Каждое натуральное число обладает очень многими известными и, по-видимому, еще в большем числе неизвестными свойствами. Четные — нечетные, простые — составные, конечные — бесконечные и др. свойства способствуют введению классификации чисел, некоторого порядка в их множестве. Традиционный подход предполагает, что не располагая самим числом (его значением) невозможно определить и его свойства. Но это не совсем так. Ряд полезных свойств для некоторых чисел можно определять не зная их значений, но имея данные об их положении в натуральном ряде чисел (НРЧ). Простыми числами, кроме 2, могут быть только нечетные с флексией ≠ 5, а их положение НРЧ определяется нечетной позицией. Сами эти позиции не все равнозначны. Про некоторые большие нечетные N(x1, x2) числа (разумеется в нечетных позициях в НРЧ) можно, не пользуясь традиционными (вероятностными) и детерминированным (весьма трудоемким) алгоритмами, однозначно утверждать, они не могут быть простыми.
Устройство НРЧ, положение чисел в НРЧ и их свойства
Будем рассматривать связь свойств натуральных чисел и их положения в НРЧ, считая такую связь существующей.
Например, нечетное число, равное четному квадрату (>2) без единицы, всегда составное: х² -1 = (х +1)(х -1). Нечетный квадрат — число составное. Информацию об этом в удобной форме как раз и предоставляет модель НРЧ — спираль Улама, где положение всех квадратов однозначно определено. Следовательно, описанные диагональные лучи, прижатые к диагоналям квадратов, простых чисел содержать не могут. Кроме упомянутых линий, ниже укажем на другие, обладающие этим же свойством. Это свойство модели ранее ни самим Уламом, ни другими авторами, которые с моделью работали или упоминали ее в публикациях, не отмечалось. Загадки большой в этом нет. Отождествим точку (клетку) с координатами (x1, x2) плоскости спирали и число N(x1, x2) в этой позиции.
Факт существования запретной области для простых чисел в НРЧ установлен из наблюдений спирали, а затем подтвержден (доказан) автором математическими средствами. Полезность этого свойства не очевидна. Но для нечетных чисел, положение клеток (x1, x2) которых в спирали принадлежит области запрета простых чисел, устанавливается не только их не простота, но и факторизуются они без проблем.
На основе этого факта о некоторых нечетных числах N(x1, x2) даже очень большой разрядности можно с достоверностью единица утверждать, что они составные и затем легко их факторизовать.
Система координат модели. При использовании концепции контурного строения НРЧ в предыдущей работе «Модель натурального ряда чисел (НРЧ). Спираль Улама» автором предложена система координат на плоскости спирали. За начало координат принят центр спирали. Система скорее ближе к полярной, чем к декартовой.Роль первой координаты х1 числа N(x1, x2) отведена номеру контура (х1 = k) . Вторая координата х2 < L(k), где L(k) — длина контура, определяет удаленность клетки с числом N(x1, x2) от начала контура. Для удобства читателя автор сохранил рисунки предыдущей работы в этой.
Рисунок 1 -Модель НРЧ и увеличеный фрагмент центральной части спирали
На рисунке 1 из фрагмента НРЧ (399х399 клеток), вырезается центральная часть с числом клеток 19х19 = 361 и приводится справа увеличенный фрагмент с заполнением клеток (x1, x2) числами. На рисунке (с числами) даже в ограниченном объеме хорошо просматриваются вертикальные и горизонтальные одинарные и сдвоенные полосы (магистрали), не содержащие закрашенных клеток, т.е. простых чисел. Ниже на рисунке 2 при внимательном его рассматривании эти магистрали также можно увидеть.
Рисунок 2 — Представление моделью спирали фрагмента (200х200 клеток) натурального ряда с закрашенными клетками для простых чисел.
При манипулировании с простыми числами полезно знать и располагать сведениями о некоторых их свойствах и зависимостях. Например, то что квадраты простых, например p и q чисел, кроме 2, при сравнении по модулю 8 имеют всегда один вычет 1,р² ≡ 1(mod8) , а по модулю 30 таких вычетов может быть только два 1 и 19: р² ≡ 1(mod30) или q² ≡ 19(mod30). Приведем более подробные сведения о числе 30, которые кое-что проясняют нам относительно такой загадочности в поведении простых чисел, их полных квадратов. Это число 30 = 2∙3∙5 играет заметную роль при изучении простых натуральных чисел.
