Теория счастья. Закон арбузной корки и нормальность ненормальности

    Представляю на суд читателей Хабра неупорядоченные главы из своей книжки «Теория счастья» с подзаголовком «Математические основы законов подлости». Это ещё не изданная научно-популярная книжка, очень неформально рассказывающая о том, как математика позволяет с новой степенью осознанности взглянуть на мир и жизнь людей. Она для тех кому интересна наука и для тех, кому интересна жизнь. А поскольку жизнь наша сложна и, по большому счёту, непредсказуема, упор в книжке делается, в основном, на теорию вероятностей и математическую статистику. Здесь не доказываются теоремы и не даются основы науки, это ни в коем случае не учебник, а то, что называется recreational science. Но именно такой почти игровой подход позволяет развить интуицию, скрасить яркими примерами лекции для студентов и, наконец, объяснить нематематикам и нашим детям, что же такого интересного мы нашли в своей сухой науке.

    В этой главе мы начнём с анализа арбузов и их корок, выясним их связь со знаменитым законом Мерфи и убедимся со всей строгостью в том, что о вкусах не спорят.


    Мне одному кажется, что я нормальный?


    Как часто, глядя новости, или читая комментарии к ним, мы недоумеваем: «Есть в этом мире нормальные люди?!» Вроде как, должны быть, ведь нас много, и в среднем, мы и должны быть нормальны. Но при этом мудрецы говорят, что каждый из нас уникален. А подростки уверены, что они-то уж точно отличаются от серой массы «нормальных людей» и ни на кого не похожи.

    Читатели, знакомые со статистикой, конечно же, много раз видели как для различных несимметричных распределений мода (максимум на графике плотности вероятности) не совпадает со средним значением или математическим ожиданием. То есть, среднее значение не соответствует самой большой плотности вероятности, но всё равно, на то оно и ожидаемое, чтобы быть если уже и не самым часто встречающимся, то, по крайней мере, доминирующим. Однако, не всё так просто. До сих пор мы рассматривали одновариантные распределения — распределения в одномерном пространстве исходов. Но жизнь многогранна, и уж точно не одномерна! А при добавлении дополнительных размерностей могут случаться весьма неожиданные вещи.

    Одна из особенностей многомерной геометрии — увеличение доли пограничных значений в ограниченном объёме. Вот что имеется в виду. Рассмотрим классическую задачу об арбузе в пространствах с различной размерностью и зададимся целью выяснить, сколько же чудесной сахарной мякоти нам достанется от этого огромного, крепкого и аппетитного арбуза, если надрезав его, мы выяснили, что толщина его корки не превышает $15\%$ от его радиуса? Кажется, что $15\%$ это уж больно много, но посмотрите на рисунок вначале статьи, пожалуй, арбуз с такими пропорциями мы сочтём вполне приемлемым.

    Начнём с одномерного арбуза — это розовый столбик, а его корка представляет собой два маленьких белых отрезочка по краям. Суммарная длина корки — это аналог объёма в одномерном мире — составит $15\%$ от общей длины арбуза. У двумерного, блинообразного арбуза, корка в виде белого кольца, по площади будет меньше, чем его внутренняя часть, уже всего в три раза. В привычном нам трёхмерном мире, такая корка составит почти $40\%$ общего объёма. Чувствуется подвох.

    Доли, которые занимает корка в арбузе различной размерности.

    Для шара, как, впрочем, и для тела произвольной формы, можно получить зависимость отношения объёма корки к общему объёму тела. Она выражается через отношение толщины корки к характерному размеру тела $d$ и является показательной функцией размерности пространства $m$:

    $\frac{V_{корки}}{V_{общ}} = 1 - \left(1 - d\right)^m.$

    Вот как выглядит график роста доли пятнадцатипроцентной по радиусу корочки арбуза в его объёме, при дальнейшем увеличении размерности пространства.


    В четырёхмерном пространстве наш условно тонкокорый арбуз оставит нам уже лишь половину мякоти, а в одиннадцатимерном мире мы сможем полакомится лишь $15\%$ от всего арбуза, выбросив корочку, составляющую $15\%$ его радиуса!

    Итак, мы готовы сформулировать глубокомысленный закон арбузной корки:
    Покупая многомерный арбуз, ты приобретаешь, в основном, его корку.

    Обидно, конечно, но какое это имеет отношение к нормальности нашего мира и к законам подлости? Увы, именно он препятствует отысканию так называемой «золотой середины», обесценивает результаты социологических опросов и повышает роль маловероятных неприятностей.

    Дело в том, что пространство людей со всеми их параметрами существенно многомерно. Вполне независимыми размерностями можно счесть и очевидные рост, вес, возраст и достаток, а также, уровни интеллектуального (IQ) и эмоционального (EQ) развития, наконец, наблюдаемые, хоть и плохо формализуемые черты лица, либо черты характера, такие как уровень болтливости, упрямства или влюбчивости. Мы без труда насчитаем с десяток-полтора параметров, характеризующих человека. И для каждого из этих параметров существует некая статистически определяемая «норма» — наиболее ожидаемое и более того, часто наблюдаемое значение. Сколько же в таком богатом пространстве параметров окажется людей, типичных во всех отношениях? Выражение, которое мы использовали для вычисления отношения объёмов корки и арбуза, можно использовать и для вычисления вероятности попасть в число хоть в чём-то но «ненормальных» людей. Действительно, вероятность удовлетворить всем критериям типичности одновременно равна произведению вероятностей оказаться типичным по каждому критерию в отдельности.

    Сейчас мы сильно упростим задачу, чтобы не писать пугающих формул, по которым нельзя ничего толком вычислить. Предположим, что качества людей по каждому из направлений подчиняются нормальному (гауссовому) распределению вокруг некоторого среднего значения. Это, конечно чрезвычайно смело, но вполне разумно для наших целей, ведь мы говорим не о каком-то конкретном наборе характеристик, а, прямо скажем, фантазируем, стараясь сформулировать хоть что-то определённое в столь зыбкой теме. Поэтому загружаться подробностями, пока не видна самая общая картина, рановато. Итак, все критерии мы подчинили нормальному распределению со своими средними и дисперсиями. Значит, мы можем определить параметры самого типичного человека на свете, и отсчитывать отклонения от них. Кроме того, нам неважно какие конкретно значения дисперсии, окажутся у каждого критерия, ведь нас интересует лишь вероятность выйти за пределы стандартного отклонения, а это значение от масштаба самого распределения не зависит. Всё это приводит к тому, что если обозначить за $P_{out}$ вероятность оказаться за пределами области, ограниченной стандартным отклонением (оказаться во внешней «корочке» распределения, похожей, скорее, не на корку арбуза, а на атмосферу Земли, уходящую далеко в космическое пространство, становясь всё тоньше и тоньше), то вероятность оказаться в чём-то ненормальным, при рассмотрении $m$ критериев, будет вычисляться по «арбузной» формуле:

    $P = 1 - \left(1 - P_{out}\right)^m.$

    Для гауссового распределения $P_{out}=1 - CDF(\sigma) + CDF(-\sigma) = 32\%$, где $\sigma$ — стандартное отклонение.

    Вероятности оказаться «ненормальным» для различного числа критериев сравнения и для различной «строгости» определения нормы. Верхний и нижний графики отличаются тем, что при определении «нормальности» используют радиус в одно и два стандартных отклонения, соответственно.

    Что же, выходит, это нормально — быть хоть в чём-то ненормальным. Оценивая людей по десятку параметров, будьте готовы к тому, что полностью заурядными окажутся лишь 2% общей популяции. Причём, как только мы их разыщем, они тут же станут знаменитостями, потеряв свою заурядность!

    Тот самый закон подлости


    Один из классических законов подлости, сформулированный в сердцах инженером Эдвардом Мёрфи, гласит:
    «Всё, что может пойти не так, пойдет не так».
    Он несколько глубже, чем тривиальное утверждение о том, что в полной выборке наблюдаются все исходы, даже самые маловероятные.

    Пусть для выполнения некоторой работы требуется совершить ряд действий, и для каждого из них существует маленькая вероятность неудачи. Какова вероятность того, что всё пройдёт без сучка без задоринки? Всё просто — нужно перемножить вероятности успеха для всех шагов. И тут же включается закон арбузной корки: чем больше число шагов, тем существеннее роль границ, в нашем случае, внештатных ситуаций. Достаточно дюжины шагов, чтобы 5% вероятности ошибки на каждом из них, выросли до 50% вероятности провала всего дела! То же самое относится и к сложным системам со множеством частей, каждая из которых может отказать. В простейшем случае, вероятность отказа системы вычисляется из вероятности отказа каждой её части по тому же самому закону арбузной корки.

