Альтернативный способ задать дифференциал в геометрической алгебре

[runaway]

Когда я учился в универе, меня сильно били по рукам линейкой за формализм:

dx -- это когда мы говорим о бесконечно малых, которые могут расти или убывать (например, приращение координаты);

δх -- это когда мы говорим о бесконечно малых, которые не могут убывать (например, приращение совершённой работы в процессе).

У вас в статье есть некая фривольность в этом плане.

[Exlt8]

Так мне показалось читать проще. Как пледложите назвать фиксированное и изменяемое, но не бесконечно малое приращение, чтобы не путаться в многообразии дельт?

[runaway]

Стерильный формализм, конечно -- dx. Это подходит ко всему. δх -- когда хотят подчеркнуть, что дифференциал не убывает.

[Exlt8]

Так это у меня конечное приращение, а не дифференциал. В статье нет дифференциалов

[MasterMentor]

В статье развиты идеи нестандартного анализа.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипервещественное_число

Термин «гипервещественное число» предложен американским математиком Эдвином Хьюиттом в 1948 году. Теорию поля гипервещественных чисел как расширения поля вещественных чисел опубликовал в 1960-е годы Абрахам Робинсон, который назвал её «нестандартным анализом».

Теория гипервещественных чисел даёт строгий подход к исчислению бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые в этом случае, в отличие от стандартного анализа, являются не переменными, а постоянными, то есть числами. В нестандартном анализе реабилитируется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании актуальных бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины.

Ключевые особенности НА:

-- Принцип переноса: Любое математическое утверждение верное для обычных чисел, остается верным и для гипервещественных. Это позволяет переносить правила алгебры на бесконечно малые.

-- Стандартная часть - st: Операция st() «округляет» гипервещественное число до ближайшего обычного. Что заменяет процедуру вычисления предела.

Выгоды НА:

– Функция непрерывна, если бесконечно малое изменение аргумента вызывает бесконечно малое изменение значения

– Дифференциалы dx и dy становятся реальными числами, а не символами. Их можно делить, умножать и сокращать, как в обычной школе.

– Геометрическая наглядность: Криволинейная трапеция действительно состоит из бесконечно тонких прямоугольников. Это больше не метафора.

– Связь с производной: Основная теорема анализа (Ньютона-Лейбница) доказывается почти автоматически: мы просто суммируем бесконечно малые приращения функции df, и их сумма дает общее приращение f(b)-f(a)

В статье используется инвариантность формы первого дифференциала. В нестандартном анализе это следствие того, что dy = f’(x)dx — это прямое равенство между числами. Это позволяет строить геометрические выводы (через ориентированные объемы и векторы), оперируя приращениями как физическими векторами, а не переменными “стремящимися к нулю”.

[MasterMentor]

И немного что значит «инвариантность формы» первого дифференциала.

Первый дифференциал df это результат скалярного произведения градиента ∇f на вектор перемещения dr. Имеем df = (∇f, dr). Поскольку скалярное произведение двух векторов - число не зависящее от выбора системы координат (это числовой инвариант), значит df будет неизменным.

В обычном матанализе инвариантность формы — это теорема о правиле дифференцирования сложной функции. В нестандартном анализе акцент смещается на геометрию:

– Мы смотрим на функцию в бесконечно малой окрестности («под микроскопом»).

– Там поверхность функции выглядит как плоскость.

– У этой плоскости есть наклон (градиент).

– Формула df = (∇f, dr) — это просто уравнение этой плоскости.

– Так как геометрия плоскости не зависит от системы координат, то и формула её описания (первый дифференциал) сохраняет свой вид.

PS Это же, вероятно (проверить!), будет справедливо и для криволинейных координат: «внутри» них это скалярное произведение будет давать одно и то же числовое значение приращения df.

Для второго дифференциала это уже не работает т.к. он “меряет” кривизну самой плоскости (или самой системы координат). В функции d(dy) - появится не нулевое (второе) слагаемое, которое нельзя отбросить.

[Exlt8]

Саму идею взял не от сюда) Взял из англоязычной статьи в Вики о теореме о дивергенции, там дано второе определение дивергенции через предел проекции на относительный объем. В русскоязычной статье этого нет, так что хорошо, что догадался заглянуть

[MasterMentor]

В "русскоязычной Википедии" - много чего нет. И многое намеренно написано так, чтобы делать из читателя - идиота. Рекомендую всегда пользоваться английской, тем более переводчики - позволяют.
https://translate.google.com/?hl=ru&sl=auto&tl=ru&op=websites

[alexshvets]

По существу здесь интересна не нотация и не нестандартный анализ, а сама дискретная геометрическая конструкция. Вы берёте конечные разности, собираете из них локальный «градиентный» вектор и умножаете его на произвольное смещение внутри ячейки. Скалярная часть даёт обычное направленное приращение первого порядка, бивекторная — естественную меру непараллельности смещения и дискретного градиента. Это живая идея, и развивать стоит именно её.

[Exlt8]

Спасибо, ровно это и имел ввиду