Число 30 самое большое число, для которого все взаимно простые с ним и меньшие его числа являются простыми. Числу 30 предшествует с таким же свойством число 24, которое также играет в теории чисел существенную роль.
Связь двух моделей натурального ряда чисел плоской спирали Улама и линейной аналитической
 Для нас более привычно воспринимать натуральные числа как элементы линейной модели. Это удобно, так как на числовой оси все точки имеют одну единственную координату, более того, значение этой координаты совпадает с самим числом. Манипулируя с данными не надо задумываться, что обрабатывается — координата или само число. Не так на ллоскости. Точка ее имеет три характеристики: две координаты (х1, х2) и значение числа N(х1, х2) в точке, которое в нашей модели является функцией координат. Поэтому установим некоторые связи двух моделей линейной и плоской спирали. Понятие контура вводится в обеих моделях одинаково — начало контура нечетный квадрат. Длина контура кратна числу 8. Числа, образующие контур, — это отрезок натурального ряда.
Натуральные числа могут быть представлены такой аналитической моделью:
30k, 30k±1, 30k±2, 30k±3,...,30k±15, k=1(1)∞, из них простые числа представляются только в виде соотношений 30k±1, 30k ±7, 30k±11, 30k±13 . Из них 8 простых чисел при k = 0,1 числа 7,11,13,17,19,23,29 и 31 ≡ 1(mod30) образуют мультипликативную группу вычетов по модулю 30. Порядок такой группы равен значению функции Эйлера ф(30)=ф(2)ф(3)ф(5) = 8. Такие группы называют группами Эйлера.
Теперь о числе 24. Покажем, что при простых числах p, q > 3 разность квадратов двух простых p² — q² всегда делится на 24. Рассмотрим две тройки смежных чисел (р-1)р(р+1) и тройку (q-1)q(q+1), где р и q простые. В каждой тройке одно из чисел кратно трем и это не р и не q. Следовательно, кратны трем оба произведения(р -1)(р+1) и (q -1)(q+1) , которые образованы парами последовательных четных чисел. Но для таких чисел известно, что одно из них кратно двум, а другое четырем. Отсюда следует, что оба произведения делятся на 8. Но они делятся и на три. Тогда каждое из произведений делится на 24. Разность произведений скобок (р -1)(р+1) — (q -1)(q+1) также должна делится на 24, а это и есть разность квадратов p² — q². Знание этого факта позволяет при одном известном квадрате тестировать другой. Это не исключает кратности разности квадратов обычных нечетных чисел числу 24, например, 225 — 81 =144 = 6∙24, но не гарантирует ее 1225 — 441 = 784 ≠ 24k , для разности квадратов обычного нечетного и простого чисел , 225 — 49 = 176 ≠ 24k . Для квадратов простых чисел это гарантируется.
И еще о значениях последовательных n-го и (n+1)-го простых чисел. Так, Евклид доказал, справедливость соотношения для простых чисел р(n+1) < p(1)∙p(2)∙p(3)∙..∙p(n), где величины в скобках обозначают порядковые номера простых чисел. Это достаточно грубая оценка. Позже было показано, что при n > 4, соотношение принимает вид p(n+1)² < p(1)p(2)p(3)...p(n), т.е. уже для
p(5)² = 11² = 121< p(1)∙p(2)∙p(3)∙p(4)=2∙3∙5∙7 = 210;
p(5) =11< √(p(1)∙p(2)∙p(3)∙p(4))=√(2∙3∙5∙7) =√210 . Это существенно улучшенная оценка.
П.Л. Чебышев доказал еще более сильный результат р(n+1) < 2р(n).
