Еще раз, если «линия» содержит участки где на одной вертикали больше одной точки, то она не является графиком функции, по определению функции. Тем не менее может существовать равенство, которому удовлетворяет каждая точка «линии». Или параметрическое задание.
И никто не изучает особые точки с помощью «увеличения». Это все равно что считать число нулей в десятичной записи числа Грэма. Посмотрите функцию вейерштрасса, лестницу кантора например.
Вам уже написали, что с увеличением числа слагаемых в ряде фурье желаемый вами переход будет все более близок к вертикали но не вертикальным, но будет иметь место эффект Гиббса. Эффект гиббса пропадет при предельном переходе, но появится разрыв в котором сумма ряда будет равна полусумме пределов справа и слева.
Вы понимаете что функция и график функции, тот который вы можете нарисовать, это не одно и тоже. Что вы используете аппарат математического анализа, но отрицаете то что лежит в самом низу — определение функции. Что вы пытаетесь тянуть какие-то жизненные аналогии, туда, где им нет места — в формальные логические рассуждения.
Когда-то математика начиналась с естественнонаучных задач. Но с тех пор прошло много времени. И, по крайней мере на ваши вопросы, ответы найдены.
Философ вы мой дорогой, сходите для начала на мехмат, после первой сессии мы с вами сможем строго поговорить о бесконечности, рядах фурье, эффекте Гиббса, кардинальных числах, сходимостях и так далее.
А вы проверили их выполнение? У вас неустранимые разрывы на интервале интегрирования, например в точке pi*2/3, а значит формулу ньютона-лейбница применять нельзя.
В оптимизации большой объем для творчества. От экстенсивных методов типа cuda, до интенсивных вроде октодеревьев (как раз недавно кто-то писал на эту тему, там еще ссылка на симуляцию галактики с применением Barnes-Hut ).
Предлагаю сделать сенсоры, чувствительные к разным частям спектра, а лампочки разных цветов поставить на сами машинки, так чтобы машинка несла лампочки, к которым она нечувствительна.
И никто не изучает особые точки с помощью «увеличения». Это все равно что считать число нулей в десятичной записи числа Грэма. Посмотрите функцию вейерштрасса, лестницу кантора например.
Вам уже написали, что с увеличением числа слагаемых в ряде фурье желаемый вами переход будет все более близок к вертикали но не вертикальным, но будет иметь место эффект Гиббса. Эффект гиббса пропадет при предельном переходе, но появится разрыв в котором сумма ряда будет равна полусумме пределов справа и слева.
Когда-то математика начиналась с естественнонаучных задач. Но с тех пор прошло много времени. И, по крайней мере на ваши вопросы, ответы найдены.