"Ещё раз" -- потому что эта классификация всем хорошо знакома, и на иллюстрации с подмножествами она приведена. Но вы правы в том, что если это вводное слово убрать, смысл не изменится.
Про степени свободы очень понятно физикам, инженерам, прикладникам. При исследовании сложных и неочевидных топологий, далëких от многообразий, эта интуиция не работает. Моей задачей в этой заметке было дать представление о том, как математики подходят к определению чего-то невидимого, находя постепенно связи с привычным физическим миром там, где это оправданно.
Странно, мне кажется, карта с легендой вполне справляется со свой ролью.
Про меру, как вероятность я добавил потому, что это точнее всего отражает ситуацию. Настоящую формальную меру (лебеговскую) вводить я не собирался, это сложно и не нужно. А нулевая, мера в прикладном, физическом смысле, чаще всего, встречается именно в образе вероятностей. При этом упомянуть автора строгой концепции вероятностной меры, лежащей в основе современной теории вероятностей, я считаю не лишним.
function area(pts)
(x0,y0) = pts[1]
res = 0
for i in 2:length(pts)-1
(x1,y1) = pts[i]
(x2,y2) = pts[i+1]
res += (x1-x0)*(y2-y0)-(y1-y0)*(x2-x0)
end
return res/2
end
Мой способ с ротором только звучит страшно, а по сути является разбиением на треугольники, и вычисляется не сложнее, чем любой из способов, приведённых в материале по вашей ссылке.
Для алгоритмического вычисления площади многоугольника, заданного списком координат вершин, мне кажется, лучше не гауссовыми числами воспользоваться, а векторным произведением, "пройдя" из одной вершины по всем прочим, и вычислив ротор единичного потока. При этом для n-угольника сложность O(n), тригонометрия не всплывает, а целочисленность координат особой роли не играет. Но я не могу сказать, что крепко подумал перед тем, как написать этот комментарий, возможно, есть идеи и получше.
Вы правы! В таких случаях непросто понять, где начать (последовательно ввести комплексные числа, или счесть, что это уже известно) и где остановиться (остановиться на квадратных решётках или увлечься и рассказать про числа Эйзенштейна или опространственных решётках и дойти до обобщённой теоремы Пика).
Соображение интересное, но пока не соображу как бы на прямую они могли быть связаны. Определитель можно задать суммированием по перестановкам, но его значение не сводится к комбинации циклов. Надо поразмыслить.
5 годовых (по длительности) дел за 70 лет не гарантированное, а ожидаемое количество. Конечно же, это всего лишь, простая модель, но я в книжке рассматривал более сложные стратегии.
У тангенса числитель -- это синус, который в обычной координатной системе задает ординату точки. То есть, точке с координатами (x, y) соответствует угол arctg(y/x).
Ура, Гëдель в ход пошëл! Который, правда, не про всю математику неполноту доказал, а про формальные системы, содержащие в себе индуктивные построения, изоморфные арифметике Пеано. Но всë, после Гëделя мы к математике относимся только скептически и с подозрением! Не наука она, а лишь формальная стстема. То ли дело, реальность.
Правда, во время и после Гëделя были Феликс Кляйн, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт, Бертран Рассел, Алонзо Чëрч, Алан Тьюринг, Александр Гротендик, Герман Вейль, Андрей Колмогоров, Джон Конвей... и им неполнота по Гëделю не мешала работать и дарить нам обалденные инструменты для работы с реальностью при помощи скромных наших мозгов.
Как-то вы неуважительно: "костыль". И далеко мы без этого костыля ушкандыбаем? А что не костыль? Опыт? Без анализа, обобщения и абстракции помрëт с экспериментатором. Интуиция? Так себе основание для научного метода.
И про веру вы как-то непонятно сказали. Аксиомы Пеано требуют веры? Аксиомы Гильберта и определения топологии тоже? Лямбда-исчисление, может быть, на вере основано. Так вы проверьте их опытом. И, говоря про "остальное", это вы что имели в виду? Индукцию, абстракцию, логический метод, что с ними не так?
