Улучшение себя, безусловно вещь достойная, невозможно не согласиться. Но по поводу решений уравнений, мне кажется, что у нас какая-то путаница.
Вы всë время ссылаетесь на какие-то определения, которые я должен отыскать, и которые должны до меня дойти. Для того, чтобы дискуссия была содержательной, имеет смысл привести эти определения. Я приведу свои:
Решить уравнение в какой-то аглебраической структуре, поле или кольце, значит найти элементы структуры, при которых уравнение имеет смысл (корректно) и становится верным.
Решениями (корнями) являются конкретные элементы структуры. Решение можно подставить в уравнение и получить верное равенство. Если элементов, удовлетворяющих уравнению не существует, имеет смысл говорить об отсутствии решений. Уравнение решается (разрешимо) в том или ином числовом поле (кольце), если в нëм существуют решения уравнения.
Имеет смысл говорить о множестве решений (пустое множество тоже является множеством решений).
Например, уравнение 2x³=3 в целых и рациональных числах решений не имеет. Нет таких элементов, которые при подстановке в уравнение дадут верное равенство. Множество его рациональных решений пусто. Вещественное решение одно, а комплексных — три.
Некорректно говорить, что множество является решением, поскольку уравнение формулируется в терминах элементов. То есть, если мы подставим в уравнение "решение" {}, то не получим верного равенства, поскольку множества не образуют числового поля (или кольца), и для них операции возведения в степень, умножения на число и сравнения с числом не определено.
Бывают и тонкости, например, имеющее вещественные корни уравнение пятой степени, согласно теореме Абеля, может не решаться в радикалах. Это значит, что в подмножестве вещественных чисел, выразимых конечным алгебраическим выражением, содержащим корни различных степеней, решений этого уравнения нет.
Мне неясно, как множество (пустое) может быть решением уравнения в каком-либо поле. Множество не является элементом поля. А если элементов, удовлетворяющих уравнению нет, то мы и говорим, что уравнение неразрешимо в таком-то поле, и думаем дальше, как с этим быть, если надо. Конечно, фраза "не решается" звучит несколько неформально, но не является преступлением против истины.
Впрочем, неужели эта по большей части, филологическая дискуссия, и вправду, так интересна, что стоит еë продолжать?
Ну, раз уж в этой ветке оказалось воззвание к автору, отреагирую.
Уважаемый топикстартер указал на неточность в статье, за что я ему благодарен. И я бы с радостью исправил еë, как досадный огрех, тем более, что весь дальнейший текст статьи развивает указанную комментатором мысль, если бы это было написано в личку, как принято на Хабре. Комментарии быстро превратились в обсуждение и менять текст статьи после этого уже некорректно, ошибка "благодаря" комментатору вошла в историю. И вот за это я уже благодарности не испытываю. Так что минусы тут прилетели (не от меня) не за мысль, а за некотрую бестактность.
По существу же ветки и сказать нечего, вопрос не стóит обсуждения и споров: решение любого уравнения имеет смысл лишь в контексте конкретной числовой или алгебраической системы. Да, в алгебраически замкнутом поле комплексных чисел решение есть всегда, но это не значит, что все алгебраические уравнения "по определению" имеют решения. Так что данная ветка, увы, это упражнение не в точности формулировок, а в занудстве, и в желании указать на ошибку опонента. Мне это показалось не сильно интересным делом.
Вы правы, но всего точно не объять. Экстремальную точку можно получить через производную, а можно, напротив, пояснить понятие экстремума и производной через геометрические и алгебраические рассуждения. Я здесь собрал то, что не лежит на поверхности и не перепечатывается из пособия в пособие, не кочует из паблика в паблик и из ролика в ролик.
К тому же, получить значение минимума из соображений симметрии и уметь увидеть в алгебраических выражениях семантические единицы, мне кажется, не менее важно, чем овладеть техникой дифференцирования.
Относительно видео, в том, что аналитическое продолжение синуса может по норме превышать единицу, нет противоречия с его свойствами и связью с геометрией на вещественной оси (см. 1+2+3+...=–1/12)
Парадокс из википедии работает только в вещественных числах, где корня из –1 не существует. А из ложной посылки, как известно, можно вывести что угодно. При пополнении R мнимой единицей, корень становится двулистной функцией и меняя аргумент дважды, можно, действительно попасть из 1 в –1. Но это не будет равенством.
