Да, но и в комментарии заведомо известно, что выпала решка. Аналогия прямая — в нашем воображаемом городе пол ребенка определяется броском монетки, если выпал орел рождается девочка, решка — мальчик.
Программа буквально описывает, как в семьях в нашем воображаемом городе рождаются дети — каждый раз подбрасывается монетка и случайно определяется пол. Я моделировал город, и в нем 7555 семей с мальчиком, а среди них примерно треть — с двумя.
Но эксперимент можно проводить и по другому, и тогда получится другой ответ — об этом тоже написано в статье. Тут я совершенно согласен, просто в рассуждении Гарднера тоже есть смысл.
Более того, рассуждение Гарднера соответствует тому, чему учат на курсе теории вероятности, где обычно предполагается, что на конечных множествах распределения равновероятные. Но я пытался объяснить, что иногда разумно рассматривать и другие модели — например, когда мы выбираем случайное ребро в графе
Вы, по сути, правы — это не парадокс в теории вероятностей в строгом смысле. Это, конечно, шутка в конце статьи, а не формальный объект исследования. И да, по духу он действительно ближе к «камню, который Бог не может поднять»
Но именно так и работают парадоксы самореференции: они не ложны и не истинны, а подсвечивают ограничения языка, которым мы пользуемся. Это скорее повод задуматься о границах формального мышления.
Все тоже самое можно сказать про парадокс лжеца. С точки зрения математики он важен, потому что подчеркивает, что не любому утверждению можно присвоить значение истинности, хотя обычно математики это нежно подразумевают (например используя рассуждения от противного).
for in range(ntrials): first = random.choice(['H', 'T']) # H = heads (орел), T = tails (решка) second = random.choice(['H', 'T']) pairs.append((first, second))
Отбираем пары, в которых хотя бы одна монета — орёл
at_least_one_heads = [pair for pair in pairs if 'H' in pair]
Из них — сколько таких, в которых обе монеты — орёл
both_heads = [pair for pair in at_least_one_heads if pair == ('H', 'H')]
Я провёл эксперимент: 10 000 раз бросил две монетки. В каждом случае записывал, что выпало — орёл или решка. Потом отобрал только те пары, где выпал хотя бы один орёл, и посмотрел, в каком проценте из них обе монеты оказались орлом.
🔢 Всего таких «отобранных» пар оказалось 7555 🟡 Из них в 2501 паре оба броска дали орла 📊 Это ≈ 33,1% — то есть примерно одна треть
Именно это и есть тот самый «парадокс двух детей» в действии: если модель устроена так, что мы случайно выбираем семью и знаем, что в ней есть мальчик, то вероятность, что второй ребёнок — тоже мальчик, действительно 1/3.
Суть не в том, что это «правильный» ответ, а в том, что это ответ конкретной модели. Если бы мы, например, выбирали случайного ребёнка, а потом узнавали про второго — результат был бы другим. Всё зависит от конструкции эксперимента.
Вы поднимаете очень важный момент — именно на этом месте у большинства начинается ощущение абсурда.
Но здесь есть одно ключевое недоразумение: пары «мальчик-девочка» и «девочка-мальчик» — это не одно и то же, если порядок в семье считается частью модели. То есть «мальчик старший, девочка младшая» — это одна семья, а «девочка старшая, мальчик младший» — другая. Если мы предполагаем, что все такие семьи равновероятны, то эти случаи считаются по отдельности.
Когда вы говорите, что «это уже выпало» или «эта комбинация одна и та же» — вы, по сути, меняете модель. Это совершенно допустимо, но тогда и расчёты будут другими. Проблема не в том, что кто-то считает неправильно, а в том, что без уточнения модели сама задача неоднозначна — и именно это делает её интересной.
Кстати, ваше ощущение, что «так считать нельзя», — это очень полезный сигнал. Оно показывает, что где-то в формулировке «недостаточно условий». И вы совершенно правы: прежде чем что-то считать, нужно понять, что именно мы моделируем.
