Зависит от того, как определять случайную семью. Есть два способа и они дают два ответа. Это не проблема в математике, а просто две разных модели, отвечающие одной и той же жизненной ситуации
Все так, но оказывается что они не равновероятны. Представьте (или сгенерируйте на компьютере) выборку из 1000 семей с двумя детьми, отсейте те, в которых нету мальчика, и посчитайте долю семей с двумя мальчиками. Ответ будет не одна вторая!
Если вы попробуйте ответить на мой вопрос и переберете случаи (правильного ответа нет/правильный ответ а)/правильный ответ б)/правильный ответ в)/правильный ответ г)) вы поймете ва чем парадокс)
Имеется ввиду "многомерная площадь" — на прямой это длина, на плоскости площадь, в пространстве объем.
В этом способе рассматривается такое распределение на хордах — выберем случайном образом число от 0 до радиуса окружности (равномерно) и проведем хорду на этом расстоянии от центра. Тогда если число меньше половины радиуса, хорда будет длиннее стороны треугольника, если больше — короче.
С какой вероятностью случайное число от 0 до R меньше R/2? Одна вторая
Вот именно, в условии про это ничего про это не сказано. Так что в реальности у нас может быть три равновероятны ситуации, когда в семье есть мальчики: (первой родилась девочка, вторым мальчик), (первым родился мальчик, второй девочка), (первым родился мальчик, вторым мальчик). По этому вероятность 1/3
Я не выбираю вероятности априорно, а привожу примеры, когда разные жизненные ситуации могут приводить к разным вероятностям. Если на это не обращать внимания и неаккуратно использовать слово "случайность", можно ошибиться — об этом и статья.
Если мы выбираем априорные вероятности (и модель в целом) в отрыве от реальности, значит результат, полученный в такой модели, также не будет иметь отношения к реальности.
Математика - исполнительная служанка, полезная лишь тогда, когда она решает задачи из реального мира, а не копается в выдуманных моделях.
Попробуйте ответить на вопрос "есть ли правильный ответ среди предложенных?" Это же четко сформулированный вопрос с возможными ответами да или нет, правильно?
Вы задаете хороший вопрос, и в какой-то мере я с вами согласен: конечно, никакой «математической катастрофы» в этих задачах не происходит. Теория работает. Но именно в этом и состоит суть — эти примеры не про слом математики, а про то, как много в ней зависит от выбора модели.
Когда мы говорим «выберем случайный объект из множества» — вы, как и многие, автоматически предполагаете, что речь идёт о равномерном распределении. Это удобно, этому учат в школе, и в большинстве учебных задач именно так всё и устроено.
Но в жизни равномерное распределение не даётся по умолчанию. Оно возникает только если модель и эксперимент специально это предполагают. В задачах, подобных тем, что я разбираю в статье, как раз и возникает ситуация, где вполне естественно возникают два разных способа определить “случайный выбор”. Например, в задаче с графом: мы можем выбирать либо случайное ребро напрямую, либо сначала вершину, потом одно из рёбер, которые из нее торчат. Оба способа разумны — и дают разные ответы.
Такое расхождение — не ошибка, а повод задуматься: что именно мы называем случайным?
Да, слово «парадокс» здесь используется не в смысле логического противоречия. А в том смысле, в котором оно принято в теории вероятности: как ситуация, в которой корректные рассуждения приводят к неожиданному или неоднозначному выводу. На этом языке и Монти Холл — парадокс. И задача про двух детей — тоже.
В общем, я не подменяю понятия. Я просто показываю, что интуитивная очевидность — часто результат заранее принятой, но не проговорённой модели.
Ответ, очевидно, 1/2. Пара - это "2 ребёнка", а не "1 ребёнок и ещё 1 ребёнок". Соответственно, второй ответ строится на ошибочном способе решения, который противоречит условию задачи.
Математически это, видимо, связано с тем, что у Даши 4 знакомых, а у каждого мальчика по 3, поэтому если мы случайно выбрали Дашу как первую часть пары, то это вносит неравенство. Если бы все дети были знакомы между собой, то у каждого было бы по 4 знакомых и этой проблемы бы не было.
Вы абсолютно правы, если рассматривать задачу так: у нас есть 8 пар друзей, из них 4 — разнополые. Значит, если мы просто выбираем случайное ребро графа, то вероятность получить разнополую пару — 1/2. Это корректное решение — и оно именно так и устроено в первом способе.
Но в статье описан и другой способ выбора случайной пары друзей. Мы сначала выбираем ребёнка, а потом случайного друга этого ребёнка. Это тоже валидный способ задать случайную пару. Только распределение на множестве рёбер получается другим: у Даши 4 друга, у каждого мальчика — по 3, и значит, вероятность выбрать “пару с Дашей” оказывается выше.
