Предисловие
Мне понадобилось вычислять дугу с повышенной точностью на процессоре видеокарты в режиме реального времени.
Автор не ставил перед собой цель превзойти стандартную функцию System.Math.Sin() (C#) и ее не достиг.
Результат работы и мой выбор (для тех, кому не хочется читать):
Sin_3(rad)
using System;
class Math_d
{
const double PI025 = Math.PI / 4;
/// <summary> 2^17 = 131072 (1 мб), ошибка меньше 10000 (с конца), при 2^21 = 22097152 (16 мб) минимальная ошибка +-1 (с конца) (почти нет ошибки) </summary>
const int length_mem = 22097152;
const int length_mem_M1 = length_mem - 1;
/// <summary> Массив предварительно рассчитанного sin, используемый для линейной интерполяции. </summary>
static double[] mem_sin;
/// <summary> Массив предварительно рассчитанного cos, используемый для линейной интерполяции. </summary>
static double[] mem_cos;
/// <summary> Инициирует данные, вроде массивов sin, необходимые в ходе расчетов. </summary>
public static void Initialise()
{
Ini_Mem_Sin();
Ini_Mem_Cos();
}
/// <summary> Использует линейную интерполяцию для поиска значения Cos, записанные в массив. </summary>
/// <param name="rad">Угол</param>
public static double Sin_3(double rad)
{
double rad_025;
int i;
//Обрабатываем отрицательные значения угла
//if (rad < 0) { rad = -rad + Math.PI; }
i = (int)(rad / PI025); //Находим индекс части
rad_025 = rad - PI025 * i; //Находим отступ от начала части (в радианах)
i = i & 7; //Находим остаток от деления индекса на 8
//Ищем индекс кусочка круга
switch (i)
{
case 0:
return Sin_Lerp(rad_025);
case 1:
return Cos_Lerp(PI025 - rad_025);
case 2:
return Cos_Lerp(rad_025);
case 3:
return Sin_Lerp(PI025 - rad_025);
case 4:
return -Sin_Lerp(rad_025);
case 5:
return -Cos_Lerp(PI025 - rad_025);
case 6:
return -Cos_Lerp(rad_025);
case 7:
return -Sin_Lerp(PI025 - rad_025);
}
return 0;
}
/// <summary> Подготавливает массив sin для линейной интерполяции </summary>
static void Ini_Mem_Sin()
{
double rad;
mem_sin = new double[length_mem];
for (int i = 0; i < length_mem; i++)
{
rad = (i * PI025) / length_mem_M1;
mem_sin[i] = Math.Sin(rad);
}
}
/// <summary> Подготавливает массив cos для линейной интерполяции </summary>
static void Ini_Mem_Cos()
{
double rad;
mem_cos = new double[length_mem];
for (int i = 0; i < length_mem; i++)
{
rad = (i * PI025) / length_mem_M1;
mem_cos[i] = Math.Cos(rad);
}
}
/// <summary> Использует линейную интерполяцию для поиска sin от 0 до pi/4. </summary>
/// <param name="rad"> Угол в радианах от 0 до pi/4. </param>
static double Sin_Lerp(double rad)
{
int i_0;
int i_1;
double i_0d;
double percent;
double a;
double b;
double s;
percent = rad / PI025;
i_0d = percent * length_mem_M1;
i_0 = (int)i_0d;
i_1 = i_0 + 1;
a = mem_sin[i_0];
b = mem_sin[i_1];
s = i_0d - i_0;
return Lerp(a, b, s);
}
/// <summary> Использует линейную интерполяцию для поиска cos от 0 до pi/4. </summary>
/// <param name="rad"> Угол в радианах от 0 до pi/4. </param>
static double Cos_Lerp(double rad)
{
int i_0;
int i_1;
double i_0d;
double percent;
double a;
double b;
double s;
percent = rad / PI025;
i_0d = percent * length_mem_M1;
i_0 = (int)i_0d;
i_1 = i_0 + 1;
a = mem_cos[i_0];
b = mem_cos[i_1];
s = i_0d - i_0;
return Lerp(a, b, s);
}
/// <summary> Производит линейную интерполяцию между двумя значениями. (return a + s * (b - a)) </summary>
/// <param name="a"> Начальное значение. </param>
/// <param name="b"> Конечное значение. </param>
/// <param name="s"> Процент интерполяции. 0 = a, 1 = b, 0.5 = середина между a и b. </param>
public static double Lerp(double a, double b, double s)
{
return a + s * (b - a);
}
}
Причины публикации
- В HLSL языке нет стандартной функции Sin для double (но это не точно)
- В интернете мало доступной информации по этой теме
Рассмотренные подходы
- Ряды Тейлора (Википедия)
- Полиномы (автор функции: «asvp»)
- Линейная интерполяция предварительно рассчитанных результатов Math.Sin и Math.Cos (автор: я)
Анализируемые параметры
- Точность по отношению к Math.Sin
- Скорость по отношению к Math.Sin
Кроме анализа, мы улучшим их быстродействие.
