Суть в том, что простого и однозначного определения бесконечности в общем случае нет
А почему не принять просто смысл слова? Нет конца. И далее можно выводить свойства.
Например — если конца нет, то как можно говорить о «всех элементах»? Все они будут, если мы представим себе некоторую черту, после которой элементов нет. Но если нет самой черты, то как можно говорить о всех элементах, которые получаются именно при наличии конца?
При этом ситуация с пи другая — мы не можем повысить точность до абсолюта, но во всём остальном мы можем понять свойства пи полностью аналогично любому числу, поскольку пи и есть число. То есть пи относится к классу явлений, о котором очень многое известно, а бесконечность относится к другому классу явлений, о котором мало что известно. В классе «числа» есть много свойств, характерных для всех чисел, включая пи. В классе «бесконечность» есть свойства пока не до конца понятных объектов и нет свойств, аналогичных свойствам чисел, что не даёт возможность распространить такие свойства на произвольно выбранную бесконечность.
Заявлять что интерпретировать можно только коэффициенты, которые стоят перед «пи», но не перед «омегой» мне кажется настолько предубеждённым, насколько возможно.
Давайте представим себе числовой ряд положительных целых без нуля. Теперь добавим туда единицу. Что произойдёт? Если единицу вставить в середину, то все остальные числа сдвинутся, к чему это приведёт? Если мы не знаем, что там, в той стороне, где нет конца, то и говорить уверенно о результатах вставки мы не можем. Но с другой стороны у нас есть пустота — ряд начинается с 1 и до неё ничего нет. Тогда мы можем добавить единицу перед числом 1. Что мы получим? Мы получим все положительные целые числа с нулём. То есть мы получим новое множество, отличающееся от старого. Точно так же можно к положительным целым без нуля добавить Х+1 (условную длину числового ряда), но добавить «с другой стороны». Х+1 в нашем случае будет числовой ряд положительных целых с нулём. Ну а его добавление приведёт нас к ряду всех целых чисел, положительных, отрицательных и с нулём. Опять получим новое множество. С новыми свойствами. А новые свойства нам говорят о изменениях на системном уровне. То есть мы изменили систему, включив в неё системообразующий элемент «количество всех чисел», как было показано в примере с брадобреем. А вы же говорите, что если что-то добавить к бесконечности, то ничего не изменится. Но на самом деле, как мы видели, изменится сама система.
То же самое, кстати, касается символа «i». От него тоже далеко не всегда можно избавится в результате. Это же не мотивирует вас на разговоры о «бессмысленности» ТФКП?
Символ i есть просто обозначение. В практической работе я его просто игнорирую. И вам ничто не мешает делать так же. Он нужен лишь для того, что бы не перепутать два числа из пары. После завершения расчётов этот символ можно выкинуть. Например в электротехнике использование комплексных чисел удобно при расчёте схем на переменном токе, когда для сложения двух токов нужно для каждого из них знать два параметра — амплитуду и фазу. Вот как раз эти два параметра удачно ложатся на давно проработанную алгебру комплексных чисел. Но не потому, что кому-то в электротехнике нужна буква i. Просто в электротехнике нужны два числа, и всё. А когда расчёт произведён — имеем снова амплитуду и фазу, то есть два физических параметра, а i становится ненужным. Но алгебра операций с комплексными числами останется точно такой же, если реальную часть назвать амплитудой, а комплексную фазой, или как-то по другому (на самом деле фаза это угол наклона единичного вектора, в дальнейшем умножаемого на амплитуду).
Комплексные числа есть опять же элемент класса составных чисел, включающего кватернионы, матрицы и другие математические объекты. Но суть у них одна — много чисел объединены неким общим смыслом их использования. Поэтому я не против комплексных чисел. А вот с бесконечностью — не вижу для неё готового класса с понятными свойствами.
Я что-то не пойму, зачем вы рассуждаете о числе пи, если вопрос был о неправильном использовании вами понятия «бесконечность»? Частное возражение о длине ряда цифр в значении числа пи я уже опроверг, вы с опровержением согласились, но тогда зачем вы всё ещё уводите разговор в сторону пи?
Участник vintage ниже привёл ссылку на источник ваших рассуждений. Там присутствует банальная ошибка в выводе, ну а вы, не проверив, переносите ошибку на наше обсуждение, чем превращаете обсуждение в разговор о вашей неспособности проверить заимствованные из сети данные.
