Ну это не настолько глубокое использование теории групп, чтобы всерьез считать, что утверждение об этом. Тем более что не столь трудно переформулировать его без использования слов про вложение свободной группы из двух элементов в группу вращений (во всяком случае, впервые я доказательство увидел без упоминания теории групп).
И потом, представление, «о чем утверждение», часто не связано с тем, что используется при доказательстве (Великая Теорема Ферма, на первый взгляд, про целые числа). Особенно если вы рассказываете об этом не-математикам.
Итого из пяти примеров «удивительных математических фактов» действительно удивительным является только пример про классификацию двухмерных wallpaper groups. Но маломерные классификационные теоремы все выглядят удивительно, так что через какое-то время перестаешь удивляться уже.
А вот из топологии есть гораздо сильнее выносящие мозг вещи, типа парадокса Банаха—Тарского.
Как водится, непонятно, что такое «два случайно выбранных натуральных числа». Было б их конечное количество, имелось бы в виду равномерное распределение, а так возможны варианты.
Часть про гомеомерфизмы нуждается в серьезном уточнении: гомеоморфизм ничего не знает про промежуточные состояния. Правильнее было бы говорить об изотопии или, если допускается сжатие до «одноточечной» ширины, о гомотопии.
С точки зрения гомеоморфизмов, между обычной сферой и вывернутой наизнанку нет никакой разницы, потому что гомеоморфизм ничего не знает ни о гладкой структуре, ни об ориентации поверхности, а как множества точек обе сферы совпадают. Речь идет о непрерывной деформации ориентированного многообразия внутри R^3, которая еще и допускает трансверсальные пересечения в процессе (то есть промежуточные варианты не вложены в R^3, а погружены).
Остальные примеры тоже довольно странно выбраны, я бы сказал.
Математика большого стиля сочетает высочайшую степень эксплицитности с высочайшей степенью суггестивности. Иными словами, она апеллирует не только к рассудку, но и к биологии (зрение, моторика, пространственное чувство, чувство ритма), к эстетическому и религиозному чувству, к духовной и сверхдуховной стороне человека. В работе профессионального математика логика является не только не единственным — как полагают доморощенные мудрецы — но и далеко не главным аспектом. В действительности, она занимает чисто служебное положение по отношению к наблюдательности, акумену, воображению, фантазии, движению, эстетике, прагматике, интуиции, остроумию — и, в первую очередь, по отношению к откровению и пониманию, т.е. прямому контакту с миром идей, данному в форме непосредственного созерцания истины.
~ Н. А. Вавилов, «Конкретная теория групп»
Хороший журнал либо публикует сразу на английском (окей, есть исключения на французском и немецком), либо систематически переводится на английский и издается в переведенном виде. Текст, опубликованный только на русском, никому не нужен.
Бывают, конечно, исключения, но по умолчанию его никто в таком случае не прочитает.
Казалось бы, простая идея: n раз подгружать порцию автоматически, на n+1 вешать кнопку «Следующая страница», повторить — и почти нигде не используется.
Вот кстати насчет Курсеры: СПбГУ грозится запилить свой курс по биоинформатике там же (объявление, курс). Для тех, кто не в теме: а в чём существенная разница между двумя курсами, кроме языка?
Вы по существу записали то же самое другми словами. Между стандартной метрикой на Q и стандартным порядком там же нет никакой разницы.
Я понимаю, что вы с Олегом мне пытаетесь сообщить, что вещественные числа выделяются среди других пополнений поля рациональных. Я же говорю про то, что когда вы берете предел последовательности (сумма ряда, ага), то надо всегда помнить, в какой топологии этот предел берется.
Как я уже говорил выше: «даже если вы его явно не пишете, он всё равно там». Хотя кажется, что в этой формуле кроме Pi есть только арифметические операции и целые числа, это не так — там есть многоточие, в котором спрятана вся топологическая часть.
Вы, возможно, удивитесь (хотя как выпускник кафедры алгебры не должны), но p-адические числа с тем же успехом вводятся на основе натуральных, надо только пополнение брать по другому нормированию.
Я, видимо, что-то упустил, но я никак не вижу, как избавиться от использования вещественных чисел в определении вещественного числа (которое ни в какие меньшие разумные структуры не попадает).
Признаюсь — первым я минус влепил, потому что это какой-то бред сумасшедшего.
> пи это просто проекция фронта любой электромагнитной волны во времени на воображаемую бесконечно удаленную вечную сферу
Понять нет никакой возможности.
Так я ж не спорю! Я просто говорю, что все эти «арифметические свойства» не являются реально арифметическими, потому что сильно используют свойства поля вещественных чисел.
Это как с запретом на использование косинуса в посте: даже если вы его явно не пишете, он всё равно там. Можно его глубже запрятать, но избавиться от него не удастся.
Сумма ряда это предел частичных сумм, как же тут без метрики (или хотя бы топологии или чего-нибудь такого)?
И вообще, слева стоит предел последовательности рациональных чисел. Он не рационален. А уж где мы его возьмём, в вещественных числах или в p-адических — отдельный вопрос.
> их сумма будет меньше чем 1.8.
Вот это к тому, что «естественная норма» согласована со структурой упорядоченного поля, но никак не про «формулируется в терминах целочисленной арифметики».
И потом, представление, «о чем утверждение», часто не связано с тем, что используется при доказательстве (Великая Теорема Ферма, на первый взгляд, про целые числа). Особенно если вы рассказываете об этом не-математикам.
А вот из топологии есть гораздо сильнее выносящие мозг вещи, типа парадокса Банаха—Тарского.
С точки зрения гомеоморфизмов, между обычной сферой и вывернутой наизнанку нет никакой разницы, потому что гомеоморфизм ничего не знает ни о гладкой структуре, ни об ориентации поверхности, а как множества точек обе сферы совпадают. Речь идет о непрерывной деформации ориентированного многообразия внутри R^3, которая еще и допускает трансверсальные пересечения в процессе (то есть промежуточные варианты не вложены в R^3, а погружены).
Остальные примеры тоже довольно странно выбраны, я бы сказал.
Бывают, конечно, исключения, но по умолчанию его никто в таком случае не прочитает.
Я понимаю, что вы с Олегом мне пытаетесь сообщить, что вещественные числа выделяются среди других пополнений поля рациональных. Я же говорю про то, что когда вы берете предел последовательности (сумма ряда, ага), то надо всегда помнить, в какой топологии этот предел берется.
Как я уже говорил выше: «даже если вы его явно не пишете, он всё равно там». Хотя кажется, что в этой формуле кроме Pi есть только арифметические операции и целые числа, это не так — там есть многоточие, в котором спрятана вся топологическая часть.
Я, видимо, что-то упустил, но я никак не вижу, как избавиться от использования вещественных чисел в определении вещественного числа (которое ни в какие меньшие разумные структуры не попадает).
> пи это просто проекция фронта любой электромагнитной волны во времени на воображаемую бесконечно удаленную вечную сферу
Понять нет никакой возможности.
Это как с запретом на использование косинуса в посте: даже если вы его явно не пишете, он всё равно там. Можно его глубже запрятать, но избавиться от него не удастся.
И вообще, слева стоит предел последовательности рациональных чисел. Он не рационален. А уж где мы его возьмём, в вещественных числах или в p-адических — отдельный вопрос.
> их сумма будет меньше чем 1.8.
Вот это к тому, что «естественная норма» согласована со структурой упорядоченного поля, но никак не про «формулируется в терминах целочисленной арифметики».