Спасибо за подробный комментарий! В каком-то смысле, вы формулируете главную мысль всей статьи — что без модели считать нечего. А модели могут быть устроены по-разному, и если не договориться заранее, можно получить сразу несколько «правильных» ответов.
Иногда кажется, что вся теория вероятностей — это попытка сделать вид, что мы знаем, откуда берётся случайность. Мы придумываем правила выбора, только чтобы поверить, что за ними скрывается нечто объективное. Но возможно ли построить теорию вероятностей, не договорившись, что именно мы выбираем и как?
В каком моменте, по-вашему, модель перестаёт быть инструментом — и становится самообманом?
Если вероятность ноль, то на вопрос правильный ответ на вопрос "Какова вероятность того, что вы выберете правильный ответ?" определенно в)
В этом и есть парадокс — утверждение "среди вариантов ответа есть правильный" по сути означает свое отрицание (как утверждение "это утверждение ложно") и любое предположение о его истинности приводит к противоречию
В этой задаче "правильный" ответ — это такой, который совпадает с реальной вероятностью того, что вы его случайно выберете. То есть, вы выбираете один из четырёх вариантов наугад, и если вероятность выпадения этого варианта совпадает с тем значением, которое он сам утверждает — значит, это "правильный" ответ
Да, но и в комментарии заведомо известно, что выпала решка. Аналогия прямая — в нашем воображаемом городе пол ребенка определяется броском монетки, если выпал орел рождается девочка, решка — мальчик.
Программа буквально описывает, как в семьях в нашем воображаемом городе рождаются дети — каждый раз подбрасывается монетка и случайно определяется пол. Я моделировал город, и в нем 7555 семей с мальчиком, а среди них примерно треть — с двумя.
Но эксперимент можно проводить и по другому, и тогда получится другой ответ — об этом тоже написано в статье. Тут я совершенно согласен, просто в рассуждении Гарднера тоже есть смысл.
Более того, рассуждение Гарднера соответствует тому, чему учат на курсе теории вероятности, где обычно предполагается, что на конечных множествах распределения равновероятные. Но я пытался объяснить, что иногда разумно рассматривать и другие модели — например, когда мы выбираем случайное ребро в графе
Вы, по сути, правы — это не парадокс в теории вероятностей в строгом смысле. Это, конечно, шутка в конце статьи, а не формальный объект исследования. И да, по духу он действительно ближе к «камню, который Бог не может поднять»
Но именно так и работают парадоксы самореференции: они не ложны и не истинны, а подсвечивают ограничения языка, которым мы пользуемся. Это скорее повод задуматься о границах формального мышления.
Все тоже самое можно сказать про парадокс лжеца. С точки зрения математики он важен, потому что подчеркивает, что не любому утверждению можно присвоить значение истинности, хотя обычно математики это нежно подразумевают (например используя рассуждения от противного).
Вот как это выглядит на практике:
Код на питоне
import randomСимулируем 100 экспериментов по броску двух монетn_trials = 10000pairs = []
forin range(ntrials):first = random.choice(['H', 'T']) # H = heads (орел), T = tails (решка)
second = random.choice(['H', 'T'])
pairs.append((first, second))
Отбираем пары, в которых хотя бы одна монета — орёлat_least_one_heads = [pair for pair in pairs if 'H' in pair]Из них — сколько таких, в которых обе монеты — орёлboth_heads = [pair for pair in at_least_one_heads if pair == ('H', 'H')]Результатыtotal_with_heads = len(at_least_one_heads)total_both_heads = len(both_heads)
percentage = (total_both_heads / total_with_heads) * 100
total_with_heads, total_both_heads, percentageРезультат
Я провёл эксперимент: 10 000 раз бросил две монетки. В каждом случае записывал, что выпало — орёл или решка. Потом отобрал только те пары, где выпал хотя бы один орёл, и посмотрел, в каком проценте из них обе монеты оказались орлом.