Укажу вам на ошибку — в преобразованиях умножьте первый член ряда на предложенный коэффициент 1-2^(1-s). Тогда получите 1^(-s)-2/(2^2s) вместо указанного автором 1^(-s)-2^(-s).
То есть никаких проблем с расходимостью суммы натуральных чисел нет, ну и использовать такое «доказательство» в отношении подмены бесконечности ординалами так же недопустимо, даже если бы оно было правильным. Потому что доказательство «по аналогии» реально доказательством не является.
Приближёнными методами. Да, неточно, но точность можно обеспечить практически любую. Далее сравниваем с неточным-же известным значением пи. Получаем разницу и проверяем, укладывается ли она в расчётную погрешность определения числа пи.
Сумма ряда кубов натуральных чисел, которая используется в расчёте эффекта Казимира равна 1/120.
Скажу только, что не знаю как такое число получилось. Хотя знаю, что если к единице прибавить любое положительное число, то сумма будет больше 1/120.
Не противоречиво с точностью до доопределения понятия суммы для трансфинитных ординалов.
Трансфинитные ординалы есть продукт развития ТМ. Противоречива ли ТМ? Я не встречал данных о доказательстве непротиворечивости.
Во-первых я и не говорил что количество можно назвать. Я говорил, что его можно обозначить.
Обозначив, вы далее используете свойства обозначенного. В частности — свойство эквивалентности трансфинитному ординалу. Ну и операции с ним вы приводите в качестве аргумента против трактовки операции сложения в привычном для арифметики виде.
При этом, если считать допустимой такую эквивалентность, ещё и сама возможность операции сложения в данном случае вызывает сомнения.
А то, что вы, путая эти понятия, в итоге описываете своё понимание мира, потом присваиваете ему титул «здравого смысла» и «реальности» и доказываете что все кто несогласен с вами спорят с реальностью… ну это не очень продуктивно, скажем так.
Я говорил о природе здравого смысла. Пусть это будет ваш здравый смысл. И у него природа та же самая — вы усвоили свойства реальности и именно к ним в первую очередь апеллируете в случае необходимости в чём-то разобраться. А навык игнорировать здравый смысл и доводить рассуждения о не вполне укладывающемся в реальность объекте до некоторой теории, не всегда может привести к полезным результатам. Комплексные числа, кстати, не попадают в разряд аналогов ординалов, поскольку выражают проверяемые реальностью парные значения и операции с ними, но что из близкого к реальности выражают трансфинитные ординалы?
И за одно, а не на разнице ли плотностей базируется парадокс двух шаров? В математике плотность можно игнорировать (ибо бесконечность позволяет), а вот в реальном мире всё быстро встало бы на свои места.
Для того чтобы стрела Зенона могла лететь надо чтобы между двумя любыми (сколь угодно близкими) точками пространства было бы ещё место
А здесь вы вступаете в спор о формулировках. Поэтому сразу можно говорить, что наверняка ошибётесь. В парадоксах формулировка скрывает суть, но если немного покопать, то стрела сразу начинает двигаться.
Если использовать некую стороннюю модель — да, в ней возможно абсолютно всё, что пожелает её автор. Но я предпочитаю работать с реальностью. Поэтому в реальности не вижу аналогии мощности и бесконечности. Собственно в реальности даже самой бесконечности не вижу, не то что её аналогий.
Помимо вычисления, для числа пи есть куча проверок реальностью. Мы можем вычислить площадь круга без использования пи и потом сравнить с вычислением через пи. Для приближённого значения числа пи мы можем указать погрешность (не более чем). А для трансфинитного ординала вы можете предложить проверку реальностью? Или указать погрешность его определения? Или?
Повторюсь — пи и прочие не идеально соответствующие реальности модели, этой самой реальности всё же соответствуют. При чём соответствуют до вполне известного уровня — до квантового размера. Собственно на то она и модель, что бы соответствовать почти во всём, но не во всём.
А где соответствие «почти во всём» для трансфинитных ординалов?
Тогда ряд обязан расходиться. Либо вы что-то не так поняли. Сумма кубов всех положительных чисел, очевидно, будет несколько больше -1/12.