  Области плоской модели, исключающие появление в них простых чисел
Теперь более внимательно присмотримся к лучам, выходящим из центральной части спирали и другим, которые упоминались ранее и также не содержащим клеток с простыми числами
Назовем вертикальные и горизонтальные линии спирали «магистралями», а простые числа в их клетках «светофорами», ограничивающими скорость движения вдоль линий. Тогда на спирали можно указать специфические «скоростные» магистрали, идущие в направлении от центра в четырех направлениях: «Север – Юг» и «Запад – Восток», совсем не содержащие светофоров. Клетки этих магистралей заполняются только составными числами, т. е. не содержат простых чисел. Сам по себе факт достаточно замечательный и даже удивительный, возможно, содержит «намек» на природу и распределение простых чисел в НРЧ. Еще более удивительно то, что на Юг и Восток магистрали содержат по две смежные полосы, а на Север и Запад по одной. В пределах k-го контура обозначим клетки, принадлежащие магистралям символами сторон света: С(k) — северная магистраль; З(k) — западная магистраль; Ю1(k) — южная первая магистраль и Ю2(k) — южная вторая магистраль; B1(k) — восточная первая магистраль и B2(k) — восточная вторая магистраль.
Теоретически магистрали из трех полос маловероятны, так как полоса перпендикулярного к магистралям направления (как и все другие) в трех смежных клетках содержит смежные натуральные числа. Среди таких чисел одно из трех всегда кратно трем, т. е. составное, а два из них либо четные, либо нечетные. Пусть кратное трем число в клетке на обочине двухполосной магистрали. Тогда четвертое число в контуре через две клетки также будет кратно трем.Следовательно, через две клетки от числа клетка на другой обочине содержит также составное число, которое в каком-то положении может оказаться простым. Четные и нечетные числа в клетках двухполосной магистрали размещаются в шахматном порядке и, видимо, существует закон управляющий заполнением нечетных клеток магистралей, исключающий появление в них простых чисел.
Пары нечетных чисел в смежных клетках разных магистралей оказываются кратными последовательно возрастающим 3,5,7,9,… нечетным числам:
(27,51):3; (85,125):5; (175,231):7 ;(297, 369 ):9......(восточное направление); 51 =27 + 24; 125 = 85 +40;
231 = 175 + 56; 369=297 +72 прирост значений кратен числу 8 с кратностью-делителем чисел.
(21,45):3;(75,115):5; (161,217):7; (279,351): 9; …(южное направление).
Описание всего бесконечного множества клеток магистралей оказывается более простым, чем для клеток вне магистралей. Одной координаты – номера контура k спирали достаточно, чтобы определить число в клетке магистрали, принадлежащее заданному номером k контуру. При этом используются следующие зависимости (см. таблицу).
Таблица. Расчетные характеристики клеток магистралей спирали Улама
Формулы, приведенные в таблице, гарантируют при задании номера k контура неограниченное продолжение полос с сохранением отмеченных свойств полос и чисел в них. Особенно важным свойством представляется свойство делимости нечетных чисел в клетках, формирующих полосы. В каждом контуре при заданном его номере k по формулам из таблицы определяются значения чисел в шести клетках пересечения магистралей с контуром. Все эти числа, назовем их реперами , составные и их делители известны. Формулы, приведенные в таблице уже содержат описания каждого делителя.
Другие числа k-го контура (вида репер ± t∙делитель репера ) также можно подвергнуть процедуре факторизации при выполнении некоторых условий.
К таким условиям отнесем следующие. Испытуемое число отличается от репера на величину кратную меньшему или большему делителю. Для таких чисел факторизация выполняется без проблем. Важным представляется свойство делимости нечетных чисел в клетках, формирующих полосы. Следовательно, в каждом контуре найдется более 8 клеток, содержащих нечетные числа, которые не могут быть простыми, так как в выражении (репер ± t∙делитель репера ) общий делитель выносится за скобку.
Помимо рассмотренных магистралей существуют линии (диагонали) нечетных чисел также не содержащие простых чисел. Во-первых, такая нечетная диагональ — диагональ нечетных квадратов. К ней до и после нее прижаты четные диагонали, которые с очевидностью простых чисел не содержат. В каждом контуре при этом появляются по три смежных клетки без простых чисел. Во-вторых, еще три смежные клетки без простых чисел в каждом контуре появляются по соседству с диагональю четных квадратов. Этой диагонали предшествует нечетная диагональ, в которой как мы сейчас покажем все клетки заняты составными числами. Значения в клетках этой диагонали равны четному квадрату (2k)² — 1 без единицы. Но такое соотношение всегда раскладывается в произведение двух скобок — сумма с единицей на разность с единицей первой степени четного квадрата контура, (2k +1)(2k — 1 ).
