К середине XX века выяснилось, что уравнение синус-Гордона ранее было отрыто математиками в области дифференциальной геометрии, и ими же были выведены преобразования Бэклунда позволившие получать различные конфигурации поверхностей с постоянной отрицательной кривизной. Потом преобразования Бэклунда были найдены для других нелинейных уравнений во время "солитонного бума" 1960-1970 -х годов. Они позволили не только находить их точные решения: была выявлена из глубокая связь с интегрируемостью уравнений, с заложенными в них внутренними симметриями и удивительной связью одних нелинейных уравнений с другими, в том числе линейными. Поэтому в данной статье перенесемся еще на 100 лет назад и рассмотрим связь между дифференциальной геометрией искривлённых пространств и теорией солитонов.

Трехмерные модели используют сложный математический аппарат: матрицы Паули или поля из унитарных матриц. К тому же их трудно визуализировать и поэтому они довольно абстрактны. Поэтому в данной статье мы теперь рассмотрим аналогичные, но двумерные и одномерные "настольные модели", которые могут быть реализованы материально. Один из примеров более простой 2D модели — модель Скотта, её вполне можно сконструировать из доступных материалов. Другим примером является магнитный скирмион, который можно наблюдать, например, в микроскопе. Третий пример — модель Эластика Эйлера сделанная из проволоки. Используя более простые модели мы можем развить более интуитивное понимание поведения, стабильности, других сложных концепций топологических солитонов. И хотя эти модели не раскрывают все свойства своих 3D аналогов, они представляют собой более доступную отправную точку для изучения топологических солитонов и развития понимания их свойств.

В мире солитонов, где волны проявляют себя не только как простые колебания, но и как частицеподобные структуры с удивительной устойчивостью, модель Скирма выступает как одна из ключевых для понимания сложных волновых явлений в трехмерном пространстве. После нашего анализа модели Френкеля-Конторовой и знакомства с одномерным уравнением Синус-Гордона, стоит задаться вопросом: можно ли адаптировать эту модель к трехмерному миру, и какие сложности и открытия это может нам принести? Тони Скирм уже задавался подобными вопросами в 1958-1962 годах, пытаясь моделировать барионные частицы. В этой статье мы погрузимся в мир его исследований, затронем проблемы и особенности солитонов в трехмерном пространстве и попытаемся понять, как скирмионы могут изменить наше понимание физики частиц

В физике часто оперируют волновыми функциями с ярко выраженными свойствами частиц. Давно стали обыденными понятия частиц с положительным и отрицательным зарядами и с соответствующим взаимодействием. Широко используют Лоренц-преобразования, когда при увеличении скорости волна-частица сжимается, с соответствующим увеличением полной энергии при приближении к скорости света.

Но можно ли представить простейшую и наглядную модель, из которой выводятся все эти свойства разом?

Одной из таких моделей является модель Френкеля-Конторовой, которую мы рассмотрим в рамках истории теории солитонов.