Произвести какие-то суждения, которые касаются «нереальных» объектов, но при этом являются непротиворечивыми… из таких суждений могут
а) получиться следствия, применимые к «реальным» объектам
б) обнаружить «нереальные» объекты в реальном мире
Та же геометрия Лобачевского в итоге прошла по обоим путям, кстати…
В принципе да, но для начала нужно доказать непротиворечивость входных посылок. Не противоречиво ли утверждение о равенстве количества чисел в бесконечности и суммы этого количества с единицей?
Возможен вариант, когда мы можем проверить некие рассуждения без доказательства их непротиворечивости. Но тогда где проверка?
И наконец, есть вариант, когда какая-то часть следствий начальных предположений будет истинной, а другая часть — ложной для реального мира. Как раз примерно такая ситуация с альтернативными евклидовой геометриями. В чём-то они применимы, а в чём-то нет. А для полезного использования подобных рассуждений необходимо указать границу их применимости. Так для гравитации Эйнштейна граница близка к скорости света, для Ньютоновской — граница уже в квантовом размере.
В вашем же случае нет ни доказательства непротиворечивости, ни примеров из реальности, подтверждающих вашу точку зрения, ни даже указания границ применимости.
Простой здравый смысл подсказывает — если нет конца, то и нельзя назвать количество в таком множестве. А здравый смысл основан как раз на длительном обучении в виде зачастую жёсткого столкновения с реальностью. Ваш же вариант, возражая здравому смыслу, по сути возражает реальности. Это, конечно, не доказательство вашей неправоты, но не учитывать такой кричащий признак — путь к проблемам.
И про стрелу Зенона. Не понял, как вы перешли от одного парадокса к другому? В смысле почему альтернатива? Они оба суть нарушение здравого смысла. Они одно и тоже, а не альтернатива друг другу.
Любая связь в моделях — это алгоритм. Математика есть точно такое же моделирование. В математике есть алгоритм получения числа пи последовательным вычислением каждого знака. Вот через этот алгоритм мы и получаем трансцендентное число. Аналогично — рациональное число получаем, применив алгоритм деления, либо составления дроби, если нет нужды в полном десятичном значении.
И, собственно, самое интересное именно в этой отрицательной полуплоскости и происходит. Например, гипотеза Римана.
Но уже не эффект Казимира? Речь ведь шла о связи с реальностью. А гипотеза Римана есть плод развития рассуждений на основе допущений, не очень понятно как связанных с реальностью.
Увы, такие изображения, хотя упрощают понимание, часто приводят к потере ряда критически важных аспектов
Согласен. Часть специфических свойств выпадает из рассмотрения при установлении того или иного вида связи с реальностью. Но на то она и модель, что бы не быть идеально похожей на реальность (иначе пользы от неё не будет). Тем не менее мы можем проверить хотя бы часть свойств модели на отображениях в реальный мир. На каких-то других отображениях, возможно, удастся проверить и другие свойства. Но речь ведь идёт о том, что вообще не отображается на реальность. Как проверить свойства таких объектов?
Вы скажете, что бесконечность плюс один равно бесконечности. А как это проверить? Остаётся лишь верить вам, разве нет?
В теории множеств свойства больших объектов выводятся сначала аксиоматическим введением самой бесконечности, без определения каких-либо свойств. И потом по ходу рассуждений добавляются не вполне логичные (на мой взгляд) определения вроде определения равномощности. В сумме получаем надстройку над объектом без свойств с добавлением не вполне логичных украшений. Если отказаться от реалистичности (проверяемости) таких построений, тогда всё можно, но если возникнет желание проверить? У меня оно возникло, а потому я так и не смог понять свойства ординалов с кардиналами и алефами, просто потому, что мне непонятно зачем городить огород на основе изначально непонятных сущностей? В итоге получаем два шара из одного, что и вытекает со всей очевидностью из построений на шаткой основе.
а я, обратите внимание, говорил про первый трансфинитный ординал, не просто ординал
Хорошо, но это лишь часть ответа (про конечность). А про соответствие бесконечности понятия ординала? На сколько свойства ординала реально соответствуют свойствам бесконечности? Без такого уточнения нельзя переходить от бесконечности к ординалам.
Но в таком случае и смысл вопроса поменяется. Либо надо указать на связь между вопросом и ординалами. Вопрос был про все натуральные числа, количество которых бесконечно. Именно бесконечно, а не «ординально» или как-то так.
