Да. Преобразование Фурье - это функция. Когда она дискретная и действительная - её можно записать в виде ряда, заменив дельта-Дираки со смещением аргумента на косинусы/синусы со множителями аргумента. Чтобы исходную функцию можно было восстановить, просто подсчитав этот ряд без дополнительных телодвижений.
Такая запись интуитивно понятна для школьников - но из неё совершенно не интуитивно прийти к понимаю полноценного преобразования Фурье. Полноценный курс по Фурье и сопутствующему мат.аппарату читают в ВУЗах на радиотехнических специальностях. И опять же с нуля, а не продолжая школьную программу.
Интересующимся вопросом рекомендую начать со cправки Wolfram Mathematica. Он умеет его символьно считать.
Вспомнился один комментарий на math.stackexchange от настоящего математика: "я не могу показать вам эту функцию [для которой не существует преобразование Фурье], но могу это доказать". Точку в этом вопросе поставили Поль Дирак и Оливер Хэвисайд в начале XX века, которые взяли на себя смелость решить, что раз таких функций нет - значит их можно взять и придумать. Так появились дельта Дирака, гребень Дирака и функция Хэвисайда. Но есть как минимум ещё одна функция, для которой нет названия, но её можно выразить через преобразование Фурье. Это экспонента. А вот почему - это вопрос на 5+ для студентов, которые матчасть усвоили по-настоящему.
Потому что Фурье изучал распределение тепла на железном кольце, сильно нагревая в одном небольшом месте. Математически круглое описывается синусами/косинусами или, если их объединить - комплексными числами.
Т.е. закончился сигнал - вот здесь и будет конец периода.
В периодическом сигнале. В непериодическом будут нули. И после окончания, и до начала. Про функцию Хэвисайда вам не рассказывали что ли? И про то, что тригонометрический ряд и преобразование Фурье - это не одно и то же?
Идею Фурье критиковали вовсе не за разложение функции на синусоиды. Синусоиды ничем не хуже степенных функций. А из-за следствий, которые из этого следовали. И которые попирали основы математики. В частности - стиралась грань между непрерывными функциями и функциями с разрывами.
Нет. “Периодический” относится только к дискретному преобразованию Фурье, оно же FFT. Непрерывное преобразование определено для любых функций. Канонический пример - спектр прямоугольной функции будет sinc () (и наоборот). А спектр прямоугольной функции в периоде будет periodic sinc (и наоборот).
Вот например спросил я у Qwen Chat "откуда взялась функция экспоненты" и получил ответ (цитирую с сокращениями):
Функция экспоненты () не была «изобретена» одним человеком в один день. Она возникла постепенно как ответ на несколько разных математических и практических задач. Её историю можно разделить на три основных этапа: финансовые вычисления, логарифмы и математический анализ.
Вот основные источники появления экспоненты:
1. Сложный процент (Якоб Бернулли, 1683 год)
...
2. Логарифмы (Джон Непер, 1614 год)
...
3. Математический анализ и Леонард Эйлер (XVIII век)
...
4. Почему она «натуральная»? (Дифференциальные уравнения)
Самая глубокая причина существования экспоненты лежит в математическом анализе. Математики искали функцию, которая при дифференцировании (нахождении скорости изменения) остаётся самой собой.
Правило Лопиталя определено для функций, а не для чисел (обычных), и опирается на их разложение в степенной ряд. Для дуальных чисел уже можно (один раз). Но и причин, по которой имеет больше смысла в точке ноль лично я тоже не вижу.
Ну и для наглядности можно определить функцию, которая в целочисленных точках совпадает с . Но .
Вторая часть статьи будет? Когда внезапно окажется, что во float/double делить на ноль вполне себе можно и получится плюс или минус бесконечность, в зависимости от знака делимого. А потом от от этой бесконечности можно взять например арктангенс - и получить 1.5707... без всяких пределов.
Почему экспонента вводится именно через этот ряд, а не какой-то другой? По какой логике взялись эти коэффициенты? Ну не через божественное откровение же.
А разве это "работа в сфере образования" обязательное условие для публикации "своих подходов"?
Для публикации - не обязательное. Обязательное для того, чтобы донести его до широких масс населения.
Даже просто для написания одной статьи нужно приложить нормальные такие усилия. Время, ресурсы. Которые не окупаются. Когда пишешь статьи в академической среде - это актив, от которого прямо зависит твоё будущее и твоя зарплата. Статьи на хабр - это потакание своему ЧСВ и оплатится в лучшем случае один раз, если в корпоративный блог пробиться. После 18 статей мотивация писать дальше у меня пропала, хотя за последнюю 20К отвалили а новых, нигде ещё не описанных идей и решений ещё навалом.
Знаете, сколько учебников математики уже написано с примерно одинаковым содержанием? Может не миллионы, но тысячи - точно. А кто решает, по какому именно будут учиться студенты? Ну уж точно не сами студенты. Одно дело - изучать что-то "для себя" без рисков и обязательств, и совсем другое - получить зачёт по предмету, чтобы затем получить диплом.
В моём вузе был один такой амбициозный преподаватель. Написал собственный (самый лучший и единственно верный естественно) учебник, выбил бюджет для распечать его на бумаге. Склеенные страницы и плохо пропечатанные формулы, зато - свой, есть чем гордиться институту! Я его смотрел - чувства вау и прозрения не возникло. Ну и студенты с его курса тоже впоследствии в новостных сводках не мелькали. И естественно, этот учебник канет в лету с приходом следующего же преподавателя.
почему если есть те, кто могут "Интересно и понятно рассказывать про непонятное и абстрактное"большая часть "популярных" изложений создаётся без из участия???
Потому что эти "те" совсем необязательно работают в сфере образования.