    Эти наши рассуждения чрезвычайно просты, а закон Мерфи скорее эмоционален, чем объективен и кажется трюизмом, но всё же, именно с этого наблюдения в сороковые-пятидесятые годы двадцатого века началась новая большая наука: теория надёжности. Она добавила в рассмотрение время, взаимосвязь элементов систем, экономику, а также человеческий фактор и нашла применение за пределами инженерных наук: в экономике, теории управления и, наконец, в программировании.

    Мы ещё вернёмся к этой теме, когда будем изучать закон последнего дня, который заставляет принтер барахлить именно в день сдачи проекта. Закон Мерфи с учётом времени — поистине страшная сила! А пока вернёмся к теме уникальности и нормальности.

    Счастье — это найти друзей с тем же диагнозом, что и у тебя


    Все мы разные, это понятно, а можно ли вообще ставить вопрос о соответствии какой-то норме, не пытаемся ли мы при этом оценивать и сравнивать? Вы спросите, что же в этом плохого? Мы всё время кого-нибудь с кем-нибудь сравниваем, чаще всего, себя с другими, но иногда позволяем оценить и кого-нибудь ещё. Однако, с точки зрения математики, всё не так просто.

    Сравнивать — значит определять отношение порядка. То есть обозначать, что один элемент некоего множества, в каком-то смысле, предшествует другому. Этому мы научились ещё в школе: 2 меньше чем 20, слон слабее кита, договор дороже денег и т. п. Но вот вам ряд вопросов. Что идёт раньше понедельник или вторник? А воскресенье или понедельник? А какое воскресенье — то, что перед понедельником, или то, что после субботы? А какое число больше: 2+3i или 3+2i? Мы можем назвать по порядку цвета радуги и даже ассоциировать все промежуточные цвета с вещественным числом — частотой света, но кроме этих цветов существует множество неспектральных цветов, они образуют хорошо знакомый типографам и дизайнерам цветовой круг, можно ли все видимые глазом цвета выстроить по порядку? Эти примеры показывают, что с отношением порядка бывают трудности. Например, на множестве дней недели не работает транзитивность (из того, что за $A$ следует $B$, а за $B$ следует $C$ не следует, что $C$ всегда следует за $A$). Попытка ввести понятие больше/меньше на поле комплексных чисел не согласуется с арифметикой этих чисел, а цвета обладают обоими этими недостатками.

    И как же можно сравнивать людей, книги, блюда, языки программирования и прочие объекты, имеющие множество параметров, пусть даже условно формализуемых? В принципе, можно, но только сперва договорившись об определениях и метриках, а иначе это будет бесконечный, бурный и бессмысленный спор. Увы, жаркие споры возникают чаще всего уже на этапе выбора метрик, поскольку они сами образуют некое множество, на котором тоже нужно определять отношение порядка.

    Впрочем, можно предложить вполне осмысленный и однозначный способ рассуждений о сравнимости многомерных объектов, например, людей. В многомерном пространстве параметров каждый объект может быть представлен вектором — набором чисел — значений критериев, которые его характеризуют. Рассматривая ансамбль векторов (например, человеческое общество), мы увидим, что какие-то из них окажутся сонаправлены, или, по крайней мере, близки по направлениям, вот их-то уже вполне можно сравнивать по длине. В тоже время, какие-то векторы будут ортогональны (в геометрическом смысле — перпендикулярны, в более широком — независимы), и соответствующие им люди будут попросту друг другу непонятны: они по ряду параметров окажутся в сопряжённых пространствах, как пресловутые физики и лирики. Нет смысла рассуждать о том, что хороший поэт в чём-либо лучше или хуже талантливого инженера или одарённого природой спортсмена. Единственное, о чём можно судить, это о длине вектора — о степени одарённости, о расстоянии от среднего.

    В этой связи может возникнуть любопытный вопрос: а какая доля случайных векторов в пространстве заданной размерности будет сонаправленной, а какая — ортогональной? Как много удастся найти единомышленников или, хотя бы, тех с кем можно себя сравнить?

    В двухмерном мире каждому вектору соответствует одномерное пространство коллинеарных (сонаправленных) и одномерное пространство ортогональных векторов. Если мы рассмотрим «почти» сонаправленные и «почти» ортогональные вектора, то они образуют секторы одинаковой площади при одинаковом выборе допустимого отклонения. То есть похожих и непохожих объектов, при рассмотрении двух критериев, будет одинаковое количество.


    Почти коллинеарные и почти ортогональные векторы в двухмерном и трёхмерном пространстве.

    В трёхмерном мире картина поменяется. Сонаправленные векторы всё также образуют одномерное пространство, а вот ортогональные уже заполняют плоскость — двухмерное пространство. Фиксируя длину векторов $R$ и допуская небольшое отклонение от идеальных направлений на угол $\Delta\varphi$, можно число почти сонаправленных векторов сопоставить с площадью круговых областей вокруг полюсов $2\pi(R \Delta\varphi)^2$, а число почти ортогональных векторов — с площадью полосы вокруг экватора: $4\pi R^2\Delta\varphi$. Их отношение $2/ \Delta\varphi$ при уменьшении отклонения $\Delta\varphi$ растёт неограниченно.

    В четырёхмерном мире ортогональные векторы образуют уже трёхмерное пространство, тогда как сонаправленные векторы всё ещё лежат в одномерном, и разница в их количестве растёт уже пропорционально квадрату отклонения от идеала. Но на этом этапе лучше обратиться к теории вероятностей и выяснить каковы шансы получить ортогональные или сонаправленные векторы, взяв наугад два вектора из пространства, размерности $m$? Об этом нам расскажет распределение углов между случайными векторами. К счастью, рассуждая о площадях многомерных сфер, его можно вычислить аналитически и представить в конечной форме:

    $p(\varphi) = \frac{\Gamma(m/2)}{\sqrt{\pi}\,\Gamma((m-1)/2)}\sin(\varphi)^{m-2},$

    Здесь $\Gamma(x)$ — это гамма-функция, обобщение факториала на вещественные (и даже комплексные) числа.

    Распределения углов случайных векторов для пространств различных размерностей.

    Теперь видно, что для двумерного пространства углы распределяются равномерно, для трёхмерного — пропорционально синусоидальной функции, а при повышении размерности распределение стремится к нормальному с постоянно уменьшающейся дисперсией. Для всех размерностей выше двух, мода распределения приходится на 90 градусов и доля взаимно ортогональных векторов увеличивается, по мере увеличения числа параметров. Самое же главное наблюдение — сонаправленных векторов (имеющих угол около 0 или 180 градусов практически не остаётся при достаточно высокой размерности пространства. Давайте будем считать более или менее похожими (сонаправленными, сравнимыми) векторы, имеющие угол мене 30 градусов (это вполне малый угол: $30^\circ = \pi/6 \approx 1/2 = \sin 30^\circ$). Тогда, при сравнении по двум критериям, похожей на какой-то выделенный вектор, окажется только треть всех случайных векторов. Использование трёх критериев позволит сравнивать с заданным вектором лишь $13\%$ всего множества, для четырёх критериев — уже $6\%$, и каждое следующее добавление размерности будет уменьшать эту долю вдвое. Если мы будем строже и ограничим себя меньшим углом, доля векторов, считающихся похожими станет убывать ещё быстрее.

    Таким образом, получаем векторную формулировку закона арбузной корки:
    В пространствах высокой размерности почти все вектора ортогональны друг другу.

    или эквивалентно: на вкус и цвет товарищей нет.

    Сравнивайте разумно, не ищите в жизни нормальности и не бойтесь ненормальности. Сама математика подсказывает нам, что в сложном мире людей говорить можно лишь о степени подобия, но не о сравнении. Так что нет резона вести нескончаемые споры, в поисках истины, вместо этого, стоит прислушаться и постараться услышать иное мнение, увидеть взгляд из другого, сопряжённого, пространства, обогащая тем самым своё восприятие мира.

    Мудрецы правы: все мы уникальны и в своей уникальности абсолютно одинаковы.



    Приглашаю вас, первых читателей этой книжки, к вопросам, дополнениям и замечаниям, которые, без сомнения, сделают её точнее, богаче и интереснее.
    Поделиться публикацией
    Комментарии 240
      +7
      прочитал все залпом, очень интерсная тема, роскошные иллюстрации и графики.
      срочно издавайте эту книгу!
        +2

        Спасибо! Книжка происходит прямо сейчас из черновиков — в Хабр. Как всё обсудим, можно и издавать.

