Теорема о мажорировании: как сравнивать решения систем ОДУ через их правые части / Хабр

В анализе динамических систем часто возникает ситуация, когда найти точное решение системы дифференциальных уравнений невозможно. Однако для многих прикладных задач достаточно знать оценку этого решения. Здесь на помощь приходит мажорантное свойство, которое традиционно связывают с именами Камке, Мюллера, Важевского и Чаплыгина.

Идея проста: если одна система «больше» другой по правым частям и начальным условиям, то и её траектория будет лежать «выше».

Далее под записью $x \le y$ для векторов

$x=(x^1,\ldots,x^m),\quad y=(y^1,\ldots,y^m) \in \mathbb{R}^m$

понимается выполнение системы неравенств $x^i \le y^i$ для всех $i = 1, \dots, m$ . Введем обозначение:

$[x,y]:=\{z\in\mathbb{R}^m\mid x\le z\le y\}$

Пусть $D \subset \mathbb{R}^m = \{x=(x^1, \dots, x^m)\}$ — открытое множество и

$f_1, f_2 \in C(I \times D, \mathbb{R}^m),$ $\frac{\partial f_1}{\partial x}, \frac{\partial f_2}{\partial x}\in C(I \times D, \mathbb{R}^{m\times m}),\quad I=[t_0,t_1].$

Будем считать, что множество обладает следующим свойством: если $x, y \in D$ и $x \le y$ , то $[x, y] \subset D$ .

Рассмотрим две задачи Коши:

$\dot x = f_i(t,x), \quad x(t_0) = \hat x_i, \quad i=1,2. \qquad (1)$

Идея в том, что одна система — «сложная» (нерешаемая), а вторая — «простая», свойства которой нам полностью известны. На практике мы сами конструируем простую систему для оценки сложной.

Основная теорема

Предположим, что выполнены следующие условия:

$f_1(t,x) \le f_2(t,x)$ для всех ;
$\hat x_1 \le \hat x_2$ .

Кроме того, существуют диагональные матрицы и матрицы из неотрицательных элементов такие, что:

$\frac{\partial f_i}{\partial x} = U_i + B_i, \quad i=1,2.$

Утверждение: Если — решения соответствующих задач Коши (1), определенные на , то при всех $t \in I$ верно неравенство:

$x_1(t) \le x_2(t).$

План доказательства

Рассмотрим функцию — решение следующей задачи Коши при $s \in [0,1]$ :

$y_t = (1-s)f_1(t,y) + sf_2(t,y),\qquad (2)$ $y(t_0,s) = (1-s)\hat x_1 + s\hat x_2.$

Нижними индексами и мы обозначаем частные производные.

Можно показать (хотя это несколько сложнее), что решение задачи (2) определено при всех $(t, s) \in [t_0, t_1] \times [0, 1]$ .

Ясно, что и . Проверим, что функция $s \mapsto y(t,s)$ не убывает (т. е. компоненты вектора являются неубывающими функциями ) при каждом фиксированном .

Функция не убывает, если её производная по соответствующему параметру неотрицательна. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы доказать неравенство $y_s \ge 0$ .

1. Дифференцирование по параметру

Продифференцируем задачу (2) по :

$\begin{aligned} y_{st} &= f_2 - f_1 + (u + b)y_s, \\ u(t,s) &= sU_2(t, y(t,s)) + (1-s)U_1(t, y(t,s)), \\ b(t,s) &= sB_2(t, y(t,s)) + (1-s)B_1(t, y(t,s)), \\ y_s|_{t=t_0} &= \hat x_2 - \hat x_1 \ge 0.\end{aligned}$

Нам надо показать, что $y_s\ge 0$ при всех .

2. Анализ области монотонности

Введем обозначение:

$A = \{t \in I \mid y_s(\xi, s) \ge 0, \quad \xi \in [t_0, t],\quad s\in[0,1]\}.$

Очевидно, это множество непусто ( $t_0 \in A$ ) и замкнуто. Проверим, что число $\tau = \sup A$ совпадает с концом интервала .

3. Метод неподвижной точки

Предположим противное: $\tau < t_1$ . Перепишем задачу в интегральной форме:

$y_s(t,s) = e^{\int_{\tau}^t u \, d\lambda} y_s(\tau,s)$ $+ \int_{\tau}^t e^{\int_{\xi}^t u \, d\lambda} (f_2 - f_1 + b y_s) \, d\xi =: \Phi(y_s).$

Уравнение выше — это задача о неподвижной точке. В силу принципа сжатых отображений она имеет решение при малых

$t - \tau > 0$ .

За нулевое приближение возьмем $Y_0 = e^{\int_{\tau}^t u \, d\lambda} y_s(\tau,s) \ge 0$ . Далее по индукции $Y_{k+1} = \Phi(Y_k)$ получаем, что $Y_k \ge 0$ для всех $k \in \mathbb{N}$ (так как все слагаемые в операторе $\Phi$ неотрицательны).

Поскольку $Y_k \to y_s$ при $k \to \infty$ , имеем $y_s(t,s) \ge 0$ на некотором интервале $t \in [\tau, \tau + \varepsilon]$ и всех $s \in [0,1]$ . Это противоречит определению $\tau$ , что и доказывает теорему.

Пример

Из сформулированной теоремы напрямую вытекает неравенство Гронуолла — Беллмана. Действительно, пусть неотрицательная, непрерывная, скалярная функция удовлетворяет неравенству:

$w(t) \le C + \int_{t_0}^t v(\xi)w(\xi) \, d\xi,$

где — неотрицательная константа, а — неотрицательная, непрерывная функция.

Введем вспомогательную функцию:

$\phi(t) = C + \int_{t_0}^t v(\xi)w(\xi) \, d\xi, \quad w \le \phi.$

Тогда имеем:

$\dot \phi = v w \le v \phi.$

Заметим, что функция $\phi$ является решением следующей задачи Коши:

$\dot x = f_1(t,x) := vx - (v\phi - \dot\phi), \quad x(t_0) = C.$

Согласно условию $\dot \phi \le v \phi$ , выражение в скобках $(v\phi - \dot\phi)$ неотрицательно. Следовательно, мы можем промажорировать эту систему другой задачей Коши:

$\dot x = f_2(t,x) := vx, \quad x(t_0) = C.$

Решение этой задачи находится элементарно:

$x(t) = C e^{\int_{t_0}^t v(\xi) \, d\xi}.$

В силу доказанной теоремы и исходного неравенства $w \le \phi$ , получаем искомый результат:

$w(t) \le \phi(t) \le C e^{\int_{t_0}^t v(\xi) \, d\xi}.$