изначально трёхмерные и в этом вообще вроде бы никто не сомневался.
Впрочем, если вы готовы в это верить без доказательств, на основе интуиции и/или исторических аналогий, то вряд ли вас можно переубедить.
представьте, что учёные доказали, что если полететь на астрономический север, то когда-нибудь вернёшься с юга. Как такое может быть, если пространство трёхмерно, а летим именно прямо?
это не пример замкнутого объекта. здесь нет замкнутости, а только искажённая метрика. а-ля геометрия на шаре.
То есть (если я не ошибаюсь) я говорю о замкнутой ТОПОЛОГИИ, а Вы говорите об искривлённой ГЕОМЕТРИИ.
Ага, до сих пор мне было не понятно, что вам без дополнительных измерений скорее не понятна эта замкнутость/периодичность (т.е. топология), чем неевклидовость метрики.
Но вот как-то так получается, что если начать локальную геометрию на шаре (метрику Римана с постоянной положительной кривизной) продлевать всё дальше и дальше, то она замыкается топологически. Насколько я понимаю, этого нельзя избежать, если не начать менять кривизну как минимум. Боюсь, что (пока) не могу это лучше объяснить — я вообще не математик, а астрофизик.
Ну, разве что могу помахать руками, что в сферической геометрии диаметр окружности радиуса становится всё более значительно меньше , так что он рано или поздно начинает убывать, а потом вообще уменьшается в ноль — та окружность сжимается в точку-антипод, и оттуда уже некуда двигаться ещё дальше, остаётся только обратно тем или иным путём. Но это вряд ли сильно удовлетворительно.
если пространство искривлено и таким образом замкнуто (важно!), то обязательно есть какое-то измерение по которому это искривление проходит.
Вы можете это опровергнуть (снова не спор, а вопрос)?
С точки зрения абстрактной математики опровержение в том, что можно прекрасно описать как искривление, так и замкнутую топологию без дополнительных измерений. Это немного в духе "ну просто скажем, что пространство искривлено и/или замкнуто", но почему пространство должно быть евклидово и/или не замкнуто — просто потому, что иное противоречит интуиции? Многие вещи в реальности вроде (как нам сейчас кажется) тоже противоречат интуиции.
Конкретно про замкнутость простейший пример. Допустим, есть окружность единичной длины, по которой можно двигаться, и вам кажется, что раз она замкнута, то должна быть вложена в двухмерное (хотя бы) пространство. Но я вам скажу, что я её опишу как полуоткрытый отрезок [0, 1), где смещение на из координаты переводит нас в координату, равную дробной части от . И в чём фундаментальная разница?
Если вы хотите эмпирическое опровержение, то оно требует существующего контрпримера: какого-то физического искривлённого пространства без дополнительного измерения. Вот такого вроде пока нет, действительно. Но в этом случае встречный вопрос, можно ли ваше утверждение доказать? Кажется, что эмпирически это строго невозможно, никакое количество примеров не даст общего утверждения. Так на каких основаниях вы на нём настаиваете?
для плоских жителей плоского листа (из которого склеен цилиндр или сфера) будет (цитата из Вас) "существование третьего измерения не обосновано", но это будет вполне рациональная, научная гипотеза мироустройства.
Гипотеза как гипотеза, я не писал, что такого быть не может. Но в некоторых из ваших комментариев существование дополнительных измерений читается как необходимость при неевклидовости пространства, я возражал насчёт этого. Так и у плоского пространства можно предположить дополнительные измерения, просто в любом случае их существование под сомнением без более конкретных свидетельств. А если это гипотеза, не дающая реальных преимуществ, то вариант с меньшей размерностью пространства вроде бы и проще (по-моему; хотя вам, видимо, наоборот — кажется удобнее мыслить в евклидовом большей размерности, хотя там тоже кое в чём интуиция подводит).
Ну и сферу из плоского листа "нормально" (без деформаций) не склеить. (Сфера искривлена локально, а цилиндр — только глобально.)
приведённые Вами примеры перекладываются на "внешнюю" Евклидову систему координат - о чём я и говорил
Ну вот, например, гиперболическая плоскость (простейший пример геометрии Лобачевского) так просто и хорошо не вкладывается во внешнее евклидово пространство, как сфера. А с помощью метрики описывается аналогично.
У вас тут много чего смешалось и перепуталось. Отчасти понятно — понятие "кривизна" перегружено многими разными смыслами.