Ряды Тейлора
Плюсы:
- Высочайшая точностьЭта функция, используемая для расчетов значения Sin, может использоваться для расчета бесконечно точного значения Sin. Чем больше итераций она претерпевает, тем точнее на выходе получается значение (в гипотезе). В практике программирования стоит учитывать ошибки округления вычислений в зависимости от используемых типов параметров (double, float, decimal и другие).
- Рассчитывает любой уголВ качестве аргумента в функцию можно внести любое значение, поэтому нет необходимости мониторить входные параметры.
- НезависимостьНе требует предварительных вычислений (как функции, рассмотренные ниже), и часто является базой, на которой собираются более быстрые функции.
Минусы:
- Очень низкая скорость (4-10%)Требует много итераций для того, чтобы точность приблизилась к точности Math.Sin, в результате чего работает в 25 раз медленнее стандартной функции.
- Чем больше угол, тем ниже точностьЧем больше угол введен в функцию, тем больше итераций нужно чтобы достичь той же точности, что и Math.Sin.
Оригинальный вид (скорость: 4%):
Стандартная функция подразумевает вычисления факториалов, а также возведение в степень каждую итерацию.
Доработанный (скорость: 10%):
Вычисление некоторых степеней можно сократить в цикле (a *= aa;), а другие факториалы предварительно вычислить и вынести в массив, при этом изменение знаков (+, -, +, ...) можно не возводить в степень и также сократить их вычисление, используя предыдущие значения.
Результатом получится следующий код:
Sin(rad, steps)
// <summary> Массив факториалов, используемый в функции Fact </summary>
static double[] fact;
/// <summary> Рассчитывает с высокой точностью синус угла в радианах с помощью рядов Тейлора.
/// Чем больше rad, тем ниже точность.
/// Скорость (к Math): 4% (fps) при steps = 17 </summary>
/// <param name="rad"> Угол в радианах. Лучше всего рассчитывать угол до pi/4. </param>
/// <param name="steps"> Количество шагов: чем больше, тем точнее результат. Для pi/4 и точности E-15 достаточно 8. </param>
public static double Sin(double rad, int steps)
{
double ret;
double a; //Угол, возведенный в нужную степень
double aa; //Угол * угол
int i_f; //Индекс факториала
int sign; //Знак (колеблется от - до +, при этом первый раз = +)
ret = 0;
sign = -1;
aa = rad * rad;
a = rad;
i_f = 1;
//Определение тригонометрических функций через ряды Тейлора
for (int n = 0; n < steps; n++)
{
sign *= -1;
ret += sign * a / Fact(i_f);
a *= aa;
i_f += 2;
}
return ret;
}
/// <summary> Возвращает факториал (n!). Если n > fact.Length, возвращает -1. </summary>
/// <param name="n"> Число, которое нужно возвести в факториал. </param>
public static double Fact(int n)
{
if (n >= 0 && n < fact.Length)
{
return fact[n];
}
else
{
Debug.Log("Выход за пределы массива факториала. n = " + n + ", длина массива = " + fact.Length);
return -1;
}
}
/// <summary> Инициирует факториал. </summary>
static void Init_Fact()
{
int steps;
steps = 46;
fact = new double[steps];
fact[0] = 1;
for (int n = 1; n < steps; n++)
{
fact[n] = fact[n - 1] * n;
}
}
Улучшенный вид (скорость: 19%):
Мы знаем, что чем меньше угол, тем меньше нужно итераций. Самый малый нужный нам угол = 0.25*PI, т.е. 45 градусов. Считая Sin и Cos в области 45 градусов мы можем получить все значения от -1 до 1 для Sin (в области 2 * PI). Для этого мы разделим круг (2*PI) на 8 частей и для каждой части укажем свой способ расчета синуса. Более того, чтобы ускорить расчет, откажемся от использования функции получения остатка (%) (для получения положения угла внутри зоны 45 градусов):