И как абстрактность абстракций делает вас слабее при работе с реальностью? Используете их с умом, знаете пределы применимости, как грамотный физик и всë в порядке.
Вы совершенно правы, имеет смысл делать это различие,лучше говорить не о вероятеости, а о доле тех или иных троек в их общем числе. Действительно, равномерного распределения на всем множестве натуральных числах не бывает (функция вероятности будет эффективно равна нулю всюду). Однако при выборе натуральных чисел из конечных интервалов, о вероятности выбрать чëтное число говорить уже можно. По мере увеличения интервала, и при равномерной вероятности выбрать любое число на нем, эта вероятность будет сходиться к 1/2.
Область неразрешимых в вещественных числах уравнений в пространстве коэффициентов ограничена конусом и имеет конечную долю в конечном объеме на котором распределяется мера. К тому же, он сохраняет пропорции при масштабировании. Так что здесь уместно говорить о вероятности при выборе коэффициентов из конечного объема пространства (в котором,к тому же, конус расположен симметрично) .
В мою фразу о том, что вероятность сильно зависит от способа выбора коэффициентов следует добавить и конечность объëма и правильное расположение объëма относительно конуса. Согласен, что сама постановка задачи находится на грани некорректности, но на уровне беседы с ребятами это вполне допустимая задача. Кроме того, полезно обсудить с ними эти нюансы.
Ради того, что это интересно: уравнение, выглядящее некорректным в привычных полях и кольцах, оказывается корректным в некотором разумном контексте. Я исключительно за то, что бы было интересно и полезно. А не просто шумно.
И да, вы, победили, конечно. Добавлю ссылку на эту дискуссию в статью, чтобы мне неповадно было. Благодарю вас за интерес и неравнодушие к математике. Приглашаю прочесть и следующие мои статьи и уже вышедшие. Ваша конструктивная критика, несомненно сделает их ещё лучше.
Да не буду я спорить. Если школьник мне скажет, что я ошибся, я объясню, что имел в виду. Если это будет важно, исправлю. Если его моя ошибка оскорбляет, то, простите, это его проблемы. Пока спор поддерживаете вы, и, честно говоря, я не вижу в его продолжении большого смысла и интереса. Когда, например, бесконечный процесс путают с бесконечным результатом, это, действительно, чревато логическими ошибками и парадоксами, а здесь, ну, правда, не к тому вы придрались. Масштаб вопроса не тот, чтобы поднимать философские основы математики.
Точность в математике, конечно же необходима, и да, мою фразу можно интерпретировать, как некорректную. Но это, во-первых, никак не сказывается на дальнейшем изложении и результатах, во-вторых в контексте статьи это явно опровергаемое по ходу изложения утверждение, а в-третьих, если так непримиримо подходить к математическому образованию, то точность превратится в казуистику, и толковые ученики разбегутся, оставив место тем, кто более склонен к демагогии и занудству, чем к творчеству.
Я предлагаю нам всем перестать дискутировать по этому вопросу, и направить силы и время на написание новых полезных и интересных материалов, на живые беседы с теми же школьниками, или на получении новых результатов.
А в каком поле любой многочлен имеет ровно n корней? А в конечном поле имеет? А в поле гауссовых рациональных чисел? А что в комплексных числах все уравнения имеют корни? А ведь кроме алгебраических, есть и транцеденстные и функциональные уравнения, для которых нет методов, не то, что решений. Я писал не о квадратных уравнениях, а о том, что корректная задача может не иметь решений, и к этому надо быть морально готовым. Причем не столько в математике, сколько в жизни.
Ура, мы, наконец-то пришли к ясности! Вы имеете в виду решение, как процесс, а я решение как элемент. Правда, ни в том, ни в другои случае пустое множество не может быть решением но это уже детали.
Определение я сформулировал сам, так чтобы оно было непротиворечивым, полезным и понятным большинству коллег. Если есть недопонимание, как в нашем с вами случае, то оно разъясняется.
Благодарю за внимательное прочтение!