вот плоские люди, живущие на листе бумаги. по листу им топать 100 световых лет, но лист согнут и если они по третьей координате пойдут - то могут за один день добраться из точки A в точку B.
Это вы описали червоточину — весьма специальное и неоднородное искривление пространства(-времени). Гипотеза об их существовании очень интересная и захватывающая, но это совсем другой уровень.
Локальная пространственная кривизна, о которой я писал — это не про то, что можно выйти в какое-то внешнее пространство и срезать путь, это чисто внутренняя история, как параллельные и вроде бы локально прямые линии начинают сходиться или расходиться и прочие евклидовы штуки нарушаются.
Например, на сфере сумма углов треугольника больше 180 градусов, и разница тем больше, чем больше площадь того треугольника. Меридианы и экватор являются "прямыми" (геодезическими, кратчайшими путями между своими точками в рамках поверхности). Берём, скажем, северную половину нулевого меридиана, северную половину меридиана 90 градусов восточной долготы и четверть экватора между ними, получаем треугольник с тремя прямыми углами.
Другой пример: на сфере длина "окружности" меньше . Например, в рамках сферы экватор можно считать "окружностью" с центром в северном (или южном) полюсе, так как расстояние вдоль сферы между любой точкой экватора и любым полюсом , где R — радиус сферы, длина экватора при этом, очевидно, .
Вот такие вот приколы. Измеряя достаточно большие фигуры, можно заметить кривизну, не выходя за рамки поверхности. В геометрии Лобачевского (гиперболической) наоборот, сумма углов треугольников уменьшается, а длина окружности больше, чем "должно быть". При этом для неё такой простой пример (с одинаковой всюду кривизной) в трёхмерное пространство не вложить, да и для более высоких размерностей рецепт так просто не найдёте.
теперь покажите мне, как лист может быть не изогнут в координате Z, но иметь искривление пространства?
А если вы начинаете с плоского листа, то его вообще нельзя сделать по-настоящему локально искривлённым без деформаций (растяжений или сжатий). Вы можете возразить, что можно же легко склеить цилиндр, например. Но в цилиндре нет локальных эффектов кривизны, описанных выше. При этом сферу вы без деформаций не склеите.
И повторюсь, что с двухмерным листом в трёхмерном пространстве (как и с поверхностью Земли) вы-то уже знаете, что третье измерение есть, а с трёхмерной Вселенной существование четвёртого измерения не обосновано.
К доказательству научной теории, о котором вы повторяли, к чему же ещё? (Я спросил, какое доказательство имелось в виду, но вы не ответили, остаётся выдвигать версии, что бы это могло быть.)
Какие аксиомы?
Аксиомы/постулаты в основе научных теорий. Хорошо, некоторые из них проверяемы (скажем, принцип относительности) — но на практике невозможно это проделать всегда, везде и во всех принципиально возможных вариантах, что на 100% достоверное эмпирическое доказательство не тянет, скорее неудавшиеся попытки прямого опровержения. А есть и такой прекрасный пример: в квантовой механике одним из постулатов является правило Борна — что плотность вероятности равна квадрату комплексной волновой функции, при этом комплексную волновую функцию пронаблюдать нельзя.
Или это я изначально не распознал тонкую иронию или что-то вроде того?
В естественных науках теории доказуемы разве что из принятых аксиом. Аксиомы зачастую напрямую не проверяемы, так что критерий их верности приемлемости — что их следствия не противоречат эмпирическим опытам. В противном случае теория опровергается.
Кроме того, если копнуть глубже, то (практически) все измерения не точные, а описываются вероятностно. Поэтому и опровергнуть теорию на численном уровне наверняка нельзя, только с вероятностью, приближающейся к единице, но не достигающей её. Порог "официального" опровержения несколько произволен. Есть, например, 5 сигма (т.е. 0.999999426696856), но почему именно столько (на глубинном уровне)?
Любая научная теория доказуема и опровергаема по определению, иначе она не научная (читайте про основные свойства научной теории).
Как, по-вашему, доказать научную теорию?
И никакая теория не претендует на объяснение всего вообще. Максимум, на объяснение наблюдаемых сегодня явлений.
На объяснение всего вообще, пожалуй, действительно не претендуют. Но научные теории предсказывают и то, что не наблюдалось. Иногда это можно проверить в обозримом будущем (и потенциально опровергнуть теорию), но в некоторых случаях реальной возможности не предвидится. И некоторые такие гипотезы многие воспринимают как истины.