Наконец, вы всë время ссылаетесь на какие-то определения корня и отрицательных чисел (которые, судя по всему, у вас не соответсвуют противоположным в группе по сложению). Приведите их уже, пожалуйста, чтобы дискуссия стала содержательной. Я приведу свои.
Противоположным числу a в кольце является решение уравнения x+a=0,которое обозначается –a. Если в кольце определено отношение порядка, то положительными называются числа превышающие ноль, а отрицательными, противоположные им числа, не превышающие ноль.
Кореньквадратный из числа a в кольце — это решение уравнения x² – a = 0. В силу того, что отображение x →x² не инъективно, решение может быть не единственным и, если существует, то включает в себя пару противоположных чисел.
Поясните пожалуйста, к каким противоречиям приводит "массовое заблуждение" о том, что ?
А ведь статья как раз про это: про непротиворечивую аксиоматику кольца на конечном множестве, в котором противоположное 1 число равно квадрату другого. Доказательство их непротиворечивостм в случае Z/5Z можно провести исчерпывающим перебором, либо свести к общим доказательствам для колец вычетов. Никаких иных смыслов в крамольный корень не вкладывалось, и даже есть пояснение, что это рядовой элемент множества, а не что-то из ряда вон выходящее. Более того, этот корень вычисляется по всем алгебраическим правилам, имея две ветви: √4=±2 , поскольку 4=−1 mod 5, 3=−2 mod 5.
А вообще, ваш вопрос важен и серьëзен. Аргумент "по определению" в математике требует продолжения в виде определения. Корень из отрицательного числа невозможен по опрелелению чего: корня, числа, отрицательности? А какими могут быть непротиворечивые определения, чтобы он был возможен?
Вся статья (и теория чисел тоже) -- о том, что числа и числовые системы бывают разными. В натуральных числах нет отрицательных чисел, поэтому возраст не может быть "минус 20 лет". В целых числах они уже есть, так что можно сказать: "У них разница в возрасте минус 20 лет". Зато в целых числах два не делится на троих, так что "полтора землекопа" вызвывают законное недоумение. А в рациональных это не проблема, правда, в них проблема выразить диагональ квадрата со стороной 1 или число 2 в степени 1/2, таких чисел не существует. Но диагональ-то существует! Ладно, переходим к пределам, и вот у нас уже вещественные числа. Но увы, умножая два положительных вещественных числа, мы никак не получим отрицательного, так что вещественного корня из отрицательного числа не бывает. Но если он нужен (а он нужен), то мы его добавляем и получаем пополнение вещественных чисел мнимой единицей и переходим к комплексным. Кстати такое пополнение можно было сделать и в целых числах. А можно рациональные пополнить иррациональным корнем из 2. Наконец, кольца вычетов тоже можно пополнять тем, чего в них нет. Все эти числовые системы формируют корректные поля, кольца и моноиды. А вот, наример, если попытаться пополнить любую из них "числом" 1/0, то всё расползётся и получится корявая, не имеющая практического применения искусственная сисетма "колесо", в которой толком и уравнения не решить. Так что пополнение должно быть грамотным. Вот об этом теория чисел, теория колец и теория Галуа и толкуют.
Да, действительно, комплексные числа с единичной нормой образуют мультипликативную группу, изоморфную циклической группе. Кажется очевидным, что возведение в степень могло бы играть роль умножения, но у меня закрадываются сомнения в ассоциативности такой операции, а также в её правосторонней дистрибутивности относительно сложения (умножения в ). Без этого кольца не соорудить, даже некоммутативного, тут нужен какой-то трюк.
О! Ваш пример с палочками и камушками мне очень нравится! Он даёт хороший повод поразмышлять о том, какие числовые системы можно с их помощью соорудить (кроме банального двоичного представления обыкновенных натуральных чисел, или колец вычетов по степени двойки). Итак, вот, что мне пришло в голову за обедом:
Декартово произведение моноидов , представляющее целочисленную координантную систему.
С помощью пар натуральных чисел можно построить систему, изоморфную кольцу целых чисел (см. И. В. Арнольд, "Теория чисел").
Введя подходящие правила для сложения и умножения, легко построить систему формальных дробей и получить уже полноценное числовое поле рациональных чисел .