В теории множеств есть много определений, вводимых по ходу развития рассуждений. Ординалы как раз из таких понятий. И из определения (по фон Нейману из википедии — любой ординал есть вполне упорядоченное множество, состоящее из всех ординалов, меньших его) ординал не обязан быть бесконечным. А вы заменяете им бесконечность. Можно представить вполне упорядоченное множество из 2,3 и т.д. элементов. И где здесь бесконечность?
Здесь опять вижу сравнение существенно разных понятий. Отсутствие связи трансцендентных чисел с натуральными на самом деле лишь видимость. То есть последовательность натуральных числе, меньших 10, даёт нам трансцендентное число. У нас есть алгоритмы, позволяющие получить трансцендентное число из натуральных, а так же натуральные из трансцендентного. Но где же есть алгоритм, позволяющий получить ординал из любого другого вида чисел? То есть нет прямой аналогии, показывающей связь ординалов с числами, а вот у трансцендентных и натуральных такую аналогию показать легко.
Хотя здесь вы скорее апеллируете к возможности совершения операций с ординалами по аналогии с операциями с числами. Но операции ведь применимы не только к числам. Например — алгебраическое выражение допускает применение к нему операций, который применимы и к числам. Или вы скажете, что и алгебраические выражения это тоже числа?
Поэтому я бы предложил рассматривать ординалы как математический объект, независимый от чисел, а потому и не позволяющий делать выводы о свойствах ординалов лишь на основании похожести операций с ними на операции с числами. Помимо похожести нужно что-то более весомое, как например опора на некий реально существующий аналог, на котором можно проверить, а не абсурдны ли предложенные свойства.
Что и означает возведение в степень -1 (домножение степени на -1)
В определении дзета-функции указано, что реальная часть степени должна быть больше единицы. Положительной единицы.
некоторые факты выводятся из присвоения символам свойств, которые мы не можем себе вообразить непосредственно: символу i ставится в соответствие квадратный корень из -1, а символу "-1" — число, меньшее нуля(которое мы не можем нигде взять в «наблюдаемом мире» непосредственно, но лишь в качестве результата формулы). И также символу ω может ставится в соответствие значение «число всех натуральных чисел».
Свойство «быть отрицательным» мы воображаем легко — движение в обратную сторону, смещение ниже заданного уровня и т.д. Свойство «комплексности» числа мы опять легко воображаем, проецируя число на двумерное пространство и получая просто координаты на комплексной плоскости. Ну а символ омега обозначает не «число всех натуральных чисел», а множество всех натуральных чисел, поэтому здесь опять вижу неточность, которая существенна для нашего обсуждения.
И хотя понятия, воплощаемые этими символами не присутствуют в реальном мире непосредственно, соблюдая строгие правила при обращении с ними мы можем вывести следствия, вполне применимые к реальному миру.
Не так. И для минусов и для комплексных чисел мы вполне можем подобрать аналогии в реальном мире, точно так же, как подбираем аналогии для чисел 1 или 2 или 3.
А для множества всех чисел действительно непонятно, как подобрать аналогию. Хотя обозначить это понятие одним значком мы, конечно же, можем. Но обозначив понятие, мы не получаем тем самым аналогию в реальном мире. Мы так и остаёмся с вопросом — а что же такое бесконечность? То есть обозначить можно что угодно, включая, например, абсолютный абсурд. Но как из обозначения абсурда неким символом выявить свойства абсурда? В случае с отрицательными или комплексными числами мы можем опереться на наш опыт восприятия аналогов из реального мира, но в случае бесконечности или абсурда — где взять опыт, на который можно опереться? Поэтому при отсутствии какого-либо критерия истины (каковым, например, является реальный мир), непонятно, как вы можете быть уверены в тех или иных свойствах бесконечности. Ведь все свойства выведены на основе неких предположений, которые могут оказаться ложными, либо вообще абсурдными.
Поэтому метод «по аналогии» мне кажется совершенно не применим к понятиям, для которых нет вообще никаких аналогий. В случае чисел мы можем опереться на реальность, а на что опираться в случае бесконечности? Но вы ведь предлагаете с бесконечностью поступать аналогично числам, что подразумевает наличие той самой опорной аналогии в реальном мире. Где же она?