Математически это два способа выбирать ребро в графе:
Выбираем ребро напрямую — равновероятно из всех восьми. Тогда ответ — 1/2.
Выбираем вершину, потом случайное ребро из неё. Тогда рёбра “неравны” по шансам, и получается ответ 7/15.
Оба способа описывают корректные вероятностные модели. Они просто соответствуют разным экспериментам. И в этом вся суть парадокса
На мой вкус, второй способ ближе к реальным ситуациям: в жизни мы чаще наблюдаем вершину (ребёнка) и его связи, чем имеем полный список всех рёбер. Но это уже вопрос контекста. Главное — понимать, что расхождение возникает не из-за ошибки, а из-за неоднозначности самой процедуры случайного выбора.
К задаче с хордами это тоже относится. Случайная хорда напрямую строится только в первом варианте решения. Во втором и третьем строится что угодно, но только не случайная хорда.
На самом деле все три способа строят случайную хорду — просто по-разному задают процедуру случайного выбора. И в каждом случае в результате может получиться любая из возможных хорд (посмотрите на эти конструкции внимательно!), но с разной вероятностью. Именно это и есть суть парадокса.
В первом способе — да, мы явно выбираем две точки на окружности. Во втором — случайное расстояние, и проводим хорду на этом расстоянии от центра. В третьем — случайную точку внутри круга, и она становится центром хорды.
Каждая процедура порождает своё распределение на множестве хорд. Все они корректны, просто описывают разные эксперименты. А вопрос “что значит выбрать хорду случайно” — и есть центральный вопрос парадокса Бертрана. Именно это и интересно
Конечно, вы правы! Никто не обращает внимания, но тут можно поговорить о том, что модель весьма условна. Конечно правильнее говорить про бросок симметричной монетки, но с детьми задача выглядит приближеннее к реальному опыту
Да, но в такой постановке у этих вариантов разная вероятность, потому что разнополая пара детей может появиться в семье двумя способами (сначала родился мальчик, потом девочка, либо наоборот), а два мальчика только одним. Если учитывать порядок, то все эти три случая равновероятны
Тут всегда рассматривается именно такой взгляд на вероятность. Множество событий одно и тоже, просто распределения в жизни не всегда равновероятные
Да, хорошая аналогия! Еще есть парадокс трех узников, очень похожий
Зависит от того, как определять случайную семью. Есть два способа и они дают два ответа. Это не проблема в математике, а просто две разных модели, отвечающие одной и той же жизненной ситуации
Представьте тысячу семей с двумя детьми. Сколько среди них будет семей с двумя мальчиками? Двумя девочками? Девочкой и мальчиком?
Мы в этой задаче предполагаем что дети рождаются так — каждый раз бросается монетка, и результат определяет пол.
Спасибо!)
Все именно так. И в этом неоднозначность условия — непонятно, как именно нам его предъявляют, от этого зависит ответ
Все так, но оказывается что они не равновероятны. Представьте (или сгенерируйте на компьютере) выборку из 1000 семей с двумя детьми, отсейте те, в которых нету мальчика, и посчитайте долю семей с двумя мальчиками. Ответ будет не одна вторая!
Если вы попробуйте ответить на мой вопрос и переберете случаи (правильного ответа нет/правильный ответ а)/правильный ответ б)/правильный ответ в)/правильный ответ г)) вы поймете ва чем парадокс)
Имеется ввиду "многомерная площадь" — на прямой это длина, на плоскости площадь, в пространстве объем.
В этом способе рассматривается такое распределение на хордах — выберем случайном образом число от 0 до радиуса окружности (равномерно) и проведем хорду на этом расстоянии от центра. Тогда если число меньше половины радиуса, хорда будет длиннее стороны треугольника, если больше — короче.
С какой вероятностью случайное число от 0 до R меньше R/2? Одна вторая
Вот именно, в условии про это ничего про это не сказано. Так что в реальности у нас может быть три равновероятны ситуации, когда в семье есть мальчики: (первой родилась девочка, вторым мальчик), (первым родился мальчик, второй девочка), (первым родился мальчик, вторым мальчик). По этому вероятность 1/3
Или я не правильно понял ваш вопрос?
Я не выбираю вероятности априорно, а привожу примеры, когда разные жизненные ситуации могут приводить к разным вероятностям. Если на это не обращать внимания и неаккуратно использовать слово "случайность", можно ошибиться — об этом и статья.
Про это как раз последний раздел моего текста
Попробуйте ответить на вопрос "есть ли правильный ответ среди предложенных?" Это же четко сформулированный вопрос с возможными ответами да или нет, правильно?