Бог же, в любом определении, это нечто принципиально непознаваемое и недоказуемое. Значит, им можно объяснить вообще всё.
Вы уверены насчёт любого определения, с учётом того, что "только ситхи возводят всё в абсолют"? Кроме того, научная аксиома тоже недоказуема (если только не через альтернативные постулаты в рамках уже другой теории); как судить о её познаваемости — мне не ясно.
P.S. А если вы хотите спорить о глубинных смыслах, я, пожалуй, не буду вам мешать.
каким образом тогда пространство может быть искривлено, если координаты искривления нет?
Ну вот так, может быть искривлено само по себе, а не в каком-то внешнем пространстве. Дифференциальная геометрия даёт способы это описать.
Другими словами, почему, по-вашему, должно быть какое-то фундаментальное евклидово (плоское) пространство? Интуиция и исторические аналогии (ещё и не всегда верные) слабоватые аргументы.
моя аналогия была прямой к понятию "плоская земля". очень долго людям не было необходимо считать её в пределах трёх координат, они долго считали в двух.
а потом вдруг оказалось, что можно перейти к Евклидовой 3D-геометрии.
с замкнутой вселенной всё ровно так же.
Я написал, что можно прекрасно считать и сферическую Землю в двух координатах, пока вас интересует только её поверхность. Конечно, в этом случае известно, что третье измерение есть, и оно вроде бы большинству людей понятно. Но вот наличие четвёртого измерения для замкнутой (или открытой) Вселенной совершенно не ясно. В этом я вижу недостаток аналогии.
(Вроде бы и плоскую Землю не считали двухмерной, вопрос был не в наличии третьего измерения, а в форме поверхности, т.к. радиус кривизны довольно большой и на бытовом уровне не очевиден.)
чем больше n мы добавляем к мерности, тем легче задавать вопросы по точкам "что находится в [X1, Y1, Z1, .... A1, B1]"
Не понял, что вы этим хотели сказать?
ну вот сторонники плоской земли считали её 2D евклидово-мерным потом сторонники круглой земли привели (де-факто) к геометрии Лобачевского, но потом опять перешли к евклидовой, но 3D.
теперь если мы придём к тому что у нас 3D Лобачевский или Риман, то что нам может помешать перейти снова к Евклиду? Вообще ничего, мало того, у нас (человечества) такой опыт уже однажды был.
Безусловно, можно ввести евклидово пространство большей размерности, чтобы вложить неевклидово трёхмерное. Но это не доказывает, что дополнительные измерения существуют. Т.е. на ваши вопросы о координатах за пределами бытия может быть ответ, что их на самом деле не существует (потому что вы их придумали ради евклидовости/удобства) и попасть туда нельзя. Как и в случае, если к трёхмерному евклидовому пространству просто так добавить дополнительные измерения. (Может оказаться, что они существуют, но для такого вывода нужны более конкретные основания, чем просто неевклидовость или евклидовость пространства).
P.S. Ещё раз повторю, что геометрией Лобачевского принято называть гиперболическую геометрию, а не сферическую. И гиперболическую плоскость нельзя (изометрически) вложить в трёхмерное пространство, нужна больше размерность (кажется, 4 или 5), однако это не фундаментальная проблема.
По-моему, существенная разница в том, допускаются ли сомнения в законах Вселенной (с Богом/богами или без) на основании эмпирических свидетельств, или они основаны на нерушимом авторитете священных текстов/пророков/гениальных учёных.
Надо понимать, что в научных моделях (пока что) на определённом уровне аксиомы/постулаты, которые в рамках теории не объяснить. Можно простроить более глубокую теорию, в которой постулаты старой являются следствиями новых аксиом. Возможно, при этом количество аксиом уменьшится, или они станут красивее, и т.д. Но нет гарантии, что можно объяснить всё из ничего (без циклических аргументов), это и звучит странно.
Если кто-то решает на таком этапе привлечь высшие силы (например, для придания всему смысла), то я не вижу проблемы, пока тот готов пересмотреть уровень и способ божественного вмешательства ввиду новых аргументов, особенно эмпирических.
А уже спорить о том, универсально лучше постулировать законы Вселенной через Бога или без, вряд ли конструктивно.