        +3
        «Это всё объясняет!» (с) То-то я смотрю мои восьмимерные арбузы плохо расходятся. Надо было сразу с абрикосов начинать.
          +1

          Или лимоны выращивать многомерные на цедру. Ещё хорошо если они фрактальные, цедры ещё больше будет!

            +6
            Подумал ещё про шкуру многомерного медведя. Вообще, получается, как многомерное существо, так в основном шкура.
              0
              Шкура гиперсферического коня!
                0
                Блин На медведя приходится тратить многомерные стрелы, а их очень сложно добыть т к для их производства нужны многомерные деревья. Причем если размерность дерева меньше размерности медведя которого нужно убить то приходится делать многомерную склейку многомерных стрел. А от стрел меньшей размерности медведям только щекотно и они еще просят. Короче медведи — не вариант. Мороки с ними много.
                  0

                  Можно посадить двух многомерных медведей в одну клетку без еды и подождать. Не придется ничего тратить.

                    0
                    Ждать очевидно придется тем дольше чем более многомерны медведи. Уж лучше сразу разводить медведей нужной размерности, а то так и не дождаться можно.
                      0

                      А как же многомерные шкуры ?

                        0
                        Ну надо «развезти» двух медведей небольшой заранее заданной размерности, а дальше по вашему плану — ждем пока один съест другого в каждой размерности, а поскольку шкура имеет размерность на 1 меньшую ее он не тронет. Останется только достать ее из многомерной клетки с многомерным все еще не полностю сытым медведем (мякоти то мало...) Но мне кажется лучше все же на шкурах не заморачиваться, да и на медведях тоже.
              0
              Очевидно — надо делать арбузы коркой внутрь. Тогда при многомерности будет почти одна мякоть.
              +6
              Мудрецы правы: все мы уникальны и в своей уникальности абсолютно одинаковы.
              Все люди разные, один я одинаковый.
                0
                мне нравится ваш комментарий значит я похож на вас И значит я то же одинаковый… Вы не одиноки )
                +1
                Пойду за арбузом.
                  +2

                  См. "The Art of Doing Science and Engineering: Learning to Learn" by Richard Hamming

                    0

                    Отличная книжка, хорошо, что вы о ней напомнили!

                    +2
                    Ох каких тут выводов можно сделать в политическом плане)) В частности, о нежизнеспособности несвободных режимов.
                      0
                      Что ж они никак не вымрут?
                        0
                        Максимально несвободные таки повымирали.
                        0
                        Хм такой вывод и в «обратную» сторону делается — всеобщая свобода есть хаос. Может именно поэтому несвободные режимы все еще существуют? К чему это я — это все очень гипотетические рассуждения.
                        0
                        Очень классная книжка. Жду продолжения или возможности почитать целиком.
                          +5
                          Я своим студентам похожую задачу про сравнение людей привожу на лекции, посвящённой эргономике, чтобы пояснить, почему здания, механизмы и изделия, расчитанные на среднестатистического человка всегда НЕудобны для подавляющего большинства людей, но каждому при этом мешает что-то своё.
                            0

                            Отличный пример! Если не возражаете, я бы его развил и в эту главу добавил.

                              +2
                              Тот пример напомнил мне статью: habr.com/post/391425 — можно из неё что-то тоже развить, наверно. Или вообще из той книги о средних.
                                +2
                                Конечно, не возражаю. Чем больше людей примут идею о несуществовании среднего человека, тем ближе мы к адаптивному пространству, трансформирующемуся для своих пользователей. Изменение мира всегда начинается в головах. Надеюсь, мне на занятиях удалось перенаправить мысли в паре мозгов, но книгу точно прочтёт больше народу.

                                Кстати, ещё одна идея, которую я продвигаю на своих лекциях для архитекторов, такая же естественная и такая же редко встречающаяся в умах: «Твоя работа влияет на мир и других людей. Ты — один из немногих, кто может что-то реально изменить прямо сейчас». Увы, наш менталитет не даёт закрепиться в людях чувству ответственности за свои действия.
                                  0

                                  "наш менталитет не даёт закрепиться в людях чувству ответственности за свои действия"
                                  Два человека хотят перейти реку. Один построил половину моста, а другой — нет. Вопрос в том, должен ли первый человек достроить мост до второго, и захочет ли он это сделать.

                                    +2
                                    Я не об этом. А, например, о том, что архитектор своими руками может спроектировать район-гетто типа «Северной долины» в Питере и не испытывать никаких моральных терзаний, вообще не понимая, как его архитектурные решения повлияют на поведение людей, которые будут там жить и тем более — расти. У большинства психология типа «сдал красивую картинку заказчику, скрыл от экспертизы косяки — вот и умничка, возьми с полки пирожок и начинай следующий объект». Кризис целеполагания, пропасть между профессиональным образованием и воспитанием и все прочие модные постмодернистские словечки — именно про нашу профессию.
                                      0
                                      Вы думаете люди туда от большого счастья едут жить? В Екатеринбурге нет такого ужаса как Парнас, но есть нечто похожее. И знаете в чем разница? А разница в цене. По цене 40-45 кв.м. в таком вот муравейнике в нормальном ЖК денег хватит лишь на студию в 20 кв.м. (если таковые, вдруг, там предусмотрены. Обычно в ЖК поприличнее студий нет).
                                      Вот люди и берут квартиры в таких домах как первое жилье, за которое не нужно платить до пенсии.
                                      0
                                      Собрались мы с соседями дверь в подъезде заменить. Все были за. Договорились что все скинутся определенной суммой в назначенное время. Когда подошло время, каждый по очереди начал говорить что дорого (сумма не изменилась). Я предложил заплатить больше чем другие и чтобы они сами решили, по сколько скидываться. В итоге все сказали что денег у них нет и, как выяснилось, не будет. Поэтому ответ таков не захочет, будет ждать до победного когда первый сам все сделает. А вот шиш.
                                +3
                                На хабре было на эту тему: habr.com/post/391425
                                  +2
                                  Сразу вспомнился пост habr.com/post/391425
                                    0

                                    Замечательно поучительная история о средних людях! Хорошо, что вспомнили о той статье. Это перевод из книжки Роуза и его вполне можно переработать в дополнение, не нарушая авторских прав.

                                      0

                                      Это да. Поэтому гуру дизайна рекомендуют выбрать пару-тройку конкретных типажей, и пилить продукт под них.

                                        0
                                        Не факт, что это лучше. Смотря насколько равномерно распределены эти эталонные типажи. Может статься так, что кому-то до этих типажей (до каждого из этих типажей) будет ещё дальше, чем до среднего.
                                        +1
                                        Еще про пропорции:
                                          +1
                                          И слышал похожее соображение, примененное к операционным системам (и вообще любым достаточно сложным программным системам): в среднем человек использует только 20 % от ее функциональности, но для разных людей это _разные_ 20%, потому что каждому нужно что-то свое. Поэтому, мол, они так и разрастаются в объеме.
                                          0

                                          Суммарная длина корки — это аналог объёма в одномерном мире — составит $15\%$ от общей длины арбуза. У двумерного, блинообразного арбуза, корка в виде белого кольца, по площади будет меньше, чем его внутренняя часть, уже всего в три раза. В привычном нам трёхмерном мире, такая корка составит почти $40\%$ общего объёма. Чувствуется подвох.


                                          Можно посмотреть как считаются те 40%, хотелось бы увидеть расчёты.

                                            +3

                                            Объем шара пропорционален кубу радиуса. Если радиус арбуза принять за 1 — то радиус мякоти будет 0,85. 0,85 в кубе — это 0,614. Вычитаем 0,614 из 1 и получаем 0,386 — что и есть почти 40% общего объема.


