Сгенерируйте на компьютере 1000 случайных семей из двух детей, отберите среди них те, где есть мальчик и проверьте, среди скольких из оставшихся будет двое мальчиков. Ответ вас удивит)
"Девочка-мальчик" соответствует ситуации, когда старшая девочка, мальчик младший. Если мы встретили на улице отца с сыном у него же может быть старшая сестра. Так что исключить этот случай нельзя
Но аксиома выбора тут никак не участвует, если работать в теории множеств без нее, все утверждения в тексте останутся верны. Я же не говорил про парадокс Банаха-царского — специально, по тем же причинам, о которых вы пишите. У меня была очень практическая цель — объяснить что перед тем, как решать задачу, надо ее корректно сформулировать, а не использовать слово "случайность" как будто оно все объясняет
Да, вы правы — в комментариях обсуждение ушло в сторону урновых схем и пространства событий с учётом порядка или без. Но если честно, это немного не та история.
Цель статьи была не в том, чтобы классифицировать все типы вероятностных пространств. А в том, чтобы показать: в некоторых задачах естественно появляются несколько разных вероятностных моделей, и все они логично описывают одну и ту же формулировку. Просто в ней не хватает уточнения — какой именно эксперимент мы себе представляем.
Когда речь идёт о бесконечных множествах, вроде парадокса Бертрана, это хорошо известно. Но когда множество конечно, почти всегда по умолчанию берут равномерное распределение. И вот как раз найти задачу, в которой два нерожденных распределения — оба естественны — не так-то просто. Мне удалось построить один пример (с ребром в графе), и он стал основой раздела. В нём два разных способа задать "случайную пару" — и два разных ответа. Именно это мне показалось интересным и достойным обсуждения. Еще там есть задача про пары друзей, которая придумана специально для статьи.
Если у вас есть другие примеры ситуаций, в которых естественно появляются несколько различных вероятностных распределений — я буду очень благодарен, если вы ими поделитесь) Если бы я что-то красивое придумал, может быть и не вставлял бы раздел про парадокс братьев, цели подробно объяснять его у меня не было. Я скорее ориентировался на читателей, которые и так уверены, что ответ 1/3, и будут спорить со мной, что 1/2 нельзя получить.
Добрый день! Спасибо за вопрос, эту часть почти никто не обсуждает
В Способе 1 рассматриваются только такие треугольники, сторона которых параллельна хорде,
Все равносторонние треугольники, вписанные в окружность, имеют одну и ту же сторону. Поэтому мы можем зафиксировать треугольник как угодно — например, с одной вершиной в конце хорды — и сравнивать хорду с ним. Это не создаёт дополнительного ограничения.
через данную точку вообще-то можно провести хорду в любом направлении
Мы выбираем случайную точку внутри круга, и хотим чтобы она была центром хорды. Через любую такую точку действительно можно провести бесконечно много хорд, но ровно одна из них будет иметь эту точку в центре. Мы сознательно выбираем именно такой способ — и он корректно определяет распределение хорд (другое, но вполне математически осмысленное).
Не понимаю как варианты а) б) и в) могут быть одновременно правильными? Вероятность это какое-то конкретное число, оно не может быть равно одновременно 0, 1/2 и 1/4
Проблема в том, что outcome2() не выбирает случайную семью с двумя детьми, а принудительно вставляет одного мальчика, к которому добавляется случайный второй ребёнок.
В результате вы моделируете не «все семьи с хотя бы одним мальчиком», а только те, где к одному мальчику добавили его сиблинга случайного пола. Это как раз второй метод сбора статистики, о котором я говорю в тексте, и он дает ответ 1/2.
На самом деле субъективность в математике — это очень интересный вопрос и тема для отельного поста. Хотя я, как и многие, придерживаюсь платонистских взглядов — то есть предполагаю, что математика представляет собой некую объективную часть воображаемой, недоступной нам напрямую реальности, которую мы можем исследовать и открывать. Математика на Земле такая же, как математика на Луне.
Но с другой стороны, я вижу что в том, как математика живёт и развивается, огромную роль играют представления о красоте, приложениях, моде, популяризации, способности связать одно с другим, объяснить, почему эта математика интересна.
Большую часть современной математики занимает не только доказательство утверждений, но и развитие ее языка. Мы вводим определения, уточняем понятия, создаём термины. И в итоге те утверждения, с которыми работает математика, невозможно сформулировать иначе, чем на языке, который придумали конкретные люди — наши современники.
Если из истории выкинуть какого-то одного математика, осыплется всё вокруг него — терминология, конструкции, связи. Теоремы, которые сегодня считаются центральными, окажутся в этой альтернативной вселенной просто недоступны — или, как минимум, не будут выглядеть красивыми, ясными, достойными внимания. Они не станут тем, чем они стали — кирпичиками для следующего шага.
Да, но остается три варианта — две решки, орел+решка и решка+орел. Мы же не знаем что решка выпала первой! Если бы знали попали в условие задачи, где известно, что старшая — девочка, там действительно 1/2
Да, ровно это я и хотел подчеркнуть: математика начинается после того, как выбрана модель. А вот сам выбор — вещь субъективная. Решение, что считать случайным, что — известным, и как устроено наблюдение, — не выводится из теории, а задаётся извне. И именно на этом этапе рождаются все неоднозначности, о которых идет речь.
