В этой статье решим следующую задачу с МХТ 2023 (5 источник):
Второе начало термодинамики "нарушается" практически во всех биологических системах,цена тому— энергия в виде молекул АТФ. Рассмотрим следующую ситуацию: транспортный белок кинезин способен за счёт энергии АТФ переносить из одной везикулы в другую определённое вещество.В исходной везикуле оно находилось в быстро устанавливающемся равновесии с другим веществом.При переносе порции вещества из одной везикулы в другую равновесие реакции смещается,и в одной везикуле происходит выделение тепла,а в другой — поглощение.Возможен ли такой“холодильник”в живой клетке?Как будет зависеть его КПД от выбора реакции и концентраций веществ?Сравните КПД"биологического холодильника"с КПД домашнего холодильника(около 60%).
Предложенная задача очень интересна тем, что находится на стыке различных наук:биологии, химии, физики, математики, программирования.
Мной было предложено следующее решение:
Нарисуем схему этой задачи(её физическую модель):
Для расчётов примем следующие данные, взятые из открытых источников информации:
1) R везикулы в среднем = около 500 нм
2) r транспортной везикулы в среднем = 75 нм
3) p внутри клетки примем равным осмотическому (около 7 атм.)
4) T внутри клеток примем равной нормальной температуре человеческого тела (36.6 градусов С =309.75 K)
5) Примем, что везикулы имеют форму шара (V=4πr^3/3)
6) На каждый ,,шаг'' молекулы кинезина расходуется одна молекула АТФ (A'=около 60 кДж/моль)
7) Пусть в первой везикуле выделилось Q1 теплоты, во второй затратилось Q2, тогда А полезная = Q1-Q2; А затраченная =Q2+A'
8) КПД= (А полезная/А затраченная)*100%;
(3 источник)
Запишем формулы, которыми мы воспользуемся при расчёте:
1) Уравнение Менделеева-Клайперона: pV=νRT Закон Авогадро: N= Naν;
2) ΔHр-ции= ΣιΔHобр.(продуктов)-ΣjΔHобр(исх. В-в)
3) ΔSр-ции= ΣιΔSобр.(продуктов)-ΣjΔSобр(исх. В-в)
4) Энергия Гиббса: ΔG=ΔH-TΔS Константа равновесия реакции: K= ([D]^d[E]^e)/([A]^a*[B]^b)
5) Мольная концентрация: c=ν/V;
6) Плотность: ρ=m/V;
7) Масса: m= M*ν
Далее выполняем расчёты основных параметров системы:
1) Объём везикулы: V=4π(500 10^(-9))^3/3=523.610^(-21) м^3
2) Объём транспортной везикулы: v=1.76714610^(-21) м^3
3) Из уравнения Менделеева-Клайперона выражаем ν1: pV=ν1RT
PV/(RT)=ν1= 710^5523.610^(-21)/(8.31310)= 1.42277110^(-16)моль
4) Аналогично ν2=0.4810^(-18) моль
5) Число молекул N1= ν1Na=85650805 молекул
6) Аналогично N2 = ν2Na= 289070 молекул
(1 и 2 источники)
Рассмотрим, к примеру,обратимую реакцию H2+I2= 2HI
(В живой клетке такая реакция, конечно, не осуществима, но она была взята как демонстрационный пример для расчёта).
Чтобы подобрать необходимое соотношение, нужно составить и решить квадратное уравнение:
Считать вручную такие сложные выражения очень долго, поэтому была написана компьютерная программа, ускоряющая расчёты:
На вход в программу подаётся одно значение: изначальное количество молекул водорода.
Смесь газов находится в равновесном состоянии.
На выходе программа расчитывает количество молекул йода и йодоводорода в равновессии, а также те же количества в новом состоянии равновесия и КПД полученной системы.
Подавая на вход различные значения, составим таблицу зависимости КПД:
Вывод: КПД сильно зависит от изначального числа молекул H2 в системе. В среднем КПД получается очень маленький ( в районе 1 %).
Литература:
1) Учебник химии 11 касс Габриелян О. С.
2) Учебник физики 10 класс Мякишев Г. Я.
3) https://meduniver.com/Medical/genetika/transport_belkov_cherez_endoplazmaticheskii_retikulum.html
4) https://moodle.kstu.ru/mod/book/tool/print/index.php?id=27040