Я, к сожалению, не знаю, как считается сила в эффекте Казимира. Так же не вдавался в подробности получения минус одной двенадцатой из бесконечности. Поэтому данные моменты ни опровергнуть, ни как-то оспорить пока не смогу. Хотя дзета-функцию посмотрел, и обнаружил там сумму обратных значений к приведённым вами числам, а потому предполагаю и в остальном вы наверняка просто ошибаетесь, принимаете желаемое за действительное.
Помимо того, ваш переход от некоторых рассуждений про наличие связи чего-то, доказанного математиками, с реальностью, к вопросу о вашем определении бесконечности, несколько натянут.
Вы приводите весьма непонятный пример, а потом по сути заявляете — значит и во всём остальном я прав. Разве нет?
В частности вы утверждали:
мы просто берём некий символ и присваиваем ему определённые свойства
То есть явно указали на произвольный характер ваших действий. А затем привели рассуждения о связи других выводов, который сделаны другими людьми и по другому поводу, с вашей правотой. Вот с таким «доказательством» я точно не согласен. Потому что это просто подмена понятий.
Выражение вида «число < (бесконечность+1)» это то же самое что "(число-1) < бесконечность"
Здесь не «число» + «бесконечность», а «количество всех чисел» + 1.
Что такое «количество всех чисел»? Или что такое последний элемент в списке всех чисел? Чем последний элемент отличается от количества всех чисел? Может как раз единицей?
Я не знаю какую точно бесконечность вы имели ввиду в статье
Я имел в виду выражение «количество всех чисел». Мы же можем записать такое выражение? А далее возникает парадокс, и всё из-за той неявности противоречий, которая не даёт нам, для начала, разобраться с сутью бесконечности.
А про какой плевок в карму вы говорите — я не понял. Если что, я в вас никогда не плевал.
мы просто берём некий символ и присваиваем ему определённые свойства
Вы-то можете взять и присвоить. Но проблема же не в вас, а в других, для которых ваше произвольное присвоение ни в коем случае не является доказательством.
И да, пи здесь тоже ни при чём. Пи есть коэффициент, который используется в алгебраическом выражении. И вторая сущность пи — значение коэффициента. Значение бесконечно при выражении его в десятичной форме, но конечно при выражении его другими способами. А коэффициент в выражении всегда конечен и никак от других коэффициентов не отличается. То есть вы смешали тёплое с мягким. Бесконечность в отношении пи применима только для определённой формы выражения этого числа. Во всём остальном — никакой связи нет. При этом значок, используемый в алгебраическом выражении, заменяет абсолютно всё, так же как и значок бесконечности, или значок, обозначающий, например, цифру 1.
Вообще, критерием строгости может являться реальный мир. Если вы не приемлете такой критерий тогда, в вашей математике будет всё, что вам угодно. Но если вы столкнётесь с человеком, который всё же ожидает от вас поверку реальностью, то ему вам просто нечего будет сказать.
А почему не принять просто смысл слова? Нет конца. И далее можно выводить свойства.
Например — если конца нет, то как можно говорить о «всех элементах»? Все они будут, если мы представим себе некоторую черту, после которой элементов нет. Но если нет самой черты, то как можно говорить о всех элементах, которые получаются именно при наличии конца?
При этом ситуация с пи другая — мы не можем повысить точность до абсолюта, но во всём остальном мы можем понять свойства пи полностью аналогично любому числу, поскольку пи и есть число. То есть пи относится к классу явлений, о котором очень многое известно, а бесконечность относится к другому классу явлений, о котором мало что известно. В классе «числа» есть много свойств, характерных для всех чисел, включая пи. В классе «бесконечность» есть свойства пока не до конца понятных объектов и нет свойств, аналогичных свойствам чисел, что не даёт возможность распространить такие свойства на произвольно выбранную бесконечность.