"Ещё раз" -- потому что эта классификация всем хорошо знакома, и на иллюстрации с подмножествами она приведена. Но вы правы в том, что если это вводное слово убрать, смысл не изменится.
Про степени свободы очень понятно физикам, инженерам, прикладникам. При исследовании сложных и неочевидных топологий, далëких от многообразий, эта интуиция не работает. Моей задачей в этой заметке было дать представление о том, как математики подходят к определению чего-то невидимого, находя постепенно связи с привычным физическим миром там, где это оправданно.
Странно, мне кажется, карта с легендой вполне справляется со свой ролью.
Про меру, как вероятность я добавил потому, что это точнее всего отражает ситуацию. Настоящую формальную меру (лебеговскую) вводить я не собирался, это сложно и не нужно. А нулевая, мера в прикладном, физическом смысле, чаще всего, встречается именно в образе вероятностей. При этом упомянуть автора строгой концепции вероятностной меры, лежащей в основе современной теории вероятностей, я считаю не лишним.
Мой способ с ротором только звучит страшно, а по сути является разбиением на треугольники, и вычисляется не сложнее, чем любой из способов, приведённых в материале по вашей ссылке.
Для алгоритмического вычисления площади многоугольника, заданного списком координат вершин, мне кажется, лучше не гауссовыми числами воспользоваться, а векторным произведением, "пройдя" из одной вершины по всем прочим, и вычислив ротор единичного потока. При этом для n-угольника сложность O(n), тригонометрия не всплывает, а целочисленность координат особой роли не играет. Но я не могу сказать, что крепко подумал перед тем, как написать этот комментарий, возможно, есть идеи и получше.
Вы правы! В таких случаях непросто понять, где начать (последовательно ввести комплексные числа, или счесть, что это уже известно) и где остановиться (остановиться на квадратных решётках или увлечься и рассказать про числа Эйзенштейна или опространственных решётках и дойти до обобщённой теоремы Пика).
Соображение интересное, но пока не соображу как бы на прямую они могли быть связаны. Определитель можно задать суммированием по перестановкам, но его значение не сводится к комбинации циклов. Надо поразмыслить.
5 годовых (по длительности) дел за 70 лет не гарантированное, а ожидаемое количество. Конечно же, это всего лишь, простая модель, но я в книжке рассматривал более сложные стратегии.
Это геометрическое подобие ? или даже самоподобие, как у фракталов.
А ведь вы правы, неоднозначная у меня вышла фраза. Спасибо, за замечание!
У тангенса числитель -- это синус, который в обычной координатной системе задает ординату точки. То есть, точке с координатами (x, y) соответствует угол arctg(y/x).
Ура, Гëдель в ход пошëл! Который, правда, не про всю математику неполноту доказал, а про формальные системы, содержащие в себе индуктивные построения, изоморфные арифметике Пеано. Но всë, после Гëделя мы к математике относимся только скептически и с подозрением! Не наука она, а лишь формальная стстема. То ли дело, реальность.
Правда, во время и после Гëделя были Феликс Кляйн, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт, Бертран Рассел, Алонзо Чëрч, Алан Тьюринг, Александр Гротендик, Герман Вейль, Андрей Колмогоров, Джон Конвей... и им неполнота по Гëделю не мешала работать и дарить нам обалденные инструменты для работы с реальностью при помощи скромных наших мозгов.
Как-то вы неуважительно: "костыль". И далеко мы без этого костыля ушкандыбаем? А что не костыль? Опыт? Без анализа, обобщения и абстракции помрëт с экспериментатором. Интуиция? Так себе основание для научного метода.
И про веру вы как-то непонятно сказали. Аксиомы Пеано требуют веры? Аксиомы Гильберта и определения топологии тоже? Лямбда-исчисление, может быть, на вере основано. Так вы проверьте их опытом. И, говоря про "остальное", это вы что имели в виду? Индукцию, абстракцию, логический метод, что с ними не так?
И как абстрактность абстракций делает вас слабее при работе с реальностью? Используете их с умом, знаете пределы применимости, как грамотный физик и всë в порядке.
Если в 3D, то ещё более абстрактные кватернионы могут пригодиться.