Какое-либо алгебраическое расширение натуральных чисел в котором камушками обозначается корень неразложимого в натуральных числах полинома. Если полином то получим подсистему гауссовых чиселесли то чисел Эйзенштейна. В общем, так можно строить некоторые расширения Галуа.
Из экзотики. Если камней с палками неограниченное количество, то можно построить поле 2-адических чисел. Из пар собираются сюрреальные числа Конвея, но с помощью неделимых палок и камней получится собрать только некоторую подсистему сюрреальных чисел.
Однако, широта Петропавловска существенно ниже. Летом солнце на Северах, конечно, восходит раньше (если заходит вообще). Но полгода солнце на Камчатке восходит раньше. А в Новый год -- точно раньше.
В классической теории чисел (см. И. Арнольда) натуральные числа расширяются до целых тоже через формальную пару. Это просто приëм, а не критерий сложности той или иной числовой системы.
И вот это вот всё сильно интереснее, глубже и, наконец, полезнее, чем философствования на тему: "физики не существует!" И к физике это имеет отношение хотя бы тем, что математические абстракции, как мысленные модели реальности обладают существенной прогностической способностью. Это не мешает искать пределы применимости этих моделей, и это куда эффективнее развивает гибкость мышления чем коаны ради коанов. В общем, я за то, чтобы побольше было популярных статей, вроде вашего комментария, и на Хабре и вне его.
Прошу вас, поясните смысл и природу уравнения балансировки чисел. Что оно позволяет узнать о числах x и y, кроме того, что они пропорциональны с коэффициентом Ф?
Улучшение себя, безусловно вещь достойная, невозможно не согласиться. Но по поводу решений уравнений, мне кажется, что у нас какая-то путаница.
Вы всë время ссылаетесь на какие-то определения, которые я должен отыскать, и которые должны до меня дойти. Для того, чтобы дискуссия была содержательной, имеет смысл привести эти определения. Я приведу свои:
Решить уравнение в какой-то аглебраической структуре, поле или кольце, значит найти элементы структуры, при которых уравнение имеет смысл (корректно) и становится верным.
Решениями (корнями) являются конкретные элементы структуры. Решение можно подставить в уравнение и получить верное равенство. Если элементов, удовлетворяющих уравнению не существует, имеет смысл говорить об отсутствии решений. Уравнение решается (разрешимо) в том или ином числовом поле (кольце), если в нëм существуют решения уравнения.
Имеет смысл говорить о множестве решений (пустое множество тоже является множеством решений).
Например, уравнение 2x³=3 в целых и рациональных числах решений не имеет. Нет таких элементов, которые при подстановке в уравнение дадут верное равенство. Множество его рациональных решений пусто. Вещественное решение одно, а комплексных — три.
Некорректно говорить, что множество является решением, поскольку уравнение формулируется в терминах элементов. То есть, если мы подставим в уравнение "решение" {}, то не получим верного равенства, поскольку множества не образуют числового поля (или кольца), и для них операции возведения в степень, умножения на число и сравнения с числом не определено.
Бывают и тонкости, например, имеющее вещественные корни уравнение пятой степени, согласно теореме Абеля, может не решаться в радикалах. Это значит, что в подмножестве вещественных чисел, выразимых конечным алгебраическим выражением, содержащим корни различных степеней, решений этого уравнения нет.
Спасибо, теперь я знаю, как поступили бы вы.
Мне неясно, как множество (пустое) может быть решением уравнения в каком-либо поле. Множество не является элементом поля. А если элементов, удовлетворяющих уравнению нет, то мы и говорим, что уравнение неразрешимо в таком-то поле, и думаем дальше, как с этим быть, если надо. Конечно, фраза "не решается" звучит несколько неформально, но не является преступлением против истины.
Впрочем, неужели эта по большей части, филологическая дискуссия, и вправду, так интересна, что стоит еë продолжать?
Ну, раз уж в этой ветке оказалось воззвание к автору, отреагирую.
Уважаемый топикстартер указал на неточность в статье, за что я ему благодарен. И я бы с радостью исправил еë, как досадный огрех, тем более, что весь дальнейший текст статьи развивает указанную комментатором мысль, если бы это было написано в личку, как принято на Хабре. Комментарии быстро превратились в обсуждение и менять текст статьи после этого уже некорректно, ошибка "благодаря" комментатору вошла в историю. И вот за это я уже благодарности не испытываю. Так что минусы тут прилетели (не от меня) не за мысль, а за некотрую бестактность.