                                            Формула вот: 1 — (1 — p)n

                                              +1

                                              В соответствии с формулой, 1 — (1 — 0.15)^3 =0.385 ~ 40%
                                              Но можно и напрямую. Объём арбуза с коркой: 4/3 pi R^3
                                              Объём корки: 4/3 pi R^3 — 4/3 pi (R-Rd)^3
                                              Их отношение: 1 — (1 — d)^3

                                                0
                                                Кроме высчитывания пропорций объёма можно также взять вероятность не попасть на корку. Вероятность не попасть в одномерном пространстве — 85%. В двумерном нам придётся не попасть 2 раза — вначале по одной координате, потом по второй, вероятность 85%² = 72%. В трёхмерном — 3 раза, вероятность 61%. Конечная формула выходит абсолютно такая же, как и с подсчётом объёма.
                                                0
                                                Родился бизнес план.
                                                1. Применяем рекламный слоган: «А знаете ли вы, что покупая арбузы вы почти половину денег платите за… корку?»
                                                2. Выращиваем арбузы без корки.
                                                3. Профит!
                                                (Но кстати для чистоты эксперимента надо сравнить плотность мякоти и корочки).
                                                  +1
                                                  Для чистоты эксперимента стоит вспомнить, что помятые арбузы никто не берёт и их приходится отдавать за гроши.

                                                  Все стараются выбрать арбузы с как можно более тонкой коркой, но при этом не мятые — что и ведёт к тем габаритам, которые мы наблюдаем.
                                                  +2
                                                  Всегда знал, что с арбузами что-то не так. Уж больно мусорные мешки с корками тяжелые всегда! Надо будет с продавцом в следующий раз договориться о прогрессирующей скидке в зависимости от размерности ;)
                                                    +2
                                                    А ведь можно попросить и двумерный арбуз. Разрезать его кольцами и взять самое большое кольцо XD. Получите в 1.17 раза больше арбуза! Правда кому-то достанется только корка :(

                                                    Кольцо, кстати, тоже можно нарезать линиями и взять самую большую. Получите в 1.38 раза больше арбуза, но снова кому-то достанется только корка…
                                                      +1
                                                      «Арбуз велик, а кожура ещё больше» (с).
                                                      0
                                                      Я один заподозрил подвох с арбузом? Большиство арбузов несферические!

                                                        0
                                                        Большиство арбузов несферические!


                                                        А это значит, что там соотношение корка/мякоть будет ещё хуже.
                                                          +1
                                                          Это, кстати, интересный вопрос.

                                                          Объём цилиндра — πr2h, если h стремится в бесконечность, то получается, что у нас потери на корку π(R2-r2), т.е. квадратичные. Т.е. чем более вытянутый арбуз, тем меньше влияют его «крышки» (плоскости цилиндра) на потери на шкурку.

                                                          Так что может быть, что у вытянутого цилиндра потери на шкурку меньше, чем у сферического при том же радиусе. А вот на кг — надо считать…
                                                            0
                                                            Из небесконечных, то есть реально существующих, форм шар — оптимальная по соотношению поверхности к объёму.
                                                              0
                                                              Поверхности, но не «некоторого объема на поверхности». Для длинного цилиндра длинной 10м и радиусом 1м, при кожуре 15см потери будут около 30%. И чем длиннее вытягивать, тем ближе будет к 28% (по площади).
                                                            0

                                                            Чем и хорошо обезразмеривание, что позволяет делать универсальные выводы. Для всех конечных трёхмерных тел приведённая формула работает одинаково: все неизвестные формфакторы сокращаются. Разницу вы почувствуете на фрактальных объектах или на бесконечных.

                                                            0

                                                            Если толщина корки одинаковая по всему арбузу — сама форма не важна. Можете поставить формулу эллипса (или более даже более хитрый интеграл) — получите то же самое отношение.

                                                            –1
                                                            нет резона вести нескончаемые споры, в поисках истины, вместо этого, стоит прислушаться и постараться услышать иное мнение

                                                            Так хорошо всё было, а закончилось постмодернистской жвачкой о равенстве всех мнений.
                                                              +1
                                                              Не о равенстве. А о том, чтобы прислушаться и постараться максимально уловить логику в мнении оппонента. Потому что по совокупности всех параметров (а не по узкой выборке тех, на которые конкретно Вы привыкли обращать внимание) Ваше решение может оказаться ещё дальше от оптимального, чем его.

                                                              P. S.: Хотя такая гибкость вряд ли будет приводить к личному успеху. Но наверняка она будет больше способствовать успеху общины, чем упрямство.
                                                                0
                                                                Точнее, чем косность.
                                                                0

                                                                Мнения не равны, но могут быть интересны. И, в конце концов, о том и речь, что отношение эквивалентности на множестве мнений определить вряд ли получится :)

                                                                –3
                                                                У моей дочки на ОГЭ два балла отняли (не засчитали задачу) за то, что график функции нарисовала прерывистой линией, а не сплошной…
                                                                  0
                                                                  Каждый немножечко проецирует новые знания (из статьи в данном случае) на свои жизненные ситуации, это нормально, это необходимо для понимания.
                                                                  0
                                                                  Занимательная математика а-ля Перельман не очень получилось. Всё вертится вокруг формулы умножения вероятностей и предположения, что всё самое вкусное — внутри. Даже в многомерном пространстве людей.

                                                                  Возьмите клавиши фортепьяно и попробуйте там таким способом найти «золотую середину». Вряд ли получится какая-то красивая музыка.
                                                                    0

                                                                    В этой главе — да, вертится вокруг очень простых идей. Но будут и другие главы, в том числе и с программистскими задачками а-ля recreational science из Scientific American 80-х годов. А предположение о ценности среднего здесь не более чем ирония над общим мнением, комментарии прекрасно это показывают.

                                                                    0
                                                                    По-моему, это офигенно.
                                                                      +1
                                                                      Мне понравился вывод: «Достаточно дюжины шагов, чтобы 5% вероятности ошибки на каждом из них, выросли до 50% вероятности провала всего дела!»
                                                                      На практике люди этого не понимают, пытаются внедрять в бизнес процессы новомодные приложения, которые, фактически, становятся дополнительной точкой отказа и приводят только к проблемам, а не пользе.
                                                                        +2
                                                                        Ну, не факт, бывает по-разному.
                                                                          0
                                                                          Ну да, говорить, что «все люди этого не понимают» ошибочно, конечно кто-то понимает этот результат, кто-то интуитивно чувствует. Просто я в своей практике сталкивался с непониманием этого, что чем больше в системе звеньев, тем она менее надёжна, я бы так это выразил своими словами.
                                                                            +1
                                                                            Я имел в виду, что не всегда новомодные тенденции — это плохо, даже если это дополнительные звенья. Дополнительные звенья могут подключаться не только последовательно (уменьшая надёжность: вероятность несбоя системы равна произведению вероятностей несбоя звеньев), но и параллельно (увеличивая надёжность) или ещё каким-то способом. А ещё надёжность — это не единственный параметр (иногда возможно и даже рационально пожертвовать надёжностью в ущерб чему-то). Не говоря уже о том, что часто провал сейчас и здесь является предпосылкой для успеха потом или в других местах (т.е. типа внедрение технологии привело к потерям, но потом Вы — или даже не Вы, а Ваши конкуренты — это учли и далее в доработанном виде эта технология принесла пользу).
                                                                          0
                                                                          Отсюда же — чем проще тем надежнее.
                                                                            0

                                                                            Вы покупаете виноград. Вероятность тухлой ягоды 5%. Всего 12 ягод. Получается, что половина винограда протухла. Какой-то неправильный вывод. Да и бизнес-процессы такой простой логике не подчиняются.

