У врат проективной геометрии, или как возникает двойное отношение / Хабр

Автор статьи: Канунников Андрей, к. ф.-м. н., преподаватель ШАДХелпер.

Мы придём к фундаментальному инварианту проективной геометрии — двойному отношению — решая задачу классификации конфигураций четырёх прямых на плоскости. Это своего рода миниатюра, в которой видно, насколько классификация четвёрок подпространств сложнее классификации троек. Именно, взаимное положение трёх подпространств определяется дискретными инвариантами — размерностями сумм и пересечений, а для четырёх подпространств таких инвариантов недостаточно — нужны непрерывные инваринаты, что видно уже на примере прямых.

Подчеркнём, что мы будем рассматривать только линейную структуру на плоскости, то есть

начало координат фиксировано;
про длины и углы забудьте.

Кстати, лучший способ забыть про длины и углы — рассматривать любое поле , а не только поле действительных чисел $\mathbb{R}$ .

Итак, наша плоскость — это двумерное векторное пространство . Сколько на плоскости геометрически различных пар прямых, троек прямых и т.д.?
Под прямой понимается одномерное линейное подпространство, то есть множество вида $l=\{(a,b)t\mid t\in K\}$ , где — ненулевой вектор (направляющий вектор прямой ).

А что значит ,,геометрически различные``? Две конфигурации прямых
$(l_1,\ldots,l_n)$ и $(l_1',\ldots,l_n')$ считаются эквивалентными, если существует изоморфизм $\mathcal{A}\colon K^2\to K^2$ , переводящий в при всех $i=1,\ldots,n$ .

Через , будем обозначать (какие-то) направляющие векторы прямых , . При этом у нас есть свобода нормировки направляющих векторов (выбор скалярного множителя), и этой свободой мы будем пользоваться по полной программе.

По умолчанию будем всегда предполагать, что прямые в одной конфигурации $(l_1,\ldots,l_n)$ различны, а значит, их направляющие векторы попарно не пропорциональны.

Очевидно, что любые две пары прямых эквивалентны, так как любой базис можно перевести в любой базис изоморфизмом. Более того, за счёт подходящей нормировки базисных векторов можно бесплатно добавить третью прямую, а четвёртую уже нельзя. Более точно, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Любые две тройки (различных) прямых и эквивалентны, причём изоморфизм $\mathcal{A}\colon K^2\to K^2$ с условием $\mathcal{A} l_i=l_i'$ () определён однозначно с точностью до скалярного множителя. Как следствие, для любой прямой существует единственная такая прямая , что $(l_1,l_2,l_3,l_4)\sim (l_1',l_2',l_3',l_4')$ .}

Доказательство. 1. Направляющие векторы прямых можно выбрать так, чтобы (выберем какие-то направляющие векторы , разложим и положим , , ; при этом $a_1,a_2\ne 0$ , так как $e_3\not\parallel e_1,e_2$ ; см. рисунок). Точно так же выберем направляющие векторы на прямых : .

2. Определим изоморфизм $\mathcal{A}\colon K^2\to K^2$ , задав его на базисе по правилу $\mathcal{A} e_1=e_1'$ , $\mathcal{A} e_2=e_2'$ . Тогда $\mathcal{A} e_3=e_3'$ , значит, $\mathcal{A} l_i=l_i'$ . Итак, $(l_1,l_2,l_3)\sim (l_1',l_2',l_3')$ .

3. Пусть теперь $\mathcal{B}\colon K^2\to K^2$ — какой-то изоморфизм с условием $\mathcal{B} l_i=l_i'$ (). Тогда $\mathcal{B} e_1=\lambda_1e_1'$ и $\mathcal{B} e_2=\lambda_2e_2'$ для некоторых $\lambda_1,\lambda_2\in K^*$ . При этом вектор

$\mathcal{B} e_3=\mathcal{B} e_1+\mathcal{B} e_2=\lambda_1 e_1'+\lambda_2e_2'$

должен быть пропорционален вектору , что верно лишь при $\lambda_1=\lambda_2$ . Итак, $\mathcal{B}=\lambda_1 \mathcal{A}$ .

Строго говоря, это доказательство даёт алгоритм, позволяющий распознать, эквивалентны ли две заданные четвёрки различных прямых, и . Но всё же представляет интерес готовый критерий эквивалентности.