По существу же ветки и сказать нечего, вопрос не стóит обсуждения и споров: решение любого уравнения имеет смысл лишь в контексте конкретной числовой или алгебраической системы. Да, в алгебраически замкнутом поле комплексных чисел решение есть всегда, но это не значит, что все алгебраические уравнения "по определению" имеют решения. Так что данная ветка, увы, это упражнение не в точности формулировок, а в занудстве, и в желании указать на ошибку опонента. Мне это показалось не сильно интересным делом.
Вы правы, но всего точно не объять. Экстремальную точку можно получить через производную, а можно, напротив, пояснить понятие экстремума и производной через геометрические и алгебраические рассуждения. Я здесь собрал то, что не лежит на поверхности и не перепечатывается из пособия в пособие, не кочует из паблика в паблик и из ролика в ролик.
К тому же, получить значение минимума из соображений симметрии и уметь увидеть в алгебраических выражениях семантические единицы, мне кажется, не менее важно, чем овладеть техникой дифференцирования.
Относительно видео, в том, что аналитическое продолжение синуса может по норме превышать единицу, нет противоречия с его свойствами и связью с геометрией на вещественной оси (см. 1+2+3+...=–1/12)
Парадокс из википедии работает только в вещественных числах, где корня из –1 не существует. А из ложной посылки, как известно, можно вывести что угодно. При пополнении R мнимой единицей, корень становится двулистной функцией и меняя аргумент дважды, можно, действительно попасть из 1 в –1. Но это не будет равенством.
Наконец, вы всë время ссылаетесь на какие-то определения корня и отрицательных чисел (которые, судя по всему, у вас не соответсвуют противоположным в группе по сложению). Приведите их уже, пожалуйста, чтобы дискуссия стала содержательной. Я приведу свои.
Противоположным числу a в кольце является решение уравнения x+a=0,которое обозначается –a. Если в кольце определено отношение порядка, то положительными называются числа превышающие ноль, а отрицательными, противоположные им числа, не превышающие ноль.
Корень квадратный из числа a в кольце — это решение уравнения x² – a = 0. В силу того, что отображение x →x² не инъективно, решение может быть не единственным и, если существует, то включает в себя пару противоположных чисел.
Поясните пожалуйста, к каким противоречиям приводит "массовое заблуждение" о том, что
?
А ведь статья как раз про это: про непротиворечивую аксиоматику кольца на конечном множестве, в котором противоположное 1 число равно квадрату другого. Доказательство их непротиворечивостм в случае Z/5Z можно провести исчерпывающим перебором, либо свести к общим доказательствам для колец вычетов. Никаких иных смыслов в крамольный корень не вкладывалось, и даже есть пояснение, что это рядовой элемент множества, а не что-то из ряда вон выходящее. Более того, этот корень вычисляется по всем алгебраическим правилам, имея две ветви: √4=±2 , поскольку 4=−1 mod 5, 3=−2 mod 5.
В дуальных числах есть делители нуля, так что это не поле и деление в нём ограничено подалгебрами.
И главное, сами, сами! Это как строить подводную лодку из Лего. Нафига, кажется, но так прикольно! И можно стать толковым инженером.
А вообще, ваш вопрос важен и серьëзен. Аргумент "по определению" в математике требует продолжения в виде определения. Корень из отрицательного числа невозможен по опрелелению чего: корня, числа, отрицательности? А какими могут быть непротиворечивые определения, чтобы он был возможен?
Вся статья (и теория чисел тоже) -- о том, что числа и числовые системы бывают разными. В натуральных числах нет отрицательных чисел, поэтому возраст не может быть "минус 20 лет". В целых числах они уже есть, так что можно сказать: "У них разница в возрасте минус 20 лет". Зато в целых числах два не делится на троих, так что "полтора землекопа" вызвывают законное недоумение. А в рациональных это не проблема, правда, в них проблема выразить диагональ квадрата со стороной 1 или число 2 в степени 1/2, таких чисел не существует. Но диагональ-то существует! Ладно, переходим к пределам, и вот у нас уже вещественные числа. Но увы, умножая два положительных вещественных числа, мы никак не получим отрицательного, так что вещественного корня из отрицательного числа не бывает. Но если он нужен (а он нужен), то мы его добавляем и получаем пополнение вещественных чисел мнимой единицей и переходим к комплексным. Кстати такое пополнение можно было сделать и в целых числах. А можно рациональные пополнить иррациональным корнем из 2. Наконец, кольца вычетов тоже можно пополнять тем, чего в них нет.