                                                                              0
                                                                              В примере из статьи не «половина винограда протухла», а «все 12 ягод попались хорошие».
                                                                                0
                                                                                Тухлая/свежая ягода — это всего один параметр, пространство одномерное.
                                                                                Если мы введём ещё множество параметров отбора ягод, то получим бОльшую размерность и условные 50% ягод, которые не будут удовлетворять всем параметрам. Например параметры:
                                                                                — треснута корочка на ягоде или нет;
                                                                                — размер ягоды большой/маленький;
                                                                                — овальность/округлость ягоды;
                                                                                — подсохший хвостик ягоды или нет;
                                                                                — косточек больше 2 (для не киш-миша);
                                                                                и т.д.
                                                                                  +1
                                                                                  Но это только если параметры независимы или ковариантны.
                                                                                    0
                                                                                    Например, от ввода параметра гниль, процент нормальных ягод не уменьшится, т. к. тухлые ягоды уже не нормальные. С другой стороны, при добавлении к гнили параметра тухлости, круг нормальности сужается, как и процент ягод.
                                                                                    0
                                                                                    Если от одной протухшей ягоды человек отравится, то да, при таких исходных данных Вы с вероятностью 50% отравитесь. Если же Вы можете её вовремя заметить у Вас устроит съесть всего 11 — то другое дело.
                                                                                    Применительно к бизнесс-процессам, это правило учит быть готовым к отказу на каком-то шаге (маловероятно на каждом отдельно, но вероятно на хотя бы одном), либо же требовать исключительно низкой вероятности отказа каждого шага.
                                                                                      0
                                                                                      Требуют вероятность отказа системы, шаги никому не интересны.
                                                                                      Вот и я говорю о том, что ягод у можно заметить и отбросить. Не всегда ягоды требуется есть строго последовательно и выбрасывать все оставшиеся, если попалась тухлая.
                                                                                        0
                                                                                        В том и дело, что многим шаги неинтересны, а вся суть в шагах. Если шаг можно заменить и отбросить и недорого — тогда хорошо. А если отказ на этом шаге разрушит всё систему — то обоснование «отказ маловероятен, всего 5%» — уже плохое. Всего 12 таких шагов достаточно, чтобы с вероятностью 50% всё сломалось.
                                                                                          0
                                                                                          Приведу пример из жизни. Автострада Москва-СПб. Связь плохая. Каждый четвёртый пользователь отваливается. Берём 12 радиостанций. Теперь отваливается каждый десяти миллионный пользователь.
                                                                                            +3
                                                                                            Это параллельное резервирование, а не последовательные шаги. Последовательные шаги — это раз за разом русскую рулетку крутить. Вероятность оказаться вне игры существенно растёт с числом попыток.
                                                                                              0
                                                                                              Хоть уже и ответили, Ваш пример тоже хорош. В том то и дело, что вышка выдаёт сигнал в радиусе 100 км с вероятностью отказа 5%, дерево на пути будет с вероятностью 1%, рельеф тоже, вероятность поломки вышки 0.001% в год и т.д. А в результате «всё пошло не так» и общая вероятность отказа получилась огромные 25%.
                                                                                              Речь именно о том, что несмотря на вроде-бы мелкие вероятности отказа, приходится вводить двойное резервирование и тратить в 3 раза больше денег.
                                                                                                0
                                                                                                Сегодня слёт капитанов очевидность?
                                                                                                На практике люди этого не понимают, пытаются внедрять в бизнес процессы новомодные приложения, которые, фактически, становятся дополнительной точкой отказа и приводят только к проблемам, а не пользе.

                                                                                                Я ответил с примерами, что бизнес-процессы не всегда являются строго последовательно, а новые приложения ухудшают надёжность. И зачем вы мне пишете, что параллельно?

                                                                                                На самом деле, в примере про радио вышки тратить дополнительные деньги не пришлось, т. к. резервные вышки уже построены другими операторами. Вот так на пустом с технической точки зрения можно повысить надёжность.
                                                                                                  0
                                                                                                  Сегодня слёт капитанов очевидность?

                                                                                                  Очевидно, нет :)
                                                                                                  Мне показалось очевидным, что пример в статье и в начальном комментарии говорит о последовательности, и не применим ко всем без исключения процессам. Да ведь Вы и сами пишете «ответил… что не всегда». Конечно не всегда, но иногда, не описывать же все условия в каждом коментарии.
                                                                                                  Потому я и попробовал сразу написать, что зависит от бизнесс-процесса, точнее это надо учитывать при построении бизнес процесса. Добавлять приложения последовательно, ухудшая надёжность, плохо даже при низкой вероятности отказа, если таких приложений много. И хорошо, если
                                                                                                  параллельно и с увеличением общей надёжности. Простите, если было неочевидно изначально.

                                                                                                  Справедливости ради, дело не в «последвательно» или «паралельно». Дело во влиянии одного отказа на общий результат. Иногда последовательная цепочка допускает отказы, а иногда отказ одного паралельного процесса ведёт к полному провалу.
                                                                                                    0
                                                                                                    То же самое относится и к сложным системам со множеством частей, каждая из которых может отказать. В простейшем случае, вероятность отказа системы вычисляется из вероятности отказа каждой её части по тому же самому закону арбузной корки.

                                                                                                    Мне кажется не очень очевидным, что под «сложными системами» подразумеваются исключительно последовательные. Поэтому я и показал, что для любой(всех) сложной системы это не верно.
                                                                                                    дело не в «последвательно» или «паралельно»

                                                                                                    Я говорил про схемы надежности.
                                                                                                    Прошу прощения, если как-то затронул ваши чувства.
                                                                                        0
                                                                                        Изначально говорится о случае, когда неудача на одном шаге приводит к провалу всего дела. В Вашем случае с виноградом корректней вывод «В половине случаев хотя бы одна ягода будет тухлая.»
                                                                                          0
                                                                                          Вот мы и пришли к выводу, что в статье ошибочно выполнен переход от частного к общему. Данный переход выполнен неправильно, а этот закон арбузной корки не действует на большинство сложных систем.
                                                                                      +1
                                                                                      Да, и итоговый вывод тоже очень жизненный: «Так что нет резона вести нескончаемые споры, в поисках истины, вместо этого, стоит прислушаться и постараться услышать иное мнение, увидеть взгляд из другого, сопряжённого, пространства, обогащая тем самым своё восприятие мира.»
                                                                                      Спасибо автору за статью.
                                                                                      Мне нечего добавить к статье, к сожалению.
                                                                                        0
                                                                                        Отсюда вывод: покупай арбузы по четвертинке, %username%. Потому что:
                                                                                        — видно, что у него внутри;
                                                                                        — глупые продавцы меряют цену килограммами, а корочка-то там только с одной стороны;
                                                                                        — более здоровый сон и меньше расход воды (актуально для юзернеймов с водосчётчиками).
                                                                                          +1
                                                                                          Можно просто по рынку ходить и надкусывать — многие дают продегустировать. Тогда корку до 0% можно свести.
                                                                                            0
                                                                                            А в этом случае есть энергозатраты на хождение и поддержание разговора с продавцами. Уж лучше корку.
                                                                                              0
                                                                                              Можно лежать дома на диване, а жена будет приносить очищенный арбуз
                                                                                                +1
                                                                                                Ага, а младшая жена — охлаждённый шербет. Нет, это вариант не для всех.
                                                                                            +1
                                                                                            Вот есть арбуз у которого 40% корочки.
                                                                                            Вот мы режем его на 4 части.
                                                                                            И каждый из 4х покупателей уносит 10% корочки от всего арбуза.
                                                                                            Но… и 15% мякоти.

                                                                                            Выигрыша нет никакого, кроме того, что видно что внутри:)
                                                                                            0
                                                                                            :)) вот шутники арбузные, ёлки!
                                                                                            Между прочим в статье делаются серьёзные, жизненные выводы, которые, для меня лично, являются руководством к действию.
                                                                                              0

                                                                                              По моему, это вообще про любовь.

                                                                                              0
                                                                                              Да, статья интересная, спасибо.
                                                                                              В ближайшее время начну знакомиться с математикой многомерных пространств.
                                                                                              А то, глядя со стороны, можно подумать: и какой им (математикам) прок от изучения многомерных пространств?
                                                                                              Оказывается, прок есть, и — не такой-уж и малый :)
                                                                                                0
                                                                                                хочу книжку!!!!)))
                                                                                                  0
                                                                                                  Респект и уважение автору!
                                                                                                  Еще во времена Пифагора небезосновательно считали, что числа правят миром. Если перефразировать, — Законы Природы универсальны: будь то физика, химия, общество или экономика. Видящий да увидит их
                                                                                                    0
                                                                                                    Все же стоит сделать оговорку, что нужно выбрать N независимых параметров. Как мне кажется, это может быть довольно проблематично. Например «влюбчивость», может оказаться связана с «болтливостью». Тогда вероятность выхода за стандартное отклонение в этих параметров может оказаться сильно связанной.
                                                                                                    Но вообще, идея интересная.
                                                                                                      +1

                                                                                                      О да! Вопрос независимости в теорвере это камень преткновения и достоин своей главы. Впрочем, даже на сильно коррелирующих многомерных облаках данных, если корреляция линейна, можно ввести метрику Махалонобиса и всё опять выровняется по осям.