Установим критерий существования изоморфизма $\mathcal{A}\colon K^2\to K^2$ , для которого

$\mathcal{A}(l_i)=l_i';(i=1,2,3,4). \;\;\;\;\;\; (1)$

Пусть опять $l_i=\langle e_i\rangle.$ Тогда условие (1) равносильно следующему:

$\mathcal{A} e_i=\lambda_i e_i'\;\; \text{ для некоторого} \; \lambda_i\ne 0\;(i=1,2,3,4). \;\;\;\;\; (2)$

Разложим векторы по базису , а векторы — по базису :

$\begin{aligned} &e_3=a_{13}e_1+a_{23}e_2,\\ &e_4=a_{14}e_1+a_{24}e_2; \end{aligned} \qquad \begin{aligned} &e_3'=a_{13}'e_1'+a_{23}'e_2',\\ &e_4'=a_{14}'e_1'+a_{24}'e_2'. \end{aligned}. \;\;\;\;\; (3)$

Подставим (3) в (2):

$\begin{aligned} &\mathcal{A} e_3=\lambda_3 e_3' \;\;\Longleftrightarrow\;\; \lambda_1a_{13}e_1'+\lambda_2a_{23}e_2'=\lambda_3(a_{13}'e_1'+a_{23}'e_2')\;\;\Longleftrightarrow\;\; \left\{ \begin{aligned} &\lambda_1a_{13}=\lambda_3a_{13}' \\ &\lambda_2a_{23}=\lambda_3a_{23}';\end{aligned} \right. \\ &\mathcal{A} e_4=\lambda_4 e_4' \;\;\Longleftrightarrow\;\; \lambda_1a_{14}e_1'+\lambda_2a_{24}e_2'=\lambda_4(a_{14}'e_1'+a_{24}'e_2')\;\;\Longleftrightarrow\;\; \left\{ \begin{aligned} &\lambda_1a_{14}=\lambda_4a_{14}' \\ &\lambda_2a_{24}=\lambda_4a_{24}'.\end{aligned} \right. \end{aligned} \;\;\;\;(4)$

Нам нужно выяснить, когда существуют ненулевые $\lambda_{1,2,3,4}$ , удовлетворяющие полученным четырём равенствам.
Коэффициенты $a_{ij}$ и $a_{ij}'$ отличны от нуля, так как векторы в каждой группе непропорциональны. Поэтому при исключении $\lambda_{1,2,3,4}$ можем смело делить на всё. Исключая $\lambda_1$ из первого и третьего равенств и $\lambda_2$ из второго и четвёртого, а затем $\lambda_3$ — из полученных равенств, сокращая на $\lambda_4$ , получим

$\exists \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4\ne 0\;\left\{ \begin{aligned} &\lambda_1a_{13}=\lambda_3a_{13}'\\ &\lambda_2a_{23}=\lambda_3a_{23}'\\ &\lambda_1a_{14}=\lambda_4a_{14}' \\ &\lambda_2a_{24}=\lambda_4a_{24}'. \end{aligned}\right.\;\;\Longleftrightarrow\;\; \dfrac{a_{13}}{a_{23}}:\dfrac{a_{14}}{a_{24}}=\dfrac{a_{13}'}{a_{23}'}:\dfrac{a_{14}'}{a_{24}'}.$

Полученные отношения отношений — это и есть двойные отношения данных четвёрок прямых. Придадим двойному отношению в левой части более инвариантный вид, выразив однозначно определённые коэффициенты $a_{ij}$ через векторы и даже через прямые .

Если расписать равенство $e_3=a_{13}e_1+a_{23}e_2$ в координатах какого-то базиса, мы получим систему линейных уравнений, из которой по формулам Крамера

$a_{13}=\dfrac{\det(e_3,e_2)}{\det(e_1,e_2)},\;a_{23}=\dfrac{\det(e_1,e_3)}{\det(e_1,e_2)},$

где $\det(e_i,e_j)$ — это определитель матрицы, по столбцам которой стоят координаты векторов и в каком-либо базисе. Тем самым, это вовсе не инвариантный объект. Однако при смене базиса все определители умножаются на определитель матрицы перехода, который сокращается в числителе и знаменателе, а потому отношение определителей — уже инвариантно относительно смены базиса. Но оно всё ещё не инвариантно относительно нормировки векторов. Иными словами, это характеристика именно векторов, но не прямых.
А вот двойное отношение

$\dfrac{a_{13}}{a_{23}}:\dfrac{a_{14}}{a_{24}}=\dfrac{\det(e_3,e_2)}{\det(e_1,e_3)}:\dfrac{\det(e_4,e_2)}{\det(e_1,e_4)}$

лишено это недостатка: оно не меняется при умножении векторов на ненулевые скаляры, то есть по сути является характеризацией прямых , а потому вместо можно писать .