Допустим, мы хотим узнать, как люди будут голосовать на выборах. Мы не можем опросить всех, поэтому выбираем случайных прохожих и спрашиваем:
Вы пойдёте голосовать? Если нет — идём дальше. Если да — спрашиваем: За кого будете голосовать?
Из этого формируется выборка, по которой мы считаем долю голосов. Мы считаем, что это и есть вероятность того, что случайно пришедший на участок избиратель проголосует за того или иного кандидата. Мы не смотрим на всех подряд — только на тех, кто пойдёт голосовать. Это фильтр — и он влияет на то, как считать вероятности.
Теперь задача про двух детей. Представьте, что мы ходим по улице в воображаемом городе, где в каждой семье два ребенка, и спрашиваем взрослых: — Среди ваших детей есть хотя бы один мальчик? Если нет — идём дальше. Если да — спрашиваем: — А второй ребёнок — тоже мальчик?
Я сгенерировал такую выборку. Мы собрали 7555 случаев, где точно есть хотя бы один мальчик. И среди них 2501 где оба мальчики. Отношение примерно 1/3, и этот результат можно было предсказать без всякого моделирования, просто посмотрев на 4 элементарных равновероятных исхода для семьи, среди которых мы рассматриваем только 3, в свою очередь среди которых ровно 1 соответствует двум мальчикам.
Если бы мы ходили по городу и опрашивали мальчиков
— У вас есть брат?
и так собирали бы статистику — тот же самый город дал бы выборку из 10556 мальчиков (ровно столько раз выпал орел), среди которых у 5002 есть брат (это те 2501 семья с двумя мальчиками), то есть доля примерно 1/2
Вы правы: если опрашивать мальчиков, какого пола их сиблинг, и так собирать статистику — ответ 1/2. Если опрашивать отцов, у которых есть сын, есть ли у них второй — 1/3. Два разных способа — два разных ответа. Мне как раз и хотелось такой пример привести
Сгенерируйте на компьютере 1000 случайных семей из двух детей, отберите среди них те, где есть мальчик и проверьте, среди скольких из оставшихся будет двое мальчиков. Ответ вас удивит)
"Девочка-мальчик" соответствует ситуации, когда старшая девочка, мальчик младший. Если мы встретили на улице отца с сыном у него же может быть старшая сестра. Так что исключить этот случай нельзя
А, еще в тексте были перепутаны абзацы для 1ого и 2ого способа! Спасибо внимательным читателям, поправил
Нам известно, что в семье есть мальчик, так что вероятность двух девочек 0
Видимо, в этом и задача! Я бы попробовал смоделировать ее тоже, мне кажется это хороший способ что-то понять
Но аксиома выбора тут никак не участвует, если работать в теории множеств без нее, все утверждения в тексте останутся верны. Я же не говорил про парадокс Банаха-царского — специально, по тем же причинам, о которых вы пишите. У меня была очень практическая цель — объяснить что перед тем, как решать задачу, надо ее корректно сформулировать, а не использовать слово "случайность" как будто оно все объясняет
Да, вы правы — в комментариях обсуждение ушло в сторону урновых схем и пространства событий с учётом порядка или без. Но если честно, это немного не та история.
Цель статьи была не в том, чтобы классифицировать все типы вероятностных пространств. А в том, чтобы показать: в некоторых задачах естественно появляются несколько разных вероятностных моделей, и все они логично описывают одну и ту же формулировку. Просто в ней не хватает уточнения — какой именно эксперимент мы себе представляем.
Когда речь идёт о бесконечных множествах, вроде парадокса Бертрана, это хорошо известно. Но когда множество конечно, почти всегда по умолчанию берут равномерное распределение. И вот как раз найти задачу, в которой два нерожденных распределения — оба естественны — не так-то просто. Мне удалось построить один пример (с ребром в графе), и он стал основой раздела. В нём два разных способа задать "случайную пару" — и два разных ответа. Именно это мне показалось интересным и достойным обсуждения. Еще там есть задача про пары друзей, которая придумана специально для статьи.
Если у вас есть другие примеры ситуаций, в которых естественно появляются несколько различных вероятностных распределений — я буду очень благодарен, если вы ими поделитесь) Если бы я что-то красивое придумал, может быть и не вставлял бы раздел про парадокс братьев, цели подробно объяснять его у меня не было. Я скорее ориентировался на читателей, которые и так уверены, что ответ 1/3, и будут спорить со мной, что 1/2 нельзя получить.
Добрый день! Спасибо за вопрос, эту часть почти никто не обсуждает
Все равносторонние треугольники, вписанные в окружность, имеют одну и ту же сторону. Поэтому мы можем зафиксировать треугольник как угодно — например, с одной вершиной в конце хорды — и сравнивать хорду с ним. Это не создаёт дополнительного ограничения.