                                                                                                      0
                                                                                                      скольки мерным бы не был арбуз, очевидно, что чем ближе к центру, тем он слаще
                                                                                                      осталось определить центр этого арбуза и спорить чье мнение ближе к сладкой сердцевине арбуза, а чье мнение ближе к невкусной корке
                                                                                                        0
                                                                                                        Факты представлены интересно, с выводом не согласен. На _совокупность_ вкусов товарищей нет, но это же и так понятно — чем больше размерностей, тем сложнее попасть в окрестность с другим человеком, выглядит довольно тривиально, если отвлечься от арбузов, корок и гамма функций. На _вкус_ — есть, потому что это более-менее низкая размерность, либо тебе нравится кофе, либо нет.
                                                                                                          0
                                                                                                          Ну да, если жену выбирать по одному параметру, то вообще проблем нет :) А чем больше требований начинаешь предъявлять к потенциальной жене, то больше шансов, что не найти тебе идеал. Надо быть проще, выбрать 2, 3 основных параметра, а с остальными мириться. Да и вообще, если про личную жизнь, не в параметрах дело, а в готовности двух людей вкладываться в совместные проекты (проекты в широком смысле). А отличие параметров — даже полезно, позволяет более многогранно совместно смотреть на мир, о чём и сделан один из выводов в статье.
                                                                                                          0
                                                                                                          Все люди разные в своей одинаковости и все одинаковые в своей разности.
                                                                                                            0
                                                                                                            Для 16 критериев получается 0.001%.
                                                                                                            Мало? А если умножить на население Земли?
                                                                                                            80 000 человек.
                                                                                                            То есть для 20 критериев — 5000 человек. Разве ж мало?

                                                                                                            Интернет позволяет их искать. ;-)

                                                                                                            PS Книгу обязательно куплю:) Главное узнать что вышла.

                                                                                                            PPS Обоснуйте математически (если еще не), пожалуйста, тезис «мы все умрем».:)
                                                                                                            Можно конечно считать его очевидным, но с формулами было бы приятней.
                                                                                                              0
                                                                                                              Вспомнил шутку в тему.
                                                                                                              Жаль она слишком груба для включения в книгу:

                                                                                                              «В среднем у человека… одно яйцо»:)
                                                                                                              0
                                                                                                              То есть десятимерные люди были бы значительно умнее за счёт объёма коры головного мозга?
                                                                                                                0
                                                                                                                Нет! Закон Мерфи же!
                                                                                                                У 10 мерных людей череп бы занимал 80% объема мозга.
                                                                                                                  +1
                                                                                                                  Я таких десятимерных людей чуть ли не каждый день встречаю)
                                                                                                                    0
                                                                                                                    Ну я, надеюсь(?!), что все таки у них череп занимал 80% головы… А не мозга.
                                                                                                                0
                                                                                                                Выходит в бесконечномерном пространстве практически весь объём всегда будет занимать корка, независимо от её толщины…
                                                                                                                0
                                                                                                                У меня тут теория возникла. Умозрительная, но все же.

                                                                                                                Пусть Вселенная — это содержимое арбуза, а корка — нечто вроде зоны небытия. Для N-мерности при N стремящемся к бесконечности доля Вселенной стремится к нулю — это начальное состояние сингулярности. Расширение Вселенной — это просто падение ее мерности, с постепенным увеличением «полезного» объема.
                                                                                                                  0
                                                                                                                  Даже если размерность упадёт с 10и до 2х, то расстояние которое лучу света нужно пройти от края Вселенной до центра не изменится.
                                                                                                                    0
                                                                                                                    Но почему? На примере арбуза, ведь расстояние от центра до корки изменится.
                                                                                                                      +1
                                                                                                                      Нет же. N-мерный объём изменится, а радиус нет.
                                                                                                                        0
                                                                                                                        Да, радиус мы по определению считаем постоянной величиной, заданной в условиях задачи (про корку арбуза).
                                                                                                                        Вспоминается смежная задача, если зайти с другой стороны, что диагональ N-мерного куба всё время увеличивается, при увеличении размерности N, при фиксированной длине стороны куба. Используется обобщение формулы Пифагора для высоких размерностей. Просто, информация к размышлению.
                                                                                                                          0
                                                                                                                          Ну так давайте возьмем n-мерный куб у которого диагональ равна 2R.
                                                                                                                          Можно увеличивать размерность.
                                                                                                                            0
                                                                                                                            Речь идёт о главной диагонали, которая не совпадает с главной диагональю в другой размерности. Это другая прямая, поэтому она другой длины.
                                                                                                                              0
                                                                                                                              *попытался представить эту прямую. не уверен что она пряма. ну нафиг, надо работать*
                                                                                                                                0
                                                                                                                                Всё просто.

                                                                                                                                Представьте диагональ квадрата и диагональ куба построенного на этом квадрате (диагональ куба это линия проходящая через центр куба). Сразу станет понятно что это две разные прямые. При «свёртке» размерности из 3 в 2 (в народе называется проекция), диагональ куба спроецируется на диагональ квадрата.
                                                                                                                                  0
                                                                                                                                  Это то просто. Я то пытался диагональ тесаракта представить)
                                                                                                                          0
                                                                                                                          Это будет зависеть от того, какой закон сохранения мы зададим. Если сохраняется радиус — объём меняется, а если сохраняется объём — радиус меняется.
                                                                                                                            +1
                                                                                                                            N-мерный объём не может сохраниться, потому что, например, четырёхмерный объём равен нулю в трёхмерном пространстве. Проекция на трёхмерный объём сохранится, точно так, как и радиус.
                                                                                                                              0
                                                                                                                              Хех, определяем в законе сохранения объем гиперпараллелепипеда, к примеру, как произведение длин смежных ребер при одной вершине. Существует при любом N. А для произвольного тела — интеграл в произвольном направлении объемов поперечных сечений размерности N-1. И нет проблем (ну, в эвклидовом пространстве и при N>1, по крайней мере, точно нет).
                                                                                                                                0
                                                                                                                                Там ещё и единицы измерения разные. В четырёхмерном — м⁴, в двумерном м². Но не каждого это остановит. :)
                                                                                                                                  0
                                                                                                                                  Неа, мы так не договаривались. Я за безразмерную координатную систему :P А объём вообще буду в джоулях измерять!
                                                                                                                    +2
                                                                                                                    Прочитал с интересом, спасибо. Пара замечаний все же есть.

                                                                                                                    В многомерном пространстве параметров каждый объект может быть представлен вектором — набором чисел — значений критериев, которые его характеризуют.


                                                                                                                    Если не ошибаюсь, то вроде бы В.Успенский называл путаницу в использовании термина «вектор» одной из основных проблем математики ). Поскольку сам долго преодолевал навязанную учебниками привычку отождествлять вектор и объект, то теперь глаз цепляется.

                                                                                                                    Если строго, то вектор — это все-таки разность объектов. Как следствие, — у векторов есть направление. А набор параметров объекта — просто кортеж (тут чисел). Никакого направления у объектов нет. Тем не менее объекты тоже могут быть ортогональны, их можно вычитать и складывать (хотя тут не все согласны).

                                                                                                                    Единственное, о чём можно судить, это о длине вектора — о степени одарённости, о расстоянии от среднего.

                                                                                                                    Тут все скороговоркой, — видимо, просто подводка к следующему абзацу.
                                                                                                                    На самом деле, если попытаться разжевать, то у объекта (поскольку он не вектор) нет никакой длины. Для того, что бы определить «расстояние до среднего» нужно сначала определить средний объект, потом вычесть его из заданного, получив вектор. Длина данного и будем искомым расстоянием.

                                                                                                                    В пространствах высокой размерности почти все вектора ортогональны друг другу.

                                                                                                                    Если опять же строго, то более принято " договоры", а не «договора», «векторы», а не «вектора».
                                                                                                                      0
                                                                                                                      Тут такие тонкости вряд ли нужны, речь же о наборах измеримых величин. Их можно с равным успехом представлять и точками, и векторами от нуля — и объём данных, и результат вычислений будет одинаковым.
                                                                                                                        0
                                                                                                                        Мне кажется, что многие (как и я сам когда-то) отождествляют норму элемента с нормой вектора разности элемента и начала координат. На самом деле у нормы элемента свой отдельный смысл, не зависящий от выбора начала координат.
                                                                                                                          0
                                                                                                                          Простите, но какой такой смысл есть у нормы элемента?
                                                                                                                            +1
                                                                                                                            Прикольно тут я минусов за комменты собрал ). Похоже, куча людей разбирается в линейной алгебре лучше меня ).
                                                                                                                            Я отвечу на вопрос о норме элемента, но это большая тема, и думаю, что мои ответы просто породят новые вопросы.
                                                                                                                            В обычном «нормированном векторном пространстве» нормы у элементов нет, — принято считать, что пространство состоит из точек. Точки — это элементы с нулевой нормой.
                                                                                                                            В аффинном пространстве со скалярным произведением норма элемента характеризует его нелокальность (в данном пространстве). Отрицательная норма означает, что элемент находится вне пространства (норма здесь — квадранс до пространства), положительная — что элемент является некой сферой (тут можно посмотреть на произведение Дарбу), квадрат радиуса сферы — норма элемента.
                                                                                                                        0
                                                                                                                        Любой точке в пространстве можно взаимно однозначно сопоставить радиус-вектор.
                                                                                                                          0
                                                                                                                          В аффинном пространстве из векторов не получить точку, а из точек вектор — легко.
                                                                                                                            0
                                                                                                                            Конечно не получить, начало координат нужно же еще…
                                                                                                                              0
                                                                                                                              Да, но об этом часто забывают ). Поэтому все же элементы первичны, а векторы — вторичны.
                                                                                                                              0
                                                                                                                              Разные метрики ещё вспомнить можно, тоже много сюрпризов возможно с взаимной однозначностью точки и радиус-вектора к ней.
                                                                                                                            +1