Sin_2(rad)
// <summary> Массив факториалов, используемый в функции Fact </summary>
static double[] fact;
/// <summary> Надстройка над Sin </summary>
/// <param name="rad"></param>
public static double Sin_2(double rad)
{
double rad_025;
int i;
//rad = rad % PI2; //% - довольно резурсозатратная функция. Если заменить, fps поднимется с 90 до 150 (при вызове 100 000 раз в кадр)
//rad_025 = rad % PI025;
i = (int)(rad / PI025);
rad_025 = rad - PI025 * i;
i = i & 7; //Находим остаток от деления на 8 частей
//Ищем индекс кусочка круга
switch (i)
{
case 0:
return Sin(rad_025, 8);
case 1:
return Cos(PI025 - rad_025, 8);
case 2:
return Cos(rad_025, 8);
case 3:
return Sin(PI025 - rad_025, 8);
case 4:
return -Sin(rad_025, 8);
case 5:
return -Cos(PI025 - rad_025, 8);
case 6:
return -Cos(rad_025, 8);
case 7:
return -Sin(PI025 - rad_025, 8);
}
return 0;
}
/// <summary> Рассчитывает с высокой точностью синус угла в радианах с помощью рядов Тейлора.
/// Чем больше rad, тем ниже точность.
/// Скорость (к Math): 10% (fps) при steps = 17 </summary>
/// <param name="rad"> Угол в радианах. Лучше всего рассчитывать угол до pi/4. </param>
/// <param name="steps"> Количество шагов: чем больше, тем точнее результат. Для pi/4 и точности E-15 достаточно 8. </param>
public static double Sin(double rad, int steps)
{
double ret;
double a; //Угол, возведенный в нужную степень
double aa; //Угол * угол
int i_f; //Индекс факториала
int sign; //Знак (колеблется от - до +, при этом первый раз = +)
ret = 0;
sign = -1;
aa = rad * rad;
a = rad;
i_f = 1;
//Определение тригонометрических функций через ряды Тейлора
for (int n = 0; n < steps; n++)
{
sign *= -1;
ret += sign * a / Fact(i_f);
a *= aa;
i_f += 2;
}
return ret;
}
/// <summary> Рассчитывает с высокой точностью косинус угла в радианах с помощью рядов Тейлора.
/// Чем больше rad, тем ниже точность.
/// Скорость (к Math): 10% (fps), 26% (test) при steps = 17 </summary>
/// <param name="rad"> Угол в радианах. Лучше всего рассчитывать угол до pi/4. </param>
/// <param name="steps"> Количество шагов: чем больше, тем точнее результат. Для pi/4 и точности E-15 достаточно 8. </param>
public static double Cos(double rad, int steps)
{
double ret;
double a;
double aa; //Угол * угол
int i_f; //Индекс факториала
int sign; //Знак (колеблется от - до +, при этом первый раз = +)
ret = 0;
sign = -1;
aa = rad * rad;
a = 1;
i_f = 0;
//Определение тригонометрических функций через ряды Тейлора
for (int n = 0; n < steps; n++)
{
sign *= -1;
ret += sign * a / Fact(i_f);
a *= aa;
i_f += 2;
}
return ret;
}
/// <summary> Возвращает факториал (n!). Если n > fact.Length, возвращает -1. </summary>
/// <param name="n"> Число, которое нужно возвести в факториал. </param>
public static double Fact(int n)
{
if (n >= 0 && n < fact.Length)
{
return fact[n];
}
else
{
Debug.Log("Выход за пределы массива факториала. n = " + n + ", длина массива = " + fact.Length);
return -1;
}
}
/// <summary> Инициирует факториал. </summary>
static void Init_Fact()
{
int steps;
steps = 46;
fact = new double[steps];
fact[0] = 1;
for (int n = 1; n < steps; n++)
{
fact[n] = fact[n - 1] * n;
}
}Полиномы
С данным способом я столкнулся на просторах интернета, автору нужна была быстрая функция поиска Sin для double пониженной точности (ошибка < 0.000 001) без использования библиотек предварительно вычисленных значений.