Я к тому, что "умножить на i" ничуть не хуже "повернуть на 90°" Тоже абстракция.
Поверните что-нибудь два раза на 90°, вот и эксперимент ?
Вы совершенно правы, имеет смысл делать это различие,лучше говорить не о вероятеости, а о доле тех или иных троек в их общем числе. Действительно, равномерного распределения на всем множестве натуральных числах не бывает (функция вероятности будет эффективно равна нулю всюду). Однако при выборе натуральных чисел из конечных интервалов, о вероятности выбрать чëтное число говорить уже можно. По мере увеличения интервала, и при равномерной вероятности выбрать любое число на нем, эта вероятность будет сходиться к 1/2.
Область неразрешимых в вещественных числах уравнений в пространстве коэффициентов ограничена конусом и имеет конечную долю в конечном объеме на котором распределяется мера. К тому же, он сохраняет пропорции при масштабировании. Так что здесь уместно говорить о вероятности при выборе коэффициентов из конечного объема пространства (в котором,к тому же, конус расположен симметрично) .
В мою фразу о том, что вероятность сильно зависит от способа выбора коэффициентов следует добавить и конечность объëма и правильное расположение объëма относительно конуса. Согласен, что сама постановка задачи находится на грани некорректности, но на уровне беседы с ребятами это вполне допустимая задача. Кроме того, полезно обсудить с ними эти нюансы.
Ради того, что это интересно: уравнение, выглядящее некорректным в привычных полях и кольцах, оказывается корректным в некотором разумном контексте. Я исключительно за то, что бы было интересно и полезно. А не просто шумно.
И да, вы, победили, конечно. Добавлю ссылку на эту дискуссию в статью, чтобы мне неповадно было. Благодарю вас за интерес и неравнодушие к математике. Приглашаю прочесть и следующие мои статьи и уже вышедшие. Ваша конструктивная критика, несомненно сделает их ещё лучше.
Да не буду я спорить. Если школьник мне скажет, что я ошибся, я объясню, что имел в виду. Если это будет важно, исправлю. Если его моя ошибка оскорбляет, то, простите, это его проблемы. Пока спор поддерживаете вы, и, честно говоря, я не вижу в его продолжении большого смысла и интереса. Когда, например, бесконечный процесс путают с бесконечным результатом, это, действительно, чревато логическими ошибками и парадоксами, а здесь, ну, правда, не к тому вы придрались. Масштаб вопроса не тот, чтобы поднимать философские основы математики.
Точность в математике, конечно же необходима, и да, мою фразу можно интерпретировать, как некорректную. Но это, во-первых, никак не сказывается на дальнейшем изложении и результатах, во-вторых в контексте статьи это явно опровергаемое по ходу изложения утверждение, а в-третьих, если так непримиримо подходить к математическому образованию, то точность превратится в казуистику, и толковые ученики разбегутся, оставив место тем, кто более склонен к демагогии и занудству, чем к творчеству.
Я предлагаю нам всем перестать дискутировать по этому вопросу, и направить силы и время на написание новых полезных и интересных материалов, на живые беседы с теми же школьниками, или на получении новых результатов.
Или линейного: x = x + 13, которое, кстати, разрешимо в поле
А в каком поле любой многочлен имеет ровно n корней? А в конечном поле имеет? А в поле гауссовых рациональных чисел? А что в комплексных числах все уравнения имеют корни? А ведь кроме алгебраических, есть и транцеденстные и функциональные уравнения, для которых нет методов, не то, что решений.
Я писал не о квадратных уравнениях, а о том, что корректная задача может не иметь решений, и к этому надо быть морально готовым. Причем не столько в математике, сколько в жизни.
Ура, мы, наконец-то пришли к ясности! Вы имеете в виду решение, как процесс, а я решение как элемент. Правда, ни в том, ни в другои случае пустое множество не может быть решением но это уже детали.
Определение я сформулировал сам, так чтобы оно было непротиворечивым, полезным и понятным большинству коллег. Если есть недопонимание, как в нашем с вами случае, то оно разъясняется.