                                                                                                                            Вектор, это, прежде всего, то что образует линейное пространство. В этом смысле, векторами являются и цвета и размерности физических величин и отрезки и многое другое. Прекрасное представление вектора: упорядоченный набор чисел, но, не любой, а для которого определены операции линейной алгебры. Именно это имеется в виду. Но вы правы, говоря о векторах в самом общем смысле, лучше "длину" вектора заменить на "норму". И да, "вектора" проскакивают, хотя стараюсь от этого избавиться. Спасибо!

                                                                                                                              +1
                                                                                                                              И векторное, и аффинное пространства линейны, но в последнем понятие точки и вектора различны. Как только вводится понятие нормы, сразу возникает вопрос — о норме чего идет речь. Поскольку все же смысл нормы вектора и нормы элемента — разный.
                                                                                                                                0
                                                                                                                                Линейное пространство — это синоним векторного (за исключением тех случаев когда векторное пространство считают синонимом афинного). В нем нет никаких точек, только вектора.

                                                                                                                                Кстати, в общем случае в линейном пространстве нет никакой нормы. Для нормы нужно нормированное пространство.
                                                                                                                                  0
                                                                                                                                  Линейное пространство — это синоним векторного

                                                                                                                                  Это все игры слов, которые не добавляют понимания. Примерно как «масса — это число, и заряд — это число, — поэтому все число». Ну ок ).
                                                                                                                                    0
                                                                                                                                    Это не игра слов. У линейного пространства и векторного пространства одно и то же определение, просто разные авторы используют разные термины.

                                                                                                                                      +1
                                                                                                                                      Дак такое использование термина «вектор» как раз именно то, что является проблемой (см. начальный пост). Пока «все является вектором» — проблем нет. Как только надо различать элементы и разность элементов (вектор) — возникают проблемы терминологии.
                                                                                                                                        0
                                                                                                                                        Не понимаю к чему вы это говорите.
                                                                                                                                          +1
                                                                                                                                          ) Я потратил много времени, чтоб разобраться в свойствах нормированного аффинного пространства. После чего сделал вывод, что проблема была в том, что изначально в моей голове сидело — «все линейные пространства являются векторными». Это закладывается учебниками, в которых линейная алгебра является продолжением геометрии. Где точки пространства — это просто «вектор из начала координат».
                                                                                                                                          Но в мире, где пространства состоят из пользователей, товаров, счетов и т.п., а пространства часто — это графы связанных элементов — нет никакого «начала координат». Тем не менее элемент можно представить в виде набора чисел (если задан базис). И векторы тут — именно разность элементов.
                                                                                                                                          Пожалуй, пора закругляться, — все же статья не об этом.
                                                                                                                                            0
                                                                                                                                            «все линейные пространства являются векторными»

                                                                                                                                            Так это же так и есть. Афинное пространство не является линейным.

                                                                                                                                              –1
                                                                                                                                              Откуда такой вывод? Аффинное пространство — это вполне себе обычное линейное пространство. Все операции — линейны.
                                                                                                                                              Тонкость лишь в том, что для отличия точек от векторов нужно еще одно измерение. Таким измерением удобно выбрать одномерное ортогональное дополнение (perp).
                                                                                                                                                0

                                                                                                                                                В линейном пространстве нету точек, а в аффинном они есть.

                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                  Ну и что? Точки не вносят в пространство никакой нелинейности.
                                                                                                                                                  Кострикин, Манин:
                                                                                                                                                  Интуитивно аффинное пространство следует представлять себе как линейное пространство с «забытым» началом координат.
                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                    Вносят. Точку нельзя умножить на число или сложить с другой точкой.
                                                                                                                                                      +1
                                                                                                                                                      ) Я тоже так думал, но это не так. Например, операция получения средней точки вполне себе осмысленна: C = (A + B) * 0.5. Тут и сложение элементов, и умножение (деление) на скаляр.
                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                        Но эта операция не является ни сложением, ни умножением.

                                                                                                                                                        А определение линейного пространства требует именно сложения и умножения.
                                                                                                                                                          +1
                                                                                                                                                          Не понял, операция A + B не является сложением? A*0.5 не является умножением?
                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                            Операция A + B, конечно же, является сложением. Но она не определена для точек.
                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                              Почему «не определена»? Кто запретил-то определить?
                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                Потому что определение у аффинного пространства такое. Сложение в нем определено для векторов, но не для точек.

                                                                                                                                                                Ну а если вы попытаетесь определить его — то быстро увидите, что результат такого сложения не может быть ни точкой, ни вектором (при условии выполнения прочих законов аффинного пространства).
                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                  Кажется, опять в термины уперлись. В классическом понимании аффинного пространства обычно (и то с оговорками) считается, что операция сложения точек не определена. В этом смысле пространство, в котором такая операция допустима, не является классически-аффинным, да.
                                                                                                                                                                  Но сама операция сложения от того, что не хватило известных определений пространств, не становится недопустимой. Элементы (точки — частный случай элементов) вполне себе удобно складывать, вычитать, трансформировать и пр. И пространство при этом (я называю его открытым) остается линейным.
                                                                                                                                                                  Сложение двух элементов дает элемент «двойной кратности». Кратность — это просто свойство объектов открытого пространства. Векторы — элементы с нулевой кратностью.
                                                                                                                                                                  И, кстати, векторы можно скалярно умножать на элементы. Думаю, что об этом тоже мало кто знает ).
                                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                                    Кажется, вы все еще не осознали разницу между точками и векторами. Попробуйте перечитать В.Успенского еще раз…
                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                      Прикольный совет, но спасибо )
                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                              В общем случае используются не действительные числа в качестве поля.
                                                                                                                                                              Другими словами, ваша «средняя» точка может не принадлежать афинному пространству. Потому что на точках операций нет. Есть операции на точках и векторах.
                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                И что? Я не очень понял замечание. Пусть поле комплексное. Почему нельзя сложить элементы, определенные в поле с комплексными коэффициентами?
                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                  И то. Если вы хотите оперировать математическими терминами, используйте их корректно.
                                                                                                                                                                  http://www.fipm.ru/affinpr.shtml
                                                                                                                                                                  Если просто порассуждать со своими интерпретациями и своим видением, то заранее нужно предупреждать собеседников, что у вас неклассическая система мировоззрения.
                                                                                                                                                                    –1
                                                                                                                                                                    Как вы строги, однако ). Наверное, молоды.
                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                      Математика — строгая точная формализованная наука, не допускающая «посиделок».
                                                                                                                                                                      А вы почитайте про конечные аффинные системы, чтоб немного отойти от предубеждения, что линейное пространство — это вот оно такое
                                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                                        Математика — строгая точная формализованная наука, не допускающая «посиделок».

                                                                                                                                                                        Да-да). Потому Гаусс и побоялся работы про комплексные числа опубликовать, — заклевали бы «охранители чистоты». Как это возможно — «квадрат числа и вдруг равен минус единице?». В строгой-то формализованной науке.

                                                                                                                                                                        Я молодежь узнаю по таким вот категоричным советам — прочитай то, прочитай это. Умудренные же старики обычно вежливо спрашивают — «Читали ли вы это? А это?»
                                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                                          А вы не путайте математику того времени (по сути — высшую арифметику) и современную, в которой квадрат числа может быть равен минус единице в поле комплексных чисел, и не может быть равен минус единице в поле действительных чисел.