Пример . Пусть задано число N = 4294967297 = F5. Требуется определить его положение в модели, т. е. (х1, х2) координаты клетки с этим числом, а также значения и положения шестерки чисел, принадлежащих этому контуру, на магистралях: С =?; В1 =?; В2 =?; Ю1 = ?; Ю2 = ?; З = ?;
Решение. Извлекаем квадратный корень из числа N и округляем его до меньшего нечетного числа. Значение извлеченного квадратного корня равно 65536,0000076 Меньшее ближайшее целое число 65536 = 2k, (отсюдаx1 = k = 32768 ) четное число, меньшее него нечетное число 65536 — 1 = 65535. Это число нечетное и клетка, содержащая его квадрат Гл(k) = 4294836225, является начальной клеткой контура, содержащего число
N = F5 = 4294967297. Вторая координата х2 = 4294967297 — 4294836225 = 131072. Итак, для числа F5 получена пара координат (х1, х2) = (32768,131072). Первая координата всех реперов одна и та же — это номер контура х1 = 32768. Вторые координаты х2 различны у всех реперов.
Клетки контура, принадлежащие магистралям, гарантированно получают мультипликативное представление
С = 4294934528 = 32768∙131072; З = 4295000064 = 32768∙131073; Ю1 = 4295065599 = 32769∙131071;
Ю2= 4295065600 = 32768∙131075; В1=429 486 8991 = 32767∙131073; В2 = 4294868992 = 32768∙131069.
Клетки магистралей получают координаты: начало контура НК(х1, х2) = (32768, 0);
В1(х1, х2) = (32768, 32766); В2(х1, х2) = (32768, 32767); С(х1, х2) = (32768, 98303);
З(х1, х2) = (32768, 63839); Ю1(х1, х2) = (32768, 229374); Ю2(х1, х2) = (32768, 229375);
Число в контуре перед четным квадратом (2k)² — 1 = (2k +1)(2k — 1 ) = 65535х65537 = 4294967295; гарантированно составное; число за четным квадратом также оказалось составным (2k)² + 1 = 641х6700417.
Устройство НРЧ, положение чисел в НРЧ и их свойства
Будем рассматривать связь свойств натуральных чисел и их положения в НРЧ, считая такую связь существующей.
Например, нечетное число, равное четному квадрату (>2) без единицы, всегда составное: х² -1 = (х +1)(х -1). Нечетный квадрат — число составное. Информацию об этом в удобной форме как раз и предоставляет модель НРЧ — спираль Улама, где положение всех квадратов однозначно определено. Следовательно, описанные диагональные лучи, прижатые к диагоналям квадратов, простых чисел содержать не могут. Кроме упомянутых линий, ниже укажем на другие, обладающие этим же свойством. Это свойство модели ранее ни самим Уламом, ни другими авторами, которые с моделью работали или упоминали ее в публикациях, не отмечалось. Загадки большой в этом нет. Отождествим точку (клетку) с координатами (x1, x2) плоскости спирали и число N(x1, x2) в этой позиции.
Факт существования запретной области для простых чисел в НРЧ установлен из наблюдений спирали, а затем подтвержден (доказан) автором математическими средствами. Полезность этого свойства не очевидна. Но для нечетных чисел, положение клеток (x1, x2) которых в спирали принадлежит области запрета простых чисел, устанавливается не только их не простота, но и факторизуются они без проблем.
На основе этого факта о некоторых нечетных числах N(x1, x2) даже очень большой разрядности можно с достоверностью единица утверждать, что они составные и затем легко их факторизовать.
Система координат модели. При использовании концепции контурного строения НРЧ в предыдущей работе «Модель натурального ряда чисел (НРЧ). Спираль Улама» автором предложена система координат на плоскости спирали. За начало координат принят центр спирали. Система скорее ближе к полярной, чем к декартовой.Роль первой координаты х1 числа N(x1, x2) отведена номеру контура
Рисунок 1 -Модель НРЧ и увеличеный фрагмент центральной части спирали
На рисунке 1 из фрагмента НРЧ (399х399 клеток), вырезается центральная часть с числом клеток 19х19 = 361 и приводится справа увеличенный фрагмент с заполнением клеток (x1, x2) числами. На рисунке (с числами) даже в ограниченном объеме хорошо просматриваются вертикальные и горизонтальные одинарные и сдвоенные полосы (магистрали), не содержащие закрашенных клеток, т.е. простых чисел. Ниже на рисунке 2 при внимательном его рассматривании эти магистрали также можно увидеть.