С этим примечанием стало лучше, хотя при прочтении остаётся много возможностей для путаницы между наличием/отсутствием границы/конца/края и, так сказать, сколь угодно большой (в этом смысле бесконечной) вместимостью. Правда, тут, к сожалению, язык нам сильно мешает, создавая ассоциации между математически не однозначно связанными понятиями. Но как понимать последнее, итоговое утверждение — мне пока не ясно.
Если я правильно понял, "бог" у вас включает "просто вот так устроена Вселенная", потому что это не объяснение. (Хотя по-моему, с чего-то базового в любом случае нужно начинать, глубже или более поверхностно, но без эмпирических аргументов это практически вопрос вкуса. И ещё я считаю, что циклические аргументы не работают.)
Мой повторяющийся вопрос в том, почему отсутствие зацикленности не настолько же неудовлетворительно в духе "просто вот так устроена Вселенная"? Простота не кажется объективным критерием, я уже приводил субъективные факторы, которые могут влиять на её восприятие.
Объяснение причин отсутствия зацикленности вам не нужно/достаточно того, что это (кажется) проще?
Для начала, первое кругосветное путешествие (однозначное эмпирическое свидетельство именно зацикленности) закончилось в 1522, а сферичность Земли доказывали ещё древние греки по другим свидетельствам (форма тени на Луне во время лунных затмений, например).
И мы вроде бы оба признавали, что люди не плоские, а трёхмерные, что было понятно ещё раньше. Наши лучи зрения не ползут по Земле, как было бы у настоящих двухмерных существ, прикованных к её поверхности.
Видимо, бесконечное пространство проще, потому что там можно просто складывать координату со смещением и не надо брать дробные части (или "делить с остатком" как в Python).
А это точно не из-за порядка обучению арифметике в школе? По-моему, при желании можно было бы начинать и с целочисленной арифметики по модулю (мотивацией могли бы быть компьютеры, например), а потом уже учить обычной, тогда и понятие о простоте могло бы быть другим.
Мы тут полностью зациклились, вернувшись к началу:
вы доказали разве что отсутствие границы/края бытия и сразу сделали "очевидный" вывод о неограниченной (бесконечно большой) вместимости (слова ОЧЕНЬ неудачные, потому что все намекают на границу/конец ≈ край, но во второй части не это имеется в виду! а то, что никаким фиксированным количеством объектов определённого размера пространство не заполнить)
а я говорю: не так уж это и очевидно, надо обосновать. Докажите, или оговорите, что это менее надёжный/более слабый переход.
Какой вообще пересчитывающий компьютер? Вам же вроде не нужен компьютер для расчёта новых координат после смещения на бесконечной прямой?
Склеенный отрезок — это математическая абстракция, как и бесконечные прямая/плоскость/пространство.
А вы не допускаете, что для одномерных людей на окружности склеивание отрезка могло бы быть совершенно естественно, а вот бесконечная прямая - наоборот?
Я вроде уже поднимал не такой очевидный вопрос, почему многим людям (включая вас) кажется естественным именно бесконечное пространство. Конечно, в нашем эмпирическом опыте, особенно повседневном, нет явных/конкретных свидетельств замкнутости. Но по опыту и нельзя строго заключить, что если лететь в одном направлении, никогда не вернуться обратно.
Ещё один момент для размышлений: уточню, что в примере со склеенным отрезком нет одной особой точки склейки, можно разрезать отрезок по любой другой точке (началу отсчёта) и переместить склейки в другую точку, в результате ничего не изменится. (Скажем, в Python это преобразование координат при смещении начала отсчёта будет
(x + shift) % period.) В описанной мной симуляции то же самое, только по трём осям сразу; т.е. концептуально компьютер не обязательно "телепортирует" объекты на выходе за стенки, а это вот такое интересное пространство без начала и конца, но не бесконечной вместимости. Т.е. вроде как нет выделенного момента, где вмешиваются божественные силы. Хотя вам, похоже, кажется, что правила в целом слишком неестественны и потому должны быть установлены извне — но вот можно ли это доказать, или это вопрос веры?Если мы говорим о симуляции в периодической "коробке" (periodic box), то мы бы увидели копию, скажем, "Вояджера" с другой стороны, и это она стала бы приближаться, а "оригинал" бы непрерывно удалялся дальше. Вообще у любого объекта есть бесконечное количество копий/реплик, повторяющихся каждый период по каждой оси, но на практике многие из них будут слишком маленькими и/или тусклыми, чтобы их видеть. И наложить внемировое изображение нельзя, некуда.