Давайте представим себе числовой ряд положительных целых без нуля. Теперь добавим туда единицу. Что произойдёт? Если единицу вставить в середину, то все остальные числа сдвинутся, к чему это приведёт? Если мы не знаем, что там, в той стороне, где нет конца, то и говорить уверенно о результатах вставки мы не можем. Но с другой стороны у нас есть пустота — ряд начинается с 1 и до неё ничего нет. Тогда мы можем добавить единицу перед числом 1. Что мы получим? Мы получим все положительные целые числа с нулём. То есть мы получим новое множество, отличающееся от старого. Точно так же можно к положительным целым без нуля добавить Х+1 (условную длину числового ряда), но добавить «с другой стороны». Х+1 в нашем случае будет числовой ряд положительных целых с нулём. Ну а его добавление приведёт нас к ряду всех целых чисел, положительных, отрицательных и с нулём. Опять получим новое множество. С новыми свойствами. А новые свойства нам говорят о изменениях на системном уровне. То есть мы изменили систему, включив в неё системообразующий элемент «количество всех чисел», как было показано в примере с брадобреем. А вы же говорите, что если что-то добавить к бесконечности, то ничего не изменится. Но на самом деле, как мы видели, изменится сама система.
Символ i есть просто обозначение. В практической работе я его просто игнорирую. И вам ничто не мешает делать так же. Он нужен лишь для того, что бы не перепутать два числа из пары. После завершения расчётов этот символ можно выкинуть. Например в электротехнике использование комплексных чисел удобно при расчёте схем на переменном токе, когда для сложения двух токов нужно для каждого из них знать два параметра — амплитуду и фазу. Вот как раз эти два параметра удачно ложатся на давно проработанную алгебру комплексных чисел. Но не потому, что кому-то в электротехнике нужна буква i. Просто в электротехнике нужны два числа, и всё. А когда расчёт произведён — имеем снова амплитуду и фазу, то есть два физических параметра, а i становится ненужным. Но алгебра операций с комплексными числами останется точно такой же, если реальную часть назвать амплитудой, а комплексную фазой, или как-то по другому (на самом деле фаза это угол наклона единичного вектора, в дальнейшем умножаемого на амплитуду).
Комплексные числа есть опять же элемент класса составных чисел, включающего кватернионы, матрицы и другие математические объекты. Но суть у них одна — много чисел объединены неким общим смыслом их использования. Поэтому я не против комплексных чисел. А вот с бесконечностью — не вижу для неё готового класса с понятными свойствами.
Укажу вам на ошибку — в преобразованиях умножьте первый член ряда на предложенный коэффициент 1-2^(1-s). Тогда получите 1^(-s)-2/(2^2s) вместо указанного автором 1^(-s)-2^(-s).
То есть никаких проблем с расходимостью суммы натуральных чисел нет, ну и использовать такое «доказательство» в отношении подмены бесконечности ординалами так же недопустимо, даже если бы оно было правильным. Потому что доказательство «по аналогии» реально доказательством не является.
Скажу только, что не знаю как такое число получилось. Хотя знаю, что если к единице прибавить любое положительное число, то сумма будет больше 1/120.
Трансфинитные ординалы есть продукт развития ТМ. Противоречива ли ТМ? Я не встречал данных о доказательстве непротиворечивости.
Обозначив, вы далее используете свойства обозначенного. В частности — свойство эквивалентности трансфинитному ординалу. Ну и операции с ним вы приводите в качестве аргумента против трактовки операции сложения в привычном для арифметики виде.
При этом, если считать допустимой такую эквивалентность, ещё и сама возможность операции сложения в данном случае вызывает сомнения.
Я говорил о природе здравого смысла. Пусть это будет ваш здравый смысл. И у него природа та же самая — вы усвоили свойства реальности и именно к ним в первую очередь апеллируете в случае необходимости в чём-то разобраться. А навык игнорировать здравый смысл и доводить рассуждения о не вполне укладывающемся в реальность объекте до некоторой теории, не всегда может привести к полезным результатам. Комплексные числа, кстати, не попадают в разряд аналогов ординалов, поскольку выражают проверяемые реальностью парные значения и операции с ними, но что из близкого к реальности выражают трансфинитные ординалы?
И за одно, а не на разнице ли плотностей базируется парадокс двух шаров? В математике плотность можно игнорировать (ибо бесконечность позволяет), а вот в реальном мире всё быстро встало бы на свои места.
А здесь вы вступаете в спор о формулировках. Поэтому сразу можно говорить, что наверняка ошибётесь. В парадоксах формулировка скрывает суть, но если немного покопать, то стрела сразу начинает двигаться.
Повторюсь — пи и прочие не идеально соответствующие реальности модели, этой самой реальности всё же соответствуют. При чём соответствуют до вполне известного уровня — до квантового размера. Собственно на то она и модель, что бы соответствовать почти во всём, но не во всём.
