Элементарные свойства элементарных функций с точки зрения современного анализа / Хабр

В этой статье речь пойдет об элементарных функциях с позиций современного анализа. Это — рассказ в духе двухтомника Феликса Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей».

Дисклеймер: в данной статье, как и в других публикациях автора, не обсуждается методика преподавания физики и математики в средней школе.

Определение. Экспонентой называется функция

$\exp(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!},\quad z=t+i\tau\in\mathbb{C}.$

Экспонента — функция целая, радиус сходимости её ряда равен бесконечности; она ставит в соответствие действительному аргументу действительное значение.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что экспонента удовлетворяет следующей задаче Коши:

$\frac{dw}{dz}=w,\quad w(0)=1,\quad w(z)=\exp(z).\qquad(1)$

В силу группового свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений имеем:

$\exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2).\qquad(2)$

Из этой формулы ясно, что экспонента не обращается в ноль ни в одной точке $\mathbb{C}$ , так как если бы она обращалась в ноль в какой-нибудь точке , то она была бы тождественно равна нулю.

Следовательно, функция $\exp(t)$ положительна и монотонно возрастает на действительной прямой $t\in\mathbb{R}$ , что непосредственно вытекает из (1).

Определение. Число определяется как $\exp(1)$ .

Из определения экспоненты следует, что .

Из формулы (2) находим:

$\exp(m/n)=\sqrt[n]{e^m},\quad m\in\mathbb{Z},\quad n\in\mathbb{N}.\qquad(3)$

Следовательно, $\lim_{t\to\infty}\exp(t)=\infty,\quad \lim_{t\to-\infty}\exp(t)=0.$

Формула (3) оправдывает обозначение: $e^z:=\exp z$ .

Определение. Натуральным логарифмом называется функция, обратная к экспоненте:

$\ln:(0,\infty)\to\mathbb{R},\quad \ln\exp t=t,\quad \exp\ln\xi=\xi,\quad\xi>0.$

Кроме того,

$\log_a \xi:=\frac{\ln \xi}{\ln a},\quad a^t:=\exp(t\ln a),\quad a>0,\quad a\ne 1.$

Перейдем к тригонометрии.

Определение.

$\cos z:=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\quad \sin z:=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.$

Отсюда и из (1), (2) следует, что

$\cos^2z+\sin^2z=1,\quad \frac{d}{dz}\cos z=-\sin z,\quad \frac{d}{dz}\sin z=\cos z.\qquad(4)$

Также непосредственно из определений синуса и косинуса вытекает формула Эйлера:

$e^{iz}=\cos z+i\sin z.$

Чтобы связать построенную теорию с элементарными наглядными представлениями о синусах и косинусах в терминах единичной окружности, введем на евклидовой плоскости $\mathbb{R}^2$ декартовы координаты и рассмотрим кривую

$x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t.\qquad(5)$

Из формул (4) получаем:

$x^2(t)+y^2(t)=1,\quad \dot x^2+\dot y^2=1,\quad \begin{vmatrix}x(t)&y(t)\\\dot x(t)&\dot y(t)\end{vmatrix}=1.$

Точкой сверху здесь обозначена производная по .

Из этих формул вытекает следующая теорема.

Теорема. Функции (5) представляют собой параметрическое уравнение окружности радиуса 1 c центром в нуле, причем -- натуральный параметр. Увеличению соответствует обход окружности против часовой стрелки.

Через $\pi$ обозначим половину длины единичной окружности. Из доказанной теоремы вытекают следующие формулы:

$\cos(t+2\pi)=\cos t,\quad \sin(t+2\pi)=\sin t.$

В заключение напомним определение длины дуги кривой, которое мы здесь используем. Зададим параметрически кривую $\gamma$ :

$\gamma(t)=(x(t),y(t)),$

где

$x(\cdot),y(\cdot)\in C^1[t_1,t_2],\quad \dot\gamma=(\dot x,\dot y)(t)\ne 0,\quad t\in[t_1,t_2].$

Длиной кривой называется число

$\ell=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\dot x^2(t)+\dot y^2(t)}dt.$

Параметр называется натуральным, если подкоренное выражение в этом интеграле тождественно равно единице. Натуральный параметр отсчитывает длину дуги вдоль кривой.