Все эти числовые системы формируют корректные поля, кольца и моноиды. А вот, наример, если попытаться пополнить любую из них "числом" 1/0, то всё расползётся и получится корявая, не имеющая практического применения искусственная сисетма "колесо", в которой толком и уравнения не решить. Так что пополнение должно быть грамотным. Вот об этом теория чисел, теория колец и теория Галуа и толкуют.
А почему вас это так удивляет? Особенно в контексте, в котором этот корень в статье упоминается.
Да, действительно, комплексные числа с единичной нормой образуют мультипликативную группу, изоморфную циклической группе. Кажется очевидным, что возведение в степень могло бы играть роль умножения, но у меня закрадываются сомнения в ассоциативности такой операции, а также в её правосторонней дистрибутивности относительно сложения (умножения в
). Без этого кольца не соорудить, даже некоммутативного, тут нужен какой-то трюк.
О! Ваш пример с палочками и камушками мне очень нравится! Он даёт хороший повод поразмышлять о том, какие числовые системы можно с их помощью соорудить (кроме банального двоичного представления обыкновенных натуральных чисел, или колец вычетов по степени двойки).
Итак, вот, что мне пришло в голову за обедом:
Декартово произведение моноидов
, представляющее целочисленную координантную систему.
С помощью пар натуральных чисел можно построить систему, изоморфную кольцу целых чисел
(см. И. В. Арнольд, "Теория чисел").
Введя подходящие правила для сложения и умножения, легко построить систему формальных дробей и получить уже полноценное числовое поле рациональных чисел
.
Какое-либо алгебраическое расширение натуральных чисел![\mathbb{N}[x]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/450/30c/75b/45030c75b332d921a91f1f6b48f3afec.svg)
в котором камушками обозначается корень неразложимого в натуральных числах полинома. Если полином 
то получим подсистему гауссовых чисел ![\mathbb{N}[i]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/74d/730/2e8/74d7302e848142e719d445d166d8ee28.svg)
если 
то чисел Эйзенштейна ![\mathbb{N}[\omega]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/933/547/930/933547930bcd11804e32387d425c5819.svg)
. В общем, так можно строить некоторые расширения Галуа.
Из экзотики. Если камней с палками неограниченное количество, то можно построить поле 2-адических чисел. Из пар собираются сюрреальные числа Конвея, но с помощью неделимых палок и камней получится собрать только некоторую подсистему сюрреальных чисел.
Однако, широта Петропавловска существенно ниже. Летом солнце на Северах, конечно, восходит раньше (если заходит вообще). Но полгода солнце на Камчатке восходит раньше. А в Новый год -- точно раньше.
В классической теории чисел (см. И. Арнольда) натуральные числа расширяются до целых тоже через формальную пару. Это просто приëм, а не критерий сложности той или иной числовой системы.
А вот это замечание -- прямо в точку!!
И вот это вот всё сильно интереснее, глубже и, наконец, полезнее, чем философствования на тему: "физики не существует!" И к физике это имеет отношение хотя бы тем, что математические абстракции, как мысленные модели реальности обладают существенной прогностической способностью. Это не мешает искать пределы применимости этих моделей, и это куда эффективнее развивает гибкость мышления чем коаны ради коанов. В общем, я за то, чтобы побольше было популярных статей, вроде вашего комментария, и на Хабре и вне его.
Которая отлично работает в физике! Впрочем, я уже понял, что речь тут о книжке как таковой, а не о симметрии и инвариантах :)
Наверное, не имеет смысла вспоминать про теорему Эмми Нёттер в этой связи... и про группы Ли. Физики-то не существует.
Прошу вас, поясните смысл и природу уравнения балансировки чисел. Что оно позволяет узнать о числах x и y, кроме того, что они пропорциональны с коэффициентом Ф?