Традиционно, двойным отношением прямых называется число

$(l_1,l_2;l_3,l_4):=\dfrac{\det(l_3,l_1)}{\det(l_3,l_2)}:\dfrac{\det(l_4,l_1)}{\det(l_4,l_2)}. \;\;\;\;\; (5)$

Оно обратно к выражению, полученному выше. Подчеркнём, что отдельные части двойного отношения, как-то числители или значенатели, или даже дроби по отдельности, лишены смысла. Само же двойное отношение имеет смысл именно потому, что не зависит ни от выбора системы координат, ни от нормировки направляющих векторов прямых.

Мы доказали, а точнее, вывели следующую теорему.

Теорема 2. Для любых четвёрок и различных прямых в имеем

$(l_1,l_2,l_3,l_4)\sim (l_1',l_2',l_3',l_4')\;\;\Longleftrightarrow\;\; (l_1,l_2;l_3,l_4)=(l_1',l_2';l_3',l_4').$

Для практического вычисления двойного отношения было бы здорово сосчитать входящие в него определители. Выберем систему координат так, чтобы ось не совпадала ни с одной из прямых , и рассмотрим прямую . Она пересекает каждую из прямых в некоторой точке, обозначим эту точку $e_i=\begin{pmatrix} x_i \\ 1\end{pmatrix}$ . Тогда

$\det(e_i,e_j)=\begin{vmatrix} x_i & x_j \\ 1 & 1\end{vmatrix}=x_i-x_j$

и двойное отношение (5) принимает вид

$(l_1,l_2;l_3,l_4)=\dfrac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\dfrac{x_4-x_1}{x_4-x_2}.$

В заключение обсудим, как всё это связано с проективной прямой и её проективными преобразованиями.

Проективная прямая — это множество одномерных подпространст на плоскости .
Иными словами, точка проективной прямой — это обычная прямая в (проходящая через начало координат). Проективная прямая обозначается или . Обратите внимание на верхние индексы. Если — любое векторное пространство, то через обозначается множество его одномерных подпространств. Это проективное пространство, ассоциированное с . Пространство $PK^{n+1}$ обозначается также (проективизацию -мерного пространства следует мыслить -мерным; все размерности при переходе от к как бы падают на единицу.

Каждый биективный линейный оператор $\mathcal{A}\colon K^2\to K^2$ как-то переводит прямые в прямые, то есть индуцирует преобразование $\hat{\mathcal{A}}\colon KP\to KP$ . Такие преобразования называются проективными.

В координатах точки проективной прямой — это ненулевые пары $(x,y)\in K^2$ , рассматриваемые с точностью до пропорциональности, то есть, формально,

$(x:y):=\{\lambda(x,y)\mid \lambda\in K^*\}.$

Почти любая точка , а именно, где $y\ne 0$ , имеет вид $(\tfrac xy:1)$ и может быть отождествлена с числом $\tfrac xy\in K$ . Однако есть особая точка , которую принято называть бесконечно удалённой. См. картинку выше, где мы пересекали прямые с прямой . При этом остаётся прямая , которая как бы пересекает прямую в бесконечно удалённой точке $\infty$ . Тем самым, $KP=K\cup \{\infty\}$ . Подчеркнём, что при геометрическом (а не координатном) определении проективной прямой как множества одномерных подпространств в двумерном пространстве все точки равноправны. "Бесконечно удалённая точка" возникает именно при попытке визуализировать данную модель, нарисовав прямую — так называмую аффинную карту. При другом выборе аффинной карты роль бесконечно удалённой точки перейдёт к другой прямой.

Наконец, переход от линейных изоморфизмов плоскости к проективным преобразованиям проективной прямой можно схематично изобразить так:

$\mathcal{A}\colon \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} ax+by \\ cx+dy\end{pmatrix}\quad \rightsquigarrow \quad \hat{A}\colon \dfrac xy \mapsto \dfrac{ax+by}{cx+dy}\qquad (ad\ne bc).$

Сократив на при $y\ne 0$ и обозначив $z=\tfrac xy$ , получим дробно-линейное преобразование

$z\mapsto \dfrac{az+b}{cz+d}.$

Если же (а тогда $x\ne 0$ ), то считаем $z=\dfrac xy=\infty$ и $\dfrac{a\infty+b}{c\infty +d}=\dfrac ac$ (как при взятии предела). Есть ещё точка $z=-\dfrac dc$ , которая переходит в $\dfrac{-ad/c+b}{0}=\infty$ .

Теорема 1 в этих терминах гласит, что любую тройку точек проективной прямой можно перевести в любую другую проективным преобразованием, и притом единственным.

Согласно теореме 2, двойное отношение не меняется при проективных преобразованиях. На самом деле, при $|K|\geq 4$ всякая биекция проективной прямой , сохраняющая двойные отношения, является проективным преобразованием.