🔢 Всего таких «отобранных» пар оказалось 7555
🟡 Из них в 2501 паре оба броска дали орла
📊 Это ≈ 33,1% — то есть примерно одна треть
Именно это и есть тот самый «парадокс двух детей» в действии: если модель устроена так, что мы случайно выбираем семью и знаем, что в ней есть мальчик, то вероятность, что второй ребёнок — тоже мальчик, действительно 1/3.
Суть не в том, что это «правильный» ответ, а в том, что это ответ конкретной модели. Если бы мы, например, выбирали случайного ребёнка, а потом узнавали про второго — результат был бы другим. Всё зависит от конструкции эксперимента.
Вы поднимаете очень важный момент — именно на этом месте у большинства начинается ощущение абсурда.
Но здесь есть одно ключевое недоразумение: пары «мальчик-девочка» и «девочка-мальчик» — это не одно и то же, если порядок в семье считается частью модели. То есть «мальчик старший, девочка младшая» — это одна семья, а «девочка старшая, мальчик младший» — другая. Если мы предполагаем, что все такие семьи равновероятны, то эти случаи считаются по отдельности.
Когда вы говорите, что «это уже выпало» или «эта комбинация одна и та же» — вы, по сути, меняете модель. Это совершенно допустимо, но тогда и расчёты будут другими. Проблема не в том, что кто-то считает неправильно, а в том, что без уточнения модели сама задача неоднозначна — и именно это делает её интересной.
Кстати, ваше ощущение, что «так считать нельзя», — это очень полезный сигнал. Оно показывает, что где-то в формулировке «недостаточно условий». И вы совершенно правы: прежде чем что-то считать, нужно понять, что именно мы моделируем.
Спасибо за подробный комментарий! В каком-то смысле, вы формулируете главную мысль всей статьи — что без модели считать нечего. А модели могут быть устроены по-разному, и если не договориться заранее, можно получить сразу несколько «правильных» ответов.
Иногда кажется, что вся теория вероятностей — это попытка сделать вид, что мы знаем, откуда берётся случайность. Мы придумываем правила выбора, только чтобы поверить, что за ними скрывается нечто объективное. Но возможно ли построить теорию вероятностей, не договорившись, что именно мы выбираем и как?
В каком моменте, по-вашему, модель перестаёт быть инструментом — и становится самообманом?
Если вероятность ноль, то на вопрос правильный ответ на вопрос "Какова вероятность того, что вы выберете правильный ответ?" определенно в)
В этом и есть парадокс — утверждение "среди вариантов ответа есть правильный" по сути означает свое отрицание (как утверждение "это утверждение ложно") и любое предположение о его истинности приводит к противоречию
Хорошо, но если ни один из ответов не является правильным, то какая вероятность попасть в правильный ответ, выбрав его случайно?
Третий раздел как раз об этом, там в конце парадокс двух конвертов упомянут! Но вы правы, что ему здесь самое место :)
Да, это похоже на Монти Холла, или на парадокс трех узников
Все так!) Интересно, что у него есть такой вероятностный аналог
Вы правы
Да, это версия парадокса Лжеца, или парадокс самореференции. Это утверждение, которое ссылается на свою истинность — и так возникает парадокс
Абсолютно согласен)
Вероятность 25% — одна вторая, поскольку если случайно выбирать ответ, мы будем попадать на него в половине случаев
Действительно, вариант 0% приводит к парадоксу! А остальные?
В этой задаче "правильный" ответ — это такой, который совпадает с реальной вероятностью того, что вы его случайно выберете. То есть, вы выбираете один из четырёх вариантов наугад, и если вероятность выпадения этого варианта совпадает с тем значением, которое он сам утверждает — значит, это "правильный" ответ
Да, так почетче
Это один и тот же вопрос — в этом и вся соль :)
Спасибо большое! Очень интересная статья!) Классная шутка про компактность