                                                                                                                                                                          И именно потому важно всегда помнить о чем идет речь.
                                                                                                                                                                            +1
                                                                                                                                                                            Я рад, что есть люди, которые ничего не путают, и все знают ). Их кувшин полон, — но не всем так повезло.
                                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                                              Во времена Гаусса математика была уже достаточно развита, чтобы загрузить студента мехмата нынче на первые три курса. Если не больше.
                                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                                              Вы свои размышления о математике сравниваете с изобретением Гауссом неевклидовой геометрии?
                                                                                                                                                                                +2
                                                                                                                                                                                Пролистал ссылку — похоже урезанную копию Кострикина-Манина — фразы совпадают. Все верно написано, просто это только часть правды.

                                                                                                                                                                                Возможно, я как-нибудь соберусь (но вряд ли скоро) и отпишусь на хабре о нелокальной геометрии, в том числе и об отличиях от аффинной. Тогда можно будет более предметно обсудить «аффинные условности».
                                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                                  Просим. Почитаю ваши статьи.
                                                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                                                    Спасибо, но моя последняя серия статей на хабре мне не нравится — длинно и путано. Может, лучше и не читать пока ).
                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                      Да нет, средняя точка всегда принадлежит аффинному пространству. Через элементарные операции она вычисляется как A + (B — A) * 0,5. Проблема именно в том, что (A + B) * 0,5 — это всего лишь условная запись линейной комбинации, а вовсе не порядок вычислений.
                                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                                        У вас А и В — точки?
                                                                                                                                                                        На точках операций нет. Потому ваше выражение лишено смысла.
                                                                                                                                                                        Ссылка чуть выше
                                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                                          Пожалуйста, обратите внимание на пункт 6 по вашей же ссылке :-)
                                                                                                                                                                          И еще на пункт 15.
                                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                                            пункт б)?
                                                                                                                                                                            0 — это нулевой вектор. а не точка
                                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                                              Пункт 6 (шесть)! На третьей странице.
                                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                                И что?
                                                                                                                                                                                "Тот единственный вектор, для которого… удобно обозначить b-a"
                                                                                                                                                                                Это просто обозначение вектора через точки. Вектора. Сами точки не суммируются и не вычитаются.
                                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                                  Ну вот я и обозначил через B — A вектор. В чем проблема-то?
                                                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                                                    Проблема в том, что скаляр 0.5 может не принадлежать полю, над которым разрешены операции.

                                                                                                                                                                                    Простой пример — множество целых чисел. Это точки, одномерное пространство.
                                                                                                                                                                                    Вектора, понятно, вектора между точками.
                                                                                                                                                                                    Поле конечно — например, кольцо вычетов. Допустим, состоит только из 0 и 1.

                                                                                                                                                                                    Вполне себе аффинное пространство. Строго по определению.
                                                                                                                                                                                    Попробуйте найти среднюю точку между точками 2 и 3.
                                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                                      Ну да, тут согласен: чтобы умножать на 0,5 в поле должен существовать элемент 0,5 (или хотя бы просто более 2х элементов в поле).
                                                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                                                        Математические понятия для математика и простого человека довольно сильно различаются. Например, куб — 8 точек, векторы — ребра, наверняка тоже можно определить как аффинное пространство.
                                                                                                                                                                                        Понятие «половины вектора», расстояния между точками, середины и прочего в нем не существует. Оно есть только в частных случаях — трехмерное евклидово, например, и к атрибутам аффинного пространства уже не относится.
                                                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                                                          Ну, вообще-то «половина вектора» существует в любом линейном пространстве над нетривиальным полем (в случае вашего куба поле как раз тривиальное, 0 и 1).

                                                                                                                                                                                          Если в поле более двух элементов, то 1+1 не может быть равно 0, а значит 1/(1+1) определено. Осталось умножить вектор на 1/(1+1) чтобы получить его половину.


                                                                                                                                                                                          Нет, вру: 1+1 может быть равно 0. Например, в GF(4).
                                                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                                                            В поле вычетов по модулю пять (0,1,2,3,4) выражение 3/2 знаете чему равно?
                                                                                                                                                                                            4
                                                                                                                                                                                            Можете, конечно, назвать это половиной вектора (3-0), если видите в этом какой-то смысл
                                                                                                                                                                                            Математика хороша тем, что можно давать любые определения)
                                                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                                                              Конечно же смысл есть. Половина вектора — это такой вектор, который при сложении сам с собой дает заданный…
                                                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                                                Вектор 4 сложенный с самим собой не даст вектор 3 и не даст вектор 8. Он даст точку 8 (если от 0 складывать). В указанном мной аффинном пространстве.
                                                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                                                  В указанном вами афинном пространстве точки 8 не существует.
                                                                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                                                                    Простой пример — множество целых чисел. Это точки, одномерное пространство.

                                                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                                                      Множество целых чисел не является афинным пространством над полем Z5
                                                                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                                                                        Почему же нет? Вполне удовлетворяет всем условиям.
                                                                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                                                                          Оно не удовлетворяет условию ассоциативности умножения вектора на скаляр
                                                                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                                                                            пример?
                                                                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                                                                              Вот молодцы! Алгебраисты! :) Надо бы подтянуть мне алгебру, а то у меня так и остался хвост по ней висеть. :)
                                                                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                                                                Ну вот в скалярах 2*3 = 1. Теперь попробуем подсчитать чему равно 2*(3*8), где 8 — вектор… Получится ли то же самое что и (2*3)*8 = 1*8 = 8?
                                                                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                                                                  В этом пространстве нет вектора 8.
                                                                                                                                                                                                                  От 1 до 4, в обе стороны.
                                                                                                                                                                                                                  Всего восемь векторов и целочисленные точки.
                                                                                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                                                                                    Именно об этом я вам и писал — там нет вектора 8.

                                                                                                                                                                                                                    Кстати, векторов в одномерном пространстве над Z5 — не 8, а 5. Ровно столько сколько элементов в поле. И точек столько же.
                                                                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                                                                      Там нет вектора 8 по определению.
                                                                                                                                                                                                                      Аффинное пространство корректно.
                                                                                                                                                                                                                      Поле вычетов — 0,1,2,3,4
                                                                                                                                                                                                                      Векторов девять (так зададим, по четыре в обе стороны. Можно и пять задать, только в одну сторону)
                                                                                                                                                                                                                      V1,V2,V3,V4,O,-V1,-V2,-V3,-V4
                                                                                                                                                                                                                      Точек — бесконечное число, целые числа.

                                                                                                                                                                                                                      Пример ассоциативности:
                                                                                                                                                                                                                      (2*3)*V3 = 1*V3 = V3
                                                                                                                                                                                                                      2*(3*V3) = 2*V4 = V3
                                                                                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                                                                                        Нельзя тут 9 векторов задать, законы линейной алгебры не обманешь:

                                                                                                                                                                                                                        -V1 = O — V1 = 0*V1 — 1*V1 = (0-1)*V1 = 4*V1 = V4

                                                                                                                                                                                                                        Точек тоже не может быть слишком много. Вспоминаем пункт 1в: для любых двух точек должен существовать вектор l между ними.

                                                                                                                                                                                                                        Найдите-ка среди векторов O..V4 такой чтобы выполнялось условие T2 + l = T100.
                                                                                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                                                                                          Прекращайте путать точки и векторы:
                                                                                                                                                                                                                          -V1 = O — V1
                                                                                                                                                                                                                          -V1 и V1 — векторы
                                                                                                                                                                                                                          О — нулевой вектор
                                                                                                                                                                                                                          Разность как и сложение векторов в аффинном пространстве не предусмотрены. Есть только одна операция — к точке прикладывается вектор, получается точка.

                                                                                                                                                                                                                          Насчет пункта 1в вы правы. Значит точек пять, а векторов — девять (потому что для 1в нужны направленные в обе стороны векторы)
                                                                                                                                                                                                                          Причем, точки «зациклены».
                                                                                                                                                                                                                          То есть, прикладывая к точке 1 вектор -V3 получаем точку 3.

                                                                                                                                                                                                                          Вроде, построили.
                                                                                                                                                                                                                          Модель данного пространства — окружность, на ней 5 точек через равные дуги. Векторы — эти дуги.
                                                                                                                                                                                                                          Красиво.
                                                                                                                                                                                                                          Можно идти спать (GMT+8).
                                                                                                                                                                                                                            0

                                                                                                                                                                                                                            Посмотрите еще раз пункт 1 по вашей ссылке. Векторы аффинного пространства по определению образуют линейное. А в линейном пространстве все нужные операции над векторами определены.

                                                                                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                                                                                              Сложение есть, вычитания нет.
                                                                                                                                                                                                                              Перепишите со сложением