Рисунок 2 — Представление моделью спирали фрагмента (200х200 клеток) натурального ряда с закрашенными клетками для простых чисел.
При манипулировании с простыми числами полезно знать и располагать сведениями о некоторых их свойствах и зависимостях. Например, то что квадраты простых, например p и q чисел, кроме 2, при сравнении по модулю 8 имеют всегда один вычет 1,
Число 30 самое большое число, для которого все взаимно простые с ним и меньшие его числа являются простыми. Числу 30 предшествует с таким же свойством число 24, которое также играет в теории чисел существенную роль.
Связь двух моделей натурального ряда чисел плоской спирали Улама и линейной аналитической
 Для нас более привычно воспринимать натуральные числа как элементы линейной модели. Это удобно, так как на числовой оси все точки имеют одну единственную координату, более того, значение этой координаты совпадает с самим числом. Манипулируя с данными не надо задумываться, что обрабатывается — координата или само число. Не так на ллоскости. Точка ее имеет три характеристики: две координаты (х1, х2) и значение числа N(х1, х2) в точке, которое в нашей модели является функцией координат. Поэтому установим некоторые связи двух моделей линейной и плоской спирали. Понятие контура вводится в обеих моделях одинаково — начало контура нечетный квадрат. Длина контура кратна числу 8. Числа, образующие контур, — это отрезок натурального ряда.
Натуральные числа могут быть представлены такой аналитической моделью:
30k, 30k±1, 30k±2, 30k±3,...,30k±15, k=1(1)∞, из них простые числа представляются только в виде соотношений
Теперь о числе 24. Покажем, что при простых числах p, q > 3 разность квадратов двух простых p² — q² всегда делится на 24. Рассмотрим две тройки смежных чисел (р-1)р(р+1) и тройку (q-1)q(q+1), где р и q простые. В каждой тройке одно из чисел кратно трем и это не р и не q. Следовательно, кратны трем оба произведения
И еще о значениях последовательных n-го и (n+1)-го простых чисел. Так, Евклид доказал, справедливость соотношения для простых чисел р(n+1) < p(1)∙p(2)∙p(3)∙..∙p(n), где величины в скобках обозначают порядковые номера простых чисел. Это достаточно грубая оценка. Позже было показано, что при n > 4, соотношение принимает вид p(n+1)² < p(1)p(2)p(3)...p(n), т.е. уже для
p(5)² = 11² = 121< p(1)∙p(2)∙p(3)∙p(4)=2∙3∙5∙7 = 210;
П.Л. Чебышев доказал еще более сильный результат р(n+1) < 2р(n).
  Области плоской модели, исключающие появление в них простых чисел
Теперь более внимательно присмотримся к лучам, выходящим из центральной части спирали и другим, которые упоминались ранее и также не содержащим клеток с простыми числами
Назовем вертикальные и горизонтальные линии спирали «магистралями», а простые числа в их клетках «светофорами», ограничивающими скорость движения вдоль линий. Тогда на спирали можно указать специфические «скоростные» магистрали, идущие в направлении от центра в четырех направлениях: «Север – Юг» и «Запад – Восток», совсем не содержащие светофоров. Клетки этих магистралей заполняются только составными числами, т. е. не содержат простых чисел. Сам по себе факт достаточно замечательный и даже удивительный, возможно, содержит «намек» на природу и распределение простых чисел в НРЧ. Еще более удивительно то, что на Юг и Восток магистрали содержат по две смежные полосы, а на Север и Запад по одной. В пределах k-го контура обозначим клетки, принадлежащие магистралям символами сторон света: С(k) — северная магистраль; З(k) — западная магистраль; Ю1(k) — южная первая магистраль и Ю2(k) — южная вторая магистраль; B1(k) — восточная первая магистраль и B2(k) — восточная вторая магистраль.