Вы задаете хороший вопрос, и в какой-то мере я с вами согласен: конечно, никакой «математической катастрофы» в этих задачах не происходит. Теория работает. Но именно в этом и состоит суть — эти примеры не про слом математики, а про то, как много в ней зависит от выбора модели.
Когда мы говорим «выберем случайный объект из множества» — вы, как и многие, автоматически предполагаете, что речь идёт о равномерном распределении. Это удобно, этому учат в школе, и в большинстве учебных задач именно так всё и устроено.
Но в жизни равномерное распределение не даётся по умолчанию. Оно возникает только если модель и эксперимент специально это предполагают. В задачах, подобных тем, что я разбираю в статье, как раз и возникает ситуация, где вполне естественно возникают два разных способа определить “случайный выбор”. Например, в задаче с графом: мы можем выбирать либо случайное ребро напрямую, либо сначала вершину, потом одно из рёбер, которые из нее торчат. Оба способа разумны — и дают разные ответы.
Такое расхождение — не ошибка, а повод задуматься: что именно мы называем случайным?
Да, слово «парадокс» здесь используется не в смысле логического противоречия. А в том смысле, в котором оно принято в теории вероятности: как ситуация, в которой корректные рассуждения приводят к неожиданному или неоднозначному выводу. На этом языке и Монти Холл — парадокс. И задача про двух детей — тоже.
В общем, я не подменяю понятия. Я просто показываю, что интуитивная очевидность — часто результат заранее принятой, но не проговорённой модели.
Надеюсь ответил на ваш вопрос
Вы абсолютно правы, если рассматривать задачу так: у нас есть 8 пар друзей, из них 4 — разнополые. Значит, если мы просто выбираем случайное ребро графа, то вероятность получить разнополую пару — 1/2. Это корректное решение — и оно именно так и устроено в первом способе.
Но в статье описан и другой способ выбора случайной пары друзей. Мы сначала выбираем ребёнка, а потом случайного друга этого ребёнка. Это тоже валидный способ задать случайную пару. Только распределение на множестве рёбер получается другим: у Даши 4 друга, у каждого мальчика — по 3, и значит, вероятность выбрать “пару с Дашей” оказывается выше.
Математически это два способа выбирать ребро в графе:
Выбираем ребро напрямую — равновероятно из всех восьми. Тогда ответ — 1/2.
Выбираем вершину, потом случайное ребро из неё. Тогда рёбра “неравны” по шансам, и получается ответ 7/15.
Оба способа описывают корректные вероятностные модели. Они просто соответствуют разным экспериментам. И в этом вся суть парадокса
На мой вкус, второй способ ближе к реальным ситуациям: в жизни мы чаще наблюдаем вершину (ребёнка) и его связи, чем имеем полный список всех рёбер. Но это уже вопрос контекста. Главное — понимать, что расхождение возникает не из-за ошибки, а из-за неоднозначности самой процедуры случайного выбора.
Сначала про хорду
На самом деле все три способа строят случайную хорду — просто по-разному задают процедуру случайного выбора. И в каждом случае в результате может получиться любая из возможных хорд (посмотрите на эти конструкции внимательно!), но с разной вероятностью. Именно это и есть суть парадокса.
В первом способе — да, мы явно выбираем две точки на окружности.
Во втором — случайное расстояние, и проводим хорду на этом расстоянии от центра.
В третьем — случайную точку внутри круга, и она становится центром хорды.
Каждая процедура порождает своё распределение на множестве хорд. Все они корректны, просто описывают разные эксперименты.
А вопрос “что значит выбрать хорду случайно” — и есть центральный вопрос парадокса Бертрана. Именно это и интересно
Спасибо за вопрос! У каждого парня 3 друга, 1 девочка и 2 мальчика. Соответственно 1/3 — вероятность того, что его случайный друг — девочка
Конечно, вы правы! Никто не обращает внимания, но тут можно поговорить о том, что модель весьма условна. Конечно правильнее говорить про бросок симметричной монетки, но с детьми задача выглядит приближеннее к реальному опыту
Разница в задачах не в поле, а в том, что в первой задаче известно, что дочь — старшая. Тогда для младшего ребенка реально только два варианта
Да, но в такой постановке у этих вариантов разная вероятность, потому что разнополая пара детей может появиться в семье двумя способами (сначала родился мальчик, потом девочка, либо наоборот), а два мальчика только одним. Если учитывать порядок, то все эти три случая равновероятны
Все ответы не могут быть правильными, они же друг другу противоречат. Не может же одновременно число быть равно 0% и 25%?