Плюсы:
- Высокая скорость (9-84%)Изначально скинутый полином без изменений выдавал скорость в 9% от оригинального Math.Sin, что в 10 раз медленнее. Благодаря небольшим изменениям скорость резко возрастает до 84%, что неплохо, если закрыть глаза на точность.
- Не требуется дополнительных предварительных вычислений и памятиЕсли вверху и далее внизу нам нужно составлять массивы переменных чтобы ускорить вычисления, то тут все ключевые коэффициенты были любезно рассчитаны и помещены в формулу самим автором в виде констант.
- Точность выше чем у Mathf.Sin (float)Для сравнения:
0.841471 — Mathf.Sin(1)(движок Unity);
0.841470984807897 — Math.Sin(1)(стандартная функция C#);
0.841470956802368 — sin(1)(GPU, язык hlsl);
0.841471184637935 — Sin_0(1).
Минусы:
- Не универсальнаНельзя настроить точность вручную потому что неизвестно каким инструментарием пользовался автор для вычисления данного полинома.
- Зачем?Зачем автору понадобилась функция, которая не требует никаких массивов и у которой такая низкая (по сравнению с double) точность?
Оригинальный вид:
Sin_1(x)
/// <summary> Скорость (к Math): 9% (fps)</summary>
/// <param name="x"> Угол в радианах от -2*Pi до 2*Pi </param>
public static double Sin_1(double x)
{
return
0.9999997192673006 * x - 0.1666657564532464 * Math.Pow(x, 3) +
0.008332803647181511 * Math.Pow(x, 5) - 0.00019830197237204295 * Math.Pow(x, 7) +
2.7444305061093514e-6 * Math.Pow(x, 9) - 2.442176561869478e-8 * Math.Pow(x, 11) +
1.407555708887347e-10 * Math.Pow(x, 13) - 4.240664814288337e-13 * Math.Pow(x, 15);
}
Улучшенный вид:
Sin_0(rad)
/// <summary> Скорость (к Math): 83% (fps)</summary>
/// <param name="rad"> Угол в радианах от -2*Pi до 2*Pi </param>
public static double Sin_0(double rad)
{
double x;
double xx;
double ret;
xx = rad * rad;
x = rad; //1
ret = 0.9999997192673006 * x;
x *= xx; //3
ret -= 0.1666657564532464 * x;
x *= xx; //5
ret += 0.008332803647181511 * x;
x *= xx; //7
ret -= 0.00019830197237204295 * x;
x *= xx; //9
ret += 2.7444305061093514e-6 * x;
x *= xx; //11
ret -= 2.442176561869478e-8 * x;
x *= xx; //13
ret += 1.407555708887347e-10 * x;
x *= xx; //15
ret -= 4.240664814288337e-13 * x;
return ret;
}
Линейная интерполяция
Данный метод основан на линейной интерполяции между результатами двух записей в массиве.
Записи разделены на mem_sin и mem_cos, в них содержатся предварительно рассчитанные результаты стандартной функции Math.Sin и Math.Cos на отрезке входных параметров от 0 до 0.25*PI.
Принцип манипуляций с углом от 0 до 45 градусов не отличается от улучшенной версии рядов Тейлора, но при этом вызывается функция, которая находит — между какими двумя записями находится угол — и находит значение между ними.
Плюсы:
- Высокая скорость (65%)Благодаря простоте алгоритма интерполяции, скорость достигает 65% от скорости Math.Sin. Считаю скорость >33% удовлетворительной.
- Высочайшая точностьПример редкого случая отклонения:
0.255835595715180 — Math.Sin;
0.255835595715179 — Sin_3.
- Быстрая ногаЛюблю эту функцию потому что она родилась в муках, написана мной и превзошла требования: скорость > 33%, точность выше 1е-14. Дам ей гордое имя — Vēlōx Pes.