А где соответствие «почти во всём» для трансфинитных ординалов?
Тогда ряд обязан расходиться. Либо вы что-то не так поняли. Сумма кубов всех положительных чисел, очевидно, будет несколько больше -1/12.
В принципе да, но для начала нужно доказать непротиворечивость входных посылок. Не противоречиво ли утверждение о равенстве количества чисел в бесконечности и суммы этого количества с единицей?
Возможен вариант, когда мы можем проверить некие рассуждения без доказательства их непротиворечивости. Но тогда где проверка?
И наконец, есть вариант, когда какая-то часть следствий начальных предположений будет истинной, а другая часть — ложной для реального мира. Как раз примерно такая ситуация с альтернативными евклидовой геометриями. В чём-то они применимы, а в чём-то нет. А для полезного использования подобных рассуждений необходимо указать границу их применимости. Так для гравитации Эйнштейна граница близка к скорости света, для Ньютоновской — граница уже в квантовом размере.
В вашем же случае нет ни доказательства непротиворечивости, ни примеров из реальности, подтверждающих вашу точку зрения, ни даже указания границ применимости.
Простой здравый смысл подсказывает — если нет конца, то и нельзя назвать количество в таком множестве. А здравый смысл основан как раз на длительном обучении в виде зачастую жёсткого столкновения с реальностью. Ваш же вариант, возражая здравому смыслу, по сути возражает реальности. Это, конечно, не доказательство вашей неправоты, но не учитывать такой кричащий признак — путь к проблемам.
И про стрелу Зенона. Не понял, как вы перешли от одного парадокса к другому? В смысле почему альтернатива? Они оба суть нарушение здравого смысла. Они одно и тоже, а не альтернатива друг другу.
Но уже не эффект Казимира? Речь ведь шла о связи с реальностью. А гипотеза Римана есть плод развития рассуждений на основе допущений, не очень понятно как связанных с реальностью.
Согласен. Часть специфических свойств выпадает из рассмотрения при установлении того или иного вида связи с реальностью. Но на то она и модель, что бы не быть идеально похожей на реальность (иначе пользы от неё не будет). Тем не менее мы можем проверить хотя бы часть свойств модели на отображениях в реальный мир. На каких-то других отображениях, возможно, удастся проверить и другие свойства. Но речь ведь идёт о том, что вообще не отображается на реальность. Как проверить свойства таких объектов?
Вы скажете, что бесконечность плюс один равно бесконечности. А как это проверить? Остаётся лишь верить вам, разве нет?
В теории множеств свойства больших объектов выводятся сначала аксиоматическим введением самой бесконечности, без определения каких-либо свойств. И потом по ходу рассуждений добавляются не вполне логичные (на мой взгляд) определения вроде определения равномощности. В сумме получаем надстройку над объектом без свойств с добавлением не вполне логичных украшений. Если отказаться от реалистичности (проверяемости) таких построений, тогда всё можно, но если возникнет желание проверить? У меня оно возникло, а потому я так и не смог понять свойства ординалов с кардиналами и алефами, просто потому, что мне непонятно зачем городить огород на основе изначально непонятных сущностей? В итоге получаем два шара из одного, что и вытекает со всей очевидностью из построений на шаткой основе.
Хорошо, но это лишь часть ответа (про конечность). А про соответствие бесконечности понятия ординала? На сколько свойства ординала реально соответствуют свойствам бесконечности? Без такого уточнения нельзя переходить от бесконечности к ординалам.
В теории множеств есть много определений, вводимых по ходу развития рассуждений. Ординалы как раз из таких понятий. И из определения (по фон Нейману из википедии — любой ординал есть вполне упорядоченное множество, состоящее из всех ординалов, меньших его) ординал не обязан быть бесконечным. А вы заменяете им бесконечность. Можно представить вполне упорядоченное множество из 2,3 и т.д. элементов. И где здесь бесконечность?
Хотя здесь вы скорее апеллируете к возможности совершения операций с ординалами по аналогии с операциями с числами. Но операции ведь применимы не только к числам. Например — алгебраическое выражение допускает применение к нему операций, который применимы и к числам. Или вы скажете, что и алгебраические выражения это тоже числа?