Мы выбираем случайную точку внутри круга, и хотим чтобы она была центром хорды. Через любую такую точку действительно можно провести бесконечно много хорд, но ровно одна из них будет иметь эту точку в центре. Мы сознательно выбираем именно такой способ — и он корректно определяет распределение хорд (другое, но вполне математически осмысленное).
А почему 1/9?
Эту часть совсем не понимаю, с остальным согласен. Что вы имеете ввиду?
Не понимаю как варианты а) б) и в) могут быть одновременно правильными? Вероятность это какое-то конкретное число, оно не может быть равно одновременно 0, 1/2 и 1/4
Но вопрос — с какой вероятностью выбранный ответ правильный. Если 100% то получается все ответы правильные? Но они друг другу противоречат(
Проблема в том, что
outcome2()не выбирает случайную семью с двумя детьми, а принудительно вставляет одного мальчика, к которому добавляется случайный второй ребёнок.В результате вы моделируете не «все семьи с хотя бы одним мальчиком», а только те, где к одному мальчику добавили его сиблинга случайного пола. Это как раз второй метод сбора статистики, о котором я говорю в тексте, и он дает ответ 1/2.
Сравните с https://habr.com/ru/articles/912270/comments/#comment_28346778
На самом деле субъективность в математике — это очень интересный вопрос и тема для отельного поста. Хотя я, как и многие, придерживаюсь платонистских взглядов — то есть предполагаю, что математика представляет собой некую объективную часть воображаемой, недоступной нам напрямую реальности, которую мы можем исследовать и открывать. Математика на Земле такая же, как математика на Луне.
Но с другой стороны, я вижу что в том, как математика живёт и развивается, огромную роль играют представления о красоте, приложениях, моде, популяризации, способности связать одно с другим, объяснить, почему эта математика интересна.
Большую часть современной математики занимает не только доказательство утверждений, но и развитие ее языка. Мы вводим определения, уточняем понятия, создаём термины. И в итоге те утверждения, с которыми работает математика, невозможно сформулировать иначе, чем на языке, который придумали конкретные люди — наши современники.
Если из истории выкинуть какого-то одного математика, осыплется всё вокруг него — терминология, конструкции, связи. Теоремы, которые сегодня считаются центральными, окажутся в этой альтернативной вселенной просто недоступны — или, как минимум, не будут выглядеть красивыми, ясными, достойными внимания. Они не станут тем, чем они стали — кирпичиками для следующего шага.
Но это конечно отступление в сторону)
Да, но остается три варианта — две решки, орел+решка и решка+орел. Мы же не знаем что решка выпала первой! Если бы знали попали в условие задачи, где известно, что старшая — девочка, там действительно 1/2
Да, ровно это я и хотел подчеркнуть: математика начинается после того, как выбрана модель. А вот сам выбор — вещь субъективная. Решение, что считать случайным, что — известным, и как устроено наблюдение, — не выводится из теории, а задаётся извне. И именно на этом этапе рождаются все неоднозначности, о которых идет речь.
Допустим, мы хотим узнать, как люди будут голосовать на выборах. Мы не можем опросить всех, поэтому выбираем случайных прохожих и спрашиваем:
Вы пойдёте голосовать?
Если нет — идём дальше. Если да — спрашиваем:
За кого будете голосовать?
Из этого формируется выборка, по которой мы считаем долю голосов. Мы считаем, что это и есть вероятность того, что случайно пришедший на участок избиратель проголосует за того или иного кандидата. Мы не смотрим на всех подряд — только на тех, кто пойдёт голосовать. Это фильтр — и он влияет на то, как считать вероятности.
Теперь задача про двух детей. Представьте, что мы ходим по улице в воображаемом городе, где в каждой семье два ребенка, и спрашиваем взрослых:
— Среди ваших детей есть хотя бы один мальчик?
Если нет — идём дальше. Если да — спрашиваем:
— А второй ребёнок — тоже мальчик?
Я сгенерировал такую выборку. Мы собрали 7555 случаев, где точно есть хотя бы один мальчик. И среди них 2501 где оба мальчики. Отношение примерно 1/3, и этот результат можно было предсказать без всякого моделирования, просто посмотрев на 4 элементарных равновероятных исхода для семьи, среди которых мы рассматриваем только 3, в свою очередь среди которых ровно 1 соответствует двум мальчикам.
Если бы мы ходили по городу и опрашивали мальчиков
— У вас есть брат?
и так собирали бы статистику — тот же самый город дал бы выборку из 10556 мальчиков (ровно столько раз выпал орел), среди которых у 5002 есть брат (это те 2501 семья с двумя мальчиками), то есть доля примерно 1/2
А что тогда имеет отношение к математике? Где для вас проходит граница между «софистикой» и «настоящей» задачей?
Вы правы: если опрашивать мальчиков, какого пола их сиблинг, и так собирать статистику — ответ 1/2. Если опрашивать отцов, у которых есть сын, есть ли у них второй — 1/3. Два разных способа — два разных ответа. Мне как раз и хотелось такой пример привести
Я просто предлагаю его рассмотреть и подумать, истинно оно или ложно?