Конечно, симуляцию можно и по-другому построить, например, с отражающими или заранее заданными непроницаемыми границами. Вот в последнем случае можно там "нарисовать" внешние звёзды и т.д.
Из отсутствия границы бытия сделан не такой уж очевидный вывод, что в нём помещается бесконечное количество объектов. По-моему, это стоило было бы доказать. Можно, конечно, использовать интуицию, аналогии или отсутствие материалистического контрпримера, но это всё более слабые, менее надёжные аргументы.
Вопрос, который я повторяю: почему не нужно объяснять бесконечное пространство, оно само собой разумеется? Может, конечно, это я неправильно мыслю, в философии и конкретно материализме не силён. По-моему, Вселенная устроена так, как она устроена, у нас может получиться или не получиться придумать под это красивые глубокие причины, и всё равно для начала придётся что-то принять или не принять практически по вкусу (вероятно, не самое подходящее мнение в обсуждении такого поста).
Принимаю, хотя и не соглашаюсь. По-моему, это элементарная операция, очень уж далёкая от уровня, требующего божественного вмешательства, но потенциально убедительные (для вас) аргументы, кажется, кончились. И до сих пор не совсем понимаю, почему бесконечная евклидова геометрия настолько более естественна и вопросов (вроде как) не вызывает.
По-моему, то, что кто-то не понимает, не значит, что мир не может быть так устроен. Вселенная нам (всем) не должна быть понятной, да и вообще вряд ли что-то должна.
Прекрасно строится и по одной оси, просто по выходу за конец отрезка возвращаемся в начало, они как бы склеены. (Если возражаете, то спросите себя, а почему нет-то?)
Мы так делаем симуляции в кубическом объёме, у которого вообще все три пары противоположных граней аналогично склеены: при выходе наружу через одну всё заходит обратно внутрь через противоположную. При этом четвёртая пространственная координата совершенно не нужна (можно её как-то добавить, но зачем? да и вложить такую топологию в непериодичное евклидово пространство совсем не так очевидно, как окружность/цилиндр или следующий уровень — тор). Если что, локальных искривлений пространства при этом нет. Это трюк для симулирования безграничной Вселенной в конечном объёме, предотвращающий (некоторые) артефакты у краёв.
Тут да, экстраполировать можно. Это только не значит, что четырёхмерное евклидово пространство должно существовать в реальности.
Это как вообще?
Как, по-вашему, одномерным людям на окружности открыть (бесконечную) двухмерную евклидову геометрию? Люди на двухмерной поверхности Земли всё-таки изначально трёхмерные и в этом вообще вроде бы никто не сомневался.
Впрочем, если вы готовы в это верить без доказательств, на основе интуиции и/или исторических аналогий, то вряд ли вас можно переубедить.
Ага, до сих пор мне было не понятно, что вам без дополнительных измерений скорее не понятна эта замкнутость/периодичность (т.е. топология), чем неевклидовость метрики.
Но вот как-то так получается, что если начать локальную геометрию на шаре (метрику Римана с постоянной положительной кривизной) продлевать всё дальше и дальше, то она замыкается топологически. Насколько я понимаю, этого нельзя избежать, если не начать менять кривизну как минимум. Боюсь, что (пока) не могу это лучше объяснить — я вообще не математик, а астрофизик.
Ну, разве что могу помахать руками, что в сферической геометрии диаметр окружности радиуса
становится всё более значительно меньше 
, так что он рано или поздно начинает убывать, а потом вообще уменьшается в ноль — та окружность сжимается в точку-антипод, и оттуда уже некуда двигаться ещё дальше, остаётся только обратно тем или иным путём. Но это вряд ли сильно удовлетворительно.
А может быть, вас видео Veritasium больше убедит: https://www.youtube.com/watch?v=lFlu60qs7_4
С точки зрения абстрактной математики опровержение в том, что можно прекрасно описать как искривление, так и замкнутую топологию без дополнительных измерений. Это немного в духе "ну просто скажем, что пространство искривлено и/или замкнуто", но почему пространство должно быть евклидово и/или не замкнуто — просто потому, что иное противоречит интуиции? Многие вещи в реальности вроде (как нам сейчас кажется) тоже противоречат интуиции.
Конкретно про замкнутость простейший пример. Допустим, есть окружность единичной длины, по которой можно двигаться, и вам кажется, что раз она замкнута, то должна быть вложена в двухмерное (хотя бы) пространство. Но я вам скажу, что я её опишу как полуоткрытый отрезок [0, 1), где смещение на
из координаты 
переводит нас в координату, равную дробной части от 
. И в чём фундаментальная разница?
