Когда теорема Коши — Ковалевской «отказывает», а решение всё равно есть / Хабр

Пример Ковалевской заключается в следующем. Рассмотрим задачу Коши для уравнения в частных производных:

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2u}{\partial z^2},\quad u\vert_{t=0}=\frac{1}{1+z^2},\quad t,z\in\mathbb{C}.$

Легко показать, что эта задача не обладает аналитическим решением в окрестности начала координат. Говоря точнее, она не имеет решения, раскладывающегося в сходящийся в некотором бикруге $\{|z|<r_1, |t|<r_2\}\in\mathbb{C}^2$ степенной ряд вида

$u(t,z)=\sum_{k,j\in\mathbb{Z}_+}u_{kj}t^kz^j,\quad \mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\ldots\}.$

Ковалевская построила этот пример как иллюстрацию того, что если условия теоремы Коши — Ковалевской не выполнены, то задача Коши может не иметь аналитического решения.

Подробное изложение и доказательство классической теоремы Коши — Ковалевской можно найти в монографии В. И. Смирнова: Курс высшей математики. Том IV. Часть 2. М.: Наука, 1981.

Казалось бы, на этом можно поставить точку…

Рассмотрим множество функций

$X = \left\{ v(z) = \sum_{k=0}^\infty v_k z^k \mid \|v\| = \sup_{k \ge 0} \{k! |v_k|\} < \infty \right\}.$

Это подпространство в линейном пространстве целых функций переменной . Функция называется целой, если её ряд Тейлора сходится в любой точке пространства $\mathbb{C}$ или пространства $\mathbb{C}^m$ , если речь идет о функциях отпеременных.

Пространство является банаховым относительно указанной в его определении нормы.

Теорема. Задача

$u_t = u_{zz}, \quad u\vert_{t=0} = \hat{u} = \sum_{k=0}^\infty \hat{u}_k z^k \in X \qquad (1)$

имеет и притом единственное решение в пространстве целых функций переменных $(t, z)\in\mathbb{C}^2$ .

Эффект состоит в том, что если мы сузим пространство начальных условий, то теорема существования и единственности «возвращается».

Доказательство теоремы.

Подставим ряд

$u(t,z) = \sum_{k=0}^\infty u_k(t) z^k$

в уравнение (1). Приравнивая члены при одинаковых степенях , получим задачу Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

$\dot{u}_k = (k+2)(k+1)u_{k+2}, \quad u_k(0) = \hat{u}_k, \quad k = 0, 1, 2, \ldots.$

Эту систему можно упростить с помощью замены :

$\dot{w}_k = w_{k+2}, \quad w_k(0) = k! \hat{u}_k. \qquad (2)$

Заметим, что последовательность $\{k! \hat{u}_k\}$ принадлежит пространству $\ell_\infty$ — это банахово пространство ограниченных последовательностей $p = (p_0, p_1, \ldots)$ , $p_i \in \mathbb{C}$ , с нормой $\|p\|_\infty = \sup_i |p_i|$ .

Правая часть системы (2) представляет собой ограниченный на $\ell_{\infty}$ линейный оператор, который переводит последовательность $(w_0, w_1, w_2, \ldots)$ в последовательность $(w_2, w_3, w_4, \ldots)$ .

Таким образом, (2) – это задача Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченным оператором на банаховом пространстве $\ell_\infty$ .

По известной теореме из функционального анализа, голоморфное решение этой системы $\{w_k(t)\}_{k \in \mathbb{Z}_+}\in\ell_\infty$ существует и единственно в любом круге $\{|t| < R\}\subset\mathbb{C}$ .

Эту теорему можно найти во втором томе курса «Анализ» Лорана Шварца. Заметим только, что доказывается она точно так же, как и её конечномерная версия, — с помощью принципа сжатых отображений.

Но можно действовать и более прямым путем. Пусть $A:Y\to Y$ -- ограниченный линейный оператор на банаховом пространстве . Тогда решение задачи Коши