Поэтому я бы предложил рассматривать ординалы как математический объект, независимый от чисел, а потому и не позволяющий делать выводы о свойствах ординалов лишь на основании похожести операций с ними на операции с числами. Помимо похожести нужно что-то более весомое, как например опора на некий реально существующий аналог, на котором можно проверить, а не абсурдны ли предложенные свойства.
В определении дзета-функции указано, что реальная часть степени должна быть больше единицы. Положительной единицы.
Свойство «быть отрицательным» мы воображаем легко — движение в обратную сторону, смещение ниже заданного уровня и т.д. Свойство «комплексности» числа мы опять легко воображаем, проецируя число на двумерное пространство и получая просто координаты на комплексной плоскости. Ну а символ омега обозначает не «число всех натуральных чисел», а множество всех натуральных чисел, поэтому здесь опять вижу неточность, которая существенна для нашего обсуждения.
Не так. И для минусов и для комплексных чисел мы вполне можем подобрать аналогии в реальном мире, точно так же, как подбираем аналогии для чисел 1 или 2 или 3.
А для множества всех чисел действительно непонятно, как подобрать аналогию. Хотя обозначить это понятие одним значком мы, конечно же, можем. Но обозначив понятие, мы не получаем тем самым аналогию в реальном мире. Мы так и остаёмся с вопросом — а что же такое бесконечность? То есть обозначить можно что угодно, включая, например, абсолютный абсурд. Но как из обозначения абсурда неким символом выявить свойства абсурда? В случае с отрицательными или комплексными числами мы можем опереться на наш опыт восприятия аналогов из реального мира, но в случае бесконечности или абсурда — где взять опыт, на который можно опереться? Поэтому при отсутствии какого-либо критерия истины (каковым, например, является реальный мир), непонятно, как вы можете быть уверены в тех или иных свойствах бесконечности. Ведь все свойства выведены на основе неких предположений, которые могут оказаться ложными, либо вообще абсурдными.
Поэтому метод «по аналогии» мне кажется совершенно не применим к понятиям, для которых нет вообще никаких аналогий. В случае чисел мы можем опереться на реальность, а на что опираться в случае бесконечности? Но вы ведь предлагаете с бесконечностью поступать аналогично числам, что подразумевает наличие той самой опорной аналогии в реальном мире. Где же она?
Помимо того, ваш переход от некоторых рассуждений про наличие связи чего-то, доказанного математиками, с реальностью, к вопросу о вашем определении бесконечности, несколько натянут.
Вы приводите весьма непонятный пример, а потом по сути заявляете — значит и во всём остальном я прав. Разве нет?
В частности вы утверждали:
То есть явно указали на произвольный характер ваших действий. А затем привели рассуждения о связи других выводов, который сделаны другими людьми и по другому поводу, с вашей правотой. Вот с таким «доказательством» я точно не согласен. Потому что это просто подмена понятий.
Здесь не «число» + «бесконечность», а «количество всех чисел» + 1.
Что такое «количество всех чисел»? Или что такое последний элемент в списке всех чисел? Чем последний элемент отличается от количества всех чисел? Может как раз единицей?
Я имел в виду выражение «количество всех чисел». Мы же можем записать такое выражение? А далее возникает парадокс, и всё из-за той неявности противоречий, которая не даёт нам, для начала, разобраться с сутью бесконечности.
А про какой плевок в карму вы говорите — я не понял. Если что, я в вас никогда не плевал.
Вы-то можете взять и присвоить. Но проблема же не в вас, а в других, для которых ваше произвольное присвоение ни в коем случае не является доказательством.
И да, пи здесь тоже ни при чём. Пи есть коэффициент, который используется в алгебраическом выражении. И вторая сущность пи — значение коэффициента. Значение бесконечно при выражении его в десятичной форме, но конечно при выражении его другими способами. А коэффициент в выражении всегда конечен и никак от других коэффициентов не отличается. То есть вы смешали тёплое с мягким. Бесконечность в отношении пи применима только для определённой формы выражения этого числа. Во всём остальном — никакой связи нет. При этом значок, используемый в алгебраическом выражении, заменяет абсолютно всё, так же как и значок бесконечности, или значок, обозначающий, например, цифру 1.
Вообще, критерием строгости может являться реальный мир. Если вы не приемлете такой критерий тогда, в вашей математике будет всё, что вам угодно. Но если вы столкнётесь с человеком, который всё же ожидает от вас поверку реальностью, то ему вам просто нечего будет сказать.