Минусы:
- Требует место в памятиДля работы необходимо предварительно вычислить два массива: для sin и для cos; каждый массив весит ~16мб (16*2=32мб)
Оригинальный вид:
Sin_3(rad)
class Math_d
{
const double PI025 = Math.PI / 4;
/// <summary> 2^17 = 131072 (1 мб), ошибка меньше 10000 (с конца), при 2^21 = 22097152 (16 мб) минимальная ошибка +-1 (с конца) (почти нет ошибки) </summary>
const int length_mem = 22097152;
const int length_mem_M1 = length_mem - 1;
/// <summary> Массив предварительно рассчитанного sin, используемый для линейной интерполяции. </summary>
static double[] mem_sin;
/// <summary> Массив предварительно рассчитанного cos, используемый для линейной интерполяции. </summary>
static double[] mem_cos;
/// <summary> Инициирует данные, вроде массивов sin, необходимые в ходе расчетов. </summary>
public static void Initialise()
{
Ini_Mem_Sin();
Ini_Mem_Cos();
}
/// <summary> Использует линейную интерполяцию для поиска значения Cos, записанные в массив. </summary>
/// <param name="rad">Угол</param>
public static double Sin_3(double rad)
{
double rad_025;
int i;
//Обрабатываем отрицательные значения угла
//if (rad < 0) { rad = -rad + Math.PI; }
i = (int)(rad / PI025); //Находим индекс части
rad_025 = rad - PI025 * i; //Находим отступ от начала части (в радианах)
i = i & 7; //Находим остаток от деления индекса на 8
//Ищем индекс кусочка круга
switch (i)
{
case 0:
return Sin_Lerp(rad_025);
case 1:
return Cos_Lerp(PI025 - rad_025);
case 2:
return Cos_Lerp(rad_025);
case 3:
return Sin_Lerp(PI025 - rad_025);
case 4:
return -Sin_Lerp(rad_025);
case 5:
return -Cos_Lerp(PI025 - rad_025);
case 6:
return -Cos_Lerp(rad_025);
case 7:
return -Sin_Lerp(PI025 - rad_025);
}
return 0;
}
/// <summary> Подготавливает массив sin для линейной интерполяции </summary>
static void Ini_Mem_Sin()
{
double rad;
mem_sin = new double[length_mem];
for (int i = 0; i < length_mem; i++)
{
rad = (i * PI025) / length_mem_M1;
mem_sin[i] = Math.Sin(rad);
}
}
/// <summary> Подготавливает массив cos для линейной интерполяции </summary>
static void Ini_Mem_Cos()
{
double rad;
mem_cos = new double[length_mem];
for (int i = 0; i < length_mem; i++)
{
rad = (i * PI025) / length_mem_M1;
mem_cos[i] = Math.Cos(rad);
}
}
/// <summary> Использует линейную интерполяцию для поиска sin от 0 до pi/4. </summary>
/// <param name="rad"> Угол в радианах от 0 до pi/4. </param>
static double Sin_Lerp(double rad)
{
int i_0;
int i_1;
double i_0d;
double percent;
double a;
double b;
double s;
percent = rad / PI025;
i_0d = percent * length_mem_M1;
i_0 = (int)i_0d;
i_1 = i_0 + 1;
a = mem_sin[i_0];
b = mem_sin[i_1];
s = i_0d - i_0;
return Lerp(a, b, s);
}
/// <summary> Использует линейную интерполяцию для поиска cos от 0 до pi/4. </summary>
/// <param name="rad"> Угол в радианах от 0 до pi/4. </param>
static double Cos_Lerp(double rad)
{
int i_0;
int i_1;
double i_0d;
double percent;
double a;
double b;
double s;
percent = rad / PI025;
i_0d = percent * length_mem_M1;
i_0 = (int)i_0d;
i_1 = i_0 + 1;
a = mem_cos[i_0];
b = mem_cos[i_1];
s = i_0d - i_0;
return Lerp(a, b, s);
}
/// <summary> Производит линейную интерполяцию между двумя значениями. (return a + s * (b - a)) </summary>
/// <param name="a"> Начальное значение. </param>
/// <param name="b"> Конечное значение. </param>
/// <param name="s"> Процент интерполяции. 0 = a, 1 = b, 0.5 = середина между a и b. </param>
public static double Lerp(double a, double b, double s)
{
return a + s * (b - a);
}
}
UPD: Исправлена ошибка определения индекса в Sin_Lerp(), Cos_Lerp(), Ini_Mem_Sin() и Ini_Mem_Cos().