Теоретически магистрали из трех полос маловероятны, так как полоса перпендикулярного к магистралям направления (как и все другие) в трех смежных клетках содержит смежные натуральные числа. Среди таких чисел одно из трех всегда кратно трем, т. е. составное, а два из них либо четные, либо нечетные. Пусть кратное трем число в клетке на обочине двухполосной магистрали. Тогда четвертое число в контуре через две клетки также будет кратно трем.Следовательно, через две клетки от числа клетка на другой обочине содержит также составное число, которое в каком-то положении может оказаться простым. Четные и нечетные числа в клетках двухполосной магистрали размещаются в шахматном порядке и, видимо, существует закон управляющий заполнением нечетных клеток магистралей, исключающий появление в них простых чисел.
Пары нечетных чисел в смежных клетках разных магистралей оказываются кратными последовательно возрастающим 3,5,7,9,… нечетным числам:
(27,51):3; (85,125):5; (175,231):7 ;(297, 369 ):9......(восточное направление); 51 =27 + 24; 125 = 85 +40;
231 = 175 + 56; 369=297 +72 прирост значений кратен числу 8 с кратностью-делителем чисел.
(21,45):3;(75,115):5; (161,217):7; (279,351): 9; …(южное направление).
Описание всего бесконечного множества клеток магистралей оказывается более простым, чем для клеток вне магистралей. Одной координаты – номера контура k спирали достаточно, чтобы определить число в клетке магистрали, принадлежащее заданному номером k контуру. При этом используются следующие зависимости (см. таблицу).
Таблица. Расчетные характеристики клеток магистралей спирали Улама
Формулы, приведенные в таблице, гарантируют при задании номера k контура неограниченное продолжение полос с сохранением отмеченных свойств полос и чисел в них. Особенно важным свойством представляется свойство делимости нечетных чисел в клетках, формирующих полосы. В каждом контуре при заданном его номере k по формулам из таблицы определяются значения чисел в шести клетках пересечения магистралей с контуром. Все эти числа, назовем их реперами , составные и их делители известны. Формулы, приведенные в таблице уже содержат описания каждого делителя.
Другие числа k-го контура (вида
К таким условиям отнесем следующие. Испытуемое число отличается от репера на величину кратную меньшему или большему делителю. Для таких чисел факторизация выполняется без проблем. Важным представляется свойство делимости нечетных чисел в клетках, формирующих полосы. Следовательно, в каждом контуре найдется более 8 клеток, содержащих нечетные числа, которые не могут быть простыми, так как в выражении (
Помимо рассмотренных магистралей существуют линии (диагонали) нечетных чисел также не содержащие простых чисел. Во-первых, такая нечетная диагональ — диагональ нечетных квадратов. К ней до и после нее прижаты четные диагонали, которые с очевидностью простых чисел не содержат. В каждом контуре при этом появляются по три смежных клетки без простых чисел. Во-вторых, еще три смежные клетки без простых чисел в каждом контуре появляются по соседству с диагональю четных квадратов. Этой диагонали предшествует нечетная диагональ, в которой как мы сейчас покажем все клетки заняты составными числами. Значения в клетках этой диагонали равны четному квадрату (2k)² — 1 без единицы. Но такое соотношение всегда раскладывается в произведение двух скобок — сумма с единицей на разность с единицей первой степени четного квадрата контура, (2k +1)(2k — 1 ).
Пример . Пусть задано число N = 4294967297 = F5. Требуется определить его положение в модели, т. е. (х1, х2) координаты клетки с этим числом, а также значения и положения шестерки чисел, принадлежащих этому контуру, на магистралях: С =?; В1 =?; В2 =?; Ю1 = ?; Ю2 = ?; З = ?;
Решение. Извлекаем квадратный корень из числа N и округляем его до меньшего нечетного числа. Значение извлеченного квадратного корня равно 65536,0000076 Меньшее ближайшее целое число 65536 = 2k, (отсюда
N = F5 = 4294967297. Вторая координата х2 = 4294967297 — 4294836225 = 131072. Итак, для числа F5 получена пара координат
Клетки контура, принадлежащие магистралям, гарантированно получают мультипликативное представление
Клетки магистралей получают координаты: начало контура НК(х1, х2) = (32768, 0);
Число в контуре перед четным квадратом