Если вы хотите эмпирическое опровержение, то оно требует существующего контрпримера: какого-то физического искривлённого пространства без дополнительного измерения. Вот такого вроде пока нет, действительно.
Но в этом случае встречный вопрос, можно ли ваше утверждение доказать? Кажется, что эмпирически это строго невозможно, никакое количество примеров не даст общего утверждения. Так на каких основаниях вы на нём настаиваете?
Гипотеза как гипотеза, я не писал, что такого быть не может. Но в некоторых из ваших комментариев существование дополнительных измерений читается как необходимость при неевклидовости пространства, я возражал насчёт этого. Так и у плоского пространства можно предположить дополнительные измерения, просто в любом случае их существование под сомнением без более конкретных свидетельств. А если это гипотеза, не дающая реальных преимуществ, то вариант с меньшей размерностью пространства вроде бы и проще (по-моему; хотя вам, видимо, наоборот — кажется удобнее мыслить в евклидовом большей размерности, хотя там тоже кое в чём интуиция подводит).
Ну и сферу из плоского листа "нормально" (без деформаций) не склеить. (Сфера искривлена локально, а цилиндр — только глобально.)
Ну вот, например, гиперболическая плоскость (простейший пример геометрии Лобачевского) так просто и хорошо не вкладывается во внешнее евклидово пространство, как сфера. А с помощью метрики описывается аналогично.
У вас тут много чего смешалось и перепуталось. Отчасти понятно — понятие "кривизна" перегружено многими разными смыслами.
Это вы описали червоточину — весьма специальное и неоднородное искривление пространства(-времени). Гипотеза об их существовании очень интересная и захватывающая, но это совсем другой уровень.
Локальная пространственная кривизна, о которой я писал — это не про то, что можно выйти в какое-то внешнее пространство и срезать путь, это чисто внутренняя история, как параллельные и вроде бы локально прямые линии начинают сходиться или расходиться и прочие евклидовы штуки нарушаются.
Например, на сфере сумма углов треугольника больше 180 градусов, и разница тем больше, чем больше площадь того треугольника. Меридианы и экватор являются "прямыми" (геодезическими, кратчайшими путями между своими точками в рамках поверхности). Берём, скажем, северную половину нулевого меридиана, северную половину меридиана 90 градусов восточной долготы и четверть экватора между ними, получаем треугольник с тремя прямыми углами.
Другой пример: на сфере длина "окружности" меньше
. Например, в рамках сферы экватор можно считать "окружностью" с центром в северном (или южном) полюсе, так как расстояние вдоль сферы между любой точкой экватора и любым полюсом 
, где R — радиус сферы, длина экватора при этом, очевидно, 
.
Вот такие вот приколы. Измеряя достаточно большие фигуры, можно заметить кривизну, не выходя за рамки поверхности. В геометрии Лобачевского (гиперболической) наоборот, сумма углов треугольников уменьшается, а длина окружности больше, чем "должно быть". При этом для неё такой простой пример (с одинаковой всюду кривизной) в трёхмерное пространство не вложить, да и для более высоких размерностей рецепт так просто не найдёте.
А если вы начинаете с плоского листа, то его вообще нельзя сделать по-настоящему локально искривлённым без деформаций (растяжений или сжатий). Вы можете возразить, что можно же легко склеить цилиндр, например. Но в цилиндре нет локальных эффектов кривизны, описанных выше. При этом сферу вы без деформаций не склеите.
И повторюсь, что с двухмерным листом в трёхмерном пространстве (как и с поверхностью Земли) вы-то уже знаете, что третье измерение есть, а с трёхмерной Вселенной существование четвёртого измерения не обосновано.
К доказательству научной теории, о котором вы повторяли, к чему же ещё? (Я спросил, какое доказательство имелось в виду, но вы не ответили, остаётся выдвигать версии, что бы это могло быть.)
Аксиомы/постулаты в основе научных теорий. Хорошо, некоторые из них проверяемы (скажем, принцип относительности) — но на практике невозможно это проделать всегда, везде и во всех принципиально возможных вариантах, что на 100% достоверное эмпирическое доказательство не тянет, скорее неудавшиеся попытки прямого опровержения. А есть и такой прекрасный пример: в квантовой механике одним из постулатов является правило Борна — что плотность вероятности равна квадрату комплексной волновой функции, при этом комплексную волновую функцию пронаблюдать нельзя.