Корня из -1 тоже когда-то не существовало. Нет причин считать, что 03.04.2026 математика внезапно достигла вершины и развиваться ей дальше некуда.
Существует и это уже упомянутая мной дельта-Дирака.
Да. Преобразование Фурье - это функция. Когда она дискретная и действительная - её можно записать в виде ряда, заменив дельта-Дираки со смещением аргумента на косинусы/синусы со множителями аргумента. Чтобы исходную функцию можно было восстановить, просто подсчитав этот ряд без дополнительных телодвижений.
Такая запись интуитивно понятна для школьников - но из неё совершенно не интуитивно прийти к понимаю полноценного преобразования Фурье. Полноценный курс по Фурье и сопутствующему мат.аппарату читают в ВУЗах на радиотехнических специальностях. И опять же с нуля, а не продолжая школьную программу.
Интересующимся вопросом рекомендую начать со cправки Wolfram Mathematica. Он умеет его символьно считать.
Вспомнился один комментарий на math.stackexchange от настоящего математика: "я не могу показать вам эту функцию [для которой не существует преобразование Фурье], но могу это доказать". Точку в этом вопросе поставили Поль Дирак и Оливер Хэвисайд в начале XX века, которые взяли на себя смелость решить, что раз таких функций нет - значит их можно взять и придумать. Так появились дельта Дирака, гребень Дирака и функция Хэвисайда. Но есть как минимум ещё одна функция, для которой нет названия, но её можно выразить через преобразование Фурье. Это экспонента. А вот почему - это вопрос на 5+ для студентов, которые матчасть усвоили по-настоящему.
Так и не надо системно излагать. Достаточно просто один конкретный контр-аргумент.
Движение.
Природа работает на дифференциальных уравнениях, а синусоидальные колебания - их частный случай.
Потому что Фурье изучал распределение тепла на железном кольце, сильно нагревая в одном небольшом месте. Математически круглое описывается синусами/косинусами или, если их объединить - комплексными числами.
В периодическом сигнале. В непериодическом будут нули. И после окончания, и до начала. Про функцию Хэвисайда вам не рассказывали что ли? И про то, что тригонометрический ряд и преобразование Фурье - это не одно и то же?
Идею Фурье критиковали вовсе не за разложение функции на синусоиды. Синусоиды ничем не хуже степенных функций. А из-за следствий, которые из этого следовали. И которые попирали основы математики. В частности - стиралась грань между непрерывными функциями и функциями с разрывами.
Нет. “Периодический” относится только к дискретному преобразованию Фурье, оно же FFT. Непрерывное преобразование определено для любых функций. Канонический пример - спектр прямоугольной функции будет sinc (
) (и наоборот). А спектр прямоугольной функции в периоде будет periodic sinc 
(и наоборот).
Вот например спросил я у Qwen Chat "откуда взялась функция экспоненты" и получил ответ (цитирую с сокращениями):
Более чем адекватный ответ и без лишней воды.
Так и исходные источники тоже никакого качества вам гарантировать не могут. Про комплексные числа и FFT я столько бреда насмотрелся не описать.
Ну это уже узкоспециализированные задачи, а не просто знания.
Так вы для начала сами и попробуйте написать математику с физикой, а не династию Романовых.
Правило Лопиталя определено для функций, а не для чисел (обычных), и опирается на их разложение в степенной ряд. Для дуальных чисел уже можно (один раз). Но и причин, по которой
имеет больше смысла в точке ноль лично я тоже не вижу.
Ну и для наглядности можно определить функцию
, которая в целочисленных точках совпадает с 
. Но 
.
Математически запись
эквивалентна 
и часто используется именно с этой целью. Мат.пакеты подобное сокращают только при явном указании 
.
Вторая часть статьи будет? Когда внезапно окажется, что во float/double делить на ноль вполне себе можно и получится плюс или минус бесконечность, в зависимости от знака делимого. А потом от от этой бесконечности можно взять например арктангенс - и получить 1.5707... без всяких пределов.
Почему экспонента вводится именно через этот ряд, а не какой-то другой? По какой логике взялись эти коэффициенты? Ну не через божественное откровение же.
Есть уже такой проект - ChatGPT и аналоги.
Для публикации - не обязательное. Обязательное для того, чтобы донести его до широких масс населения.
Даже просто для написания одной статьи нужно приложить нормальные такие усилия. Время, ресурсы. Которые не окупаются. Когда пишешь статьи в академической среде - это актив, от которого прямо зависит твоё будущее и твоя зарплата. Статьи на хабр - это потакание своему ЧСВ и оплатится в лучшем случае один раз, если в корпоративный блог пробиться. После 18 статей мотивация писать дальше у меня пропала, хотя за последнюю 20К отвалили а новых, нигде ещё не описанных идей и решений ещё навалом.
Знаете, сколько учебников математики уже написано с примерно одинаковым содержанием? Может не миллионы, но тысячи - точно. А кто решает, по какому именно будут учиться студенты? Ну уж точно не сами студенты. Одно дело - изучать что-то "для себя" без рисков и обязательств, и совсем другое - получить зачёт по предмету, чтобы затем получить диплом.
В моём вузе был один такой амбициозный преподаватель. Написал собственный (самый лучший и единственно верный естественно) учебник, выбил бюджет для распечать его на бумаге. Склеенные страницы и плохо пропечатанные формулы, зато - свой, есть чем гордиться институту! Я его смотрел - чувства вау и прозрения не возникло. Ну и студенты с его курса тоже впоследствии в новостных сводках не мелькали. И естественно, этот учебник канет в лету с приходом следующего же преподавателя.
Потому что эти "те" совсем необязательно работают в сфере образования.