Насколько я понимаю, главная идея неравномерного семплинга, чаще брать те точки, в которых функция принимает бОльшие значения. Мне непонятно, зачем потом взвешивать эти точки с коэффициентами, обратными вероятностям их получения (формула 7). По идее, это как-раз убивает влияние этих точек на вычисление среднего значения фунции. Кроме того, весовые коэффициенты не суммируются к 1, так как равны (1/n)*1/pfd(x_i), а не (1/n)*pdf(x_i).
1) Между параметрами и аргументами(переменными) есть разница. Формула (1) в самом общем виде задаёт целое семейство (параметризованное) аффинных преобразований и как раз параметры определяют, какое конкретно преобразование мы хотим выбрать, а аргумент — вектор, на который мы этим готовым преобразованием действуем. То, что они входят в формулу симметрично, не должно скрывать, что концепутально у них разный смысл.
2) Матрица в числителе в своей первой строке содержит векторы, что приводит к тому, что её детерминант тоже вектор. Тогда как в знаменателе действительно будет число. Это необычная конструкция и я писал, что это напоминает выражение для векторного произведения — там в результате взятия детерминанта тоже будет вектор. Я также упомянул, что такие детерминанты можно брать с помощью обычных правил и показал это на примерах. Вполне естественно, что наша формула выдает именно вектор, ведь аффинное преобразование действуя на вектор возвращает вектор (так что всё сходится). Да что там, в детерминанты можно не только вектора, но и дифференциальные операторы запихивать (оператор Гамильтона).
3) На мой взгляд, математики крайне внимательны к деталям. Однако, в научно-популярных статьях некритические детали допустимо скрывать, чтобы не перегрузить читателя. Однако, я дал ссылку на статью, где все изложено более строго.
1) Я работал в векторных (не аффинных) пространствах и мыслил векторы как их элементы (то есть первый подход). Понимаю, что барицентрические координаты можно определять уже для точек аффиного пространства, а в векторных пространствах точек как таковых нет. Я действительно, неформально обошелся с точками и векторами, зачастую заменяя точки на координаты векторов, которые на них указывают.
2) Я думаю, можно стать на проективную точку зрения — считать что векторы заданы в плоскости w=1 в пространстве размерности на 1 больше и считать что мы находим линейное преобразование там. Вообще, формула имеет проективный привкус. Например, можно избавиться от знаменателя (и минуса перед детерминантом), если ввести однородные координаты (с 1 в качестве последней) для выходных векторов.
1) Для восстановления двумерного аффинного (не линейного) преобразования понадобятся три точки. Ведь мы хотим найти четыре числа в матрице 2x2 и вектор трансляции (еще два числа) — итого шесть чисел. Для этого нужно 6 уравнений. Поэтому мы должны знать, куда перешли три точки, так как каждая точка имеет две координаты и даст два уравнения. И всего их будет как раз шесть.
2) Выходной треугольник может быть совсем непохож на входной. Он может даже «жить» в другом пространстве (например, цветовом). Аффинное преобразование так исказит входное пространство, что два треугольника совпадут. Картинка с Леной показывает, что выходный треугольник (крайний слева) вовсе не подобен входному (крайний справа).
почему же нельзя? можно:
2) Матрица в числителе в своей первой строке содержит векторы, что приводит к тому, что её детерминант тоже вектор. Тогда как в знаменателе действительно будет число. Это необычная конструкция и я писал, что это напоминает выражение для векторного произведения — там в результате взятия детерминанта тоже будет вектор. Я также упомянул, что такие детерминанты можно брать с помощью обычных правил и показал это на примерах. Вполне естественно, что наша формула выдает именно вектор, ведь аффинное преобразование действуя на вектор возвращает вектор (так что всё сходится). Да что там, в детерминанты можно не только вектора, но и дифференциальные операторы запихивать (оператор Гамильтона).
3) На мой взгляд, математики крайне внимательны к деталям. Однако, в научно-популярных статьях некритические детали допустимо скрывать, чтобы не перегрузить читателя. Однако, я дал ссылку на статью, где все изложено более строго.
2) Я думаю, можно стать на проективную точку зрения — считать что векторы заданы в плоскости w=1 в пространстве размерности на 1 больше и считать что мы находим линейное преобразование там. Вообще, формула имеет проективный привкус. Например, можно избавиться от знаменателя (и минуса перед детерминантом), если ввести однородные координаты (с 1 в качестве последней) для выходных векторов.
2) Выходной треугольник может быть совсем непохож на входной. Он может даже «жить» в другом пространстве (например, цветовом). Аффинное преобразование так исказит входное пространство, что два треугольника совпадут. Картинка с Леной показывает, что выходный треугольник (крайний слева) вовсе не подобен входному (крайний справа).