Или это я изначально не распознал тонкую иронию или что-то вроде того?
В естественных науках теории доказуемы разве что из принятых аксиом. Аксиомы зачастую напрямую не проверяемы, так что критерий их
верностиприемлемости — что их следствия не противоречат эмпирическим опытам. В противном случае теория опровергается.Кроме того, если копнуть глубже, то (практически) все измерения не точные, а описываются вероятностно. Поэтому и опровергнуть теорию на численном уровне наверняка нельзя, только с вероятностью, приближающейся к единице, но не достигающей её. Порог "официального" опровержения несколько произволен. Есть, например, 5 сигма (т.е. 0.999999426696856), но почему именно столько (на глубинном уровне)?
Как, по-вашему, доказать научную теорию?
На объяснение всего вообще, пожалуй, действительно не претендуют. Но научные теории предсказывают и то, что не наблюдалось. Иногда это можно проверить в обозримом будущем (и потенциально опровергнуть теорию), но в некоторых случаях реальной возможности не предвидится. И некоторые такие гипотезы многие воспринимают как истины.
Вы уверены насчёт любого определения, с учётом того, что "только ситхи возводят всё в абсолют"?
Кроме того, научная аксиома тоже недоказуема (если только не через альтернативные постулаты в рамках уже другой теории); как судить о её познаваемости — мне не ясно.
P.S. А если вы хотите спорить о глубинных смыслах, я, пожалуй, не буду вам мешать.
Ну вот так, может быть искривлено само по себе, а не в каком-то внешнем пространстве. Дифференциальная геометрия даёт способы это описать.
Другими словами, почему, по-вашему, должно быть какое-то фундаментальное евклидово (плоское) пространство? Интуиция и исторические аналогии (ещё и не всегда верные) слабоватые аргументы.
Я написал, что можно прекрасно считать и сферическую Землю в двух координатах, пока вас интересует только её поверхность. Конечно, в этом случае известно, что третье измерение есть, и оно вроде бы большинству людей понятно. Но вот наличие четвёртого измерения для замкнутой (или открытой) Вселенной совершенно не ясно. В этом я вижу недостаток аналогии.
(Вроде бы и плоскую Землю не считали двухмерной, вопрос был не в наличии третьего измерения, а в форме поверхности, т.к. радиус кривизны довольно большой и на бытовом уровне не очевиден.)
Не понял, что вы этим хотели сказать?
Безусловно, можно ввести евклидово пространство большей размерности, чтобы вложить неевклидово трёхмерное. Но это не доказывает, что дополнительные измерения существуют. Т.е. на ваши вопросы о координатах за пределами бытия может быть ответ, что их на самом деле не существует (потому что вы их придумали ради евклидовости/удобства) и попасть туда нельзя. Как и в случае, если к трёхмерному евклидовому пространству просто так добавить дополнительные измерения. (Может оказаться, что они существуют, но для такого вывода нужны более конкретные основания, чем просто неевклидовость или евклидовость пространства).
P.S. Ещё раз повторю, что геометрией Лобачевского принято называть гиперболическую геометрию, а не сферическую. И гиперболическую плоскость нельзя (изометрически) вложить в трёхмерное пространство, нужна больше размерность (кажется, 4 или 5), однако это не фундаментальная проблема.
По-моему, существенная разница в том, допускаются ли сомнения в законах Вселенной (с Богом/богами или без) на основании эмпирических свидетельств, или они основаны на нерушимом авторитете священных текстов/пророков/гениальных учёных.
Надо понимать, что в научных моделях (пока что) на определённом уровне аксиомы/постулаты, которые в рамках теории не объяснить. Можно простроить более глубокую теорию, в которой постулаты старой являются следствиями новых аксиом. Возможно, при этом количество аксиом уменьшится, или они станут красивее, и т.д. Но нет гарантии, что можно объяснить всё из ничего (без циклических аргументов), это и звучит странно.
Если кто-то решает на таком этапе привлечь высшие силы (например, для придания всему смысла), то я не вижу проблемы, пока тот готов пересмотреть уровень и способ божественного вмешательства ввиду новых аргументов, особенно эмпирических.
А уже спорить о том, универсально лучше постулировать законы Вселенной через Бога или без, вряд ли конструктивно.